Tel IV: Dre Musterklausuren Hauptklausur SS 97 Aufgabe : 5 Schwmmer verschedenen Alters erbrachten n Wettkämpfen über 50 m Brustschwmmen de folgenden Zeten: Alter Zeten n sec. 8 37.00 40.00 4.00 30 39.00 40.00 45.00 3 40.00 38.00 4.00 34 4.00 44.00 45.00 36 4.00 46.00 48.00 a) Stellen Se ene Häufgketstabelle auf, und bestmmen Se de Randhäufgketen. (3 Punkte) b) Bestmmen Se de Kovaranz zwschen dem Alter der Schwmmer (X) und der Zet n sec. (Y). Snd de Varablen unabhängg? (6 Punkte) c) Der Schwmmlehrer A vermutet enen lnearen Zusammenhang zwschen dem Alter und der Lestungsfähgket der Schwmmer: y = a + bx Schätzen Se de unbekannten Regressonsparameter a und b und bestmmen Se de Regressonsgerade $y. (4 Punkte) d) Bestmmen Se de mttlere Schwmmzet, unter der Bedngung, daß nur de 30jährgen Schwmmer betrachtet werden. (4 Punkte) Aufgabe :. Der Chef enes Unternehmens möchte sch über de täglch anfallenden Anfahrtswege sener Mtarbeter nformeren. Vom Personalbüro wrd hm dazu folgende Tabelle übersandt:
km Anzahl der Beschäftgten [0,) 7 [,5) 4 [5,5) 35 [5,30) 8 [30,50) 6 a) We groß snd das arthmetsche Mttel (näherungswese!), der nterpolerte Medan und der Modus der klasserten Vertelung? (3+3+3=9 Punkte) b) Bestmmen Se näherungswese de Varanz der klasserten Vertelung. Warum kann de Varanz nur näherungswese bestmmt werden? (4 Punkte) c) Beurtelen Se aufgrund der Lagemaße de Schefe der Vertelung.. ( Punkte) a) We groß st de folgende Kovaranz C zwschen Presmeßzahlen a und Mengenmeßzahlen b, gewogen mt den Ausgabenantelen g zur Basszet? L ( t )( L t ) C = a P0 b Q 0 g mt: g p 0q 0 = p q 0 0 ( Punkte) b) Nach dem hermt bestmmten Zusammenhang (nach L. v. Bortkewcz) läßt sch aus den folgenden Angaben nomnale Zunahme 50% (also W 0t =, 5) L reale (volumenmäßge) Zunahme 0% (also Q t Kovaranz C = +0, der Laspeyres-Presndex we folgt berechnen: =,) 0 ( Punkte) L We groß st P0 t, wenn für de Kovaranz glt C = 0,4 (de anderen Angaben bleben unverändert)? ( Punkt)
3 c) Nennen Se dre Stuatonen, n denen en Lasperes-Index den glechen Zahlenwert annmmt we en Paasche-Index, etwa P0 t L P = P0 t =, 4? (3 Punkte) Aufgabe 3:. Fünf Personen A, B, C, D und E treffen sch zu ener Pokerparte. Zu Begnn (t = ) hat jeder 00 DM. Nach ener Stunde (t = ) seht de Vertelung des Geldes we folgt aus: Person A B C D E DM 50 00 50 00 500 Das Spel endet nach zwe Stunden (t = 3) damt, daß E den gesamten Ensatz gewonnen hat und de anderen ver plete snd. Beschreben Se de Dspartät zu den dre Zetpunkten sowohl graphsch als auch numersch. ( Punkte). In den zwe Stunden werden nsgesamt 0 Spele gemacht. E hat nach den enzelnen Spelen jewels folgende Geldbeträge vor sch legen: Spel 3 4 5 6 7 8 9 0 DM 80 0 60 30 50 300 500 480 600 000 a) Geben Se de durchschnttlche Wachstumsrate des Geldbetrags an. ( Punkte) b) Bestmmen Se den Trend n deser Zetrehe mt Hlfe enes gletenden Durchschntts ( p = 3 ) sowe de trendberengten Werte. (6 Punkte) Hauptklausur SS 98 Aufgabe a) Gegeben se de folgende Vertelung: Klasse von... bs unter... n k x k s k 0-0 0 0,3 0-35 5,4 35-50 6 4,6 50-90 0 70 3 90-0 00 4, ) Stellen Se de relatven Häufgketen graphsch dar. ( Punkte)
4 ) Berechnen Se das arthmetsche Mttel x. ) Berechnen Se de Standardabwechung. v) Bestmmen Se den Medan und den Modus der Vertelung. ( Punkte) (4 Punkte) (3 + Punkte) b) Student S arbetet en halbes Jahr als studentsche Hlfskraft. Dabe verdent er m Monat (n DM): Januar Februar März Aprl Ma Jun 467 53 399 60 488 478 Berechnen Se de Spannwete, den Quartlsabstand und das Gn-Dspersonsmaß. ( + 3 + 3 Punkte) Aufgabe : a) Be ener Lottere mt 350 Telnehmern gbt es dre verschedene Gewnnbeträge G < G < G 3 (kene Neten!). Dabe st G 3 doppelt so hoch we G und deser wederum doppelt so hoch we G. Den Betrag G erhalten 00 Telnehmer, den Betrag G 00 Telnehmer und den Betrag G 3 entsprechend 50 Telnehmer. Insgesamt werden 600.000 DM ausgeschüttet. ) Bestmmen Se de dre Gewnnbeträge. (3 Punkte) ) Zechnen Se de Lorenzkurve. ) Berechnen Se den Gn-Koeffzenten. (3 Punkte) (3 Punkte) b) Be ener Umfrage wurden 00 Personen gefragt, ob se en Auto (Varable X) und enen Vdeorekorder (Varable Y) bestzen. Dabe antworteten: Auto Vdeorekorder ja 60 ja 45 nen 40 nen 55 ) Bestmmen Se für de Varable X en snnvolles Lagemaß. ( Punkte) ) Angenommen, es handele sch be den beden Vertelungen um de Randvertelungen ener zwedmensonalen Häufgketsvertelung. We müßte dese aussehen, wenn de beden Varablen unabhängg wären? ( Punkte) ) Wevel Prozent der Autobestzer bestzen n desem Fall (Unabhänggket) auch enen Vdeorekorder? ( Punkte)
5 v) Handelt es sch be der Varable Y um ene Bestands- oder Bewegungsmasse und um ene dskrete oder stetge Varable? We st se skalert? (3 Punkte) v) Zur lechteren Auswertung ordnet der Befrager der Antwort nen den Wert 0 und der Antwort ja den Wert zu. Welcher Transformaton dürfte er de Varablen unterzehen? Nennen Se en Bespel für dese Form der Transformaton. ( Punkte) Aufgabe 3 a) Zwe Varablen X und Y seen n der Form lnear vonenander abhängg, daß folgende Regressonsgerade glt: Desweteren st s y $y = 00 + 5 x = 4000 und s x = 00. ) We groß st das Bestmmthetsmaß? (4 Punkte) ) Bestmmen Se de Kovaranz. (3 Punkte) b) Für zwe Varablen X und Y gelten de Regressonsgeraden y$ = 3, 5 + 0, 5 x und 3 3 $x = + y. ) Bestmmen Se den Korrelatonskoeffzenten. (3 Punkte) ) Bestmmen Se x und y. (4 Punkte) c) En Warenkorb enthält fünf Produkte (A, B, C, D, E). De folgende Tabelle gbt enen Überblck über de Presmeßzahlen (m ot ) der enzelnen Produkte, sowe über hren Antel an den Gesamtausgaben zur Bassperode (g ). Produkt m ot g A, 0, B 0,9 0,3 C, 0,05 D,5 0,45 E 0,95 0, ) Berechnen Se enen Presndex nach Laspeyres. (3 Punkte) L ) Der dazugehörge Mengenndex nach Laspeyres betrage Q 0 t =,, de Kovaranz zwschen Pres- und Mengenmeßzahl se C = 0,5. We hoch st der Wertndex? (3 Punkte)
6 Nachklausur SS 98 Aufgabe a) De Werbeagentur des Netzanbeters Schnurlos glücklch schätzt den desjährgen Absatz von Handys anhand der folgenden stetgen Funkton: y( t) t = t + 0 4 wobe y(t) de m Zetpunkt t verkaufte Anzahl von Handys (n Tausend) darstellt und t de Anzahl der Monate. ) Welche Wachstumsrate ergbt sch nach genau enem Jahr? (3 Punkte) ) En Mtarbeter des Netzanbeters st für de Überwachung der Vorhersagen der Werbeagentur zuständg. En Jahr nach der Prognose legen hm folgende Monatsverkaufszahlen vor. t 3 4 5 6 7 8 9 0 y t 0 8 7 6 4 5 8 0 4 6 0 r t w t Berechnen Se de tatsächlchen Wachstumsraten und -faktoren. We hoch st de mttlere Wachstumsrate? ( + Punkte) ) Nach wevel Jahren hat sch de gesamte Absatzmenge deses Jahres be enem konstanten Wachstum von 0% auf 300.000 erhöht? (4 Punkte) b) Das Personalbüro von Schnurlos glücklch hat de Personalentwcklung der Frma getrennt nach Angestellten (x) und Arbetern (y) ermttelt. Dummerwese snd de Daten ncht vollständg. Es st jedoch bekannt, daß de mttlere Anzahl der Angestellten 577,50 beträgt. t 3 4 5 6 7 8 Arbeter (y t ) 68 75 84 93 86 7 66 54 Angestellte (x t )? 5 537 539 574 608 654 700 ) Bestmmen Se de Kovaranz zwschen der Anzahl der Arbeter und der der Angestellten. (5 Punkte) ) We groß st de Korrelaton zwschen den Beschäftgten deser beden Berufsgruppen? (4 Punkte) Aufgabe : a) Der Chef enes Unternehmens möchte sch über de täglch anfallenden Anfahrtswege sener Angestellten nformeren. Vom Personalbüro erhält er de folgenden Werte:
7 km von... bs unter... Anzahl der Angestellten 0-49 - 5 68 5-5 45 5-30 6 30-50 We groß snd das arthmetsche Mttel, der Medan und der Modalwert der Entfernung zum Arbetsplatz. Entscheden Se mt Hlfe der Fechner schen Lageregel, ob de Häufgketsvertelung symmetrsch, lnksstel oder rechtsstel st. (7 Punkte) b) Für de dre Güter enes Warenkorbes wurde n den Jahren 989 bs 993 folgende Prese und Mengen notert: Gut Gut Gut 3 Jahr Pres Menge Pres Menge Pres Menge 989 0 00 60 00 30 00 990 0 60 97 9 0 99 00 50 00 8 00 99 5 80 65 90 4 90 993 0 50 70 80 30 60 ) Berechnen Se für 993 zur Bass 989 de Presndzes von Laspeyres und Paasche. (6 Punkte) ) Berechnen Se den Wertndex (0 = 989, t = 993) und leten Se daraus den Paasche- Mengenndex ab. (5 Punkte) ) Zegen Se mt Hlfe der Ergebnsse aus ) und ), daß Indzes nach Paasche de Faktorumkehrprobe ncht erfüllen. (3 Punkte)
8 Aufgabe 3: a) Be der Fußballweltmesterschaft n Frankrech gab es enen Speler, der sechs Tore geschossen hat, zwe mt fünf Treffern, dre mt ver, seben mt dre Toren, 3 Speler trafen zwemal und 7 Aktve je enmal ns Schwarze. Es gab also nsgesamt 08 Torschützen, de 67 Treffer erzelten. Anmerkung: Speler, de gar ncht getroffen haben, werden natürlch ncht berückschtgt. ) Geben Se n der untenstehenden Tabelle de Punkte der Lorenzkurve und de Stegungen der enzelnen Abschntte an (ncht zechnen!) (5 Punkte) ) Berechnen Se den Gn-Koeffzenten. Hnwes: Rundung auf ver Nachkommastellen. (3 Punkte) b) Gegeben seen folgende Umsatzzahlen enes Unternehmens (n 000 DM): WAZ vom 4.07.98 Jahr 989 990 99 99 993 994 995 996 997 Umsatz 87 75 84 05 93 6 7 9 0 ) Stellen Se de Zetrehe graphsch dar. ( Punkte) ) Ermtteln Se de Trendgerade mttels der Methode der klensten Quadrate. (4 Punkte) ) Geben Se mt Hlfe der Trendgeraden aus Aufgabe ) ene Schätzung für das Jahr 997 ab. ( Punkte) v) Geben Se mt Hlfe der Methode des exponentellen Glättens ene Prognose für das Jahr 998 ab. Verwenden Se dabe den unter ) errechneten Schätzwert und den tatsächlch beobachteten Wert für das Jahr 997. Gewchten Se bede Werte glech. (3 Punkte)
9 Lösungen zu den Musterklausuren Hauptklausur SS 97 Aufgabe a) Alter 8 30 3 34 36 Σ 37 38 39 40 3 Zet 4 4 44 45 46 48 Σ 3 3 3 3 3 5 b) s = x y x y n xy x = x n = 3 ( 8 + 30 + 3 + 34 + 36) = 3 n 5 y = y n = ( 37 + 38 + 39 + 3 40 + 4 4 + 44 + 45 + 46 + 48) = 4 n 5 s xy = 8 37 + 8 40 + 8 4 + 30 39 + 30 40 + 30 45 + 3 40 + 3 38 + 3 4 5 ( + 34 4 + 34 44 + 34 45 + 36 4 + 36 46 + 36 48) 3 4 = 04 344 = 5 46 5, Da s xy 0 st, snd de Varablen X und Y abhängg. c) b s xy = s x s = x n x 3( 8 30 3 34 36 ) 3 n = 5 + + + + x = 03 04 = 8
0 5, 46 b = = 0, 683 8 a = y b x = 4 0, 683 3 = 0, 3 y$ = 0, 3 0, 683 x d) ( x y 30) ( ) = = + + = =, 3 39 40 45 4 4 3 3 Aufgabe. m n m n H n /b [0,) 0,5 7 3,5 0,07 7 [,5) 3 4 7 0,3 6 [5,5) 0 35 350 0,66 3,5 [5,30),5 8 405 0,84, [30,50) 40 6 640 0,8 Summe - 00 470,5 - - a) x = m n = 470 5 = 4 705 n 00,, ~ ' 0, 5 H k,, x 0, 5 x k b k 5 0 0 5 0 3 = + = + = 5 + 5, 49 = 0, 49 h 0, 35 x mod = 0, 5 k = 0 5 7 3 4 0 35 5 8 40 6 4 705 n =, 00 + + +, +, b) s m n m ( ) = 384, 305 4, 705 = 68, 065 De Varanz kann nur näherungswese berechnet werden, wel de nterne Varanz unbekannt st. c) x < ~ x < x mod, 0 5 De Vertelung st lnksstel.. L P L L P L a) C = Q 0t ( P0t P0 t ) oder C = P0 t ( Q 0t Q 0 t ) L P L b) C = Q 0t ( P0t P0 t ) L C P W0t C, 5 0, P0 t = + P = = = = L 0t,5 0, 5, L L Q Q Q,,. Varante: L P0 t 0t 0t 0t, 5 0,4 = + =,5 + 0, =, 45,,
c). alle Prese stegen um 40%. alle Mengen bleben glech ( q = q ) t 3. De Kovaranz zwschen den Pres- und Mengenmeßzahlen st Null. o Aufgabe 3. Für t = : D G = 0 Für t = : Für t = 3 x h H q Q (H + H - )q A 50 0, 0, 0,05 0,05 0,0 B 00 0, 0,4 0, 0,5 0,06 C 50 0, 0,6 0,5 0,3 0,5 D 00 0, 0,8 0, 0,5 0,8 E 500 0, 0,5 0,9 Summe 000 - -,4 ( ), 4 0, 4 D = H + H q = = G x h H q Q (H + H - )q A 0 0, 0, 0 0 0 B 0 0, 0,4 0 0 0 C 0 0, 0,6 0 0 0 D 0 0, 0,8 0 0 0 E 000 0,,8 Summe 000 - -,8 ( ), 8 0, 8 D = H + H q = = G
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 t= t= t=3 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9. a) w = 0 000 00 = 746, = 7, 46% b) y ~ y y ~ y 00 - - 80 00-0 0 0 0 60 36,67 3,33 30 46,67-6,67 50 60-0 300 350-50 500 46,67 73,33 480 56,67-46,67 600 693,33-93,33 000 - - Hauptklausur SS 98 Aufgabe a) n k h * k h k ( ) x x h k H k k 0-0 0 0,4 0,0 90,79 0,4 0-35 0,4 0,06 8,75 0,64 35-50 6 0, 0,008 7,99 0,76 50-90 0 0, 0,005 6,5 0,96 90-0 0,04 0,003 75,09 Σ 50 654,3
3 ) ) x = x k h k = 0, 4 + 5 0,4 + 4 0, + 70 0, + 00 0, 04 = 33, 84 ) s nt = s k h k = 0, 3 0, 4 +, 4 0,4 +, 6 0, + 3 0, + 4, 0, 04 =, 536 s ext = 654, 3 vgl. Tabelle s = snt + s ext =, 536 + 654, 3 = 655, 666 s = 655, 666 = 5, 6 v) x mod = 0 ~,, x 0, 5 0 5 0 5 = + 0 4 = 6,5 0,4 b) R = 60 398 = 03 ~ x = x = x = 0, 5 ([ 6 0, 5 ] ) ( ) 467 + ~ x x x 0, 75 = ([, ]) = 6 0 75 ( 5) = 53 + Q 0, 5 = 53 467 = 56 399 467 478 488 53 60 399-68 79 89 4 03 467 - - 56 35 478 - - - 0 45 4 488 - - - - 35 4 53 - - - - - 79 60 - - - - - - S = n n ( ) x G j < j x n j = 93 = 79 53 6 5,
4 Aufgabe : a) ) G = G = 4G 3 600. 000 = 00G + 00G + 50G 3 = 00G + 00 G + 50 4G = 600G G = 000 G = 000 G 3 = 4000 ) x n h x n q Q H G 000 00 0,574 00000 0, 3 0, 3 0,574 G 000 00 0,857 00000 0, 3 0, 6 0,857 G 3 4000 50 0,49 00000 0, 3 = + ) D q ( H H ) G H H + H - (H + H - )q G 0,574 0,574 0,905 G 0,857,485 0,476 G 3,857 0,69 D G =,857 = 0,857,857 b) ) x mod = " ja"
5 ) ) h( Y ja X ja) h( Y ja) x\y ja nen Σ ja 7 33 60 nen 8 40 Σ 45 55 00 = = = = = 0, 45 = 45% v) Bestandsmasse, dskret, nomnalskalert v) en-endeutge Transformaton, denkbar wäre auch z.b. ja = 85 und nen = -3 Aufgabe 3: a) ) B ) s b) yx s y = $ s y $y = 00 + 5x s = 5 s = 5 00 = 500 y$ x 500 B xy = = 4000 0, 65 = r s s = 0, 65 00 4000 = 500 xy xy x y ) r = xy bd = 0, 5 3 = 0, 54 ) De Geraden schneden sch m Schwerpunkt ( x, y) c) I. y = 3, 5 + 0, 5x x = y 7 II. x 3 = + 3 y 3 3 y 7 = + y 3 3 y y = + 7 y = 6 x = 6 7 = 5 L ) P0 t =, 0, + 0,9 0, 3 +, 0, 05 + 5, 0, 45 + 0,95 0, =, 055 L L ) W = Pot Q 0t + C =, 055, 0,5 = 0,90775
6 Nachklausur SS 98 Aufgabe a) ' ) y ( t) ) ( ) r t r( ) = t ' ( ) ( ) y t = = y t t 4 = 4 t t + 0 4 = = 0, 88 + 0 t y t r t w t 0 - - 8-0, 0,8 3 7-0,5 0,875 4 6-0,43 0,857 5 4-0,333 0,667 6 5 0,5,5 7 8 0,6,6 8 0 0,5,5 9 0,, 0 4 0,67,67 6 0,43,43 0 0,5,5 Summe 0 w t = 0 0 = =, 065 r t =, 065 = 0, 065 = $ 6, 5% ) aktueller Gesamtabsatz: 0.000 Stück 0. 000, 065 t = 300. 000, 065 t =, 5 t ln, 065 = ln, 5 ln, 5 t = = 4, 55 ln, 065 8 b) ) x = ( x + 44)
7 ) x = 577, 5 8 44 = 496 y = y t = ( 68 + 75 + 84 + 93 + 86 + 7 + 66 + 54) = 74 75 T 8, s r = x y x = = T y 34667 577 5 74 75 484 75 8,,, xy t t xy s xy = s s r xy = Aufgabe a) x y s s = x t x 703906 577 5 448 T = 8, = x = y t y 45806 74 75 38 875 T = 8, =, y 484, 75 = 0, 66 448 38, 875 km m n m n h H h * 0-0,5 49 4,5 0,07 0,07 0,07-5 3 68 504 0,4 0,3 0,06 5-5 0 45 450 0,35 0,66 0,035 5-30,5 6 835 0,8 0,84 0,0 30-50 40 4480 0,6 0,008 Summe 700 093,5 x = m n = 093 5 = 4 705 n 700,, ( 0 5 H ) 0( 0 5 0 3) ~ b, ' k k,, x 0, 5 = x k + = 5 + h 0, 35 x mod = 0, 5 k Wegen x mod < ~ x 0, 5 < x st de Vertelung lnksstel. = 0, 43 b) ) P P p tq 0 0 00 + 70 00 + 30 00 000, = = = =, p q 0 00 + 60 00 + 30 00 0000 L 89 93 0 0 p q 0 50 + 70 80 + 30 60 8400 = = = = 83 p q 0 50 + 60 80 + 30 60 700 P t t 89, 93, 0 t
8 ) W p tq t 8400 = = = 0 84 p q 0000 89, 93, 0 0 Q P 89, 93 P P ) P Q = 83, 0, 7 = 0, 88 W = 0, 84 Aufgabe 3 a) + ) b) ) 89, 93 89, 93 89, 93 W89, 93 0, 84 = = = 0, 7 L P, 89, 93 x n h H q Q s H + H - (H + H - )q 7 0,6667 0,6667 0,43 0,43 0,6466 0,6667 0,874 3 0,30 0,8797 0,754 0,7065,930,5464 0,459 3 7 0,0648 0,9445 0,57 0,83,9398,84 0,93 4 3 0,078 0,973 0,079 0,904,5863,968 0,378 5 0,085 0,9908 0,0599 0,9640 3,378,963 0,76 6 0,0093 0,0359 3,860,9908 0,075 Summe 08,695 D G =,695 = 0,695 30 0 0 00 90 80 70 60 50 989 990 99 99 993 994 995 996 997 ) Annahme: t = t* = -4, -3,..., 3, 4 * y$ * = a + b t t y t 88 a = = = 0 T 9 y$ * = 0 + 5, 5 t t ty 309 b = = = t 60 ) y$ 4 = 0 + 5, 5 4 =, 6 * 55, P P v) y = 0, 5 y + 0, 5 y = 0, 5 0 + 0, 5, 6 =, 3 5 4 4