7. Clubgüter Silke Übelmesser LMU München WS 2009/2010
7.Clubgüter 7.1 Einordnung 7.2 Ein einfaches Modell der Clubgüter 7.3 Variable Nutzung von Clubgütern 7.4 Zweiteilige Gebühr bei variabler Nutzung Literatur Richard Cornes und Todd Sandler, The Theory of Externalities, Public Goods, and Club Goods, Cambridge University Press, Cambridge, 1986, Kapitel 10. Jean Hindricks und Gareth D. Myles, Intermediate Public Economics, MIT Press, Cambridge, MA, 2006, Kapitel 6 [*]. Wellisch, Finanzwissenschaft I - Rechtfertigung der Staatstätigkeit, Vahlen, München, 1999, Kapitel 3.2.2. 1 / 30
7.1 Einordnung Bisher Reine öentliche Güter: Keine Rivalität & kein Ausschluss (Ausschluss nicht erwünscht, da sich Nutzer des öentlichen Gutes im Konsum nicht behindern) Öentliche Bereitstellung (da private Bereitstellung versagt) Unreine öentliche Güter I (siehe Kapitel 6: Allmende-Güter): Rivalität & kein Ausschluss Korrektur des Marktfehlers durch den Staat Jetzt Unreine öentliche Güter II: Rivalität oder nicht & Ausschluss Können diese Güter in ezientem Umfang auch von Privaten bereitgestellt werden, wenn es einen Ausschlussmechanismus gibt? 2 / 30
Ja Ausschließbarkeit Nein Rivalität Ja Nein Private Güter (Kapitel 2) Unreine öffentl. Güter II (Mautgüter/Clubgüter) (Kapitel 7) Unreine öffentl. Güter I (Allmendegüter) (Kapitel 6) Reine öffentliche Güter (Kapitel 4) Abbildung 1: Klassikation 3 / 30
Güter, bei denen es bei hinreichender Nutzung zu Crowding kommt und bei denen ein Ausschluss prinzipiell möglich ist, nennt man Clubgüter. Denn in diesem Fall kann ein Club das Gut bereitstellen. Eigenschaften eines solchen Clubs: Die Mitglieder teilen sich die Nutzung eines unreinen öentlichen Gutes, wobei der Umfang des Crowding von der Nutzung (bzw. der Zahl der Nutzer im Club) abhängt. Die Mitgliedschaft in einem Club ist freiwillig (im Gegensatz z.b. zu staatlicher Zwangsnanzierung über Steuern). Es gibt einen Ausschlussmechanismus, so dass Nicht-Mitglieder oder Nicht-Zahler von der Nutzung des Gutes ausgeschlossen werden können. 4 / 30
Die Idee der Clubs wurde von James Buchanan popularisiert (J.M. Buchanan, An Economic Theory of Clubs, Economica 32, 1965, 1-14). Beispiele: Tennisverein Private Schwimmbäder Private Autobahnen Private Schulen und Hochschulen Gemeinden (?) 5 / 30
7.2 Ein einfaches Modell der Clubgüter Die Gesellschaft habe n identische Mitglieder, die (zunächst)alle das Clubgut in xem Umfang nutzen. Der einzelne Haushalt hat die Nutzenfunktion U = u(x, G) (1) mit x: Konsum des privaten Gutes G: Konsum des Clubguts (alle Nutzer konsumieren die gleiche Menge / Qualität) Der Nutzen steigt im Konsum der beiden Güter, U x, U G > 0. 6 / 30
Die Kosten der Bereitstellung seien mit C G > 0, C n 0 C(n, G) (2) Im Fall eines reinen öentlichen Gutes gilt C n = 0, mit Überfüllung C n > 0. Die Kosten C(n, G) werden unter den Clubmitgliedern gleichmäÿig aufgeteilt, C(n, G)/n 7 / 30
Der Preis des privaten Gutes sei auf 1 normiert. Die Budgetrestriktion eines Haushalts (Clubmitglieds) lautet: M = x + C(n, G) n mit M: exogenes Einkommen des Haushalts (3) 8 / 30
Maximierungsproblem des Clubs Gegenüber einem reinen ö. Gut gibt es jetzt zwei Fragen: 1 Wie viele Mitglieder sollte der Club aufnehmen (Zahl der Nutzer bzw. Intensität der Nutzung) - Wahl von n? 2 In welcher Qualität sollte das Clubgut bereitgestellt werden - Wahl von G? Nehmen wir an, ein Club maximiere den Nutzen eines repräsentativen Mitglieds. Durch Verwendung der Budgetrestriktion erhalten wir: max G,n u ( M C(n, G), G n ) (4) FOCs: C G G : u x n + u G = 0 (5) ( ) ncn C n : u x n 2 = 0 (6) 9 / 30
Die optimale Qualität des Clubgutes: Aus (5) folgt n u G u x = C G (7) Dies entspricht der Samuelson Bedingung. Warum? Die optimale Mitgliederzahl des Clubgutes: Aus (6) folgt C n = C n (8) Bereitstellungskosten pro Kopf sind minimal, wenn Grenzkosten eines weiteren Nutzers = Durchschnittskosten (siehe Graphik). 10 / 30
EUR Cn C/n n* n Abbildung 2: Optimale Clubgröÿe 11 / 30
Optimale Aufteilung der Bevölkerung - Wettbewerb der Clubs Bisher: Club maximiert Nutzen eines repräsentativen Mitglieds. Aber ist das auch aus gesellschaftlicher Sicht optimal? Anders gefragt: Wird die optimale Qualität an Clubgütern angeboten, wenn die einzelnen Klubs im Wettbewerb stehen? Wenn die optimale Clubgröÿe n klein ist relativ zur Gesamtbevölkerung N: Typischerweise ja. Idee: Kein Club wird mehr (oder weniger) als n Mitglieder aufnehmen. Wir maximieren dazu den Gewinn eines kompetitiven Clubs. Sei F der Mitgliedsbeitrag und U das für den Haushalt optimale Nutzenniveau (das z.b. durch das Angebot der anderen Clubs bestimmt ist). 12 / 30
Der gewinnmaximierende Club betrachtet max G,n,F π = nf C(G, n)s.t.u(m F, G) U (9) Bedingungen erster Ordnung: π G = C G + λu G = 0 (10) π n = F C n = 0 (11) π F = n λu x = 0 (12) wobei λ der Lagrangemultiplikator ist. Überprüfen Sie, ob die wettbewerbliche Lösung mit der Lösung in (7) und (8) übereinstimmt. Beachten Sie dabei, dass im kompetitiven Gleichgewicht alle Firmen Nullgewinn erzielen. 13 / 30
Ergebnis: Falls sich Clubs in hinreichender Zahl replizieren lassen und die Bevölkerung groÿ ist, führt Wettbewerb unter den Clubs zum sozial optimalen Ergebnis. Es bilden sich dann (ungefähr) N/n Clubs der optimalen Gröÿe (genau N/n, wenn das eine ganze Zahl ist). Das Ergebnis ist ezient, da es nicht möglich ist, irgendein Individuum besser zu stellen. 14 / 30
Was ist aber, wenn die Bevölkerung relativ zu n klein ist. Bsp.: n < N < 2n ). Kann es ein Gleichgewicht (GGW) mit 2 Clubs mit je N/2 Mitgliedern geben? Nein. Denn wenn ein Mitglied aus Club 1 austritt und in Club 2 eintritt, steigt sein Nutzen und der Nutzen der bisherigen Mitglieder von Club 2. Im GGW muss folglich ein Club n Mitglieder haben und der andere N n. Mitglieder des gröÿeren Clubs haben höheren Nutzen; sie haben keinen Anreiz zu wechseln oder Mitglieder des kleineren Clubs aufzunehmen. 15 / 30
Nutzen U( n) 0 N/2 n * N Abbildung 3: Nutzen und Clubgröÿe 16 / 30
Welche Aufteilung ist aus gesellschaftlicher Sicht optimal? Ein (zu groÿer) Club? 2 gleich groÿe Clubs? Ein optimaler und ein zu kleiner Club? Das hängt von den funktionalen Formen ab. Beispiel (siehe Graphik): N = 1: Gesamtbevölkerung n: Mitgliedschaft in Club 1 (1 n): Mitgliedschaft in Club 2 Nutzenfunktion sei u 1 (n) = n 3 (1 n), u 2 (n) = (1 n) 3 n 17 / 30
0.1 W u 2 u 1 0.08 0.06 W 0.04 0.02 0.2 0.4 0.6 0.8 1 n Abbildung 4: Wohlfahrt und Clubgröÿe 18 / 30
GGW: Ein Club mit Gröÿe n = 3/4, ein Club mit 1 n = 1/4. Optimum: Maximiere Gesamtwohlfahrt: W = nu 1 (n) + (1 n)u 2 (n) Wohlfahrtsfunktion hat Maximum bei ˆn = 0.79 > n (bzw. n = 0.21): ein Club ist gröÿer als die gleichgewichtige Gröÿe, der andere kleiner. Wenn die optimale Clubgröÿe groÿ ist, ist das GGW nicht mehr notwendigerweise ezient. 19 / 30
7.3 Variable Nutzung des Clubgutes Wie vorher betrachten wir identische Individuen, doch ist die Nutzung des Clubgutes nun variabel (Zahl der Besuche des Clubs). Sei v die Zahl der Besuche pro Clubmitglied. Die Gesamtzahl der Besuche ist V = nv. Die Nutzenfunktion des Haushalts ist nun U = U(x, G, v, V ), wobei der Nutzen des Haushalts in der Nutzung des Clubgutes steigt (U v > 0), aber wegen des Crowding Eekts in der Nutzung durch alle Mitglieder abnimmt (U V < 0). 20 / 30
Die Kostenfunktion C(G, nv) berücksichtigt nun auch, dass die Kosten mit der Nutzung ansteigen, C v > 0. Durch Verwendung der Budgetrestriktion erhalten wir: max U(M C(G, nv)/n, G, v, nv) (13) G,n,v Die Bedingungen erster Ordnung lauten: G : U x C G /n + U G = 0 (14) n : U x C V (G, nv)vn C(G, nv) n 2 + U V v = 0 (15) v : U x C V (G, nv) + U v + U V n = 0 (16) 21 / 30
Die optimale Qualität des Clubgutes Aus (14) folgt, dass die optimale Qualität wiederum durch die Samuelson-Regel gegeben ist: Die optimale Mitgliederzahl des Clubgutes Durch Umstellen von (15) erhält man n U G U x = C G (17) v U V + C V (G, nv)v U x n = C(G, nv) n 2 (18) Was ist die Interpretation? 22 / 30
Die optimale Nutzung des Clubgutes Durch Umstellen von (16) erhält man Was ist die Interpretation? U v U x = C V (G, nv) n U V U x (19) 23 / 30
Ezienz der (Wettbewerbs-)Lösung Die obigen Bedingungen beschreiben eine eziente Lösung, die sich allerdings mit dem bisherigen Instrumentarium nicht erreichen lassen wird (egal ob der Club im Wettbewerb steht oder nicht). Denn die individuellen Anreize der Clubmitglieder führen zu einer Übernutzung relativ zur Optimallösung. Da der Club annahmegemäÿ nur eine Gebühr pro Kopf erhebt, entstehen dem einzelnen Mitglied aus der zusätzlichen Nutzung keine zusätzlichen Kosten. Die Regel der optimalen Nutzung (siehe (19)) wird verletzt, wie man leicht sehen kann. 24 / 30
Nehmen wir an, der Club hat die optimale Qualität G, die optimale Mitgliedszahl n und die optimale Zahl der Besuche pro Mitglied v gewählt und die Gebühr ist gegeben durch F = C(G, n v )/n. Ein repräsentativse Clubmitglied, das davon ausgeht, dass alle übrigen Mitglieder jeweils den Club im Umfang v nutzen, maximiert die folgende Nutzenfunktion max U(M F ; G ; v; (n 1)v + v) (20) v Ableiten nach v und Nullsetzen ergibt für gegebene G, n, v, F : U v + U V = 0 (21) Das Mitglied dehnt die Nutzung aus, solange bis der Grenznutzen eines weiteren Besuchs die marginalen Crowdingkosten erreicht. 25 / 30
Umstellen und Division durch U x ergibt U v U x = U V U x (22) Nun können wir die individuelle Nutzungsentscheidung mit dem Optimum in (19) vergleichen: Das Mitglied vernachlässigt in seiner Entscheidung zwei Kosten: Die zusätzlichen Nutzungskosten (C V ) Die Crowdingkosten der übrigen Clubmitglieder ( (n 1) U V U x ) 26 / 30
7.4 Zweiteilige Gebühr bei variabler Nutzung Um das obige Problem zu vermeiden, benötigt der Club als zweites Instrumentarium eine nutzungsabhängige Gebühr. Sei p der Preis pro Nutzung durch ein Clubmitglied. Der Club maximiert den Nutzen des repräsentativen Clubmitglieds U = U(x, G, v, V ) (23) unter Beachtung der Budgetrestriktion des Mitglieds und der Budgetrestriktion des Clubs M = x + F + pv (24) nf + npv = C(G, nv) (25) 27 / 30
Wir maximieren L = U(M F pv, G, v, nv)+λ(nf +npv C(G, nv)) (26) über G, n, v, F. Die Bedingungen erster Ordnung lauten L G = U G + λ( C G ) = 0 (27) L n = U V v + λ(f + pv C V v) = 0 (28) L v = U x p + U v + U V n + λ(np C V n) = 0 (29) L F = U x + λn = 0 (30) 28 / 30
Was ist die Optimalbedingungen für die Qualität des Clubs? Auösen von (30) liefert λ = U x n (31) Einsetzen in (27) gibt die Optimalbedingung für die Qualität des Clubs G (vgl. (17) n U G U x = C G (32) 29 / 30
Einsetzen in (28) und Verwenden der Club-Budgetrestriktion (25) gibt die Optimalbedingung für die Gröÿe des Clubs n (vgl. (18)). Einsetzen in (29) gibt die Optimalbedingung für die Nutzung des Clubs v (vgl. (19)). Wie hoch muss der Club den Nutzungspreis p setzen? 30 / 30