Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits scho viele iteressate Eigeschafte, die zu utersuche sich loht. Zur Erierug: diskrete dyamische Systeme sid vom Typ f : X X, wobei X typischerweise ei metrischer (oder zumidest topologischer) Raum ist, oft mit glatter Struktur (d.h. wir köe differeizere), ud f ist typischerweise midestes stetig, oft glatt ud umkehrbar, d.h. Diffeomorphismus. Für Kreisabbilduge utersuche wir Abbilduge f : X X auf X = R/Z, d.h. [0, 1) mit Additio modulo 1, dem sogeate Eiheitskreis S 1. REMARK. Geausogut köte wir Abbilduge g : Y Y studiere auf dem Raum Y = {z C : c = 1}, der verwirrederweise ebefalls Eiheitskreis heißt, diese Name eigetlich eher verdiet, ud i adere Bücher ebefalls mit dem Symbol S 1 bezeichet wird. Ob wir auf X oder Y arbeite, macht keie Uterschied, de die Abbildug h : X Y, h(x) = exp(2πix) kojugiert jedes solche g : Y Y mit eiem f = h g h 1 : X X. Wir verwede stets X ud icht Y ; somit ka die Gruppeoperatio additiv geschriebe werde (statt multiplikativ) ud der Kreis hat Periode 1 (statt Periode 2π). Sei also f : S 1 S 1 ei Homöomorphismus (d.h. umkehrbar mit f ud f 1 stetig) ud orietierugserhalted. DEFINITION. Eie stetige Fuktio F : R R heißt ei Lift vo f, we gilt: f π = π F, wobei π : R S 1, π(x) = [x] die Projektio vo x R auf seie Äquivalezklasse [x] i S 1 ist. Das heißt, folgedes Diagramm kommutiert: R F R π π S 1 f S 1 Beispiele: (1) f = id, F = id, 1
0.0. KREISABBILDUNGEN (2) f = id, F = id + k, k Z, (3) f = id + α (mod 1), F = id + α + k, α R, k Z. LEMMA. Für jede Homöomorphismus f auf S 1 ist der Lift F vo f eideutig bestimmt bis auf Additio vo kostate Fuktioe k Z. BEWEIS. Für kokretes [x] S 1 ist klar, dass F(x) eideutig bestimmt ist bis auf Additio vo k Z, de dies trifft für x zu ud wege der Kommutativität vo obigem Diagramm ist [F(x)] gleich f([x]), also ist F(x) eideutig bestimmt bis auf Additio vo k Z. Wir wähle u x R fest. Wege der Forderug, dass der Lift stetig sei muss, gibt es ur eie Fortsetzug vo F(x) zu eier auf gaz R stetige Fuktio. REMARK. Wege Homöomorphie vo f gilt dass F(x+1) = F(x)+1 für alle x R gilt oder F(x + 1) = F(x) 1 für alle x R gilt. Da f orietierugserhalted ist, scheidet der zweite Fall aus. Daraus folgt sofort: F(x + k) = F(x) + k für alle x R ud allek Z. LEMMA. We für x, y R gilt, dass da gilt auch x y k Z, F(x) F(y) k. BEWEIS. Wege Bijektivität vo f gilt die Behauptug für k = 1 : Der Graph vo F ka auf jedem Itervall der Läge 1 ur um 1 wachse, d.h. das Bild des Itervalls (x, x + 1) uter F ist ethalte im Itervall (F(x), F(x) + 1). Jetzt utze wir die Gleichug F(x + m) = F(x) + m (für x R, m Z) aus: Aus x y k Z folgt x m y 1 für geeigetes m Z, ud zwar m (0, k 1) für x > y ud m ( (k 1), 0) für x < y. Weil x = x m die Abschätzug x y 1 erfüllt, gilt ud deshalb F(x m) F(y) = F(x ) F(y) 1 F(x) F(y) = F(x ) F(y) + m = k. 1 + m 2
0.0. ROTATIONSZAHLEN VON KREIS-HOMÖOMORPHISMEN Durch wiederholte Awedug erhalte wir: COROLLARY. We für x, y R gilt, dass x y k Z, da gilt auch für alle N, dass F (x) F (y) k. Rotatioszahle vo Kreis-Homöomorphisme DEFINITION. Sei f : S 1 S 1 ei orietierugserhalteder Kreishomöomorphismus. Die Rotatioszahl vo f ist defiiert durch ρ(f) := lim sup F (x) x (mod 1) für eie (beliebige) Lift F vo f ud für ei (beliebiges) x S 1. Dieser Wert ρ(f) hägt icht vo der Wahl vo F ab, da sich verschiedee Lifts vo f ur um Kostate uterscheide, ud hägt auch icht vo x ab wege vorigem Korollar. Die Rotatioszahl ρ(f) misst die durchschittliche Verschiebug vo x auf dem Kreis, we f darauf oft agewedet wird. Wobei diese Zahl i Wirklichkeit ei Elemet vo S 1 ist. Aus der Defiitio folgt sofort: REMARK. ρ(f ) = ρ(f) für alle N. Wir werde jetzt sehe, dass f geau da periodische Orbits hat, we die Rotatioszahl Äquivalezklasse vo ratioale Zahle ist. DEFINITION. Wir ee s S 1 ratioal, we s = [t] mit t Q ist, asoste irratioal. THEOREM. We ei orietierugserhalteder Kreishomöomorphismus f ei periodisches Orbit hat, da ist die Rotatioszahl ρ(f) ratioal. Geauer ( gilt: ) We es q Z ud x S 1 gibt mit f q (x) = x, da ist 1 ρ(f) Z /Z, das heißt q [ ] m ρ(f) = mit m Z. q BEWEIS. Setze für x dieses periodische Orbit ei: f q (x) = x, also F q (x) = x + k, k Z. Es folgt also F l q (x) = x + l k für alle l Z. 3
0.0. ROTATIONSZAHLEN VON KREIS-HOMÖOMORPHISMEN Somit gilt F lq (x) x = lk lq lq = k q. Für beliebiges m N ist m = ql + r mit r {0,...,q 1}. Also gilt F m (x) x m = F lq+r (x) x = F r (x + lk) x = F r (x) + lk x k q l wie behauptet. Die Umkehrug gilt auch: THEOREM. We ei orietierugserhalteder Kreishomöomorphismus f keie periodische Orbits hat, da ist seie Rotatioszahl ρ(f) irratioal. D.h., we die Rotatioszahl ratioal ist, da hat f ei periodisches Orbit. BEWEIS. Wir ehme also Ratioalität der Rotatioszahl a ud folger, dass es ei periodisches Orbit gibt. We [ ] p ρ(f) =, q da gilt ρ(f q ) = qρ(f) = [0]. Defiiere g := f q. Ei periodisches Orbit vo f mit Periode q ist ei Fixpukt vo g. Wir wisse also, dass g Rotatiozahl Null hat, ud suche eie Fixpukt vo g. Sei G ei Lift vo g mit G(0) [0, 1). Wege der Bedigug G(0) [0, 1) ist ei Fixpukt vo g auch ei Fixpukt vo G. Aahme: g hat keie Fixpukt. Da gilt edweder G(x) x > 0 für alle x R oder G(x) x < 0 für alle x R. Letztere Möglichkeit scheidet aus wege der Bedigug G(0) [0, 1). Da x G(x) x eie periodische stetige Fuktio ist, wird das Miimum ageomme ud ist positiv (wege G(x) x > 0). Ebeso 4
0.0. VERHALTEN DER ROTATIONSZAHL BEI KONJUGATION wird das Maximum ageomme ud ist < 1. Also gibt es ei ε > 0, so dass für alle x R gilt: Deswege gilt lim sup G(x) x (ε, 1 ε). G (x) x (ε, 1 ε) 0 (mod 1). Dies ist ei Widerspruch dazu, dass g die Rotatioszahl Null hat. Um die Notatio zu vereifache, uterscheide wir hierbei ach Möglichkeit icht mehr zwische x ud [x] ud schreibe für [x] etweder x (mod 1) oder eifach x. Dabei müsse wir ur aufpasse, dass ei solches x ur bis auf Additio vo gaze Zahle bestimmt ist; z.b. dürfe wir icht aus x > y + 1 versehetlich schließe, 2 dass lim x lim y sei, de es ka ja lim x = lim y + 1 sei, ud atürlich ist lim y + 1 = lim y (mod 1). Verhalte der Rotatioszahl bei Kojugatio Wir wolle atürlich möglichst viele Abbilduge auf S 1 utersuche. Welche kokrete Beispiele verstehe wir gut geug, um die Rotatioszahl leicht bereche zu köe? Bis jetzt eigetlich recht weige, de die direkte Verwedug der Defiitio ist ur i weige Fälle leicht. Leicht ist es zum Beispiel bei der Rotatio R α : S 1 S 1, R α (x) = x + α (mod 1) (bzw. R α ([x]) = [x + α]). Hier sehe wir sofort, dass ρ(r α ) = α ist. Was wir brauche, ist ei Mechaismus, um größere Klasse vo Abbilduge auf eimal zu utersuche. Hier ist eier: Wir utersuche die Veräderug (oder dere Ausbleibe) der Rotatioszahl bei Kojugatio. Zur Erierug: DEFINITION. Für zwei diskrete dyamische Systeme f : X X ud g : Z Z auf topologische Räume X, Z heiße f ud g zueiader kojugiert, we gilt g = h 1 f h mit eiem Homöomorphismus h : X Z. THEOREM. ( Kojugatio ädert die Rotatioszahl icht. ) Sei f wie bisher ei orietierugserhalteder Kreishomöomorphismus, h ebefalls. Da gilt: ρ(h 1 f h) = ρ(h). 5
0.0. VERHALTEN DER ROTATIONSZAHL BEI KONJUGATION Mit adere Worte, we f : S 1 S 1 ud g : S 1 S 1 zueiader kojugiert sid, da habe f ud g dieselbe Rotatioszahl. BEWEIS. Sei F ei Lift vo f ud sei H ei Lift vo h. Da gilt π H = h π ud damit π H 1 = h 1 h π H 1 = h 1 π H H 1 = h 1 π, also ist H 1 ei Lift vo h 1. Außerdem ist H 1 F H ei Lift vo h 1 f h, de π H 1 F H = h 1 π F H = h 1 f π H = h 1 f h π. Wir müsse u zeige, dass der Term ( H 1 F H ) F icht allzu groß ist, de dies ist die Differez der Terme, die i die Berechug der Rotatioszahl vo h 1 f h ud der vo f eigehe. Dazu wähle wir zuerst de Lift H vo h so, dass H(0) [0, 1) ist. Damit schätze wir ab, dass für alle x R gilt, dass Somit gilt auch H(x) x 2. F (H(x)) F (x) 2. Dadurch sehe wir, dass (H 1 F H) (x) F (x) = H 1 (F (H(x))) F (x) Folgerug: ρ(h 1 f h) = lim sup = lim sup = ρ(f). 4. (H 1 F H) (x) x F (x) x Dieses Argumet fuktioiert mit beliebigem x, obwohl ei eiziges x für die Rotatioszahl scho geug wäre. 6
0.0. ROTATIONSZAHL ALS LIMES Rotatioszahl als Limes Nachdem wir scho wisse, dass ρ(f) weder vo x och vo der Wahl des Lifts F vo f abhägt, zeige wir u, dass der lim sup auch icht vo der Folge abhägt, also der Limes existiert. Dies rechtfertigt auch die Bezeichug Rotatios-Zahl (im Gegesatz zu Rotatios-Mege oder Rotatios-Itervall ). THEOREM. Die Rotatioszahl vo f ist gleich ρ(f) = lim F (x) x (mod 1) für eie beliebige Lift F vo f ud eie beliebige Pukt x R. D.h., der Limes existiert immer. BEWEIS. Für ratioales ρ(f) habe wir dies bereits bewiese, de wir habe gezeigt, dass i diesem Fall existiert ei periodisches Orbit [x] vo f existiert, also ist F (x) = x + k mit k Z. Geau wie im Beweis der Existez eies periodische Orbits vo f gilt wieder ud wieder gilt F m (x) = F lq+r (x) = F r (x + lk) = F r (x) + lk F m (x) x m = F lq+r (x) x = F r (x) + lk x l k q. Also existiert hier der Limes. Bleibt och der Fall, dass die Rotatioszahl irratioal ist, also keie periodische Orbits existiere. Sei k Z so, dass F (x) x [k, k + 1] für ei x R gilt. OBdA gilt dies auch für alle x R gleichzeitig, de F id ist eie periodische Fuktio, die jedes Itervall der Läge 1 i ei Itervall vo Läge höchstes 1 abbildet. Da gilt: F (0) 0 7 k 1.
0.0. ROTATIONSZAHL ALS LIMES Also gilt für alle m N, dass F m (0) 0 = ( F (F (m 1) (0)) F (m 1) (0) ) + ( F (m 1) (0) F (m 2) (0) ). + ( F 1 (0) F 0 (0) ) [mk, m(k + 1)]. Also ist F m (0) 0 Somit gilt F m (0) 0 m m F (0) 0 k 2 1. Dies ist eie Cauchy-Folge, also koverget. F m (0) 0 k m m m + k m m F mm (0) 0 m + F m (0) 0 k m + k F (0) 0 ( 1 + 1 ). m 8