En Reserverungsverfahren für de Rechtsschutzverscherung nach Art der Lebensverscherung Detar Pfefer Soeren Hennges Doreen Straßburger Alce Wnkel 1 Zusaenfassung In der vorlegenden Arbet wrd ene de spezfschen Geschäftsodell der Rechtsschutzverscherung angepasste Verfahrenswese zur Berechnung von Reserven für bekannte geeldete und unbekannte, nachgeeldete Schadenfälle vorgestellt. En wesentlches Merkal st herbe de Trennung von Fallzahlen und durchschnttlchen Fallkosten, de ene genauere Modellerung des Abwcklungsverhaltens eröglchen und de spezfschen Besonderheten der Rechtsschutzverscherung besser abblden. I Untersched zu anderen Reserverungsverfahren für Fallzahlen und Regulerungskosten, de n der Pras häufg ohne Überprüfung der Voraussetzungen zur Anwendbarket verwendet werden, wrd her en der Lebensverscherung nachgebldetes Modell gewählt, be de de Zet bs zur Schleßung enes Falls durch ene Lebensdauervertelung odellert wrd. De Trennung n de genannten Modellkoponenten erlaubt auch ene enfache, den gesetzlchen Forderungen nachkoende Berückschtgung von Teuerungseffekten. Schleßlch lässt sch das vorgestellte Verfahren auch n enfacher, aber angeessener Wese auf de Bestung der Nacheldereserve übertragen. A clas reservng ethod for legal epense nsurance accordng to lfe nsurance prncples Abstract In ths paper we ntroduce a new approach to the calculaton of clas reserves (known and IBNR cases) whch s partcularly adapted to the busness odel of legal epense nsurance. An essental aspect here s the splt nto two odel coponents: case nubers and average cla costs. In contrast to other reservng ethods for case nubers and clas cash flows whch are frequently used n practce wthout checkng the valdty for applcaton we ntroduce a odel n whch the te untl case settleent s descrbed by a lfete dstrbuton accordng to the prncples of lfe nsurance. The splt of odel coponents also allows for a sple pleentaton of cost nflaton effects whch s requred by Geran law. Fnally, the approach proposed here can readly be transferred to the calculaton of IBNR reserves. D. Pfefer ( ) Insttut für Matheatk, Carl von Ossetzky Unverstät Oldenburg, 26111 Oldenburg e-al: detar.pfefer@un-oldenburg.de S. Hennges ( ) A. Wnkel Deutsche Rechtsschutz-Verscherung AG, Abraha-Lncoln-Str. 3, 65189 Wesbaden e-al: Soeren.Hennges@deurag.de D. Straßburger ( ) actuaral solutons GbH, Hopfenstr. 21, 2359 Haburg e-al: d.strassburger@actuaralsolutons.de 1
1 Enletung 1.1 Rechtlche Rahenbedngungen Zu Blanzstchtag bestehen für en Verscherungsunternehen Verpflchtungen aus Schadenfällen, de rechtlch entstanden oder wrtschaftlch verursacht snd. Für de aus desen Verpflchtungen resulterenden ungewssen Verbndlchketen wrd ene Schadenrückstellung gebldet. De Schadenrückstellung setzt sch aus folgenden wesentlchen Telrückstellungen zusaen: Schadenrückstellungen für engetretene und de Verscherungsunternehen a Blanzstchtag bekannte, aber noch ncht abgewckelte Schadenfälle (bekannte Schäden), Schadenrückstellungen für berets engetretene, aber noch ncht geeldete Schadenfälle, Schadenrückstellungen für Schadenregulerungskosten. De de Verscherungsunternehen bekannten Schadenfälle snd grundsätzlch enzeln zu bewerten (Enzelbewertungsgrundsatz). De Höhe der Schadenrückstellung uss nach vernünftger kaufännscher Beurtelung beessen werden. Dabe st nsbesondere das blanzrechtlche Vorschtsprnzp zu berückschtgen, u de dauerhafte Erfüllbarket der Verpflchtungen scherzustellen. De Höhe der Schadenrückstellung sollte daher so angelegt sen, dass t hnrechender Scherhet für eden enzelnen Verscherungsfall de späteren Auszahlungen de Schadenrückstellung ncht überschreten. De Schadenrückstellungen snd n Höhe der endgültg zu erwartenden Verpflchtungen zu blden. Erwartete Rückflüsse an das Verscherungsunternehen (Bespel Forderungen aus Regressen) üssen von den Schadenrückstellungen abgesetzt werden, 26 RechVersV. Dese Vorschrft st ene Ausnahe des ansonsten geltenden Salderungsverbotes. In bestten Fällen st das Abwechen vo Enzelbewertungsgrundsatz erlaubt. Ene Gruppen oder Pauschalbewertung bekannter Schäden st zulässg, wenn n ener Sparte glechartge Rsken vorlegen, deren ndvduelle Beessung schwerg oder wrtschaftlch unzuutbar st, wenn sch Schäden zwar nsgesat, aber noch ncht Enzelnen hnrechend konkretsert haben oder sch en Wert Enzelfall ncht ertteln lässt. Des glt nsbesondere auch für de Rechtsschutzverscherung. Spätestens a Ende des drtten auf das Zechnungsahr folgenden Geschäftsahres uss auf ene Enzelbewertung übergegangen werden. In der vorlegenden Arbet werden wr hauptsächlch de Bestung der Pauschalreserven für bekannte und nachgeeldete Schäden behandeln und nur kurz auf de Möglchket ener daraus abgeleteten Enzelfallreserve engehen. 1.2 Deternanten des Rechtsschutzschadens De Höhe der Rechtsanwaltsgebühren st gesetzlch geregelt und Gesetz klar und endeutg strukturert. Gleches glt für de Gerchtskosten- und sonstgen Gebührenrechnungen. Sowet Kosten Drtter auszuglechen snd, baseren dese ebenfalls auf den genannten Grundlagen und snd n ene gerchtlchen Verfahren erttelt. Der zu ersetzende Schaden n der Rechtsschutzverscherung wrd Wesentlchen durch de der Rechtsanwaltsgebührenberechnung zugrunde legenden Paraeter bestt. Des snd (be den stretwertabhänggen Gebühren) der Stretwert, der Instanzenzug und das Verhältns von Obsegen und Unterlegen be Abschluss des Schadens. De letztgenannten Paraeter snd Gegensatz zu Stretwert zwar ncht endeutg bestbar, spegeln sch edoch sowohl n de Antel der ohne Kosten geschlossenen Schäden weder, als auch n den Durchschnttskosten e Schaden. 2
Ergänzend st festzuhalten, dass de verscherten Rsken klar defnerten Lestungsarten zugeordnet snd und darüber auch ene Zuordnung zu den Abrechnungsvaranten des RVG öglch st. Wegen deser der Rechtsschutzverscherung zu Grunde legenden Deternanten st ene we sonst üblche Anwendung bekannter Reserverungsverfahren auf de hstorsch bekannten Schadenzahlungsströe ncht geboten. Deshalb werden n de her verfolgten atheatschen Ansatz de Fallzahlen und de durchschnttlchen Fallkosten zunächst getrennt odellert und erst nach Vervollständgung der Datendreecke oder Datentrapeze weder zusaengeführt. Da für edes Meldeahr de Anzahl der nsgesat zu bearbetenden Fälle feststeht und überwegend nur be Schleßung enes Falls ene Zahlung anfällt 1, betet es sch an, de Schleßung enes Schadenfalls über ene Lebensdauervertelung we n der Lebensverscherung zu odelleren. Be der Schleßung selbst st de bnäre Opton t Zahlung oder ohne Zahlung zu berückschtgen. Herfür können auf der Bass hstorscher Daten bedngte Entrttswahrschenlchketen geschätzt werden. De durchschnttlchen Fallkosten lassen sch ebenfalls lecht t den üblchen statstschen Ansätzen aus hstorschen Daten ertteln. De Trennung von Fallzahlen und Durchschnttskosten eröglcht darüber hnaus auch ene ethodsch enfache Berückschtgung von Teuerungszuschlägen, we se gesetzlch verlangt wrd. Schleßlch lässt sch t de her vorgestellten Ansatz auch de Nacheldereserve enfach ertteln. Boetus (1996, S. 31) führt herzu aus: Nachgeeldete Schäden snd Schäden, de Zetpunkt der Blanzaufstellung berets engetreten, de VU aber noch ncht geeldet und h daher ncht bekannt snd [ ]. De herfür zu bldende Nachelderückstellung wrd n der Blanz unter der Poston Rückstellung für noch ncht abgewckelte Verscherungsfälle ausgewesen [...] und ternologsch unzutreffend als Tel der Spätschadenrückstellung behandelt [ ]. De Tatsache, dass der Gläubger (VN, Geschädgter) noch kene Ansprüche gegen den Schuldner (VU) geltend geacht hat, schleßt de Bldung von Rückstellungen ncht aus, wenn nach den Erfahrungen der Vergangenhet solche Inanspruchnahen wahrschenlch snd. Wenn de VU zwar ncht der enzelne Schaden, wohl aber de durch Erfahrung begründete Tatsache bekannt st, dass und n welcher Höhe solche Schäden das Blanzahr aufwandäßg belasten, uss es de rückstellungsäßg Rechnung tragen. Ene Enzelblanzerung solcher Schäden st ncht öglch, wel des de Beurtelung und dat Kenntns des enzelnen Verscherungsfalls voraussetzt. Daher st ene Gesatbewertung vorzunehen, sowet nach verscherungstechnschen Berechnungen und Erfahrungen abgrenzbare Verscherungsbestände t nachgeeldeten Schäden wahrschenlch belastet werden. Grundlage der vorzunehenden Schätzung st de aus den Erfahrungen der Vergangenhet abzuletende Wahrschenlchket, n welcher durchschnttlchen Höhe nsgesat zu de betreffenden Verscherungsbestand nachgeeldete Schäden anfallen. Der n deser Arbet vorgestellte Ansatz trägt desen Anforderungen n besondere Maße Rechnung. 2 De Stuaton berets bekannter Schadenfälle 2.1 Das atheatsche Modell Wr bezechnen de n ganzen Jahren erfasste, gestutzte Lebensdauer enes entstandenen Schadenfalls von der Meldung bs zur Schleßung t K. Für de restlche Lebensdauer enes berets Jahre alten Schadenfalls verwenden wr das Sybol K, t =,1,2, 1 Zahlungen erfolgen zwar auch während der Lebensdauer. Der endgültge und überwegende Zahlungsaufwand erfolgt edoch t Schleßung der Akte. 3
sowe de aus der Lebensverscherungsatheatk bekannten Notatonen für Überlebensbzw. Sterbewahrschenlchketen und + 1 p = P( K > k) t ( ) k 1 p = p = P K >,, k³ (1) q = 1 - p, ³. (2) De enährge Sterbewahrschenlchket q gbt also de Wahrschenlchket dafür an, dass en Jahre alter Schadenfall laufenden Jahr geschlossen wrd. Bekanntlch rechen de q k t k =,1,2, aus, u de Vertelung von K vollständg zu besten, nälch über de Foreln p n = P( K = n) = npq+ n,, n=,1,2, (3) und n-1 n-1 + ( 1 + ),,,1,2, t 1, (4) p = p = - q n= p = q = n = = (zur Ternologe und Sybolk vgl. Gerber (1986) oder Ortann (29)). Zur Beschrebung der Fälle, de be Schleßung t ener Zahlung enden, führen wr noch de Indkatorvarable I en t den beden Zuständen (kene Zahlung) und 1 (Zahlung). Erfahrungsgeäß st de Vertelung von I nur abhängg von der Gesatlebensdauer K des Schadenfalls; wr führen daher noch de Bezechnung n ( 1 ) z = P I = K = n für n =,1,2, (5) en. Für enen berets -ährgen Schadenfall ergbt sch analog ( 1 ) ( 1 ) P I = K = n = P I = K = + n = z + nfür n=,,1,2, (6) De Wahrschenlchket dafür, dass en geeldeter Schadenfall nach n Jahren t ener Zahlung geschlossen wrd, ergbt sch dat zu P K = n, I = 1 = P I = 1 K = n P K = n = z q 1 - q, n=,1,2,. (7) ( ) ( ) ( ) n n ( ) Für enen berets -ährgen Schadenfall ergbt sch entsprechend P K = n, I = 1 = P I = 1 K = n P K = n = z q 1 - q, n=,1,2,. (8) ( ) ( ) ( ) + n + n ( + ) De Höhe Z der Zahlung, de en berets -ährger Schadenfall be Schleßung verursacht, st ebenfalls ene Zufallsvarable. Offenschtlch glt für hre (bedngte) Vertelung ( =, = ) = für alle n=,,1,2, (9) Z P K n I e (Enpunktvertelung n Null), da Fall I = kene Zahlung be Schleßung fällg wrd. Setzen wr zur Abkürzung n-1 = n-1 = 4
(, 1) = = = für n =,1,2, (1) Z Qn P K n I und unterstellen weder, dass de (bedngte) Vertelung von Z nur von der Gesatlebensdauer K abhängt, so erhalten wr allgeener Z (, 1 ) (, 1) für n=,,1,2,. (11) P Z K = n I = = P K = + n I = = Q + n Für de unbedngte Vertelung von Z erhalten wr abschleßend t de Satz von der totalen Wahrschenlchket und den Rechenregeln für bedngte Wahrschenlchketen (vgl. Mlbrodt (21), S. 27ff): ( ) ( ) Z P ( A) = P Z Î A K = n P K = n n= (, ) ( ) (, 1 ) ( ) = P Z Î A I = K = n P K = n + P Z Î A I = K = n P K = n n= n= n= n= (, ) ( ) ( ) = P Z Î A I = K = n P I = K = n P K = n + ( 1, ) ( 1 ) ( ) + P Z Î A I = K = n P I = K = n P K = n n-1 { e A ( z+ n) Q+ na z+ n} q+ n ( q+ ) = ( ) 1 - + ( ) 1 - ( 12) n= für alle (Borel-essbaren) Eregnsse AÍ. Dabe st zu beachten, dass de Suaton nur foral unendlch vele Tere enthält, da de Lebensdauer enes Schadenfalls n der Realtät natürlch begrenzt st, d.h. es estert en Endalter v t q v = 1 und dat P( K > v) =. In der Rechtsschutzverscherung legt das Endalter e nach Lestungsart erfahrungsgeäß zwschen 9 und 15 Jahren oder wrd aus praktschen Gründen so festgelegt. Zur Berechnung enes für de Reserverung erforderlchen Best Estate für de Zufallsvarable Z st deren Erwartungswert als Grundlage zu besten; eplzt ergbt sch aus (12): t de zur Vertelung = n-1 ( ) = + n + n + n ( 1- + ) (13) E Z z q q n= = Q k gehörgen Erwartungswert k für k =,1, 2,. 5
2.2 Schätzung der Modellparaeter Ene statstsche Schätzung des Erwartungswerts E( Z ) erfordert de Schätzung der Größen k, zk und q k für k =,1, 2,. In der Regel legen be Verscherungsunternehen herfür hstorsche Daten über Fallzahlentwcklungen t und ohne Zahlung be Schleßung und Regulerungskosten n Dreecks- oder Trapezfor vor. Der Enfachhet halber betrachten wr her nur Dreecke, ene Übertragung auf den Fall von Trapezen st evdent. Es bezechne { N } + : de Anzahl der Schadenfälle aus Meldeahr t Schleßungsahr und Zahlung be Schleßung { M } + : de Anzahl der Schadenfälle aus Meldeahr t Schleßungsahr ohne Zahlung be Schleßung K = N + M, + : de Anzahl der Schadenfälle aus Meldeahr t Schleßungsahr S : de Anzahl der Meldeahr nsgesat bekannten Schadenfälle; es st dann { SZ } S - ³ K + : de Zahlungen für Schäden aus Meldeahr t Schleßungsahr und Zahlung be Schleßung Herbe läuft von bs, der aalen Dauer, bs en Schadenfall endgültg regulert st (entsprcht de Endalter v ). 2.2.1 Schätzung der Sterblchketen q Fallzahlodell Ene wchtge Annnahe st her de Konstanz der Sterblchketen q über de Zet (d.h. über de Meldeahre). Man erhält dann we n der Lebensverscherung als Schätzer de Größen = qˆ K - = = ˆ =, q = - -1 - K S S -K = = = = für = 1, 2,,. (14) Dat lassen sch auch de zukünftgen, noch ncht bekannten erwarteten Fallzahlen schätzen, und zwar durch æ -1 ö = - ç è = ø Kˆ S Kˆ qˆ für = - + 1,,, (15) wobe für de schon bekannten Fallzahlen Kˆ = K, =,1,, - zu setzen st. De folgende Tabelle enthält en fktves Bespel t 7, = welches sch edoch stark an ene realen Datensatz orentert. 6
Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr Fallzahlen gesat 4 2 9 2 2 3 15 5 1 1 6 1 2 2 3 3 2 2 2 7 1 2 2 3 4 43 3 8 1 3 2 4 6 4 9 2 3 3 4 5 1 3 5 5 6 11 3 4 7 12 2 Tab. 1: Dreeck { N } + der Fallzahlen t Zahlung be Schleßung Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr Fallzahlen gesat 4 1 75 6 3 1 5 1 6 14 1 9 4 3 2 1 2 7 17 14 12 6 3 1 3 8 19 16 13 1 2 4 9 23 2 14 11 5 1 27 35 15 6 11 37 34 7 12 48 Tab. 2: Dreeck { M } + der Fallzahlen ohne Zahlung be Schleßung Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr Fallzahlen gesat 4 12 84 8 5 4 2 5 1 1 6 15 12 11 7 6 4 3 2 2 7 18 16 14 9 7 53 4 3 3 8 2 19 15 14 8 26 8 6 4 9 25 23 17 15 54 3 9 7 5 1 3 4 2 47 28 16 5 4 6 11 4 38 135 87 53 29 9 7 7 12 5 281 177 114 69 38 12 9 Tab. 3: Dreeck { K } q ˆ,3134,41,4216,469,5365,642,625 1, + aller bekannten Fallzahlen t den geschätzten Sterblchketen qˆ und Ergänzung der geschätzten unbekannten Fallzahlen 7
2.2.2 Schätzung der Wahrschenlchketen z für Zahlung be Schleßung Auch her gehen wr davon aus, dass sch de Wahrschenlchketen z über de Zet stabl verhalten. Geäß (5) können dese Wahrschenlchketen dann geschätzt werden über de zugehörgen relatven Häufgketen, also zˆ = - = - = N K für =,1,,. (16) Mt Hlfe der z kann dann auch das Dreeck der erwarteten Fallzahlen t Zahlung be Schleßung vervollständgt werden, n de an de ergänzten Enträge Dreeck aller bekannten Fallzahlen (Tab. 3) t desen Wahrschenlchketen ultplzert. Man erhält so de Schätzer Nˆ = Kˆ zˆ für = - + 1,,. (17) Meldeahr Abwcklungsahr Fallzahlen gesat 1 2 3 4 5 6 7 Offene Fälle 4 2 9 2 2 3 15 5 1 1 6 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 7 1 2 2 3 4 43 3 3 6 3 8 1 3 2 4 6 18 6 6 3 4 9 2 3 3 4 34 21 7 7 69 5 1 3 5 5 15 18 11 3 4 52 6 11 3 4 25 28 34 2 6 7 121 7 12 2 36 33 36 44 26 8 9 194 z ˆ,714,1272,1882,32,64,693,7143 1, S=491 Tab. 4: Dreeck { N } + der Fälle t Zahlung be Schleßung t geschätzten Wahrschenlchketen z ˆ und Ergänzung der geschätzten unbekannten Fallzahlen Erfahrungsgeäß stegen de z t wachsende an, we das Bespel auch deutlch zegt. 2.2.3 Schätzung der Erwartungswerte der Kosten e Fall t Zahlung be Schleßung I Gegensatz zu den vorgen beden Abschntten nehen wr her an, dass sch de Erwartungswerte der Kosten e Fall t Zahlung be Schleßung über de Zet (Meldeahre) verändern, t zunehender Tendenz. Des steht Enklang t der Tatsache, dass Gebührensätze für Anwalts- und Gerchtskosten Laufe der Zet als de wesentlchen Kostentreber t der Zet nach oben angepasst werden. Wr betrachten also genauer de Erwartungswerte = E( Z) der Kosten Z enes de -ten Meldeahr zugeordneten - ährgen Falls t Zahlung be Schleßung und unterstellen den Zusaenhang 8
+ 1, = f für =,1,, -1 (18) t den ährlchen Stegerungsfaktoren f. Deentsprechend st der Ausdruck (13) zu odfzeren, d.h. zur Bestung enes Best Estate betrachten wr etzt n Abhänggket von den Meldeahren de Größen n-1 ( ) =, + n + n + n ( 1- + ) für,1,,. E Z z q q n= = Dazu wrd zunächst das Dreeck { RZ } = (19) + der relatven Kosten e Fall be Schleßung t Zahlung aus de Dreeck{ SZ + } der absoluten Kosten gebldet: RZ SZ = für 1,,. N = - + (2) De Stegerungsfaktoren f können statstsch lecht durch das Wachstusverhältns der RZ + bestt werden: Zelen Dreeck { } fˆ = - = - = RZ RZ -1, für = 1,2,,. (21) Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr 3.58 4.3 16. 3. 8. 5. 14. 4. 1 1.8 11. 2. 5. 75. 72. 55. 2 1.86 14. 25. 65. 12. 11. 3 1.9 16. 22. 11. 19. 4 3.62 15.5 37. 115. 5 6.6 25. 65. 6 6.12 25.5 7 4.58 Tab. 5: Dreeck { SZ } + der absoluten Zahlungen be Schleßung n EUR 9
Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr Faktoren f ˆ 179 478 8 1.5 2.667 3.333 2.8 4. 1 18 55 1. 1.667 2.5 3.6 2.75 4.167 1,417 2 186 7 1.25 2.167 3. 2.558 2.855 4.326 1,383 3 19 533 1.1 2.75 3.167 2.711 3.26 4.586 1,599 4 181 517 1.233 2.875 3.328 2.849 3.18 4.819 1,59 5 22 5 1.3 2.981 3.45 2.954 3.297 4.996 1,368 6 24 638 1.558 3.573 4.136 3.541 3.953 5.989 1,1987 7 229 716 1.749 4.11 4.643 3.975 4.437 6.723 1,1225 Tab. 6: Dreeck { RZ } + der relatven Zahlungen be Schleßung n EUR t Ergänzungen RZ Ene Vervollständgung des Dreecks der relatven Zahlungen be Schleßung wrd dann folgenderaßen durchgeführt: RZ ˆ = f RZ - 1, für = 1, 2,, und = - + 1,,. (22) We an der Tabelle 6 entnehen kann, stegen de relatven Kosten n unsere Bespel ährlch u ndestens 3%, zu Ende hn sogar noch deutlcher. Als Schätzer für de erwarteten relatven Kosten wählt an dann snnvollerwese ˆ =, (23) RZ wobe weder für de schon bekannten Werte RZ = RZ, =,1,, - zu setzen st. 2.3 Berechnung des Best Estate für de Gesatreserve Wegen des Modell berückschtgten Teuerungseffektes wrd der Best Estate B für de Reserve R zunächst e Meldeahr bestt, und zwar geäß der Foreln (15) bs (17) zu -1 B = ˆ Nˆ» S ˆ zˆ qˆ 1-q ˆ für = 1,2,,. (24) = + 1- = + 1- = ( ) Der gesate Best Estate B ergbt sch daraus durch Suaton über de Meldeahre zu B = B. (25) = 1 1
Meldeahr Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 3.58 4.3 16. 3. 8. 5. 14. 4. 1 1.8 11. 2. 5. 75. 72. 55. 83.333 83.333 2 1.86 14. 25. 65. 12. 11. 7.932 13.46 21.392 3 1.9 16. 22. 11. 19. 48.65 17.196 29.181 94.441 4 3.62 15.5 37. 115. 114.258 58.531 2.94 35.535 229.264 5 6.6 25. 65. 44.739 62.897 32.22 11.527 19.561 17.944 6 6.12 25.5 39.577 99.256 139.541 71.483 25.574 43.398 418.829 7 4.58 25.561 58.211 145.989 25.241 15.139 37.615 63.831 641.585 Tab. 7: Dreeck { SZ } B.E. B = 1.659.788 + der absoluten Zahlungen be Schleßung n EUR t Vervollständgung und Best Estate für de Reserve I betrachteten Bespel legt der Best Estate für de Gesatreserve dat be ca. 1,66 Mo. EUR. 2.4 Senstvtätsanalysen und Scherhetsargen Es st öglch, durch Zu- oder Abschläge auf de geschätzten Sterblchketen Scherhetszuschläge auf den Best Estate für de Gesatreserve zu berechnen. De folgenden Tabellen zegen verschedene Scherhetszuschläge t, de sch durch unterschedlche prozentuale Abschläge auf de Sterblchketen ergeben: Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr B.E. 3.58 4.3 16. 3. 8. 5. 14. 4. 1 1.8 11. 2. 5. 75. 72. 55. 83.333 83.333 2 1.86 14. 25. 65. 12. 11. 8.31 13.25 21.281 3 1.9 16. 22. 11. 19. 43.258 2.534 33.877 97.669 4 3.62 15.5 37. 115. 12.832 58.775 27.899 46.28 235.534 5 6.6 25. 65. 4.265 61.68 35.212 16.714 27.576 181.375 6 6.12 25.5 35.619 95.843 146.646 83.816 39.786 65.64 467.349 7 4.58 23.5 55.897 15.46 23.131 131.533 62.436 13.8 756.416 q,2821,369,3795,4221,4828,5778,5625 1, B = 1.842.957 Tab. 8: Dreeck der absoluten Zahlungen be Schleßung n EUR t Vervollständgung und Best Estate für de Reserve; q =,9 q ; t = 183.169 EUR (+ 11,4%) 11
Meldeahr Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 3.58 4.3 16. 3. 8. 5. 14. 4. 1 1.8 11. 2. 5. 75. 72. 55. 83.333 83.333 2 1.86 14. 25. 65. 12. 11. 7.139 15.143 22.281 3 1.9 16. 22. 11. 19. 38.452 21.28 44.65 14.84 4 3.62 15.5 37. 115. 91.47 57.664 31.534 66.891 247.496 5 6.6 25. 65. 35.791 59.27 37.351 2.426 43.328 196.13 6 6.12 25.5 31.661 9.982 15.58 94.948 51.924 11.141 53.164 7 4.58 2.449 52.84 151.738 251.13 158.351 86.597 183.691 94.643 q,257,328,3373,3752,4292,5136,5 1, B = 2.88.14 Tab. 9: Dreeck der absoluten Zahlungen be Schleßung n EUR t Vervollständgung und Best Estate für de Reserve; q =,8 q ; t = 428.316 EUR (+ 25,81%) Analoge Zuschläge können durch prozentuale Veränderungen der übrgen Modellparaeter berechnet werden. 3 De Stuaton berets engetretener, aber noch ncht geeldeter Schadenfälle Ene Besonderhet be engen Lestungsarten der Rechtsschutzverscherung st dadurch gegeben, dass berets engetretene Schadenfälle erst t ener deutlchen zetlchen Verzögerung geeldet werden. De her vorgestellte Methode zur Berechnung des Best Estate für de so genannte Nacheldereserve (vgl. Boetus (1996), An. 975) beruht auf ener statstschen Hochrechnung der nsgesat erwarteten, vertragsrechtlch relevanten Fallzahlen n de Zukunft und ener anschleßenden Anwendung des n Abschntt 2 vorgestellten Verfahrens. Dat st zuglech ene angeessene Berückschtgung des Zetund Änderungsfaktors gegeben (vgl. Boetus (1996), An. 984 und 985). 3.1 Das Fallzahlodell für Nacheldungen Wr nehen an, dass sch de Anzahl S der Meldeahr nsgesat bekannten Schadenfälle addtv aus Fallzahlen L t =,1,2,, r zusaensetzt, wobe L de Anzahl der Schadenfälle bezechnet, deren Verursachung berets Jahre vor de Meldeahr (also Vorlaufahr ) legt, d.h. es glt B.E. S r = L (26) = t ener e nach Lestungsart festzulegenden Größe r, und dass de Zufallsvektoren L (,, = L Lr) stochastsch unabhängg und dentsch vertelt snd. Ferner nehen wr an, dass ( ) r E( S) E L = für =,1,, und =,1,, r (27) glt t vo Meldeahr unabhänggen Faktoren r 1 und r r = 1. Auf Grund der geachten Voraussetzungen lassen sch dese Faktoren dann durch de Quotenten = 1 12
1 1 L = = r ˆ = = S = = L S für =,1,, r (28) statstsch schätzen. Zur Veranschaulchung ergänzen wr das obge Zahlenbespel we folgt: Vorlaufahr 1 2 3 4 5 Meldeahr Fallzahlen gesat 4 27 94 21 9 4 2 1 6 48 141 27 15 9 2 7 48 162 32 13 7 6 3 8 531 192 42 16 1 9 4 9 597 219 42 24 12 6 5 1 669 244 47 22 13 5 6 11 751 255 47 25 13 9 7 12 819 279 51 24 15 12 rˆ,6754,2367,461,221,124,73 Tab. 1: Rechteck der Schadenfallzahlen { L, r} t den Schätzern r ˆ Bespelswese wurden von den 4 Meldeahr bekannten Schadenfällen genau 27 glechen Jahr verursacht, 94 en Jahr vorher, 21 zwe Jahre vorher usw. Auf der Bass der Schätzer r ˆ und der aktuellen Jahr bekannten Schadenfallzahl S lassen sch de n den Folgeahren aus Nacheldungen nsgesat erwarteten Schadenfallzahlen k + t aktueller vertragsrechtlcher Relevanz dann durch Multplkaton schätzen zu kˆ + = r = S rˆ für = 1,, r. (29) De geschätzten erwarteten Anzahlen a ˆ der sch aus den Nacheldungen ergebenden Abwcklungsfälle t Zahlung be Schleßung erhält an heraus unter Anwendung des unter Abschntt 2.2 beschrebenen Verfahrens durch Multplkaton t den geschätzten n-1 Wahrschenlchketen pˆ ˆ ( 1 ˆ n = qn -q) und z ˆ n; es ergbt sch dat nsgesat = aˆ = kˆ pˆ zˆ für = + 1,, + r und =,1,,. (3) 13
Meldeahr Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 k ˆ 8 39 8,7 13,6 12,7 13,9 16,9 1,1 3,6 3,1 9 15 2,4 3,7 3,4 3,8 4,6 2,7 1,,8 1 5 1,1 1,8 1,6 1,8 2,2 1,3,5,4 11 24,5,8,8,8 1,,6,2,2 12 9,2,3,3,3,4,2,1,1 p ˆ,3134,2753,1734,1116,678,376,131,79 z ˆ,714,1272,1882,32,64,693,7143 1, Tab. 11: Rechteck der erwarteten Abwcklungsfallzahlen a ˆ aus Nacheldungen t Zahlung be Schleßung Wegen der klenen Bespelzahlen wurden de erwarteten Abwcklungsfälle zu besseren Verständns her t ener Dezale angegeben. 3.2 Berechnung des Best Estate für de Nacheldereserve Geäß den Ausführungen n Abschntt 2.3 recht es, de erwarteten Anzahlen a ˆ der erwarteten Abwcklungsfälle aus Nacheldungen t Zahlung be Schleßung t geegneten, teuerungskorrgerten erwarteten relatven Kosten zu ultplzeren (vgl. Tabelle 6). Herfür st das entsprechende vervollständgte Rechteck u de Jahre + 1, + 2,, + r zu ergänzen, nde an de Kostenstegerungsfaktoren f passend fortschrebt. Wählt an ene zukünftge ährlche 5%ge Kostenstegerung, so ergeben sch folgende Zahlen: Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr Faktoren f 7 229 716 1.749 4.11 4.643 3.975 4.437 6.723 8 24 751 1.837 4.211 4.875 4.174 4.659 7.59 1,5 9 252 789 1.929 4.422 5.118 4.382 4.892 7.412 1,5 1 265 828 2.25 4.643 5.374 4.62 5.136 7.782 1,5 11 278 87 2.126 4.875 5.643 4.832 5.393 8.172 1,5 12 292 913 2.233 5.119 5.925 5.73 5.663 8.58 1,5 Tab. 12: hochgerechnetes Rechteck der erwarteten relatven Zahlungen RZ = + 1,, + r, =,, be Schleßung n EUR für Nacheldungen { } Durch Multplkaton der ewelgen Tabellenenträge und anschleßende Suaton erhält an dann den Best Estate B für de Nacheldereserve Meldeahr als B ˆ = k RZ zˆ pˆ für = + 1,, + r. (31) = Der Best Estate B für de gesate Nacheldereserve ergbt sch durch Suaton über de zukünftgen Meldeahre zu 14
+ r B = B. (32) = + 1 Für das angegebene Bespel erhält an sot Abwcklungsahr 1 2 3 4 5 6 7 Meldeahr B.E. 8 2.97 1.254 23.353 58.568 82.339 42.18 16.977 21.67 257.374 9 596 2.916 6.64 16.653 23.413 11.994 4.827 6.144 73.183 1 298 1.455 3.315 8.313 11.686 5.987 2.41 3.67 36.529 11 147 72 1.641 4.115 5.785 2.963 1.193 1.518 18.82 12 57 281 639 1.64 2.255 1.155 465 592 7.48 B = 392.216 Tab. 13: Rechteck der absoluten Zahlungen be Schleßung n EUR t Best Estate für de Nacheldereserve Der Best Estate für de Nacheldereserve beträgt also ca. 4. EUR. Auch her lassen sch Senstvtätsanalysen we n Abschntt 2.4 durchführen, u ggf. geegnete Scherhetszuschläge zu ertteln, 4 Anwendung des Verfahrens auf Enzelfallreserven Prnzpell lassen sch auch Enzelfallreserven durch en proportonales Downscalng aus den Pauschalreserven berechnen, nde an unter Berückschtgung der aktuellen Gebührentabellen snnvolle stretwertabhängge Prozentsätze berechnet, de an auf de hochgerechneten durchschnttlchen Fallkosten (vgl. Tab. 6) anwendet. Auf wetere Enzelheten soll her aber ncht engegangen werden. Lteratur Boetus, J.: Handbuch der verscherungstechnschen Rückstellungen. Handels- und Steuerblanzrecht der Verscherungsunternehen. Verlag Dr. Otto Schdt, Köln (1996). Gerber, H.U.: Lebensverscherungsatheatk. Sprnger Verlag, Berln (1986). Mlbrodt, H.: Wahrschenlchketstheore. Ene Enführung t Anwendungen und Bespelen aus der Verscherungs- und Fnanzatheatk. Schrftenrehe Verscherungs- und Fnanzatheatk, Bd. 36, Verlag Verscherungswrtschaft, Karlsruhe (21). Ortann, K. M.: Praktsche Lebensverscherungsatheatk. Veweg+Teubner, Wesbaden (29). Danksagung Frau Cand.-Math. Anna Wlke, Breen und Herr M.Sc. Donc Lauterbach, Oldenburg haben de atheatschen Tele des Manuskrpts sorgfältg geprüft und wertvolle Hnwese gegeben, de zu ener Verbesserung der Qualtät der Darstellung begetragen haben. 15