Kapitel 2. Raumkurven. 2.1 Allgemeine Kurventheorie Die Weglänge

Kapitel 2 Raumkurven 2. Allgemeine Kurventheorie 2.. Die Weglänge Definition. Unter einer Raumkurve im IR n verstehen wir eine stetige Abbildung :[a, b] IR n. Weiter sprehen wir von einem C k -Weg, wenn jede Komponente von shon k-mal stetig differenzierbar ist. Wir diskutieren zunähst den Begriff der Länge eines Weges. Dazu treffen wir weitere Definitionen Definition. Sei :[a, b] IR n ein Weg. Mit bezeihnen wir die Menge ([a, b]). a) Unter einer Zerlegung Z von verstehen wir eine endlihe Unterteilung (t ),..., (t N )von, wobeit = a, t N = b und t <t 2 <... < t N sei. Die Menge aller derartiger Zerlegungen von bezeihnen wir mit Z (). b) Sind Z und Z 2 zwei Zerlegungen von, so sagen wir Z 2 sei feiner als Z, wenn jeder Teilpunkt von Z auh in Z 2 vorkommt. ) Sei jetzt Z Z () eine Zerlegung mit Teilpunkten (t ),..., (t N ). Dann setzen wir L(, Z) := N j= (t j+ ) (t j ) Aus der Dreieksungleihung folgt: L(, Z ) L(, Z 2 ), wenn Z 2 feiner als Z ist. d) Wir nennen rektifizierbar, wenn L() :=sup{l(, Z) Z Z ()} 9

2 KAPITEL 2. RAUMKURVEN endlih ist. Beispiel. Der folgende Weg wird als Grenzwert einer Folge von Wegen ( k ) k definiert: ist die Streke von bis 3 (in der Ebene IR 2 ) Zu 2 : Man ersetze in die Teilstreke von bis 2 durh die Shenkel des gleihseitigen Dreieks mit Eken bei 2 und 3 und (.5 2 3) Zu 3 : Man teile jede Teilstreke von 2 in drei gleihe Teile und ersetze jeweils das mittlere Teilstük durh die Shenkel eines gleihseitigen Dreieks. So fahre man fort: Ist k konstruiert, so teile man jede Teilstreke von k in drei gleihe Teile und ersetze jeweils das mittlere Teilstük durh die Shenkel eines gleihseitigen Dreieks und erhält k+. Im Bild sehen wir untereinander, 2, 3 und (in vergrößerter Form) 4 : Das so entstehende ist niht rektifizierbar, denn L( k )=4( 4 3 )k. Ein stetig differenzierbarer Weg ist immer rektifizierbar. 2... Satz. Ist :[a, b] IR n auf (a, b) stetig differenzierbar, so ist rektifizierbar, und es gilt L() = b a ċ(t) dt (Hierbei bedeutet ċ den Vektor der Ableitungen der Komponenten von ). Beweis. Ist nämlih Z = {(t ),..., (t N )} eine Zerlegung von, so ist (mit dem vorherigen

2.. ALLGEMEINE KURVENTHEORIE 2 Hilfssatz) L(, Z) = N j= (t j+ ) (t j ) = N j= tj+ ċ(t)dt t j N j= tj+ t j ċ(t) dt = b a ċ(t) dt Damit ist die Rektifizierbarkeit von gezeigt, ebenso, dass L() b ċ(t) dt. a Mit t bezeihnen wir den Weg [a, t], wenn t (a, b). Auh t ist rektifizierbar, und L( t ) L(). Sei t (a, b) und Z eine Zerlegung von t. Dann gilt für t <t<b: L( t, Z)+ (t) (t ) L( t ) da durh Hinzunahme von (t) zuz eine Zerlegung für t entsteht. Da aber Z beliebig ist, ist L( t )+ (t) (t ) L( t ) Damit wird aber (t) (t ) L( t ) L( t ) t t ċ(s) ds Dasselbe gilt auh, wenn t<t. Teilen wir die Ungleihungskette durh t t und lassen dann t gegen t gehen, so folgt, dass L( t ) eine differenzierbare Funktion ist und ihre Ableitung bei t gerade d dt L( t) = ċ(t ) t=t Das ergibt aber L() =L( b )= b a ċ(t) dt Beispiele. ) Ein Kreis um M mit Radius R. Wir setzen (t) = R+R(os t, sin t), für t [, 2π] und bilden ċ. Es gilt ċ(t) =R( sin t, os t), also ċ(t) = R. Das ergibt L() = 2π ċ(t) dt =2πR

22 KAPITEL 2. RAUMKURVEN 2) Die Zykloide (t) =(t sin t, os t) 2.5.5 2 3 4 5 6 Dann ist ċ(t) =( os t, sin t), ċ(t) 2 =( os t) 2 +sin 2 t =2( os t) =4sin 2 (t/2) Damit wird 2π π L() =2 sin(t/2)dt =4 sin sds =8 3) Die Parabel (t) =(t, t 2 )mitt [, 4]. Nun ist ċ(t) = +4t 2,also L() = = 4 +4t2 dt ( 2 t +4t 2 + 4 log(2t + ) +4t 2 ) = 2 65 + 4 log(8 + 65)=6.886 Wir können jede glatte Kurve in der Weise parametrisieren, dass ihr Geshwindigkeitsvektor die konstante Länge bekommt. 2...2 Hilfssatz. Ist γ :[a, b] IR n eine glatte Kurve, so sei L(t) := t γ(τ) dτ, für a t [a, b]. DannistL(a) =, und s hat eine Umkehrfunktion L :[,L(b)] [a, b]. DieKurve (s) =γ(l (s)) ist auf [,L(b)] definiert und der Vektor d (s) hat die konstante Länge. ds 4

2.. ALLGEMEINE KURVENTHEORIE 23 Beweis. Dies folgt aus der Kettenregel. Man sagt, dass die Kurve γ aus durh Parametrisierung nah der Bogenlänge hervorgehe. Beispiel. Der Kreis um mit Radius R wird durh ( ) os(s/r) γ(s) :=R, s<2πr sin(s/r) bogenlängenparametrisiert. 2..2 Ebene und räumlihe Kurven Das begleitende Frenetshe 2-Bein (3-Bein) Der Fall ebener Kurven Angenommen, wir haben eine nah der Bogenlänge parametrisierte glatte Kurve :[,b] IR 2,also ċ(s) =für alle s [,b]. Dann bilden ( ) ċ2 e (s) :=ċ(s), n(s) := (s) eine Orthonormalbasis im IR 2 für jede Wahl von s. Das System { e, e 2 } wird als das begleitende Frenetshe 2-Bein zu bezeihnet. Das begleitende Frenetshe 2-Bein ist in dem folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Ist { f, f 2 } ein System von Orthonormalbasen des IR 2,sodassf in Rihtung ċ weist und det( f, f 2 ) stets positiv ist, so ist shon { f, f 2 } = { e, e 2 }. Wir zweigen jetzt, dass jede ebene Kurve durh ihr begleitendes Frenetshes 2-Bein im Wesentlihen eindeutig festgelegt ist. Dazu leiten wir für das Frenetshe 2-Bein eine Differenzialgleihung her: Zunähst ist e (s) = und weiter steht auf ċ senkreht, denn, ċ (s) = d 2 ds ċ 2 =. Das bedeutet aber (s) =κ(s) e 2 (s), ċ wobei κ die durh definierte Funktion sein soll. Also ist κ(s) :=, e 2 (s) e (s) =κ(s) e 2 (s)

24 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Ferner haben wir wegen e 2, e 2 =,dass e 2 (s) =α(s) e (s) mit α(s) = e 2, e = d ds e 2, e e 2, e = κ(s) Das ergibt zusammen e (s) = κ(s) e 2 (s) e 2 (s) = κ(s) e (s) Frenetshe DGL Definition. DieGröße κ wird dabei Krümmung von genannt. Auh für niht bogenlängenparametrisierte Kurven γ wird die Krümmung definiert. 2..2. Hilfssatz. Ist γ :[a, b] IR 2 eine glatte Kurve, so ist ihre Krümmung durh κ γ (t) := det( γ, γ) γ 3 gegeben. Beweis. Man shreibe γ = h mit einer differenzierbaren Funktion h und einer nah der Bogenlänge parametrisierten Kurve. Dann haben wir γ = h h, γ = h h 2 + h h also det( γ, γ) = det(ċ, ) h h 3 und damit det( γ, γ) = det(ċ, ) h γ 3 Zusammen mit κ = det(ċ, ) folgt die Behauptung. Die Krümmung legt den Verlauf der Kurve fest: 2..2.2 Satz. Angenommen, es seien zwei Kurven, γ :[a, b] IR 2 gegeben und beide haben dieselbe Krümmung. Dann gibt es eine orthogonale Matrix A und ein B IR 2 mit = A γ + B

2.. ALLGEMEINE KURVENTHEORIE 25 Beweis. Sind { e, e 2 } und { e γ, e 2 γ } die begleitenden Frentshen 2-Beine zu und γ, so wählen wir A als orthogonale Matrix mit A e γ (a) = e (a), A e 2 γ (a) = e 2 (a) und dann B = (a) A γ(a). Dann erfüllen { e, e 2 } und {A e γ, A e 2 γ } dieselbe Frenetshe Differenzialgleihung und stimmen bei a überein. Damit stimmen sie überall überein. Daraus erhalten wir die Behauptung. Die Krümmung gibt uns bei ebenen Kurven ein geeignetes Maß für die Abweihung vom geraden Verlauf. Ist γ :( a, a) IR 2 eine glatte Kurve, also γ ohne Nullstellen, so wird die Tangenterihtungsvektor ( an γ(t) ) durh γ(t) und der Rihtungsvektor ihrer Normalen in diesem Punkt durh γ nor γ2 (t) = gegeben. γ Weiter erwarten wir, dass bei niht gerade verlaufenden Kurven die Normalen niht parallel verlaufen, sih also shneiden. Es seien t,t ( a, a). Dann shneiden sih die Normalen an γ durh die Punkte γ(t ) und γ(t), wenn es Werte λ,λ t IR mit γ(t )+λ γ nor (t )=γ(t)+λ t γ nor (t) gibt. Es folgt durh Bilden des Skalarproduktes mit γ(t ): γ(t ) γ(t), γ(t ) = λ t γ nor (t ), γ(t ) = λ t γ nor (t) γ nor (t ), γ(t ), wobei die letzte Gleihung aus γ nor (t ), γ(t ) = folgt. Taylorentwiklung von γ nor um t ergibt uns nun ( ) d γ nor (t) γ nor (t )= dt γnor (t )(t t )+O 2 (t t ) 2 in der Nähe von t. Nun teilen wir für t t durh t t und finden ( ) ( γ nor (t) γ nor (t ) d γ2 = t t dt γnor (t )+O (t t )= γ ) (t )+O (t t ) Einsetzen in die Gleihung für λ t führt auf γ(t ( ( ) ) ) γ(t), γ(t ) = λ t γ nor γ2 (t ), γ(t ) +, γ (t t t γ )+O (t t ) ( ) ) γ2 = λ t (, γ (t γ )+O (t t )

26 KAPITEL 2. RAUMKURVEN ( γ2 Fordern wir also, dass γ ), γ (t ) sein soll, so kann die Gleihung für einen Shnittpunkt zwishen beiden Normalen nah λ t aufgelöst werden. Nun lassen wir t gegen t streben und finden γ(t ) 2 lim λ t = t t,t t ( ) γ 2, γ(t γ ) Der Shnittpunkt zwishen beiden Normalen strebt also mit t t gegen den Punkt γ nor M(t ):=γ(t )+ κ(t ) γ nor (t ). Der Kreis um den Punkt M(t ) mit Radius wird der Shmiegkreis an γ bei γ(t κ(t ) )genannt und M(t )dershmiegkreismittelpunkt. Beispiele. a) Der Kreis um a mit Radius R hat die Krümmung konstant gleih /R. b) Ist f :[a, b] IR 2-mal stetig differenzierbar, so ist der Graph von f eine Kurve mit Parametrisierung α(t) =(t, f(t)). Die Krümmung κ ist nun κ(t) = f (t) ( + ( f (t)) 2 ) 3/2 ) Die Zykloide α(t) =r( t sin t, os t ) ist regulär auf (, 2π) mitderkrümmung κ(t) = 4r t os(t/2) 2sin(t/2) sin 2 (t/2) Die Krümmung beshreibt, wie shnell sih die Rihtung des Geshwindigkeitsvektors ändert: ( ) os ψ(t) 2..2.3 Satz. Ist α eine glatte reguläre Kurve und α = α mit der Winkelgeshwindigkeit ψ, so gilt κ = sin ψ(t) ψ. Beweis. Denn es gilt e α = α ( os ψ(t) α = sin ψ(t) ) (, e α = ψ sin ψ(t) os ψ(t) ) und e α 2 = ( ) α2 = α α Die Behauptung folgt aus κ = e α, e α 2 = ψ. ( sin ψ(t) os ψ(t) ).

2.. ALLGEMEINE KURVENTHEORIE 27 Evoluten und Evolventen Definition. Seiγ eine glatte Kurve, deren Krümmung nirgends vershwindet. Dann laufen die Shmiegkreismittelpunkte zu γ auf einer Kurve γ E, die man Evolute von γ nennt. Eine Kurve heißt Evolvente zu γ, wennγ = E gilt. Es ist also γ E (t) =γ(t)+ γ nor κ(t) γ nor (t). Die Berehnung von Evolventen spielt bei der Konstruktion von Zahnrädern eine große Rolle. Am bedeutendsten sind hierbei Zahnräder mit Evolventenverzahnung. Hier haben die Flanken der Zähne des Zahnrades die Form einer Evolvente einer geeigneten Kurve. Beispiel: DieParabelγ(t) =(t 2,t). Nun ist ( ) 2t 2 γ(t) =, κ(t) = ( + 4t 2 ) 3/2 also ( ) t γ E 2 (t) = t + ( 2 ( + 4t2 ) 2t ) = ( 2 +3t2 4t 3 ) 2-2 4 6 8-2 Hier haben wir eine Kennzeihnung der Evolventen einer glatten Kurve: 2..2.4 Satz. Angenommen, γ sei eine glatte nah der Bogenlänge paramterisierte Kurve. a) Ist dann t >, soist(t) :=γ(t)+(t t) e γ (t) eine auf [,t ) definierte Evolvente zu γ. b) Hat die Krümmung κ und ihre Ableitung κ nirgends eine Nullstelle, so hat jede Evolvente von γ die unter a) beshriebene Form.

28 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Beispiel: Die Kettenlinie und die Ziehkurve. Hängt man eine Kette an ihren beiden Enden auf, so beshreibt die derart durhhängende Kette eine Kettenlinie genannte Kurve. Parametrisiert man sie nah der Bogenlänge, so findet man Nun studieren wir die Evolvente (s) =a (Arsinh( s a ), +(s/a) 2 ) T (s) :=(s) s (s) Dann ist T (s) = s ( +(s/a) 2 3 s ) a a, Die Tangente an T durh T (s) hat die Darstellung λ T (s)+λt (s) und trifft die x-ahse im Punkte T (s)+λ a T (s), wobei λ a = a2 ( + s (s/a)2 ). Der Abstand zwishen diesem Shnittpunkt und dem Punkt T (s) ist also T (s) (T (s)+λ a T (s)) = λ a T (s) = a, also konstant. Die Kurve T wird Ziehkurve (Traktrix) genannt, denn sie ensteht auf folgende Weise: Man nehme ein Seil der Länge a und lege es längs der x-ahse hin, so dass ein Ende im Nullpunkt liegt. Dann bewege man dieses Ende längs der y-ahse. Das andere Ende beshreibt dann eine Kurve vom Typ T. 5 4 3 2.2.4.6.8.2.4 Die aufstrebende Kurve ist die Kettenlinie, die andere (eine Evolvente dazu) die Traktrix.

2.. ALLGEMEINE KURVENTHEORIE 29 Der Fall räumliher Kurven im IR 3 Angenommen, es sei eine nah der Bogenlänge paramterisierte Kurve und weiter, es sei auh nullstellenfrei. Dann gilt, ċ (s) = d ds (s) 2 = also steht auf dem Geshwindigkeitseinheitsvektor ċ senkreht. Wir nennen daher n = / den Normalenvektor an. Als den Binormalenvektor bezeihnen wir das Vektorprodukt b = ċ n. Durh {ċ(s), n (s), b (s)} wird dann an jeder Stelle (s) der Kurve eine Orthonormalbasis gegeben. Dies nennt man das begleitende (Frenetshe) 3-Bein zu. Wir stellen jetzt ein DGL-System für das Frenet-3-Bein auf: Offenbar gilt = n Weiter haben wir n (s) =αċ + β n (s)+γ b (s), wobei Definieren wir also so wird Shließlih haben wir noh 2 α = n (s), ċ = n (s), = β = n (s), n (s) = γ = n (s), b = n (s), b = n (s), ċ n κ(s) := (s) und τ := n (s), b, n (s) = κċ + τ b (s) b (s) = αċ + β n (s)+ γ b (s) Dabei ist α = b (s), ċ = b (s), = κ b (s), n =.Ebensoist γ = b (s), b = d n ds 2 =. Nun gilt noh β = b (s), n = b (s), n = τ b Also insgesamt: d ds ċ n b = κ n κċ + τ b (s) τ n

3 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Nun berehnen wir die Torsion der Kurve: Aus... τ = n, b =..., n =......, 3..., b 3 =, b = 2...,ċ = det(ċ,,... ) 2 Wir berehnen anshließend Krümmung und Torsion einer Kurve, die niht notwendig nah der Bogenlänge parametrisiert sein muss. Sei also nun γ eine glatte Kurve, für die γ und γ stets linear unabhängig sein sollen. Ist dann h eine geeignet gewählte Umparametrisierung, so können wir γ in der Form γ = h darstellen, wobei nun nah der Bogenlänge parametrisiert ist. Dann gilt γ =ċ hh Es folgt leiht, dass γ = hh 2 +ċ hh γ =... hh 3 +3 hh h +ċ hh det(γ,γ,γ )=det(ċ,,... ) hh 6 Weiter haben wir Da ċ auf senkreht steht, haben wir γ γ =(ċ ) hh 3 κ h = h = γ γ h 3 Also ist τ h = Wegen h = γ folgt gleihzeitig... det(ċ,, ) = det(γ,γ,γ ) 2 γ γ 2 Die Torsion misst, ob die Kurve eben ist: κ = γ γ γ 3 2..2.5 Satz. Genau dann verläuft eine Kurve :[,L] IR 3 in einer Ebene, wenn τ = ist.

2.. ALLGEMEINE KURVENTHEORIE 3 Beweis. Ist die Kurve eben, so sind ċ, und... immer linear abhängig, also τ =, da det(ċ,,... ) =. Umgekehrt angenommen, es sei τ =.Dannist b =,also b konstant gleih b (), also für alle t: d dt, b () = d dt, b (t) = ċ, b (t)+, b (t) = ċ, b (t) = ċ(t), ċ(t) n (t) =. Es folgt, b () = := (), b () Damit verläuft in der Ebene E := { x x, b () = }. R os(ωt) Beispiel: Für die Shraubenlinie γ(t) = R sin(ωt) haben wir kt Rω sin(ωt) os(ωt) sin(ωt) γ (t) = Rω os(ωt), γ (t) = Rω 2 sin(ωt), γ = Rω 3 os(ωt) k Also Das liefert uns und γ γ = Rω 2 k sin(ωt) k os(ωt) Rω κ = γ γ = Rω 2 R2 ω 2 + k 2 γ 3 R2 ω 2 + k = Rω 2 23 R 2 ω 2 + k 2 τ = det(γ,γ,γ ) γ γ 2 = R 2 ω 5 k (R 2 ω 2 + k 2 )R 2 ω 4 = ωk R 2 ω 2 + k 2 Zum Shluss berehnen wir das begleitende Frenetshe 3-Bein bei allgemein parametrisierten Kurven. Sei also α eine solhe glatte Kurve und bogenlängenparametrisiert, so dass α = h mit einer glatten Funktion h, sodassh >. Dann gilt Es folgt α =ċ hh, α = hh 2 +ċ hh α α =(ċ ) hh 3 und mit der Rehenregel für das 3-fahe Vektorprodukt (α α ) α =( ċ h 2 h ċ, h) h 4 = hh 4

32 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Das zeigt, dass (α α ) α in Rihtung n weist. So finden wir, dass { α α, (α α ) α (α α ) α, α α α α } als begleitendes Frenet-3-Bein gewählt werden kann. 2.2 Wegintegrale 2.2. Allgemeine Definition Wir können nun Wegintegrale stetig differenzierbarer Funktionen wie folgt einführen: Definition.Ist :[a, b] IR n ein stetig differenzierbarer Weg, so soll für jede (vektorwertige) stetige Funktion f : IR n unter f( s),d s das Integral f( s),d s := b a f((t)), ċ(t) dt verstanden werden. Das folgende zeigt, dass diese Definition von der gewählten Parametrisierung niht abhängt: 2.2.. Hilfssatz. Ist h :[a,b ] [a, b] umkehrbar und stetig mit h(a )=a, h(b )=b und ist weiter h auf (a,b ) stetig differenzierbar, dann ist für jeden glatten Weg :[a, b] IR n wobei := h. b f((t)), ċ(t) dt = b a a f( (t)), ċ (t) dt, Beispiel.Istetwaf : IR 3 IR 3 definiert als f( x) :=(x,x 2 x,x 3 +x ) und :[, ] IR 3 die Shraubenlinie (t) :=(Ros(2πt),Rsin(2πt), 3t)

2.2. WEGINTEGRALE 33 so wird f( s),d s = = +3 f(r os(2πt),rsin(2πt), 3t) 2πR sin(2πt) 2πR os(2πt) 3 dt ( 2πR 2 os(2πt)sin(2πt)+2πr 2 (sin(2πt) os(2πt))os(2πt) ) dt ( R os(2πt)+3t) dt = 2πR 2 os 2 (2πt)dt +3 = πr 2 + 9 2 ( R os(2πt)+3t) dt 2.2.2 Stammfunktionen Definition. Istf : B IR n stetig auf einer Kugel B, so nennen wir eine skalare Funktion U : B IR, welhe stetig differenzierbar ist, auh Stammfunktion zu f, wenn U = f gilt. Wann hat eine vektorwertige Funktion f : B IR n eine Stammfunktion? Dazu muss eine Bedingung erfüllt sein, ohne die eine Stammfunktion niht gefunden werden kann. 2.2.2. Hilfssatz. Hat f : B IR n auf B eine Stammfunktion U, so gilt: Ist :[a, b] IR n ein stetig differenzierbarer Weg, so gilt f( s),d s = U((b)) U((a)) Ist also sogar ein geshlossener Weg ist, also (a) =(b), soist f( s),d s = a Manhmal shreibt man in diesem Fall auh O f( s),d s = Beweis. Die Kettenregel lehrt, dass b d (U ) b U((b)) U((a)) = dt = U((t)) ċdt= f( s),d s dt a

34 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Wir streben nun an, eine Differentialbedingung an eine vektorwertige Funktion f zu finden, die für Existenz einer Stammfunktion notwendig ist. Dazu sehen wir uns nun das folgende C 2 -Rihtungsfeld f : IR n IR n an und wollen f längs eines Kreises mit Radius R integrieren, der in einer Ebene liegt, die durh die (orthogonalen) Einheitsvektoren u und v aufgespannt wird und durh einen Punkt x geht. x Dazu shreiben wir (t) = x + R ( u os t + v sin t) und rehnen aus f( s),d s = = R +R f((t)) ċ(t)dt u f( x +(R u os t + R v sin t))sintdt v f( x +(R u os t + R v sin t))ostdt Wir nehmen weiter an, dass R klein sei. Dann können wir die Taylorentwiklung von f um x verwenden. Dann gilt + f( x +(R u os t + R v sin t))=f( x )+J f ( x ) ( R u sin t + R v os t) n ( e j ( R u sin t + R v os t) Hesfj (( τ j,t ) x + τ j,t (R u os t + R v sin t))( R u sin t + R v os t) ) j= Mit einer Zahlen τ j,t (, ). Nun kürzen wir für den Restterm mit Φ 2 (t) ab und sehen, dass Φ 2 (t) MR 2

2.2. WEGINTEGRALE 35 mit irgendeiner geeigneten Shranke M. Nun setzen wir dies alles in das Wegintegral ein und erhalten 2π f( s),d s = R 2 u J f ( x ) v mit einem Fehlerterm E( x,r), der durh abzushätzen ist. So können wir sehen, dass der Quotient 2π sin 2 tdt + R 2 v J f ( x ) u os 2 tdt 2π + Φ 2 (t) ( R u sin t + R v os t) dt = πr ( 2 v J f ( x ) u u J f ( x ) v ) + E( x,r) E( x,r) M R 3 f( s),d s πr 2 mit R einem Grenzwert zustrebt, den man als lokale Wirbeldihte des Feldes bei x ansehen kann. Definition. a) Wir nennen eine Menge W IR n offen, wenn zu jedem Punkt x W eine Kugel mit Mittelpunkt x gefunden werden kann, die noh ganz in W enthalten ist. b) Ist f : W IR n ein C 2 -Rihtungsfeld auf einer offenen Menge, dann bezeihnet man als Rotation von f in x W die durh definierte alternierende 2-Form auf IR n. Beispiele. a)wennn =2,ist rotf( x )( u, v) := v J f ( x ) u u J f ( x ) v rotf( x )(u, v) = Im Spezialfall n = 3 gilt in Koordinaten ( f2 f ) det( u, v) x x 2 rotf( x )( u, v) = f( x ) ( u v) wie nun ohne Mühe nahgerehnet werden kann. Dabei bedeutet f( x )denvektor f( x ):= f 3 x 2 f 2 x 3 f x 3 f 3 x f 2 x f x 2 ( x )

36 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Mitunter wird f( x )mitdemsymbolrotf( x ) bezeihnet. Wir können jetzt Rihtungsfelder kennzeihnen, die sih als f = U mit einer Funktion (Potential) U darstellen lassen. Folgendes wissen wir shon: 2.2.2.2 Hilfssatz. Ist f : W IR n ein C 2 -Rihtungsfeld mit Potential U, alsof = U mit einer C 3 -Funktion, so ist f( s),d s =für jeden geshlossenen Weg in W,ebensoist rotf( x) =für jedes x W. Sind diese Kriterien auh hinreihend für die Existenz eines Potentials? Dazu sehen wir uns ein Beispiel an. Es sei W ein Kreisring in der Ebene, etwa W = { x r < x <r 2 } mit r < <r 2, und f( x) = ( ) x2 x 2 x Dann ist also f x 2 = x 2 + 2x2 2 x 2, f 2 x = x 2 2x2 x 2 rotf( x) = 2 x 2 + 2x2 2 x 2 + 2x2 x 2 = Aber ist nun (t) = (os t, sin t), so folgt f( s),d s =2π Also kann f niht über ganz W als U mit irgendeiner differenzierbaren Funktion W dargestellt werden. Ob ein Rihtungsfeld f Gradient einer Funktion U istoderniht,hängt also niht nur von f ab, sondern auh vom Definitionsbereih von f. Definition. Wir nennen eine offene Menge W IR n sternförmig, wenn ein Punkt x W derart gefunden werden kann, dass für jeden Punkt P W die Verbindungsstreke von P nah x ganz innerhalb W verläuft. Hier sind Beispiele:

2.2. WEGINTEGRALE 37 niht sternförmig sternförmig Über einem sternförmigen Gebiet ist jedes Rot-freie Feld Gradient einer Potentialfunktion. Um das zu zeigen benötigen wir ein Hilfsmittel über die Vertaushung von Limesbildung und Integral. 2.2.2.3 Hilfssatz. Angenommen u :[a, b] V IR sei eine stetige Funktion. a) Dann ist auh v( x) := b a u(t, x)dt eine auf V stetige Funktion. b) Sind ferner die. partiellen Ableitungen von u(t, x) bezgl. x stetig, so ist auh v stetig differenzierbar, und für alle k n. v b ( x) = x k a u x k (t, x)dt Nun sind wir bereit für den Beweis des Satzes über die Existenz eines Potentials: 2.2.2.4 Satz. Ist W IR n ein sternförmiges Gebiet und f : W IR n ein stetig differenzierbares Rihtungsfeld, so gibt es genau dann eine stetig differenzierbare Funktion U : W IR mit U = f, wennrotf =.

38 KAPITEL 2. RAUMKURVEN Beweis. Wir wählen einen Punkt x W,sodassfür jeden Punkt x W die Verbindungsstreke x (t) := x + t( x x ), t von x nah x ganz innerhalb von W bleibt. Dann behaupten wir, die Funktion U( x) := f( s),d s x leiste das Verlangte. Dazu shreiben wir U aus: U( x) = u(t, x)dt, mit u(t, x) =f( x + t( x x )) ( x x ) Die Voraussetzung rotf = bedeutet, dass f i = f j, i, j n x j x i Der vorherige Hilfssatz ist auf dieses u anwendbar und ergibt U x k ( x) = u x k (t, x)dt Nun errehnen wir aber u (t, x) = n f j ( x + t( x x ))(x j x x k x j) k j= n = t f j ( x + t( x x ))(x j x j x )+f k( x + t( x x )) k Das führt auf U ( x) = x k wie gewünsht. j= = t n j= f k x j ( x + t( x x ))(x j x j )+f k( x + t( x x )) = t d dt f k( x + t( x x )) + f k ( x + t( x x )) = d ( t fk ( x + t( x x )) ) dt u (t, x)dt = x k d dt ( t fk ( x + t( x x )) ) dt = t f k ( x + t( x x )) = f k ( x)