Sehr geehrte Abiturientinnen und Abiturienten, wenn Sie mithilfe der Datei <Zeitplaner.pdf> einen Zeitplan für Ihre Prüfungsvorbereitung erstellt haben, werden Sie sich vielleicht fragen, wie Sie denn nun die eingeplanten Lerneinheiten mit Inhalt füllen sollen - das heißt, wie Sie sich konkret auf das Mathe-Abi vorbereiten. Hierzu möchten Ihnen die folgenden Seiten einige hilfreiche Tipps geben. Die drei Phasen der Prüfungsvorbereitung: Eine sinnvolle und effektive Vorbereitung auf eine Klassenarbeit oder Prüfung (nicht nur in Mathematik) sollte immer aus drei Teilen bestehen: Phase : Sondieren In der Sondierungsphase sollten Sie sich zunächst einen Überblick über die relevanten Prüfungsthemen verschaffen (was kommt eigentlich dran?) und Ihren aktuellen Kenntnisstand überprüfen (wie gut hab ich s schon drauf?). Einen Überblick über die Prüfungsthemen gibt Ihnen die erste Spalte des Eingangstests (Seite 4 bis 6), mit dem Sie auch Ihren aktuellen Kenntnisstand überprüfen können. Die Sondierungsphase sollte nicht mehr als 0 % der gesamten Vorbereitungszeit einnehmen. Bei einer angenommenen (und sinnvollen) Vorbereitungszeit von 7 Wochen auf die Abiturprüfung also ca. 3 bis 4 Tage. Phase : Aneignen von Lösungsverfahren, Regeln und Begriffen Wenn Sie sich nun in der Sondierungsphase einen Überblick über Ihren aktuellen Kenntnisstand verschafft haben, sollten Sie sich die Regeln, Begriffe und Lösungsverfahren, bei denen Sie noch Lücken haben, aneignen. Entsprechende Lernhilfen und geeignete Fachliteratur finden Sie in jeder Buchhandlung. Erst dann sollten Sie mit Phase 3 Ihrer Prüfungsvorbereitung beginnen. Die Phase sollte ca. 0 % bis 0 % der gesamten Vorbereitungszeit einnehmen; also ca. 4 bis 5 Tage. Phase 3: Üben und wiederholen Für die Wiederholungs- und Festigungsphase des gelernten Stoffes können Sie sich mithilfe der Übungspläne (Seite 7 und 8) für jede Lerneinheit immer neue Aufgaben zu den jeweiligen Themen zusammenstellen. Pro Lerneinheit brauchen Sie natürlich nicht alle Themen auf einmal üben. Wenn Sie dann die Übungsprotokolle der einzelnen Lerneinheiten abheften, gewinnen Sie einen guten Überblick, welche Themen Sie bereits wie oft geübt haben, wo Sie noch Schwächen haben und welche Themen Sie noch üben sollten. Diese dritte Phase der Prüfungsvorbereitung sollte rund 80 % der gesamten Vorbereitungsdauer umfassen also ca. 4 Wochen. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com
Die Benutzung der Checklisten - eigene Lücken erkennen und schließen:. Um Ihre Lücken selbst zu erkennen, sollten Sie Ihre Rechenergebnisse immer auch bewerten. In den Checklisten Eingangstest und Übungsplan stehen jeweils die drei Bewertungen Richtig, Rechenfehler und Kein bzw. falscher Lösungsweg zur Auswahl. Bei der Bewertung Kein bzw. falscher Lösungsweg sollten Sie sich die ausführlichen Lösungen zu dieser Aufgabe anschauen. Beginnen Sie zunächst mit dem Schnelltest Formelwissen (Seite 3). Damit können Sie überprüfen, ob Sie die allerwichtigsten Formeln und Regeln noch wissen, die Sie insbesondere für den Pflichtteil benötigen. Die Fragen dieses Tests sollten Sie fehlerfrei beantworten können. Wiederholen Sie diesen Test solange, bis Sie alle Fragen richtig beantworten. Zur Aneignung und Vertiefung des Grundlagenwissens sei auf einschlägige Lernhilfen und Fachliteratur verwiesen, die Sie in jeder Buchhandlung finden. Führen Sie in den ersten -3 Lerneinheiten der Vorbereitungszeit den Eingangstest (Seite 4 bis 6) durch. Zu jedem Prüfungsthema ist hier eine Aufgabe ausgewählt, die Sie bearbeiten sollten. Korrigieren Sie Ihre Lösungen anhand der Lösungsdateien und kreuzen Sie die entsprechende Bewertung an. So erkennen Sie, bei welchen Themen Sie noch Schwierigkeiten haben. Diese Themen sollten Sie im weiteren Verlauf der Prüfungsvorbereitung natürlich verstärkt üben. Ganz wichtig für die Organisation der weiteren Lerneinheiten sind die Übungspläne (Seite 7 und 8). Tragen Sie zu Beginn jeder Lerneinheit in die erste Spalte ein, welche Themen Sie an diesem Tag üben wollen. Nehmen Sie sich am Anfang aber nicht zu viele Themen auf einmal vor. Suchen Sie sich dann entsprechende Prüfungsaufgaben aus, die Sie in die zweite Spalte eintragen. Die Register auf Seite 9 und 0 helfen Ihnen, geeignete Aufgaben zu einem Thema zu finden. Zur Auswertung Ihrer Rechenergebnisse kreuzen Sie wieder die entsprechenden Bewertungen an. Heften Sie alle Checklisten ab, die Sie erstellt haben. So gewinnen Sie einen guten Überblick darüber, welche Themen Sie bereits drauf haben und bei welchen Themen es noch klemmt. Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com
Schnelltest Formelwissen : (Lösungen auf Seite und ) Analysis:. Wie lautet die Kettenregel der Ableitung? Geben Sie die Ableitung von f(g()) an.. Wie lautet die Produktregel der Ableitung? Geben Sie die Ableitung von f() = u() v() an. 3. Wie lautet eine Stammfunktion von f() = a n (mit a IR, n IN)? 4. a) Wie lauten die Stammfunktionen von f () = sin() und f () = cos()? b) Wie lauten die Stammfunktionen von f 3 () = sin (a) und f 4 () = cos (a)? 5. Mit welchem Ansatz berechnet man die Nullstellen einer Funktion f? 6. Was besagt der Satz vom Nullprodukt? 7. Wie bestimmt man die Etrempunkte einer Funktion? 8. Wie bestimmt man die Wendepunkte einer Funktion? 9. Wie berechnet man die Gleichung einer Tangente in einem Kurvenpunkt P(v f(v))? 0. Wie berechnet man die Gleichung einer Normalen in einem Kurvenpunkt P(v f(v))?. Wie untersucht man eine Funktion auf waagrechte Asymptoten?. Wie untersucht man eine Funktion auf senkrechte Asymptoten? 3. Mit welchen Regeln kann man von einem Schaubild einer Ableitungsfunktion f auf das Schaubild von f schließen? 4. Mit welchen Integralen berechnet man die Inhalte der markierten Flächen? y y y K f K f K f A 3 A A K g Analytische Geometrie: 5. Wie bestimmt man den Vektor zwischen zwei Punkten? 6. Wie berechnet man die Länge eines Vektors bzw. den Abstand zweier Punkte? 7. Wie berechnet man die Mitte zwischen zwei Punkten? 8. Was bedeuten die Vektoren in der Geradengleichung g: = OA + t AB? 9. Eine Ebene kann auf drei verschiedenen Weisen angegeben werden. Wie lauten die jeweiligen Ebenengleichungen und was bedeuten darin die Vektoren bzw. Variablen? a) E: = OA + s AB + t AP b) E: n + n + n 3 3 = d c) E: ( p ) n = 0 0. Nach welchem Verfahren und welchen Regeln löst man ein lineares Gleichungssystem?. Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?. Mit welcher Formel kann man den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen? Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 3
Eingangstest (Analysis): Datum: Drucken Sie die Tabelle aus und bearbeiten Sie die angegebenen Aufgaben. Korrigieren Sie Ihre Lösungen anhand der Lösungsdateien auf der CD und kreuzen Sie die entsprechende Bewertung an. Bearbeitungszeit: ca. 4 h. Sie können den Test auch in -3 Etappen bearbeiten. Thema Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher Lösungsweg Pflichtteil: Ableiten (Produktregel) Ableiten (Kettenregel) Stammfunktion und Integral 06/P 07/P 006/P Nullstellen 06/A- Tangenten und Normalen 07/A-a Asymptoten 00/P4 Gleichungen lösen 07/P Funktionsgleichung aufstellen von f zu f (bzw. von f zu F) 008/P4 05/P5 Schaubilder zuordnen 008/P5 Wahlteil: Etremstellen 009/A-a Flächenberechnung mit Integralen 00/A-b Mittelwertberechnung 006/A3-a Integration über Änderungsraten Monotonie nachweisen 06/A-b 07/A-b Wendepunkt 0/Aa Beschränktes Wachstum 009/A3-c Bedeutung der Abkürzungen: <06/P>: Prüfung 06, Pflichtteil, Aufgabe <07/A-a>: Prüfung 07, Wahlteil-Analysis, Aufgabe a Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 4
Eingangstest (Analytische Geometrie): Datum: Drucken Sie die Tabelle aus und bearbeiten Sie die angegebenen Aufgaben. Korrigieren Sie Ihre Lösungen anhand der Lösungsdateien auf der CD und kreuzen Sie die entsprechende Bewertung an. Bearbeitungszeit: ca. 4 h. Sie können den Test auch in -3 Etappen bearbeiten. Thema Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher Lösungsweg Pflichtteil: Abstand zwischen Punkt und Gerade Abstand zwischen Punkt und Ebene 04/P7 009/P7 Punktprobe 00/P6 Lage zwischen Gerade und Ebene Lage zwischen Ebenen Lineare Gleichungssysteme 006/P6 07/P5 0/P6 Darstellen von Ebenen 05/P7-a Koordinatengleichung von Ebenen 07/G-a Normalengleichung von Ebenen Wahlteil: Abstand zweier Punkte 008/P8 06/G-a Mitte zweier Punkte 007/G-b Punkte im Koordinatensystem Schnitt zweier Geraden 00/G-b 009/G-a Lotfußpunkt berechnen 005/G-c Flächen- und Volumenberechnung Winkel zwischen Gerade und Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen 008/G-b 0/G-a 07/G-a Bedeutung der Abkürzungen: <07/P6>: Prüfung 07, Pflichtteil, Aufgabe 6 <06/G-a>: Prüfung 06, Wahlteil, analytische Geometrie, Aufgabe a Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 5
Eingangstest (Stochastik): Datum: Drucken Sie die Tabelle aus und bearbeiten Sie die angegebenen Aufgaben. Korrigieren Sie Ihre Lösungen anhand der Lösungsdateien auf der CD und kreuzen Sie die entsprechende Bewertung an. Bearbeitungszeit: ca. 4 h. Sie können den Test auch in -3 Etappen bearbeiten. Thema Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher Lösungsweg Baumdiagramme 04/G-b 03/G- Binomialverteilung 04/P8 07/S-a Erwartungswert Testen von Hypothesen 04/G-a 07/S-c 04/G-b 05/G- Bedeutung der Abkürzungen: <04/G-b>: Prüfung 04, Wahlteil-Geometrie/Stochastik, Aufgabe b <07/S-a>: Prüfung 07, Wahlteil-Stochastik, Aufgabe a) Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 6
Übungsplan (Analysis): Datum: Drucken Sie die Tabelle aus und suchen Sie sich im Register (auf Seite 8) mindestens 4 Aufgaben heraus, die Sie in der heutigen Lerneinheit bearbeiten wollen. Sie können zu einem Thema selbstverständlich auch mehrere Aufgaben bearbeiten. Thema Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher Lösungsweg Ableiten (Produktregel) Ableiten (Kettenregel) Asymptoten Beschränktes Wachstum Etremstellen Flächenberechnung mit Integralen Folgen Funktionsgleichung aufstellen Gleichungen lösen Integration über Änderungsraten Mittelwertberechnung Monotonie nachweisen Nullstellen Schaubilder zuordnen Stammfunktion und Integral Tangenten und Normalen Trigonometrische Funktionen Wendepunkt Aussagen bewerten Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 7
Übungsplan (Analytische Geometrie / Stochastik): Datum: Drucken Sie die Tabelle aus und suchen Sie sich im Register (auf Seite 9) mindestens 4 Aufgaben heraus, die Sie in der heutigen Lerneinheit bearbeiten wollen. Sie können zu einem Thema selbstverständlich auch mehrere Aufgaben bearbeiten. Analytische Geometrie: Abstandsberechnungen Aufgabe Richtig Rechenfehler Kein bzw. falscher Lösungsweg Darstellen von Ebenen Flächen- und Volumenberechnung Koordinatengleichung von Ebenen Lage zwischen Ebenen Lage zwischen Gerade und Ebene Lineare Gleichungssysteme Lotfußpunkt berechnen Mitte zweier Punkte Normalengleichung von Ebenen Punkte im Koordinatensystem Punktprobe Schnitt zweier Geraden Schnitt zwischen Gerade und Ebene Windschiefe Geraden Winkelberechnungen Stochastik: Baumdiagramme Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Testen von Hypothesen Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 8
Register (Analysis): Ableiten (Produktregel) 005/P, 004/A3-, 009/P, 00/P, 03/P, 04/P, 06/P, 07/A-a Ableiten (Kettenregel) 006/P, 007/P, 0/P, 04/P, 05/P, 07/P Abstand Punkt-Gerade 0/Ad Asymptoten Senkrechte: 005/P4, 005/P5, 009/A-a, 00/P4, 0/Aa Waagrechte: 004/A-a, 004/A3-a, 005/P4, 005/A-c, 005/A3-a, 005/A3-b, 007/Aa, 009/A-a, 00/P4, 0/Aa, 0/A3a, 04/A-a Aussagen bewerten 004/P5, 006/P5, 007/P5, 009/P5, 0/P5, 05/P5, 07/P4 Beschränktes Wachstum 005/A3-, 008/A3-b, 009/A3c, 0/A3c, 0/A3c, 05/A-c, 07/A-d Etrempunkte (Hochund Tiefpunkte) Etremwertaufgaben Flächenberechnung mit Integralen 004/A-b, 004/A3-b, 006/A3a, 006/A3b, 007/Aa, 008/Aa, 009/A-a, 009/A-a, 009/A3a, 00/Ab, 00/Ac, 00/A3a, 0/A-a, 0/A3a, 0-Aa, 03/A-a, 04/A-a, 04/A-, 04/A-a, 04/A-, 05/A-a, 06/A-a, 06/A-a, 07/A-a, 07/A-a 005/A-b, 006/A-b, 006/A-b, 007/Ab, 008/Ab, 009/A-c, 009/A-c, 009/A-, 00/Ac, 0/Aa, 0/Aa, 03/A-b+c, 04/A-b, 04/A-, 05/A-, 05/Ad, 07/A-b 005/Aa, 006/A-a+b, 008/Aa, 009/A-b, 009/A-b, 00/A-b, 00/Ab, 0/Ab, 0/Ab, 03/A-a, 05/Aa+c, 06/A-b Funktionsgleichung aufstellen Gleichungen lösen Integration über Änderungsraten 005/A-a, 005/Aa, 006/P4, 006/A-a+c, 006/A3d, 007/Aa, 007/Ab, 008/P4, 008/Ab, 008/Ac, 008/A3-c, 009/A-b, 009/A-c, 009/A3c, 00/Ac, 00/Ad, 03/A-, 06/A-c, 07/A-d 004/P3, 005/P3, 006/P3, 008/P3, 009/P3, 00/A-b, 00/A3a, 00/A3b, 0/P3, 03/P3, 03/A-, 04/P3, 05/P4, 06/P3, 06/A-, 07/P 004/A-, 004/A3-c, 005/A-b, 005/A3-a, 007/A3b, 00/A3-b+c, 0/A-b, 0/A3b, 03/A-b+c, 04-A-b, 05/A-b, 06/A-b+c, 07/A-c, 07/A-b Mittelwertberechnung 006/A3a, 007/Ab, 008/Aa, 008/Ac, 008/A3-a, 009/A3b, 00/Ad, 00/A3a, 0/A3a, 04/A-c Monotonie nachweisen 004/P5, 005/A3-a, 007/P5, 008/A3-a, 009/A3b, 0/A3a, 0/A3a, 07/A-b Nullstellen Rotationsvolumen 004/P4, 006/A3b, 008/A-a, 009/A-a, 00/P3, 00/A-a, 00/Aa, 04/P4b, 05/A-a, 06/A- 007/Ac, 0/Ac, 0/Ac, 05/P9, 07/A-c Schaubilder zuordnen 005/P5, 008/P5, 00/P5, 0/P5 Stammfunktion und Integral 004/P, 005/P, 005/A3-b, 006/P, 008/P, 00/P, 0/P, 0/P, 03/P, 04/P, 06/P Steigungen berechnen 004/A-, 006/A3-b, 008/A-a, 008/Aa, 009/A3a, 00/A-a, 00/A3a, 0/Ab, 0/A3a, 03/A-a, 05/Aa, 06/A-a, 07/A-a, 07/A-b Tangenten und Normalen Trigonometrische Funktionen 004/P4, 004/A-c, 005/P4, 006/A-a, 006/A3b, 007/P4, 009/P4, 0/Ac, 0/A-b, 0/P4, 0/Ac, 05/Ab, 06/P4, 06/A-, 07/A- 004/A, 004/A, 006/A, 007/A, 008/A, 009/A, 00/A, 0/A, 0/A, 03/A-, 04/P4, 04/A- Wendepunkt 004/A-a, 007/P5, 009/P4, 0/Aa, 0/A-b, 0/Aa, 04/A-, 06/P4 Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 9
Register (Analytische Geometrie / Stochastik): Analyt. Geometrie: Abstand zweier Punkte Abstand zwischen Punkt und Ebene Abstand zwischen Punkt und Gerade 004/G-b, 004/G-c, 005/G-a, 005/G-c, 006/G-a, 006/G-b, 007/G-a, 007/G-a, 009/G-a, 009/G-c, 00/G-a, 00/G-c, 0/Gb, 0/Gb+c, 05/P6a, 06/G-a, 06/G-a, 07/Ga, 07/Ga, 07/Gc 004/P6, 005/G-b, 005/G-a, 006/G-b, 008/G-b, 009/P7, 00/P7a, 0/P7, 03/G-a, 05/P7b, 06/P7, 06/G-c, 07/Gb 004/P8, 004/G-b, 005/G-c, 006/G-b, 009/G-b, 009/G-b, 0/P8, 04/P7, 07/Ga Darstellen von Ebenen 006/P7, 007/G-a, 009/P7, 0/P7, 0/Ga, 03/Ga, 04/P6, 04/G-a, 05/P7a, 07/P5a Ebenengleichungen aufstellen Flächen- und Volumenberechnung 004/P7, 005/P7, 006/P8, 006/G-a, 008/G-a, 008/G-a, 00/P6, 00/G-b, 0/G-a, 0/G-a, 0/Ga, 03/G-a, 04/G-a, 04/G-a, 05/G-a, 06/G-a, 06/G-a, 07/Ga 004/G-b, 006/G-b, 006/G-b, 009/G-b, 006/G-b, 008/G-b, 0/G-a, 03/G-a, 06/G-a, 07/Ga Lage zweier Ebenen Lage zwischen Gerade und Ebene Lineare Glg.-systeme 007/P7, 009/G-a, 03/P7, 07/P5b 004/P6, 006/P6, 007/G-a, 008/P7, 008/G-a, 009/P7, 0/P7, 03/P6, 04/G-b, 05/G-a 005/P6, 007/P6, 0/P6, 06/P6a Lotfußpunkt berechnen 004/P6, 004/P8, 004/G-b, 005/G-b, 005/G-c, 006/G-b, 007/G-a, 007/G-b, 00/G-a, 03/P6, 04/P9, 06/P6b Mitte zweier Punkte 005/G-b, 006/G-a, 007/G-b, 00/G-b+c, 03/G-a, 05/G-b, 06/G-a Normalengleichung 007/P7, 008/P8, 0/P6, 07/P5 Punkte im Koordinatensystem 004/G-a, 005/G-a, 006/G-a, 007/G-a, 008/G-a, 009/G-a, 00/G-b, 00/G-a, 0/G+, 03/G-a, 03/G-a, 04/G-, 04/G-a, 06/G-a Punktprobe 004/P6, 005/G-c, 009/G-b, 00/G-a, 06/P6 Schnitt zweier Geraden 005/G-b, 006/G-a, 006/G-, 009/G-a, 0/Gd Schnitt zwischen Gerade und Ebene 004/G-c, 004/G-a, 005/G-a, 005/G-c, 006/G-a, 00/G-a, 0/G-b, 0/G-c, 03/P6, 04-G-b, 05/G-a Schnitt zweier Ebenen 00/G-c, 0/P6, 04/P6, 07/P5 Winkelberechnungen Stochastik: 004/G-a, 004/G-b, 005/G-a, 005/G-b, 007/G-c, 008/G-a, 008/G-a, 009/G-a, 009/G-a, 00/G-a, 00/G-a, 0/G-b, 0/G-a, 0/Ga, 0/Ga, 03/G-a, 04/G-a, 04/G-a, 05/G-b, 06/G-a, 06/G-b, 07/Gc, 07/Ga Baumdiagramme Übungsteil-Stochastik, Kap., 03/P8a, 04/G-b, 07/P7 Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeit Erwartungswert Übungsteil-Stochastik, Kap., 03/G-, 03/G-b, 04/P8, 04/G-a, 04/G-, 05/P8, 05/G-, 05/G-, 06/G-a, 06/G-, 07/Sa, 07/Sb, 07/Sa, 07/Sb, 07/Sd Übungsteil-Stochastik, Kap. 3, 03/G-a, 04/G-a, 05/P8c, 06/P8, 07/Sc Testen von Hypothesen Übungsteil-Stoch. Kap. 4, 03/G-b, 04/G-b, 05/G-, 06/G-b, 07/Sd Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com 0
Lösungen zum Schnelltest Formelwissen : Analysis:. Die Ableitung der Funktion f mit f(g()) ist f(g()) = f (g()) g (). In Worten: äußere mal innere Ableitung.. Die Ableitung der Funktion f mit f() = u() v() ist f () = u () v() + u() v () 3. Es ist F() = a n +. n + 4. a) F () = cos() + C und F () = sin() + C, mit der Konstanten C. b) F 3 () = cos (a ) + C und F4 () = sin (a ) + C, mit der Konstanten C. a a 5. Man muss die Gleichung f() = 0 lösen. 6. Die Lösungen der Gleichung f() g() = 0 sind die Lösungen der Gleichungen f() = 0 und g() = 0. 7. Bedingung für Hochpunkte: f () = 0 = H. An der Stelle H ist ein Hochpunkt, wenn f ( H ) < 0 ist. Die y-koordinate des Hochpunkts ist f( H ). Bedingung für Tiefpunkte: f () = 0 = T. An der Stelle T ist ein Tiefpunkt, wenn f ( T ) > 0 ist. Die y-koordinate des Tiefpunkts ist f( T ). 8. Bedingung für Wendepunkte: f () = 0 = W. An der Stelle W ist ein Wendepunkt, wenn f ( W ) 0 ist. Die y-koordinate des Wendepunkts ist f( W ). 9. In y = m + b ist die Steigung m = f (v). Den y-achsenabschnitt b erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von P(v f(v)) in y = m + b. 0. In y = m + b ist die Steigung m =. Den y-achsenabschnitt b erhält man durch Einsetzen der f' (v) Koordinaten von P(v f(v)) in y = m + b.. Der Graph einer Funktion f() hat dann eine waagrechte Asymptote, wenn es für + oder für einen Grenzwert a bzw. b gibt: lim f() = a oder + lim f() = b Eistiert einer der beiden Grenzwerte, gibt es eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = a bzw. y = b.. Der Graph einer Funktion f() kann nur dann eine senkrechte Asymptote haben, wenn es Definitionslücken gibt. Wenn an einer Definitionslücke a eine senkrechte Asymptote sein soll, muss für a der Funktionsterm f() gegen + bzw. gehen. Es muss also die Bedingung erfüllt sein: 3. Von f auf f schließen: Der Funktionswert f (v) an der Stelle v gibt die Steigung der Tangente im Punkt P(v f(v)) des Schaubilds von f an. lim f() t ± Dort, wo das Schaubild von f die -Achse schneidet, hat das Schaubild von f einen Hochpunkt (bei Vorzeichenwechsel von + nach ) und einen Tiefpunkt (bei Vorzeichenwechsel von nach +). Dort, wo das Schaubild von f einen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat, hat das Schaubild von f einen Wendepunkt. Wenn das Schaubild von f oberhalb der -Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem Intervall monoton steigend. Wenn das Schaubild von f unterhalb der -Achse verläuft, ist das Schaubild von f in diesem Intervall monoton fallend. Anhand des Schaubilds von f kann man keine Aussage darüber treffen, wie weit das Schaubild von f in y-achsenrichtung verschoben ist. a Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com
4. A = f() d = [F()] A 3 = = F( ) F( ) ; A = f() d = [F()] = F( ) F( ) ; f() g() d = [F() G()] = [F( ) G( )] [F( ) G( )] Analytische Geometrie: 5. Für den Vektor AB zwischen den Punkten A(a a a 3 ) und B(b b b 3 ) gilt: 6. Für die Länge (bzw. für den Betrag) des Vektors v = v v v 3 gilt: v = AB = b a b a b 3 a 3 ) + (v ) (v ) 3 (v + Um den Abstand zweier Punkte A und B zu berechnen, bildet man zuerst den Vektor AB und berechnet anschließend den Betrag AB. 7. Der Mittelpunkt M zwischen den Punkten A(a a a 3 ) und B(b b b 3 ) ist: M( 8. OA ist der Stützvektor. AB ist der Richtungsvektor. 9. a) Parameterform. OA ist der Stützvektor. AB und AP sind die Spannvektoren. a b + a b + a b 3 + 3 ) b) Koordinatengleichung. Die Koordinaten n, n und n 3 sind die Koordinaten des Normalenvektors. d ist eine Konstante. Alle Punkte X, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene. c) Normalengleichung. p ist der Ortsvektor eines Punktes der Ebene. n ist der Normalenvektor der Ebene. Alle Punkte X, deren Ortsvektor diese Gleichung erfüllen, liegen in der Ebene. 0. Nach dem Gauß-Verfahren. Dabei formt man das lineare Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen in die so genannte Dreiecksform bzw. Stufenform um. Anhand dieser Dreiecksform kann die Lösungsmenge bestimmt werden. Die erlaubten Äquivalenzumformungen sind: () Man darf eine Gleichung mit einer reellen Zahl r 0 multiplizieren. () Man darf zu einer Gleichung eine andere addieren. (3) Man darf zwei Gleichungen vertauschen.. Für das Skalarprodukt v r w r gilt: v r w r = v v v 3 w w w 3 = v w + v w + v 3 w 3. Der Abstand eines Punktes P(p p p 3 ) von einer Ebene wird mit der Hesse-Normalen-Form (kurz: HNF) der Ebene bestimmt. Die HNF von E: n + n + n 3 3 = d ist: Den Abstand d(p-e) zwischen P und E erhält man durch Einsetzen der Punktkoordinaten von P in die HNF. n ( n + n ) + ( n + n ) 3 3 + ( n d 3) Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com