1. Kreis Umfang: u= π r Fläche: A=π r Grosses Quadrat: Umfang: u=8 Fläche: A=4 Kleines Quadrat: Umfang: u=4 Fläche: A= Mittelwerte Umfang: u=4+ =6.884 Fläche: A=3 Auszählen der Quadrate: aussen: 88 innen: 60 Mittelwert: 7 A =.88 Grosses Oktagon: Umfang: u=16 ( 1)=6.674 Fläche: A=8 ( 1)=3.3137 Kleines Oktagon: Umfang: u=16 ( )=6.19 Fläche: Mittelwerte Umfang: Fläche: A=4 =3.0615 u=6.4757 A=3.1876 Winkel für die Berechnungen: Quadrat cos 45 =sin 45 = 1 = tg 45 =1 Gleichseitiges Dreieck sin 30 = 1 cos30 = 3 tg 30 = 1 3 = 3 3 Leitfaden.Kreiselemente.018 1 16
sin 60 = 3 cos60 = 1 1 =1 tg 60 = 3 DB=1 1 = CB =( ) +( = +4 4 + = CB= 4 1 1 sin.5 = = =0,38683 ) 1 sin 67.5 = = = + =0.938795 Zusammenfassung 1 4 = 4+ 8 sin.5 = sin 67.5 = + cos.5 = + cos67.5 = tan.5 = 1 tan 67.5 = +1 Aufgabe 1 Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang der gelben Fläche. A= 1 π r u= π r Aufgabe Zeichne einen Kreis mit a) 10 cm ; b) 5 cm, c) 40 cm d) 74 cm Flächeninhalt! Welchen Radius musst du in den Zirkel nehmen? (Runde sinnvoll!) Leitfaden.Kreiselemente.018 16
A=π r r= A π a) r = 1.78 cm b) r =.8 cm d) r =4.85 cm Aufgabe 3 Zwei Lüftungsrohre (d 1 = 43 cm, d = 6 cm) sollen durch ein Rohr ersetzt werden. Dabei soll die Gesamtquerschnittfläche unverändert bleiben. Wie gross ist der Radius des neuen Rohres? d = 43 +6 =75.45cm Aufgabe 4 Der Durchmesser d eines Kreises wird im Gesamten um b verlängert. Die gesamte Kreisfläche beträgt nun das a-fache (a > 1) der ursprünglichen Kreisfläche. Bestimmen Sie d in Abhängigkeit der Parameter a und b. A 0 = π 4 d A 1 = π 4 (d+b) a= A 1 A 0 = (d+b) d a= d+b d d= b a 1 Aufgabe 5 Berechnen Sie die Fläche F des schraffierten Trapezes im Halbkreis. (Der Durchmesser ist in 0 mm, 50 mm und 10 mm aufgeteilt.) r = 40 mm h 0 = 40 0 =34.641mm h 10 = 40 30 =6.458 mm m=30.545 A=30.545 50=157.5 mm Aufgabe 6 Einem Quadrat mit der Seitenlänge a = 5 cm wird ein Kreis umschrieben. Jeder Quadratseite wird ein Halbkreis aufgesetzt. Gib eine möglichst einfache Formel für die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt der dadurch entstandenen Monde an und berechne anschliessend den Wert. a) a = 5 cm Aufgabe 7 Leitfaden.Kreiselemente.018 3 16
Berechne die dick umrahmte Fläche und die Länge der dicken Linien: a = 10 cm Halbkreise: d a a Mittelkreis: d a (4-9 / 16 π) = 3.85 cm Aufgabe 8 Der Erdradius beträgt 6378 km. a) Wie lang müsste ein Seil sein, damit man es in der Höhe des Äquators um die Erde spannen könnte? c) Stellen Sie sich vor, Sie könnten dieses Seil um 1 m verlängern und in gleichmässigem Abstand um die Erde spannen. Kann eine Maus unten durchschlüpfen? x 0.16 m Aufgabe 9 Berechnen Sie den Inhalt der getönten Fläche aus dem Radius r des grössten Kreises und dem Radius a der beiden kleinen Halbkreise. r a Aufgabe 10 In ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge s werden mit den Ecken als Mittelpunkt drei gleich grosse Kreisbögen gezeichnet. Berechnen Sie den Umfang und den Inhalt des entstehenden Kreisdreiecks exakt. s 3 8 Aufgabe 11 Ein Satellit umkreist die Erde in einer Höhe von 380 km. Um wie viele Prozent ist seine Bahn länger als der Erdumfang? (Erdumfang: 40'000km, Erdradius: 6370km) Die Bahn des Satelliten ist um circa 6% länger als der Erdumfang. Aufgabe 1 Aus einem gleichseitigen Dreieck mit der Seite a = 6 ist ein möglichst grosser Kreis auszuschneiden. Wie viele Prozent beträgt der Abfall? Leitfaden.Kreiselemente.018 4 16
A Dreieck = 1 a 3 a= 3 4 a r= 1 h= 3 3 6 a A Kreis=π r = π 1 a A Kreis A Dreieck = π 1 3 4 = π =0,604599 39.54% 3 3 Aufgabe 13 Weisen Sie nach, dass im rechtwinkligen Dreieck die Halbkreise über den Katheten zusammen den gleichen Inhalt haben wie der Halbkreis über der Hypotenuse. Zeigen Sie, dass die Möndchen zusammen denselben Inhalt haben, wie das rechtwinklige Dreieck. A = 0.5 ab Aufgabe 14 Berechnen Sie Umfang und Flächeninhalt der schraffierten Figur: A schraffiert =A Viertelkreisgross A Quadrat A Viertelkreisklein 1 4 π 1 6 1 4 π 6 =18π 36=0,5486 Aufgabe 15 Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Möndchen des Hippokrates: A Halbkreis = π 4 r A Segment =A Sektor A Dreieck = π 4 r r A Möndchen = π 4 r π r +r =r π 4 r =0.14 r Hinweis:Mit den Möndchen des Hippokrates, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, konnte man bereits Leitfaden.Kreiselemente.018 5 16
im antiken Griechenland nachweisen, dass auch krummlinig begrenzte Flächenstücke durch rationale Zahlen berechnet werden können. Aufgabe 16 Das Rad eines Zuges hat einen Durchmesser von 95 cm. a.) Wie viele Umdrehungen kommen auf 1 km Fahrstrecke? b.) Wie oft dreht sich das Rad auf dem Weg von Hannover nach München (645 km)? c.) Wie oft dreht es sich in 1 Sekunde bei einer Geschwindigkeit von 180 Kilometer/Stunde? u=π d =, 98 m a) n=336 b) n=16 44 c) f =50/.98=16.77 Hz Aufgabe 17 Berechnen Sie die schraffierte Fläche A schraffiert =8 ( π 16 1 8) a = ( π 1 ) a =0.570 a Aufgabe 18 Nachweis dafür, dass die schraffierte Fläche Asund die graue Fläche Aggleich gross sind. r= R 3 A schraffiert=π r = π 9 R Leitfaden.Kreiselemente.018 6 16
A grau = π R 3.5 A schraffiert = 9 18 π R 7 18 π R = 18 π R = A schraffiert Aufgabe 19 Bestimme den Flächeninhalt (A) und den Umfang (u) der folgenden Figuren. Benutze dazu die angegebenen Werte in der Zeichnung (angegeben in cm) und führe danach die Berechnungen im Hausheft aus.. Kreisring Als Kreisring bezeichnet man die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen, d.h. zwischen zwei Kreisen mit gemeinsamem Mittelpunkt. Sein Flächeninhalt beträgt: A=π ( R r )= π 4 (D d ), wobei π die Kreiszahl ist und R und r die Radien sowie D und d die Durchmesser des Aussen- bzw. des Innenkreises bedeuten. Der Flächeninhalt kann auch aus Innendurchmesser d bzw. Aussendurchmesser D und Ringbreite b errechnet werden: A=π ( D b) b=π (d +b) b Aufgabe 0 Leitfaden.Kreiselemente.018 7 16
Berechne die Fläche des Kreisrings! a) r 1 = cm, r = 1 cm b) r 1 = 5.6 cm, r = 3.1 cm c) r 1 = 10.3 cm, r = 4.9 cm A=π(r 1 r )=π(r 1 r ) (r 1 +r ) Aufgabe 1 a) A=π 1 3=3π=9.448=9.4cm b) A=π.5 8.7=68.39640=68.33cm c) A=π 15. 5.4=57.8619=57.86 cm a) b) c) d) e) f) r 1 6. cm 10. dm 6. dm r 1 cm 5. cm.3 cm A 3.4 cm 10 cm 54.7 cm 90.4 dm 398.65 cm 11.66 dm a) A =3.14 A 1 =6.54 r 1 = b) A 1 =π 6. =10.768 A =18.76 r = c) A =3.14 5. =84.9486 A 1 =339.6486 r 1 = d) A 1 =π 10. =36.8513 A =36.4513 r = e) A =3.14.3 =16.6190 A 1 =415.690 r 1 = A 1 π =.9065 A A 1 A π =.4438 π =10.3977 π =3.4063 A 1 π =11.4971 f) A 1 =3.14 6. =10.768 A =8.108 r = A π =1.6060 Aufgabe Leitfaden.Kreiselemente.018 8 16
Die Fläche eines annähernd kreisrund angelegten Waldes soll durch Aufforstung verdoppelt werden (siehe Skizze). a) Welchen Durchmesser hat das Waldgebiet nach der Aufforstung? b) Wie lange braucht der Förster vor bzw. nach der Aufforstung für einen Rundgang um den Wald, wenn er mit 5 km/h geht? d = d 0 =565 m Aufgabe 3 Wie gross ist der äussere Radius eines Kreisringes, wenn der innere Kreis den Umfang u 1 = 3.4 cm hat und der Flächeninhalt des Kreisringes A = 35cm beträgt? r ist ziemlich genau 5 cm Aufgabe 4 Gegeben ist ein reguläres 6-Eck mit der Seitenlänge 4 cm. Der In- und der Umkreis des 6-Ecks bilden einen Kreisring. Wie gross ist sein Flächeninhalt? r Umkreis =4 cm r Inkreis = 3 4 cm= 3cm A Umkreis =16π cm 3 A Inkreis =1π cm 3 A Kreisring =4 π cm 3 Aufgabe 5 Gegeben sind zwei konzentrische Kreise mit den Radien a und b, wobei a < b. (a) Berechnen Sie den Radius r eines Kreises, der denselben Inhalt hat wie der Kreisring zwischen den beiden gegebenen Kreisen. Bestimmen Sie anschließend mit dem TR den Wert von r für a = 4,5 cm und b = 6,5 cm. (b) Konstruieren Sie den Radius r für a = 4,5 cm und b = 6,5 cm. Erläutern Sie Ihre Konstruktion in einem kurzen Text. (a) r b a 4. 7cm (b) Thaleskreis, Satz des Pythagoras 3. Kreissektor Leitfaden.Kreiselemente.018 9 16
Kreissektor (Kreisausschnitt) nennt man in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzt wird. Einfacher gesagt: Ein Kreissektor sieht aus wie ein Tortenstück, das man von oben betrachtet. Gradmass in Bogenmass: Bogen b=π r φ 360 = φ r Fläche A=π r φ 360 =1 r φ φ= π φ φ Bogenmass in Gradmass: φ=360 360 π φ 0 90 10 60 360 φ 0 π 3 π π π 6 Aufgabe 6 Der grosse Zeiger einer Turmuhr ist 1,5 m lang, der kleine 1,1 m lang. a.) Berechne den Weg, den die Zeigerspitzen in einer Stunde, an einem Tag, in einem Jahr zurücklegen. b.) Berechne die Fläche des Sektors, den der grosse (kleine) Zeiger in 10 (5) Minuten überstrichen hat. a) Grosser Zeiger Stunde 9.4477 m Tag 6. m Jahr 8.617 km Kleiner Zeiger Stunde 0.576 m Tag 13.8 m Jahr 5.048 km b) α=60 A=π r φ 360 = π 1.5 1 =1.17809 6 α=1.5 A=π r φ 360 = π 1.1 1.5 =0.131990 360 Aufgabe 7 Von einem Kreissektor kennt man: r = 5 mm, = 9. Berechne den Flächeninhalt. A =158.17 mm Aufgabe 8 Leitfaden.Kreiselemente.018 10 16
Aus einem kreisförmigen Karton mit r = 15 cm wird die dargestellte Figur ausgeschnitten. Berechne a) den Umfang der Figur, b) den Flächeninhalt der Figur. a) u= r+ 75 360 π= r+ 5 π r=3.308 r=49.63 cm 1 A= 75 360 π r = 75 15 15 π=147.615 cm 360 Aufgabe 9 Von einem Kreissektor kennt man: r = 30 mm, A = 350 mm. Berechne den Zentriwinkel = 44.56 Aufgabe 30 Von einem Kreissektor kennt man: r = 37 mm, (Bogenlänge) b = 5 mm. Berechne den Flächeninhalt. = 38.71 A= b r =46.5 mm b=π r φ 360 α= b 360 =38.7133 π r Aufgabe 31 Von einem Kreissektor sind die Länge des Kreisbogens und der Zentriwinkel gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Kreissektors. (b = 31,4 cm; = 150 ). r = 11.9939 = 1 cm A= 188.496 cm Aufgabe 3 Betrachten Sie einen Kreisbogen mit Mittelpunkt M, Winkel φ = π/5 und Bogenlänge b = 8 m. a) Berechnen Sie den Winkel. b) Berechnen Sie die Länge s der Sehne. c) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks mit den Ecken M, A und B. a)φ = π/5 = 36 ω = 7 b) b= φ 5 b π r r= 360 π =1.73 m sin φ = s r s=r sin φ =9.405 m c) A= 1 r sin φ=18.81 m Leitfaden.Kreiselemente.018 11 16
Aufgabe 33 Der Scheibenwischer eines Fiat-UNO besitzt einen Wischergummi der Länge 48cm. Das Ende des Gummis ist cm von Drehpunkt des Wischers entfernt. Welche Fläche wird überstrichen, wenn der Winkel 155 beträgt? A 59.73 dm Aufgabe 34 Ein Kreissektor vom Radius r mit dem Mittelpunktswinkel μ ist flächengleich zu einem Quadrat mit der Seitenlänge r. Begründen Sie anschaulich μ > 90º und berechnen Sie μ im Gradmass. μ = 360º: π = 114.6º Aufgabe 35 In einem Kreissektor mit dem Radius a und dem Zentriwinkel α (α 180 ) wird der Inkreis mit dem Radius r gezeichnet. Wie gross ist der Inkreisradius r in Abhängigkeit von a und α? (allg. Formel) r= a 1+ 1 sin α Aufgabe 36 Wie gross ist der Zentriwinkel α eines Kreissektors, dessen Inhalt gleich gross ist wie das dem Kreis eingeschriebene Quadrat mit der Seite s? ( r) = α 360 π r α= 360 π =9.18 Aufgabe 37 Berechnen Sie die schraffierten Flächen exakt! Leitfaden.Kreiselemente.018 1 16
a) A 9 b) A 9 3 9 1.5 = 5.13-3.6= 1.87 Aufgabe 38 Zwei Orte liegen auf demselben Längenkreis im Abstand 1. Berechnen Sie ihre Entfernung. (Erdradius: 6370km) 111 km Aufgabe 39 In einen Kreis mit r = 6 cm ist ein Sektor mit der Fläche 5 cm² eingetragen. a.) Wie gross ist der Mittelpunktswinkel des Sektors? b.) Wie gross ist dzent des Umfangs entspricht die Bogenlänge? a) 1.38 b) 8.33 cm c).1 % Aufgabe 40 Im Bild rechts sind der Winkel = 11 und der Radius r = 1cm gegeben. Berechnen Sie die Bogenlänge b und die Sektorfläche A! Aufgabe 41 Der Breitenkreis eines Punktes P auf der Nordhalbkugel hat den Radius 1000km. (Hinweis: Erdradius 6370 km) 1. Wie gross ist die geographische Breite des Punktes P?. Der Punkt Q liegt auf demselben Breitenkreis und hat von P die Entfernung 500 km. Um wie viele Grade unterscheiden sich die geographischen Längen der beiden Punkte? Aufgabe 4 Leitfaden.Kreiselemente.018 13 16
Berechnen Sie den Flächeninhalt der grauen Fläche, wenn die Kreisradien 6 cm, 8 cm und 11 cm lang sind. Aufgabe 43 Einem Kreissektor mit Radius r = und dem Zentriwinkel 60 ist ein Quadrat so einbeschrieben, dass die beiden oberen Ecken auf dem Kreisbogen liegen, die anderen beiden Ecken je auf einem Radius. Berechnen Sie die Seitenlänge s des Quadrates. r/ r =cos15 s= s cos15 = =1.0357=1.035 cm cos15 4. Kreissegment Sehne s= r sin( α ) Fläche A=π r α 360 1 r sin α A=π r α 360 r sin α cos α Aufgabe 44 Von einem Kreissegment ist die Länge des Kreisbogens [b] und der Sehne [s] bekannt. Daraus soll die Segmenthöhe [h] berechnet werden. Aufgabe 45 Leitfaden.Kreiselemente.018 14 16
Berechne die Fläche eines Kreissegmentes für den Mittelpunktswinkel α = 90 und den Kreisradius r = 5 cm. A = 19.635 cm 1.5 cm = 7.135 cm Aufgabe 46 Berechne die Fläche eines Kreissegmentes für den Mittelpunktswinkel α = 140 und den Kreisradius r = 5 cm. A = 30.543 cm - 8.034 cm =.508 cm Aufgabe 47 In einem Kreis mit Radius r = 3.6 cm ist ein Sektor mit dem Mittelpunktswinkel 10 gegeben. Berechnen Sie exakt: a) die Bogenlänge b) die Fläche des Sektors c) die Fläche des gemusterten Segments. a) b=.4 π cm = 7.53 cm b) A Sektor = 4.3 π cm = 13.57 cm a) A Segment = 4.3 π cm 5.59 cm = 7.95 cm Aufgabe 48 Ein Kreisring mit den Radien R und r (r < R) hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreissektor mit dem Radius R und dem Mittelpunktswinkel α = 45º. (a) Leiten Sie einen Zusammenhang zwischen r und R her! (b) Berechnen und konstruieren Sie r für R = 6 cm. 1 (a) r R (b) r = 4, cm; Konstruktion eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit R als Hypotenuse Aufgabe 49 Die Mittelmeerstädte Livorno (L) und Bastia (B) auf Korsika liegen 10 km voneinander entfernt, d.h. in der Skizze unten ist die Bogenlänge b = 10 km. (Erdradius r = 6370 km). a) Berechnen Sie die Höhe h b) Wie hoch müsste man einen Turm in Livorno bauen, um von seiner Spitze aus Bastia zu sehen. Leitfaden.Kreiselemente.018 15 16
5. Polygone Aufgabe 50 Zur Herstellung von Muttern benötigt man Rohlinge aus Eisen (Dichte 7.8 g cm3 ), welche die Form eines Hohlkörpers haben (sehen Sie die Zeichnung). Wie viele solcher Rohlinge lassen sich aus 15 kg Eisen herstellen, falls der Durchmesser der Bohrung 6 mm beträgt? Aufgabe 51 Berechnen Sie die Fläche des Inkreises eines regulären Neunecks, dessen Seitenlänge 10 cm beträgt. s s α=40 =tan 40 h= h tan 40 A=9 1 s h= 9 4 tan 40 s =, 681 s =68.1cm Aufgabe 5 Wie gross ist der Flächeninhalt eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regulären 13-Ecks? A=13 1 360 sin( )=3.007 r 13 Aufgabe 53 ** Die 50-Cent-Münze von Zypern hat die Form eines regelmässigen 7-Ecks. Auf der einen Seite ist ein Rechteck so einbeschrieben, dass zwei Rechteckecken mit den Ecken des 7-Ecks zusammenfallen. Berechnen Sie die Rechteckseiten aus der Seite s des 7-Ecks. Leitfaden.Kreiselemente.018 16 16