Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen In diesem Kapitel geht es um den grundlegenden Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. Die zentrale Aussage ist, dass nach anfänglicher Wahl von Basen in den beteiligten Vektorräumen jeder (geeigneten) Matrix eine lineare Abbildung, und jeder linearen Abbildung eine Matrix (die sog. darstellende Matrix) zugeordnet werden kann. Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n und dim W = m. Wir wollen jeder m n Matrix eine lineare Abbildung V W zuordnen, und umgekehrt jeder linearen Abbildung V W eine m n Matrix, sodass wir einen Isomorphismus M(m n; K) Hom K (V, W ) erhalten. Wichtig: Ein derartiger gesuchter Isomorphismus ist allerdings nicht kanonisch gegeben. Wir müssen zuerst in beiden Vektorräumen Basen wählen, und der Isomorphismus wird dann von den gewählten Basen abhängen. Für das Folgende fixieren wir nun also eine Basis A = (v 1, v 2,, v n ) von V, und eine Basis B = (w 1, w 2,, w m ) von W. I. Die einer Matrix zugeordnete lineare Abbildung Sei A = (a ij ) M(m n; K). Wir definieren eine lineare Abbildung F : V W durch Angabe der Bilder der Basisvektoren. F (v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w 2 + + a m1 w m F (v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w 2 + + a m2 w m F (v n ) = a 1n w 1 + a 2n w 2 + + a mn w m Dies bedeutet: Die j-te Spalte von A ist der Koordinatenvektor von F (v j ) bezüglich der Basis B = (w 1, w 2,, w m ). 1

( 1 3 1 Beispiel. A = 2 0 4 ) (m = 2, n = 3) liefert F : V W mit F (v 1 ) = w 1 + 2w 2, F (v 2 ) = 3w 1, F (v 3 ) = w 1 + 4w 2. Setzen wir L A B (A) = F, dann ist durch diese Vorgangsweise eine Abbildung L A B : M(m n; K) Hom K(V, W ) erklärt. Spezialfall. (siehe vorher) Seien V = K n, W = K m und K bzw. K die kanonischen Basen in K n bzw. K m. Für A = (a ij ) M(m n; K) ist dann F (e 1 ) = (a 11, a 21,, a m1 ) F (e 2 ) = (a 12, a 22,, a m2 ) F (e n ) = (a 1n, a 2n,, a mn ) D.h. F (e j ) ist die j-te Spalte von A. Für ein beliebiges x = (x 1,, x n ) K n gilt somit F (x) = F (x 1 e 1 + + x n e n ) = x 1 F (e 1 ) + + x n F (e n ) = x 1 (a 11, a 21,, a m1 ) + x 2 (a 12, a 22,, a m2 ) + + x n (a 1n, a 2n,, a mn ) = ( n a 1j x j, n a 2j x j,, n a mj x j ). Werden nun x K n und F (x) = L K K (A)(x) als Spaltenvektoren geschrieben, dann kann x als n 1 Matrix, F (x) als m 1 Matrix aufgefaßt werden, und es gilt mit y = F (x) = (y 1, y 2,, y m ) die Beziehung y 1 y 2.. y m = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n 2

wobei auf der rechten Seite die Multiplikation von Matrizen auftritt! Aus diesem Grund verwendet man auch die Schreibweise F (x) = L K K (A)(x) = Ax. Beispiel. ( ) 1 1 2 Sei A = M(2 3; R). A definiert F : R 4 1 3 3 R 2 ( ) x 1 1 2 1 ( F (x) = F ((x 1, x 2, x 3 )) = x 4 1 3 2 x1 x = 2 + 2x 3 4x 1 + x 2 + 3x 3 Im speziellen ist etwa F ((1, 1, 1)) = (Ende des Spezialfalles) ( 2 8 x 3 ). mit ). Zurück zum allgemeinen Fall. Seien nun Φ A : K n V und Φ B : K m W die durch A bzw. B definierten Koordinatensysteme in V bzw. W. Die zentrale Aussage ist nun die, dass das folgende Diagramm kommutativ ist, d.h. Φ B L K K (A) = L A B (A) Φ A : K n W. K n L K K (A) K m Φ A V W L A B (A) Φ B Beweis. Sei x = (x 1,, x n ) K n. Dann ist L K K (A)(x) = Ax = ( n n a 1j x j,, a mj x j ) und 3

Φ B L K K (A)(x) = Φ B (Ax) = ( n a 1j x j )w 1 + + ( n a mj x j )w m. Andererseits ist Φ A (x) = x 1 v 1 + + x n v n und (mit F = L A B (A)) L A B (A) Φ A(x) = L A B (A)(x 1v 1 + + x n v n ) = x 1 F (v 1 ) + + x n F (v n ) = x 1 (a 11 w 1 + + a m1 w m ) + + x n (a 1n w 1 + + a mn w m ) = ( n a 1j x j )w 1 + + ( n a mj x j )w m. Dies bedeutet: Mit F = L A B (A) sei x der Koordinatenvektor von v V bzgl. A. Dann ist y = Ax der Koordinatenvektor von F (v) bzgl. B. Bemerkung. L A B (A) heißt die der Matrix A bzgl. der Basen A und B zugeordnete lineare Abbildung V W. Gilt V = W und A = B, dann schreibt man statt L A B auch L B. II. Die einer linearen Abbildung zugeordnete Matrix Sei nun F : V W eine lineare Abbildung. Für jedes j = 1, 2,, n gibt es dann eindeutig bestimmte Skalare a 1j, a 2j,, a mj sodass F (v j ) = a 1j w 1 + a 2j w 2 + + a mj w m. Auf diese Weise wird eine Matrix M A B (F ) = (a ij) definiert bzw. eine Abbildung M A B : Hom K(V, W ) M(m n; K), F M A B (F ) Man beachte, dass die j-te Spalte von MB A (F ) der Koordinatenvektor von F (v j ) bzgl. der Basis B ist. MB A (F ) heißt die der linearen Abbildung F bzgl. der Basen A und B zugeordnete Matrix (bzw. die darstellende Matrix von F bzgl. A 4

und B). Ist v V und x = x 1 x 2 x n bzw. y = y 1 y 2 y m der Koordinatenvektor von v ( bzw. F (v) ) bzgl. A ( bzw. B ), dann gilt y = M A B (F ) x. Beweis. v = x 1 v 1 + + x n v n F (v) = x 1 F (v 1 ) + + x n F (v n ) = x 1 (a 11 w 1 + a 21 w 2 + + a m1 w m ) + + x n (a 1n w 1 + a 2n w 2 + + a mn w m ) = ( n a 1j x j )w 1 + + ( n a mj x j )w m. Damit ist y i = n a ij x j. Satz. Die Abbildung L A B : M(m n; K) Hom K(V, W ), A L A B (A) ist ein Isomorphismus, dessen Umkehrabbildung durch M A B : Hom K(V, W ) M(m n; K), F M A B (F ) gegeben ist. Beweis. Wir setzen L = L A B und M = M A B. i) L ist linear. Seien A, B M(m n; K) und λ, µ K. Zu v V sei x der Koordinatenvektor von v bzgl. A. L(λA + µb)(v) = L(λA + µb) Φ A (x) = Φ B ((λa + µb)x) = Φ B (λax + µbx) = λφ B (Ax) + µφ B (Bx) = λl(a) Φ A (x) + µl(b) Φ A (x) = λl(a)(v) + µl(b)(v) = 5

(λl(a) + µl(b))(v). Dies gilt für jedes v V und somit L(λA + µb) = λl(a) + µl(b). ii) L ist bijektiv. Für A M(m n; K) gilt: die j-te Spalte von M(L(A)) ist der Koordinatenvektor von L(A)(v j ) bzgl. B. Dies ist aber die j-te Spalte von A. Damit gilt: M L(A) = A bzw. M L = id M(m n;k). Für F Hom K (V, W ) und v V gilt: L(M(F ))(v) = L(M(F )) Φ A (x) = Φ B (M(F )x) = F (v). Also L M(F ) = F bzw. L M = id HomK (V,W ). Damit ist L ein Isomorphismus. Beispiele. 1) Sei V = P 1 mit Basis A = (1, t), W = P 2 mit Basis B = (1, t, t 2 ). 1 1 Wir suchen L A B (A) für A = 2 0. 1 2 Wir wissen: Ist x der Koordinatenvektor von v V bzgl. A, dann ist Ax der Koordinatenvektor von L A B (A)(v) bzgl. B. 1 1 ( ) x 1 x 2 Also, mit v = x 1 1+x 2 t und Ax = 2 0 x1 = 2x x 1 1 2 2 x 1 + 2x 2 gilt L A B (A)(v) = (x 1 x 2 ) 1 + 2x 1 t + (x 1 + 2x 2 ) t 2. Speziell, etwa für v = 1 t, also x 1 = 1, x 2 = 1 ergibt sich damit L A B (A)(v) = 2 + 2t t2. 6

2) Sei A = (v 1, v 2, v 3 ) eine Basis von V = R 3 und B = (w 1, w 2 ) eine Basis von W = R 2. Die lineare Abbildung F : R 3 R 2 sei gegeben durch F (v 1 ) = w 1 + w 2, F (v 2 ) = 2w 1 + w 2, F (v 3 ) = 2w 1 w 2. Dann ist die darstellende Matrix von F bzgl. A, B offenbar gegeben durch ( ) 1 2 2 MB A(F ) =. 1 1 1 Sei etwa (4, 5, 3) der Koordinatenvektor von v bzgl. A, also v = 4v 1 + 5v 2 3v 3. Dann ist F (v) = 4F (v 1 ) + 5F (v 2 ) 3F (v 3 ) = 4(w 1 + w 2 ) + 5(2w 1 + w 2 ) 3(2w 1 w 2 ) = 8w 1 + 12w 2. ( ) 8 Also ist der Koordinatenvektor von F (v) bzgl. B gleich. 12 ( ) 4 ( ) 1 2 2 Beziehungsweise: 5 8 =. 1 1 1 12 3 III. Komposition linearer Abbildungen Seien V, V, V K-Vektorräume mit Basen B, B, B und weiters gelte dim V = n, dim V = m, dim V = r. Wir betrachten lineare Abbildungen F : V V, G : V V und setzen H = G F : V V. Frage. Was ist die darstellende Matrix von H bzgl. B, B? Setze A = M B B (F ) und B = M B B (G) K n x Ax K m y By K r Φ B V Φ B F V G V Φ B 7

Für v V sei x der Koordinatenvektor von v bzgl. B, y der Koordinatenvektor von F (v) bzgl. B, z der Koordinatenvektor von G(F (v)) bzgl. B. Dann ist z = By und mit y = Ax folgt, dass z = B(Ax) = (BA)x. Damit: M B B (G F ) = BA = M B B (G) M B B (F ) D.h. die darstellende Matrix der Komposition von zwei linearen Abbildungen ist das Produkt der einzelnen darstellenden Matrizen. Analog zeigt man für A M(m n; K) und B M(r m; K), dass L B B (BA) = L B B (B) L B B (A). 8