Inverse der Verwandtschaftsmatrix

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Transkript:

Qualitas AG Inverse der Verwandtschaftsmatrix Peter von Rohr

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 2 / 26 Inverse einer Matrix Definition Gegeben eine quadratische Matrix A Finde eine quadratische Matrix B so, dass gilt wobei I = 1 0 0... 0 1 0... 0 0 1............... B A = A B = I die Einheitsmatrix

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 3 / 26 Berechnung der Inversen Gauss-Jordan Schreibe die gesuchte Matrix B = [ b 1 b 2... ] b n und die Einheitsmatrix I = [ e 1 e 2... ] e n je als Sequenz von Kolonnenvektoren Löse die Gleichungssysteme für j = 1,..., n A b j = e j

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 4 / 26 Beispiel für Gauss-Jordan [ ] 8 4 Gegeben ist die Matrix A = 4 3 Folgende Schreibweise für das Lösen der Gleichungen [ ] 8 4 1 0 [A I] = 4 3 0 1 Elimination von Koeffizienten auf der linken Seite bis links I und rechts B steht

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 5 / 26 Rechenschritte für Gauss-Jordan Schritt 1 - Element a 11 muss eine 1 sein erste Zeile durch 8 teilen [ ] [ ] 8 4 1 0 1 0.5 0.125 0 4 3 0 1 4 3 0 1 Schritt 2 - Element a 21 muss eine 0 sein vier mal erste Zeile von zweiten abziehen [ ] [ ] 1 0.5 0.125 0 1 0.5 0.125 0 4 3 0 1 0 1 0.5 1 Schritt 3 - Element a 12 muss eine 0 sein erste Zeile minus die Hälfte der zweiten Zeile [ ] [ ] 1 0.5 0.125 0 1 0 0.375 0.5 = [I B] 0 1 0.5 1 0 1 0.5 1

Cramersche Regel Lösung für Gleichungssystem A b j = e j Das i te Element des Lösungsvektors b j entspricht (b j ) i = det(a i) det(a) Matrix A i entsteht durch Ersetzen der i-ten Spalte von A mit dem Einheitsvektor Determinante n det(a) = ( 1) i+j a ij det(a ij ) i=1 wobei A ij die Untermatrix von A ist, welche durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Kolonne entsteht Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 6 / 26

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 7 / 26 Cramersche Regel II In (b j ) i = det(a i) det(a) wird det(a i ) nach der Zeile entwickelt, d.h. es wird über die Kolonne summiert, welche durch den Einheitsvektor ersetzt wurde Somit ist det(a i ) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) i=1 wobei alle a ij = 0 sind ausser eines ist gleich 1 Es folgt det(a i ) = ( 1) i+j det(a ij )

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 8 / 26 Beispiel für Cramersche Regel Element b ij der Inversen kann berechnet werden als Für A = [ 8 4 4 3 ] b 11 = 1 8 3 = 0.375 b ij = b 12 = 1 8 ( 1) 4 = 0.5 b 21 = 1 8 ( 1) 4 = 0.5 b 22 = 1 8 8 = 1 1 ( ( 1) i+j det(a ij ) ) det(a)

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 9 / 26 Anwendung für Verwandtschaftsmatrix Gauss-Jordan und vor allem Cramer sind sehr aufwänding und ungenau für grosse Matrizen Verwandtschaftmatrix hat spezielle Eigenschaften, welche wir ausnützen wollen, z.bsp Symmetrie, d,h, A = A T und positiv-definit, d.h., Eigenwerte λ > 0, welche erfüllen A x = λx Regeln für Inverse eines Produktes die Inverse von A ist dann A = X Y Z A 1 = Z 1 Y 1 X 1 da A A 1 = X Y Z Z 1 Y 1 X 1 = I

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 10 / 26 Zerlegung der Verwandtschaftsmatrix Symmetrische, positive-definite Matrizen A können in folgendes Produkt zerlegt werden A = U U T wobei L eine untere Dreiecksmatrix ist Diese Zerlegung heisst Cholesky-Zerlegung In R wird diese Zerlegung mit der Funktion chol() berechnet Variante der Cholesky-Zerlegung A = L D L T wobei L eine untere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonalen und D eine Diagonalmatrix ist

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 11 / 26 Berechnung der Matrizen L und D Definiert man U = L S, wobei D = S S, dann ist A = U U T = L S (L S) T = L S S T L T = L D L T S ist eine Diagonalmatrix wobei Elemente von S der Wurzel der Elemente von D entsprechen Somit ist L = U S 1 U und D können mit R bestimmt werden Wichtig die Funktion chol() in R macht die Zerlegung A = U T U, welche dank Symmetrie völlig äquivalent ist, aber bei der Kontrolle muss man aufpassen.

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 12 / 26 Bestimmung von U und D mit R Diagonalmatrix D (und somit S) kann mit der Funktion Dmat() aus Package pedigreemm bestimmt werden Matrix U kann mit Funktion chol() bestimmt werden Für ein Beispielpedigree ohne Inzucht > library(pedigreemm) > pednoib <- pedigree(sire = as.integer(c(na,na,1, 1,4,4)), + dam = as.integer(c(na,na,2,na,2,2)), + label = as.character(1:6)) > spmatanoib <- geta(pednoib)

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 13 / 26 Beispiel Pedigree > print(pednoib) sire dam 1 <NA> <NA> 2 <NA> <NA> 3 1 2 4 1 <NA> 5 4 2 6 4 2

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 14 / 26 Verwandtschaftsmatrix zum Beispiel > print(spmatanoib) 6 x 6 sparse Matrix of class "dscmatrix" 1 2 3 4 5 6 1 1.00. 0.500 0.50 0.250 0.250 2. 1.0 0.500. 0.500 0.500 3 0.50 0.5 1.000 0.25 0.375 0.375 4 0.50. 0.250 1.00 0.500 0.500 5 0.25 0.5 0.375 0.50 1.000 0.500 6 0.25 0.5 0.375 0.50 0.500 1.000 Sparse Matrix heisst, es werden nur Elemente <> 0 gespeichert, überall wo ein Punkt steht, da ist das Element = 0

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 15 / 26 Verwandtschaftsmatrix als normale Matrix > matanoib <- as.matrix(spmatanoib) > print(matanoib) 1 2 3 4 5 6 1 1.00 0.0 0.500 0.50 0.250 0.250 2 0.00 1.0 0.500 0.00 0.500 0.500 3 0.50 0.5 1.000 0.25 0.375 0.375 4 0.50 0.0 0.250 1.00 0.500 0.500 5 0.25 0.5 0.375 0.50 1.000 0.500 6 0.25 0.5 0.375 0.50 0.500 1.000 Tiere sind nicht ingezüchtet, alle Diagonalelemente = 1

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 16 / 26 Zerlegung der Verwandtschaftsmatrix U T Matrix U T > (matcholut <- chol(matanoib)) 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0.5000000 0.5000000 0.2500000 0.2500000 2 0 1 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.5000000 3 0 0 0.7071068 0.0000000 0.0000000 0.0000000 4 0 0 0.0000000 0.8660254 0.4330127 0.4330127 5 0 0 0.0000000 0.0000000 0.7071068 0.0000000 6 0 0 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.7071068

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 17 / 26 Zerlegung der Verwandtschaftsmatrix S Matrizen D, S und S 1 > vecd <- Dmat(pedNoIb) > matd <- diag(vecd) > (matsinv <- diag(1/sqrt(vecd))) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 1 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 [2,] 0 1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 [3,] 0 0 1.414214 0.000000 0.000000 0.000000 [4,] 0 0 0.000000 1.154701 0.000000 0.000000 [5,] 0 0 0.000000 0.000000 1.414214 0.000000 [6,] 0 0 0.000000 0.000000 0.000000 1.414214

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 18 / 26 Zerlegung der Verwandtschaftsmatrix L T Matrix L T > (matlt <- matsinv %*% matcholut) 1 2 3 4 5 6 [1,] 1 0 0.5 0.5 0.25 0.25 [2,] 0 1 0.5 0.0 0.50 0.50 [3,] 0 0 1.0 0.0 0.00 0.00 [4,] 0 0 0.0 1.0 0.50 0.50 [5,] 0 0 0.0 0.0 1.00 0.00 [6,] 0 0 0.0 0.0 0.00 1.00

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 19 / 26 Kontrolle der Zerlegung Matrixmultiplikation A = L D L T > (t(matlt) %*% matd %*% matlt - matanoib) 1 2 3 4 5 6 1 0 0 0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 2 0 0 0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 3 0 0 0 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 4 0 0 0 1.110223e-16 5.551115e-17 5.551115e-17 5 0 0 0 5.551115e-17 0.000000e+00 0.000000e+00 6 0 0 0 5.551115e-17 0.000000e+00 0.000000e+00

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 20 / 26 Allgemeine Berechnung der Matrizen D und L A = L D L T = 1 0 0 L 21 1 0 L 31 L 32 1 D 1 0 0 0 D 2 0 0 0 D 3 1 L 21 L 31 0 1 L 32 0 0 1 Für die Elemente in D und L gelten folgende rekursive Beziehungen D j = A jj j 1 k=1 L2 jk D k ( L ij = 1 D j A ij j 1 k=1 L ikl jk D k ), für i > j

Matrix L für Verwandtschaftsmatrix Diagonalelement für Tier i: L ii = 1 Für Tiere i mit bekannten Eltern m und v: L ij = 0.5(L mj + L vj ) Falls nur ein Elternteil m bekannt ist: L ij = 0.5L mj Beide Eltern unbekannt: L ij = 0 Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 21 / 26

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 22 / 26 Matrix D für Verwandtschaftsmatrix Mendelian sampling für Tier i mit Eltern m und v und den entsprechenden Zuchtwerten u i, u m und u v : m i = u i 0.5(u s + u d ) Die Varianz der mendelian Sampling Effekte ist definiert als D σ 2 u wobei σ 2 u der genetisch additiven Varianz entspricht. var(m i ) = var(u i ) var(0.5u m + 0.5u v ) = var(u i ) var(0.5u m ) var(0.5u v ) 2cov(0.5u m, 0.5u v ) = (1 + F i )σ 2 u 0.25a mm σ 2 u 0.25a vv σ 2 u 0.5a mv σ 2 u Somit ist das Element D ii für Tier i D ii = var(m i) σ 2 u = (1 + F i ) 0.25a mm 0.25a vv 0.5a mv

Verwendung der Zerlegung zur Inversion Aufgrund Regel zur Inversen eines Produktes (siehe Folie 9) gilt A 1 = ( L D L T ) 1 = ( L T ) 1 D 1 L 1 Matrizen L und D sind viel einfacher zu invertieren als A Matrix D 1 auch eine Diagonalmatrix mit inversen Elementen der Ursprungsmatrix - Überprüfung mit > solve(matd) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 1 0 0 0.000000 0 0 [2,] 0 1 0 0.000000 0 0 [3,] 0 0 2 0.000000 0 0 [4,] 0 0 0 1.333333 0 0 [5,] 0 0 0 0.000000 2 0 [6,] 0 0 0 0.000000 0 2 Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 23 / 26

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 24 / 26 Inverse von Matrix L Wie sieht L 1 aus Diagonalelemente sind alle 1 Verbindet Eltern und Nachkommen mit Elementen von 0.5 > solve(matlt) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] 1 1 0-0.5-0.5 0.0 0.0 2 0 1-0.5 0.0-0.5-0.5 3 0 0 1.0 0.0 0.0 0.0 4 0 0 0.0 1.0-0.5-0.5 5 0 0 0.0 0.0 1.0 0.0 6 0 0 0.0 0.0 0.0 1.0

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 25 / 26 Direktes Aufstellen von A 1 ohne Inzucht Setze α i auf den Wert von D 1 für Tier i Hat Tier i bekannte Eltern m und v, dann wird α i zum Element (i, i) addiert α i 2 α i 4 zu den Elementen (m, i), (i, m), (v, i) und (i, v) zu den Elementen (m, m), (m, v), (v, m) und (v, v) Falls Elternteile fehlen, dann werden entsprechende Teile weggelassen

Qualitas AG Peter von Rohr Folien ZL I+II LFW C11 November 5, 2015 26 / 26 Direktes Aufstellen von A 1 mit Inzucht Zurück zur Zerlegung A = U U T Dann gilt a ii = i k=1 u2 ik Diagonalelement von u ii = d i = [0.5 0.25(F m + F v )] = [1 0.25(a mm + a vv )] Einsetzen: u ii = [1 0.25 ( m k=1 u2 mk + v k=1 u2 vk Diagonalelement von D 1 ist berechnet als α i = 1 u 2 ii Off-Diagonalelemente sind: u ij = 0.5(u mj + u vj ) )]

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