Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative Bezeichnungen: Gaußsche Glockenkurve;Fehlerkurve Natürliche Prozesse Körpergröße, Gewicht von Lebewesen Messung von physikalischen Größen Messfehlermodell Variable, die sich aus der Summe von vielen zufälligen Einzelwerten ergeben zentraler Grenzwertsatz Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Dichtefunktion In der einfachsten Form: Standardnormalverteilung X~N(0; 1) E(X)=0 Erwartungswert = 0 V(X)=1 Varianz bzw. Standard-Abweichung =1 fx ( ) = 1 2π e x 2 / 2 Statistik 2 für SoziologInnen 2 Normalverteilung

Die Standard-Normalverteilung 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Wendepunkte -3-2 -1 0 1 2 3 Statistik 2 für SoziologInnen 3 Normalverteilung

Die Standard-Normalverteilung 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Flaeche = 0,6827-3 -2-1 0 1 2 3 Statistik 2 für SoziologInnen 4 Normalverteilung

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Die Standard-Normalverteilung Flaeche = 0,9545-3 -2-1 0 1 2 3 Leitregel: Ca. 95% der Beobachtungen liegen im Bereich Erwartungswert plus/minus 2*Standardabweichung Statistik 2 für SoziologInnen 5 Normalverteilung

Verschiedene Normalverteilungen 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Standardnormalverteilung N(0; 0,25) Kleinere Varianz N(0; 1) Größere Varianz N(0; 4) -6-4 -2 0 2 4 6 Statistik 2 für SoziologInnen 6 Normalverteilung

Verschiedene Normalverteilungen 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 N(-3; 0,25) Verschiebung und Stauchung N(0; 1) N(2; 1) -6-4 -2 0 2 4 6 Unterschiedlicher Erwartungswert bei konstanter Varianz Statistik 2 für SoziologInnen 7 Normalverteilung

Dichtefunktion Im allgemeinen: Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz σ² X~N(µ; σ²) E(X) = µ V(X) = σ² fx ( ) = σ 1 2π e 1 x µ ( ) 2 σ 2 Statistik 2 für SoziologInnen 8 Normalverteilung

Lineartransformation Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann ist auch Y=a+bX normalverteilt. E(Y)=E(a+bX)=a+bE(X) V(Y)=V(a+bX)=b²V(X) Knapp formuliert: Sei X~N(µ; σ²) und Y=a+bX dann gilt Y~N(a+bµ; b²σ²) Änderung des Erwartungswertes: Verschiebung (Translation) Änderung der Varianz: Dehnung oder Stauchung der Verteilungsform Prinzipielle Gestalt der Glockenkurve bleibt erhalten Statistik 2 für SoziologInnen 9 Normalverteilung

Standardisierung Aus dem vorigen folgt: Sei X~N(µ; σ²) dann gilt für Z=(X- µ)/σ standardisierte Variable Z~N(0;1) Durch Anwendung der Standardisierung lässt sich jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen. Tabellen für Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen 10 Normalverteilung

Standardisierung Anwendungsbeispiel: X sei die Körpergröße in cm von einer bestimmten Population Es sei X~N(175; 64) Z=(X-175)/8 P(167<X<183)= =P((167-175)/8<Z<(183-175)/8)= =P(-1<Z<1)=0,6826 Statistik 2 für SoziologInnen 11 Normalverteilung

0.0 0.02 0.04 167 183 N(175; 64) 150 160 170 180 190 200 Koerpergroesse in cm 0.0 0.2 0.4 N(0; 1) -3-2 -1 0 1 2 3 Standardeinheiten Statistik 2 für SoziologInnen 12 Normalverteilung

0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0-10 40 90 140 190 Statistik 2 für SoziologInnen 13 Normalverteilung

0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 150 160 170 180 190 200 Standardnormalverteilung Verteilung der Körpergrößen Statistik 2 für SoziologInnen 14 Normalverteilung

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion Notation: Bleymüller: F N (z) Schlittgen: φ(z) z 1 2 1 u 2 F ( z)= e du N 2π Statistik 2 für SoziologInnen 15 Normalverteilung

Von der Dichte zur Verteilungsfunktion Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 P(X<1)=0,8413 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P(X<1)=0,8413-3 -2-1 0 1 2 3-3 -2-1 0 1 2 3 Statistik 2 für SoziologInnen 16 Normalverteilung

Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Grenzwert: -1 Prob(Z<-1)= 0,15866 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 1 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Grenzwert: 0 Prob(Z<0)= 0,5 Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0,45 1 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,05 0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Grenzwert: 1 Prob(Z<1)= 0,84134 Statistik 2 für SoziologInnen 17 Normalverteilung

Ausnützung der Symmetrie um Null P(Z < a) = 1 - P(Z < -a) oder P(Z < -a) = 1 - P(Z < a) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 -aa aa -3-2 -1 0 1 2 3 P(Z>a) = P(Z<-a) Statistik 2 für SoziologInnen 18 Normalverteilung

Arbeit mit Tabellen: P(Z<1)=? φ(1) liegt zwischen 0,841 und 0,842 Grob: P(Z<1) = φ(1) = 0,8415 Lineare Interpolation: P(Z<1) = φ(1) = 0,8413 P(Z<-1)=? φ(a)=1- φ(-a) bzw. φ(-a)=1- φ(a) P(Z<-1)=1 - φ(1) = 1-0,8413 = 0,1587 φ(-1) liegt zwischen 0,158 und 0,159 Statistik 2 für SoziologInnen 19 Normalverteilung

Beispiel Wir wollen für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten ermitteln. P(X<180) = =P(Z<(180-170)/16)=P(Z<0,625)=F N (0,625)= =0,734 Statistik 2 für SoziologInnen 20 Normalverteilung

Normalverteilung in Excel: NORMVERT Für eine Normalverteilung mit Erwartungswert 170 und Standardabweichung 16 gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 180 zu erhalten 73,4% beträgt. Statistik 2 für SoziologInnen 21 Normalverteilung

Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen 22 Normalverteilung

0,0300 0,7340 0,2660 0,0250 Erwartungswert: 170 Varianz: 256 Standardabweichung: 16,0000 0,0200 Grenzwert: 180 0,0150 Prob(X < 180) = 0,7340 Prob(X > 180) = 0,2660 0,0100 0,0050 Hinweis: 0,0000 231,4400 225,1680 218,8960 212,6240 206,3520 200,0800 193,8080 187,5360 181,2640 174,9920 168,7200 162,4480 156,1760 149,9040 143,6320 137,3600 131,0880 124,8160 118,5440 112,2720 106,0000 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert. Statistik 2 für SoziologInnen 23 Normalverteilung

X~N(175; 64) P(X<175)=? P(Z<(175-175)/8) = φ(0)= 0,5 0.0 0.02 0.04 P(X<175) 150 160 170 180 190 200 Koerpergroesse in cm 0.0 0.2 0.4 P(Z<0) -3-2 -1 0 1 2 3 Standardeinheiten Statistik 2 für SoziologInnen 24 Normalverteilung

X~N(175; 64) P(X<175)=? P(Z<(175-175)/8) = φ(0)= 0,5 P(X<181)=? P(Z<(181-175)/8) = φ(0,75)= 0,7734 P(X>177)=? P(Z>(177-175)/8)= =1-P(Z<0,25)= =1- φ(0,25)= =1-0,5987=0,4013 Beispiel zur Körpergröße E(X)= 175 V(X)= 64 σ(x)= 8 Grenzwert: 181 P(X<181)= 77,33726476% Dieser Wert kann variiert werden P(X>181)= 22,66273524% Statistik 2 für SoziologInnen 25 Normalverteilung

0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 P(X<181)=0.7734 150 160 170 180 190 200 Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 26 Normalverteilung

0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 P(X>177)=0.4013 150 160 170 180 190 200 Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 27 Normalverteilung

0,0600 0,7734 0,2266 0,0500 Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0400 Grenzwert: 181 0,0300 Prob(X < 181) = 0,7734 Prob(X > 181) = 0,2266 0,0200 0,0100 Hinweis: 0,0000 205,7200 202,5840 199,4480 196,3120 193,1760 190,0400 186,9040 183,7680 180,6320 177,4960 174,3600 171,2240 168,0880 164,9520 161,8160 158,6800 155,5440 152,4080 149,2720 146,1360 143,0000 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und dem gewünschten Grenzwert sind hellgrün markiert. Statistik 2 für SoziologInnen 28 Normalverteilung

Beispiel IQ-Test E(X)= 100 V(X)= 225 σ(x)= 15 4-Sigma Gesellschaft Personen mit einem IQ über 160 P(X>100+4*σ)=? 100+4*s= 160 P(X>160)= 0,00317% Bei 100.000 3,17 1 von 31.574 In Österreich leben: 8.032.926 Menschen Österreicher in 4-Sigma 254 Statistik 2 für SoziologInnen 29 Normalverteilung

Wahrscheinlichkeiten für Intervalle P(a<X<b) = P(X<b) P(X<a) X~N(175; 64) P(177<X<181) =? P(X<181) - P(X<177) = =P(Z<(181-175)/8) - P(Z<(177-175)/8) = = φ(0,75) - φ(0,25) = = 0,7734-0,5987 = 0,1747 Statistik 2 für SoziologInnen 30 Normalverteilung

0.0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 P(177<X<181)=0.1747 150 160 170 180 190 200 Koerpergroesse in cm Statistik 2 für SoziologInnen 31 Normalverteilung

Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,5987 0,1747 0,2266 Untergrenze: 177 Obergrenze: 181 Prob(177< X < 181) = 0,1747 Prob( X < 177) = 0,5987 Prob( X > 181) = 0,2266 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Grenzwerte sind hellgrün markiert. 0,0000 143,0000 146,1360 149,2720 152,4080 155,5440 158,6800 161,8160 164,9520 168,0880 171,2240 174,3600 177,4960 180,6320 183,7680 186,9040 190,0400 193,1760 196,3120 199,4480 202,5840 205,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 32 Normalverteilung

Symmetrische Intervalle P(-1<Z<1)=? P(-1<Z<1)= φ(1) - φ(-1)= 0,8413-0,1587 = 0,6826 P(-a<Z<a)=P(Z<a)-P(Z<-a)=φ(a)-(1-φ(a))=2φ(a)-1 P(-a<Z<a)=2φ(a)-1 P(-1<Z<1)= 2*φ(1) -1=2*0,8413-1=0,6826 Statistik 2 für SoziologInnen 33 Normalverteilung

X~N(175; 64) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person maximal 8 cm vom Erwartungswert abweicht? P(167<X<183) = φ((183-175)/8) - φ((167-175)/8) = φ(1) - φ(-1) = 0,8413-0,1587 = 0,6827 P(167<X<183) = 2* φ((183-175)/8) -1= = 2* φ(1)-1 = 2*0,8413-1 = 0,6827 Statistik 2 für SoziologInnen 34 Normalverteilung

Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 0,1587 0,6827 0,1587 maximale Abweichung: 8 0,0400 Prob(167< X < 183) = 0,6827 Prob(X < 167) = 0,1587 Prob(X > 183) = 0,1587 0,0300 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die maximale Abweichung sind hellgrün markiert. 0,0000 143,0000 146,1360 149,2720 152,4080 155,5440 158,6800 161,8160 164,9520 168,0880 171,2240 174,3600 177,4960 180,6320 183,7680 186,9040 190,0400 193,1760 196,3120 199,4480 202,5840 205,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 35 Normalverteilung

Inverse Fragestellung Gesucht sind Quantilwerte z α für die bestimmte Wahrscheinlichkeitsaussagen gelten: P(Z< z α ) = φ(z α ) =α P(Z<z 0,9 ) = 0,9 ==> z α =? Nachschlagen in der Tabelle: ==> z 0,9 = 1,2816 Gesucht ist jene Körpergröße x α für die gilt, daß die Wahrscheinlichkeit P(X<x α )=0,9 Lösung: x α = µ + σ z α x α = 175 + 1,2816*8 = 185,25 Statistik 2 für SoziologInnen 36 Normalverteilung

Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 185,2524 0,9000 0,1000 Wahrscheinlichkeit: 0,9 α Quantil von Z~N(0;1): 1,2816 0,0400 0,0300 Grenzwert = 185,2524 Prob(185,25 < 0,9) = 0,9000 Prob(185,25 > 0,9) = 0,1000 0,0200 0,0100 Hinweis: Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und der gewünschten Wahrscheinlichkeit sind hellgrün markiert. 0,0000 143,0000 146,1360 149,2720 152,4080 155,5440 158,6800 161,8160 164,9520 168,0880 171,2240 174,3600 177,4960 180,6320 183,7680 186,9040 190,0400 193,1760 196,3120 199,4480 202,5840 205,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 37 Normalverteilung

Normalverteilung in Excel: NORMINV Für eine Standardnormalverteilung gilt, dass die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner als 1,644485 zu erhalten 95% beträgt. Statistik 2 für SoziologInnen 38 Normalverteilung

Symmetrie von Quantilen Aus der Symmetrie der NV folgt unmittelbar, daß das α-quantil und das (1-α)-Quantil einer Standardnormalverteilung symmetrisch um null liegen: Sei z α jener Quantil für den gilt φ(z α ) =α bzw. φ(z 1-α ) =1-α dann gilt: φ(-z α ) =1-α bzw. φ(-z 1-α ) =α P(Z<z 0,9 ) = 0,9 ==> z 0,9 = 1,2816 P(Z<z 0,1 ) = P(Z<z 1 0,9 ) = 1-0,9 = 0,1 z 0,1 = 1,2816 Statistik 2 für SoziologInnen 39 Normalverteilung

Zentrale Schwankungsintervalle auch Streubereiche symmetrische Intervalle um den Erwartungswert [µ-c;µ+c] Von Interesse sind Aussagen der Form a) P(µ-c < X < µ+c) =? b) P(µ-? < X < µ+?) = 1-α Wir ordnen dem zentralen Schwankungsbereich die Wahrscheinlichkeit 1-α zu. Dadurch kommt außerhalb des Bereichs an jedem Ende eine Randwahrscheinlichkeit von α/2 zustande. Statistik 2 für SoziologInnen 40 Normalverteilung

Konzept zentraler Schwankungsintervalle 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 alpha/2 1-alpha alpha/2-3 -2-1 0 1 2 3 Statistik 2 für SoziologInnen 41 Normalverteilung

Zentrale Schwankungsintervalle Sei X~N(µ,σ²) so ergibt sich das zentrale Schwankungsintervall,welches eine Wahrscheinlichkeit von 1-α abdeckt durch: [µ-z 1-α/2 σ;µ+ z 1-α/2 σ] bzw. P(µ- z 1-α/2 σ < X < µ+ z 1-α/2 σ) = 1-α Für α=0,1 (α=0,05; α=0,01) ergibt sich aus der Tabelle für z 1-α/2 = 1,6449 (1,96; 2,5758) d.h. P(µ- 1,6449 < Z < µ+ 1,6449) = 0,9 P(µ- 1,96 < Z < µ+ 1,96) = 0,95 P(µ- 2,5758 < Z < µ+ 2,5758) = 0,99 Statistik 2 für SoziologInnen 42 Normalverteilung

X~N(175; 64) Gesucht ist ein zentrales Schwankungsintervall, das eine Wahrscheinlichkeit von 0,95 aufweist P(µ- z 1-α/2 σ < X < µ+ z 1-α/2 σ) = 1-α α = 0,05 1-α/2 = 0,975 P(175-1,96*8 < X < 175 + 1,96*8) = 0,95 P(159,32 < X < 190,68) = 0,95 Falls man eine höhere Wahrscheinlichkeit anstrebt wird das Intervall größer: P(175-2,5758 *8 < X < 175 + 2,5758 *8) = 0,99 P(154,39 < X < 195,61) = 0,99 Statistik 2 für SoziologInnen 43 Normalverteilung

Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 159,32 0,95 190,68 Hinweis: Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1-α: 0,95 1-α/2 Quantil von Z~N(0;1): 1,9600 Prob(159,32< X < 190,68) = 0,9500 Untergrenze: 159,32 Obergrenze: 190,68 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert. 0,0000 143,0000 146,1360 149,2720 152,4080 155,5440 158,6800 161,8160 164,9520 168,0880 171,2240 174,3600 177,4960 180,6320 183,7680 186,9040 190,0400 193,1760 196,3120 199,4480 202,5840 205,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 44 Normalverteilung

Erwartungswert: 175 Varianz: 64 Standardabweichung: 8,0000 0,0600 0,0500 154,39 0,99 195,61 Hinweis: Wahrscheinlichkeit des zentralen Intervalls 1-α: 0,99 1-α/2 Quantil von Z~N(0;1): 2,5758 Prob(154,39< X < 195,61) = 0,9900 Untergrenze: 154,39 Obergrenze: 195,61 0,0400 0,0300 0,0200 0,0100 Eingabefelder für die Parameter der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall sind hellgrün markiert. 0,0000 143,0000 146,1360 149,2720 152,4080 155,5440 158,6800 161,8160 164,9520 168,0880 171,2240 174,3600 177,4960 180,6320 183,7680 186,9040 190,0400 193,1760 196,3120 199,4480 202,5840 205,7200 Statistik 2 für SoziologInnen 45 Normalverteilung