D. Garmatter C. Apprich, B. Krinn J. Hörner, M. Werth 9. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester 4 M. Künzer M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Gegeben ist die Funktion tanh: R R: x sinh(x) cosh(x). (a) Bestimmen Sie die Ableitung von tanh. Untersuchen Sie tanh auf Nullstellen, Extremalstellen und Monotonie. Bestimmen Sie tanh(x) und tanh(x). Skizzieren Sie den Graphen von tanh und geben Sie den Wertebereich x an. Lösungshinweise hierzu: Bezüglich der Ableitung gilt: tanh (x) = (cosh(x)) (sinh(x)) Beispiel.3.3 = (cosh(x)) (cosh(x)) >. Extremalstellen gibt es daher nach Lemma.4. keine, da tanh (x) >, x R. Wegen Satz.4.8 ist tanh auf ganz R streng monoton steigend. Bezüglich der Nullstellen gilt: tanh(x) = sinh(x) = (ex e x ) = e x = e x x =. Bezüglich der Grenzwerte gilt tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex e x e x +e x = ex e x + = e x + und damit tanh(x) e x + = bzw. tanh(x) x x e x + =. Der Wertebereich ist W tanh = {x R < x < }. (b) Es ist artanh definiert als die Umkehrfunktion von tanh. Skizzieren Sie den Graphen von artanh und geben Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich an. Begründen Sie, dass Satz.3. anwendbar ist, und berechnen Sie damit die Ableitung von artanh. Lösungshinweise hierzu: Der Definitionsbereich von artanh ist der Wertebereich von tanh, also D artanh = W tanh = {x R < x < }. Genauso ist der Wertebereich von artanh der Definitionsbereich von tanh also W artanh = D tanh = R. Zur Anwendbarkeit von Satz.3.: Nach (a) ist tanh streng monoton und stetig, an jeder Stelle differenzierbar mit Ableitung ungleich. Somit ist der Satz anwendbar und für die Ableitung gilt mit y = tanh(x ): d dy artanh(y) = y=y tanh (x ) = (tanh(x )) = y. www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/hm-stroppel/ Seite 4
9. Gruppenübung Höhere Mathematik 5.8 4.6 tanh 3.4...4 artanh.6 3.8 4 5 4 3 3 4 5 5.8.6.4...4.6.8 (c) Beweisen Sie: artanh(x) = ( ) +x ln. x Hinweis: Satz.4.6 aus der Vorlesung kann dabei helfen. Lösungshinweise hierzu: Mit dem (b)-teil gilt und wir berechnen: ( d dx ln Nach Satz.4.6 gilt dann artanh (x) = x ( )) +x = x ( x)+(+x) ( x) +x x = x +x( x) = (+x)( x) = x. artanh(x) = ( ) +x ln +c. x Setzt man in diese Identität x = ein, so folgt c = ( ) + ln +c = arsinh() = und damit ist artanh(x) = ln( +x x) bewiesen. www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/hm-stroppel/ Seite 5
9. Gruppenübung Höhere Mathematik Aufgabe H 6. Monotonie und Mittelwertsatz (a) Zeigen Sie, dass für x R + {} gilt: x < ln(x) < x. Skizzieren Sie die Graphen dieser drei Funktionen in ein Koordinatensystem. Lösungshinweise hierzu: Zunächst stellen wir fest, dass für x = alle drei Funktionen den Wert annehmen. Betrachten wir nun die Ableitungen der Funktionen, so erhalten wir x > x >, für < x <, sowie x < x <, für x >. Mit Hilfe der Kennzeichnung monotoner Funktionen folgern wir nun, dass die Differenzfunktion ln(x) für x < monoton fällt und für x > monoton steigt. x Da die Differenz an der Stelle gerade ist, ist die Differenzfunktion ln(x) x also für alle x R + {} positiv. Damit haben wir die erste Ungleichung gezeigt. Analog dazu gilt für die Differenzfunktion (x ) ln(x), dass diese für x < monoton fällt und für x > monoton steigt. Wiederrum gilt somit die Ungleichung, da die Differenz an der Stelle gerade ist. x.5..5..5 3. ln x x (b) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass für x,y R + gilt: cos ( e x) cos ( e y) x y. Begründen Sie außerdem, dass Gleichheit nur für x = y gilt. Lösungshinweise hierzu: Wir betrachten die Funktion f: R R: x cos(e x ). Mit dem Mittelwertsatz folgt, dass ein ξ [x,y] existiert, so dass cos(e x ) cos(e y ) x y = f (ξ) www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/hm-stroppel/ Seite 6
9. Gruppenübung Höhere Mathematik gilt. Einsetzen der Ableitung der Funktion f und durchmultiplizieren mit (x y) liefert die Gleichheit cos ( e x) cos ( e y) = (x y)( e ξ ( sin(e ξ ))). Diese Gleichheit liefert insbesondere die Gleichheit der Beträge cos ( e x) cos ( e y) = x y e ξ sin(e ξ ). Da für ξ R + gilt, dass e ξ und sin(e ξ ) ist, gilt die behauptete Ungleichung cos ( e x) cos ( e y) x y. Gleichheit kann hier nur in zwei Fällen gelten: Zum Einen, wenn x y = ist, was gerade bedeutet, dass x = y ist. Zum Anderen, wenn e ξ sin(e ξ ) = ist, was aber für x R + niemals erfüllt ist. Aufgabe H 63. Funktionsgrenzwerte und Regel von l Hospital Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (sin(x)) (a) sin(x ) Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist von der Form, daher erhalten wir durch mehrfaches Anwenden der Regel von l Hospital: x e x (b) (e x ) (sin(x)) sin(x ) cos(x) sin(x) xcos(x ) cos(x)sin(x) xcos(x ) (cos(x)) (sin(x)) cos(x ) x sin(x ) = Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist von der Form, daher erhalten wir durch mehrfaches Anwenden der Regel von l Hospital: x e x (e x ) xe x +x e x e x (e x ) x +x = e x x+ e x www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/hm-stroppel/ Seite 7
9. Gruppenübung Höhere Mathematik ( ) (c) x ln(x+) Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist von der Form, daher formen wir diesen zunächst in einen Bruch um. Anschließend kann die Regel von l Hospital angewandt werden: ( sin(x) (d) ) x 3 x ( ) x ln(x+) ln(x+) x xln(x+) x+ ln(x+)+ x x+ = x (x+)ln(x+)+x ln(x+)+ x+ + x+ Lösungshinweise hierzu: Der Ausdruck ist ebenfalls von der Form, daher formen wir diesen zunächst in einen Bruch um. Anschließend kann die Regel von l Hospital angewandt werden: ( sin(x) x 3 x ) sin(x) x = 6 x 3 cos(x) 3x sin(x) 6x cos(x) 6 www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/hm-stroppel/ Seite 8