Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten Zahlen m Pascalschen Dreeck (her fürk, n 4 3 3 4 6 4 5 5 de fettgedruckte umrahmte Zahl ergbt, und Analoges für jede andere Summe entlang ener solche Dagonalen, de am rechten Rand des Dreecks begnnt. b De behauptete Formel n k n k n wurde n der Vorlesung schon für k n bewesen, so daß wr uns nur noch um den Fall k,n < k kümmern müssen. Dann st aber ( n k nach unserer Festlegung, und es st nur zu zegen, daß ( n k n k glt. Her gbt es nun zwe Fälle: Istn < k, so glt auchn < k, und bede Seten ergeben. Andernfalls st n k, und dann lefert de lnke Sete ( k sowe de rechte ( k k, so daß de beden Seten auch her überenstmmen. Das Pascalsche Dreeck st durch unsere zusätzlche Dmenson nach rechts durch enen (unendlchen Haufen von Nullen ergänzt worden; de Formel besagt nun, daß auch n desem ergänzen Dreeck jeder Entrag de Summe der beden drekt darüberstehenden st: k 3 3 4 6 4 5 5
c Da de Rekursonsformel für de Fbonacc-Folge mmer auf de letzten zwe Folgengleder zurückgreft, werden wr auch den Induktonsanfang für de ersten zwe Fälle beretstellen müssen: Für n st n x, und für n st n x. Für den Induktonsschrtt,,...,n n se nunn und de Behauptung für,,...,n bewesen. Zu untersuchen st nun das Folgengled x (n x n, und unter Verwendung der Rekursonsformel für de Fbonacc-Zahlen können wr rechnen: x n x n x n (Induktonsvoraussetzung anwenden... n (n n (Indexverschebung... (n ( n (Summen zusammenfassen... ( n n n (Formel aus b... ( n n n, ( und das st de behauptete Glechung für n. Im Umformungsschrtt ( haben wr dabe verwendet, daß n n (n und n glt. Für de Veranschaulchung deser Aussage lasse ch de n b engezechneten Nullen weg, wel se den Wert ener Summe ncht mehr ändern. Dann bedeutet unsere Formel: 3 5 8 3 3 4 6 4 5 5
Aufgabe. a Genau zu jeder Menge von zween der Personen fndet en Händedruck statt; es gbt also so vele Händedrücke we zweelementge Telmengen ener Menge mt Elementen, und deren Anzahl beträgt 9 9. b Ene möglche Art zu zählen wäre de folgende: Verabschedet sch en Ehepaar von enem anderen, werden 4 Händedrücke ausgetauscht. Das passert genau so oft, we Mengen aus zwe Ehepaaren gbt, also ( 5 mal. Insgesamt werden also Händedrücke ausgetauscht. ( 5 5 4 4 Alternatve Zählwese: De Stuaton st we n a mt 3 Personen, mt dem Untersched, daß sch Eheleute ncht vonenander verabscheden, wel se ja gemensam nach Hause gehen. Von allen ( 3 möglchen Händedruckpaaren fnden also5 ncht statt, so daß zu nsgesamt 3 5 3 9 5 4 Händedrücken kommt. Verschedene Möglchketen, de selbe kombnatorsche Größe zu zählen, führen oft zu eleganten Bewesen für Formeln mt Bnomalkoeffzenten: Verallgemenern wr von 5 auf n Ehepaare, so bewesen unsere beden Zählvaranten de Formel n n n für allen (de man natürlch auch drekt rechnersch überprüfen, aber vellecht ncht so lecht entdecken könnte. c Be jedem Absched enes Ehepaars von enem anderen werden 4 Küßchen ausgetauscht (zwe unter den Damen, jewels ener vom enen Herrn an de andere Dame und umgekehrt. Da wr schon gesehen haben, daß ( 5 Abschede von Ehepaaren stattfnden, werden nsgesamt Aufgabe 3. Küßchen gegeben. ( 5 5 4 4 Ebenso fnden be jedem Absched zweer Ehepaare dre Händedrücke statt (nämlch je ener zwschen allen Kombnatonen außer den beden Damen. Damt werden nsgesamt 5 3 3 5 4 35 Händedrücke getauscht. a ( Be unterschedbaren hat jeder Autofahrer nachenenader de free Wahl zwschen den dre Spuren; nsgesamt gbt es dafür3 3.594.33 Möglchketen. Begründung am Urnenmodell: De Entschedung enes Autofahrers für ene Spur st das Zehen ener Kugel aus ener Urne mt dre Kugeln Spuren mt Zurücklegen (denn ene Spur wrd ncht verbraucht, wenn en Autofahrer sch für se entscheden hat mt Beachtung der Rehenfolge (denn wr vermerken, welches Auto sch gerade für ene Spur entscheden hat. Für das Zehen vonk 3 Kugeln aus ener Urne mtn 3 Kugeln mt Zurücklegen und Beachtung der Rehenfolge gbt es laut Vorlesungn k 3 3 Möglchketen.
( Be ncht unterschedbaren Autos wrd ene Konfguraton nur dadurch beschreben, an welcher Spur wevele Autos stehen (ohne daß es darauf ankäme, welches Auto nun genau auf welcher Spur steht; m Urnenmodell von ( äußert sch dese Änderung darn, daß nunmehr ohne Beachtung der Rehenfolge gezogen wrd. Für das Zehen von k 3 Kugeln aus ener Urne mt n 3 Kugeln mt Zurücklegen ohne Beachtung der Rehenfolge gbt es aber laut Vorlesung (nk 33 5 5 5 4 k 3 3 5 Möglchketen. b ( Be unterschedbaren Autos hat der erste ankommende Fahrer de free Wahl zwschen dre Spuren; der nächste nur noch de Wahl zwschen den beden Spuren, de noch fre snd, und der drtte ankommende Fahrer fährt dann an de noch free Spur. Danach steht an jeder Spur genau en Auto, und für de nächsten Autofahrer wederholt sch das Spel (für hre Entschedung st es egal, wevele vollständge Rehen schon vorne an der Ampel stehen. Insgesamt gbt es also Aufgabe 4. a Es st möglche Konfguratonen. 3 3 3 3 3 }{{} 3 5 4 4 3.888 3 Autos ( Be ncht unterschedbaren Autos wrd der Vorgang genauso ablaufen, we unter ( beschreben am Ende werden also de ersten Autos sch glechmäßg auf de dre Spuren vertelt haben (dafür gbt es, be ncht unterschedbaren Autos, nur ene enzge Möglchket!, und das drezehnte Auto hat de Wahl zwschen ener der Spuren. Insgesamt gbt es her also 3 Möglchketen, de sch nur durch de Spur unterscheden, auf dem das drezehnte Auto steht. sowe σ τ τ σ 3 4 5 6 5 6 4 3 3 4 5 6 5 4 6 3 3 4 5 6 5 4 6 3 3 4 5 6 5 6 4 3 3 4 5 6 4 3 6 5 3 4 5 6. 4 3 5 6 (Insbesondere seht man, daß σ τ τ σ st. Außerdem ergbt sch 3 4 5 6 3 4 5 6 σ soweτ. 4 6 5 3 3 6 5 4 b Wr erhalten 3 4 5 6 σ σ, 5 6 4 3 σ σ σ, 5 6 4 3 5 6 4 3 5 4 3 6 σ 3 σ σ, 5 4 3 6 5 6 4 3 4 6 5 3 σ 4 σ 3 σ d. 4 6 5 3 5 6 4 3 3 4 5 6
Damt ergbt sch weter σ 5 σ 4 σ d σ σ, entsprechend σ 6 σ usw., und de allgemenen Formeln lautet: Für allek N st σ 4k (σ 4 k d k d, σ 4k σ 4k σ d σ σ, σ 4k σ 4k σ d σ σ, σ 4k3 σ 4k σ 3 d σ 3 σ 3. Für de Potenzen von τ erhalten wr 3 4 5 6 τ τ, 5 4 6 3 τ τ τ, 5 4 6 3 5 4 6 3 3 6 5 4 τ 3 τ τ d. 3 6 5 4 5 4 6 3 3 4 5 6 Für allek N heßt das τ 3k (τ 3 k d k d, τ 3k τ 3k τ d τ τ, τ 3k τ 3k τ d τ τ.