Klausur-Musterlösungen

Klausur-Musterlösungen 9.7.4 Theoretische Physik IV: Statistische Physik Prof. Dr. G. Alber Dr. O. Zobay. Der in Abb. dargestellte Kreisprozess wird mit einem elektromagnetischen Feld ausgeführt. Abb.. Diesel-Kreisprozess. Die Schritte B C sowie D A werden isentrop adiabatisch ausgeführt. a Bestimmen Sie ausgehend von der entropischen Fundamentalrelation des elektromagnetischen Feldes SU, V = 4 3/4 U 3 b/4 V V die Zustandsgleichungen dabei ist b die Stefan-Boltzmann-Konstante. P. T = SU, V = b /4 V /4 U /4 U U = bv T 4 p T = SU, V = b/4 V 3/4 U 3/4 pv = 3 b/4 V /4 U 3/4 T = 3 b/4 V /4 U 3/4 b /4 V /4 U /4 = U 3 b Berechnen Sie die Temperaturen T i, i =,..., 4 an den Punkten A, B, C und D in Abhängigkeit des Druckes p und der Volumina V, V und. Bestimmen Sie zusätzlich die Drücke p 3 und p 4 an den Punkten C und D. 5P. Aus den in a bestimmten Zustandsgleichungen folgt die Beziehung p = bt 4 /3. Ferner ergibt sich aus der angegebenen Fundamentalrelation die Bedingung U 3 V = konst. für adiabatische

Zustandsänderungen. Dies ist äquivalent zu pv 4/3 = konst. bzw. T 3 V = konst. Mit Hilfe dieser Beziehungen ermittelt man für die Temperaturen T = T = /4 3p, b Für die Drücke folgt /3 /4 /3 T 3 V = T3 3 V 3p V T 3 = T =, b /3 /4 /3 T4 3 = T 3 V 3p V V T 4 = T =. b 4/3 p V 4/3 = p 3 V 4/3 V 3 p 3 = p, 4/3 p 4 V 4/3 3 = p V 4/3 V p 4 = p. c Berechnen Sie die Arbeit, die jeweils in den Prozessschritten A B, B C, C D und D A vom System verrichtet wird. 3P. A B : W AB = p V V >, B C : W BC = U BC = 3P V 3P 3 = 3P V [ V /3 ] >, C D : W CD =, [ V /3 D A : W DA = U BC = 3P 4 V 4 3P V = 3P V ] <. In den Schritten A B und B C gibt das System Arbeit nach außen ab, während im Schritt D A dem System Arbeit zugeführt wird. d Ermitteln Sie die Wärmen, die in den vier Prozessschritten vom System aufgenommen bzw. abgegeben werden. P. A B : Q AB = W AB + U AB = p V V + 3p V V = 4p V V >, B C : Q BC =, C D : Q CD = U CD = 3p 4 3p 3 = 3 p D A : Q DA =. V /3 3 V 4/3 V 4/3 <, Im Schritt A B nimmt das System Wärme auf, während im Schritt C D Wärme abgegeben wird. In den adiabatischen Prozessschritten B C und D A wird Wärme weder zugeführt noch abgegeben. e Bestimmen Sie den Wirkungsgrad η dieses Kreisprozesses, und zeigen Sie, dass die Beziehung < η < erfüllt ist. 3P.

Der Wirkungsgrad für diesen Kreisprozess ist definiert als i η = W i. Qauf Dabei bezeichnet i W i die Summe aller vom System aufgenommenen bzw. abgebenen Arbeiten und Q auf die insgesamt aufgenommene Wärme. Mit den Ergebnissen aus c und d findet man ] [ /3 V /3 V W i = p V V + 3p V [ + 3p V ] i = 4p V V + 3 p V /3 3 Qauf = Q AB = 4p V V. V 4/3 V 4/3, Es ist also η = 3 p V /3 3 V 4/3 V 4/3 4p V V = 3 4 V /3 V /V 4/3 V /V. Da V < V und V <, folgt aus dieser Darstellung die Beziehung < η <. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Funktion y = x 4/3 / x x entspricht hier V /V für x nur Werte y 4/3 annimmt. Zusammen mit dem Vorfaktor 3/4 wird also von der immer nur etwas abgezogen, das kleiner als aber größer als ist.. Gegeben sei ein ideales Gas von strukturlosen Spin- Teilchen in einer dreidimensionalen isotropen harmonischen Teilchenfalle mit Frequenz ω. a Wie lauten die Einteilchenenergien und der Hamiltonoperator dieses Systems in zweiter Quantisierung? Wievielfach sind die Einteilchenenergien entartet? P. Der Hamiltonoperator dieses Systems lautet Ĥ = mit den Einteilchen-Energien n,n,n 3 = σ=± ε n n n 3,σâ n n n 3,σâ n n n 3,σ ε n n n 3,σ = n + n + n 3 + 3. Der Index σ = ± charakterisiert den Spin-Freiheitsgrad. Die Entartung der Einteilchenenergie ε n = n + 3 beträgt gn = n + n + vgl. Aufgabe 3, Blatt ; der zusätzliche Faktor ist auf den Spin-Freiheitsgrad zurückzuführen. Der Operator â n n n 3,σ erfüllt die Antikommutator-Beziehungen [â n n n 3,σ, â m m m3,σ ] + = δ n,m δ n,m δ n3,m 3 δ σ,σ, [ân n n 3,σ, â m m m 3,σ ]+ = [â n n n 3,σ, â m m m 3,σ ] + =.

b Zeigen Sie, dass die großkanonische Zustandssumme im Kontinuumlimes, der durch N, ω, Nω 3 = konst., k B T charakterisiert ist, die Gestalt ln Z G λ, λ = 3λ 3 dx x 3 expx + λ + besitzt. 3P. Es gilt ln Z G λ, λ = = n,n,n 3 = σ=± n= ln [ + exp λ ε n n n 3,σ λ ] n + n + ln [ + exp λ n + 3/ λ ]. Im Kontinuumlimes λ erhält man daraus mit x = λ n und partieller Integration ln Z G λ, λ = = λ 3 dn n ln[ + exp λ n λ ] 3λ 3 dx x ln[ + exp x λ ] dx x 3 expx + λ +. Dabei wurde beim Übergang von der zweiten zur dritten Zeile partiell integriert. c Vereinfachen Sie die allgemeine Zustandssumme aus b für den Fall eines klassischen idealen Gases und bestimmen Sie daraus die mittlere Teilchenzahl NT, µ und die innere Energie UT, N. Welche Bedingung müssen die Teilchenzahl und die Temperatur erfüllen, damit die Näherung eines klassischen idealen Gases anwendbar ist? 5P. Der Grenzfall des klassischen idealen Gases ist durch exp λ charakterisiert. Der Integrand in?? kann dann durch x 3 exp x λ genähert werden, und man erhält ln Z G λ, λ = 3 Damit ergibt sich mit λ = µ/k B T 3 exp λ dx x 3 3 exp x = exp λ. NT, µ = ln Z G 3 = ln Z G = expµ/k B T, λ U = ln Z G λ = 3 λ ln Z G = 3k B T N. Das Resultat für U steht im Einklang mit dem klassischen Gleichverteilungssatz, nach dem jeder Freiheitsgrad, der quadratisch in die Hamiltonfunktion eingeht, einen Beitrag k B T/ zur inneren Energie liefert. Im Fall des harmonischen Oszillators gehen alle 3N Orts- und Impulskoordinaten quadratisch ein. Die Bedingung exp λ führt auf die Beziehung k B T /3 N /3, die im klassischen Grenzfall erfüllt sein muss.

d Betrachten Sie den entarteten Fall des nicht wechselwirkenden Spin- Systems. Vereinfachen Sie die allgemeine Zustandssumme aus b im Grenzfall extremer Entartung, d.h., T. Bestimmen Sie die mittlere Teilchenzahl NT, µ, das chemische Potenzial µt, N und die innere Energie UT, N in diesem Grenzfall. 5P. Im Grenzfall extremer Entartung gilt exp λ, d.h., λ. Die Funktion expx + λ + hat dann die Gestalt eines Fermi-Blocks, d.h., sie wechselt für wachsendes x in der Nähe von x = λ sehr rasch von auf. Daher ergibt sich näherungsweise für die Zustandssumme Damit erhält man d.h., ln Z G λ, λ 3 NT, µ = ln Z G λ = 3 /3 λ = 3N k B T, µt, N = k B T λ = 3N /3, 3 λ U = ln Z G λ = 3 λ ln Z G = 3k B T dx x 3 = 3 λ 4. 3 λ 3 = 3 µ 3 = µ 3, 3 k B T 3 3 λ 4 = 4 3N4/3. 3. Gegeben sei ein ideales Gas von Bosonen mit Spin J im ultrarelativistischen Grenzfall vernachlässigbarer Ruhemasse, das in einem Behälter mit Volumen V eingeschlossen ist. Betrachten Sie im Folgenden den thermodynamischen Limes dieses Systems. a Zeigen Sie, dass die großkanonische Zustandssumme oberhalb der kritischen Temperatur T c für Bose-Einstein-Kondensation durch 8πV ln Z G λ, λ = J + π λ c g 4e λ 3 gegeben ist. 3P. Im ultrarelativistischen Grenzfall sind die Einteilchenenergien durch ε p = c p gegeben vgl. Blatt 9. Im Kontinuumlimes gilt dann für die großkanonische Zustandssumme oberhalb der kritischen Temperatur V ln Z G λ, λ = J + d 3 p ln e λ c p λ π 3 = J + 4πV π 3 4πV = J + π λ c 3 dpp ln e λ cp λ dxx ln e x λ 4πV = J + 3π λ c 3 dx e x+λ 4πV = J + 3π λ c 3 Γ4g 4e λ 8πV = J + π λ c 3 g 4e λ. x 3

Dabei wurde beim Übergang von der dritten zur vierten Zeile partiell integriert und in der nächsten Umformung eine der Beziehungen verwendet, die in der Formelsammlung für die Bose-Einstein- Funktion angegeben ist. b Ermitteln Sie mit Hilfe der großkanonischen Zustandssumme die innere Energie U, den Druck p, die Teilchenzahl N sowie die Entropie als Funktion von T, V und µ. 6P. U = ln Z G λ = 3 λ ln Z G = J + 3V k BT 4 π c 3 g 4e µ/k BT, p = k BT V ln Z G = J + k BT 4 π c 3 g 4e µ/k BT, N = ln Z G λ = J + V k BT 3 π c 3 g 3e µ/k BT, S = T U + pv µn = T 3k BT ln Z G + k B T ln Z G µn = 4k B ln Z G µ T N 4V k B T 3 = J + k B π c 3 g 4e µ/kbt µv k B T J + k B π c 3 g 3 e µ/kbt = J + k B V k B T π c 3 [ 4k B T g 4 e µ/k BT µg 3 e µ/k BT ]. c Bestimmen Sie T c in Abhängigkeit von der Teilchendichte. 3P. Aus Aufgabenteil b folgt, dass die Teilchendichte n in Abhängigkeit von der Temperatur T und dem chemischen Potential µ durch n = J + k BT 3 π c 3 g 3e µ/k BT gegeben ist. Die Funktion g 3 x ist nur für x definiert und nimmt ihr Maximum g 3 = ζ3 bei x = an. Die maximale Teilchendichte, die bei festem T erreicht werden kann, ohne dass Kondensation eintritt, ergibt sich also für µ = und hat den Wert n = J + k BT 3 π c 3 ζ3. Anders ausgedrückt, beträgt die kritische Temperatur T c für Bose-Einstein-Kondensation bei gegebener Teilchendichte [ π ] /3 n k B T c = c. J + ζ3 d Wie hängt die relative Anzahl N /N der Teilchen im Kondensat von der skalierten Temperatur T/T c ab? 3P. Unterhalb der Kondensationstemperatur müssen bei der Berechnung der Teilchenzahl die Teilchen im Kondensat separat betrachtet werden. Da µ =, folgt mit den Ergebnissen aus b und c N = N + J + V k BT 3 T 3 = N + N. T c π c 3 ζ3 = N + J + V k BT 3 π c 3 ζ3 k BT c 3 k B T c 3

Es ist also N T 3 N =. T c

Formelsammlung Bose-Einstein-Funktionen Gamma-Funktion Fermi-Dirac-Funktionen g α e λ = dx xα Γα e x+λ λ g αe λ = g α e λ Γn + = dxx n e x = n! n N f α e λ = xα dx e x+λ +