Praktikum ETiT V / Vorbereitungsaufgaben V. Vorbereitungsaufgaben (Versuch Summe pro Aufgabe 4 Punkte. a Geben Sie die Formel für die Kapazität eines Plattenkondensator mit Dielektrikum an (P. Wie groß ist (.5P? b Wie kann die Kapazität des Plattenkondensators in der Versuchsanleitung verändert werden (P? c Geben Sie die Differenzialgleichung für den Strom in einem C-Glied in Abhängigkeit der Gesamtannung u(t an (,5 P. ösung: a C A r x V. s/(a. m: die Dielektrizitätskonstante des Vakuums 8.854 r : die relative Dielektrizitätszahl des verwendeten Dielektrikums zwischen den Elektroden. b Die Kapazität dieses Plattenkondensators kann durch Veränderung verschiedener Parameter beeinflusst werden. Plattenabstand x relative Dielektrizitäskonstante (verschiedene Materialien, die eingeschoben werden Mehrschichtkondensator (mehrere Materialien werden eingeschoben c u( t i( t uc ( t ; uc ( t i( t dt ; C t di ( t du( t i( t dt C dt. a Berechnen Sie die Kapazität eines Plattenkondensators C rech (in pf mit kreisförmigen Platten-Elektroden mit dem Plattendurchmesser d = 56 mm ( = 8,854 - F/m, r = für Plattenabstände x =,, 5,,,, 4, 5 mm (P. Skizzieren Sie den Graph C rech = f(x (,5P! b Welche mathematische Kurve ist dies (.5P? c Wie groß sind die Grenzwerte C rech (x und C rech (x (P? ösung: a C rech r A ; mit x A 4 d 5,47 mm x / mm 5 4 5 C rech / pf 455,7 7,8 9, 45,6,8 5,,4 9, C rech / pf 5 45 4 5 5 5 5 4 5 x / mm b Hyperbel c Für x : C rech und für x : C rech T Darmstadt
Praktikum ETiT V / Vorbereitungsaufgaben V. a eiten Sie die -db Eckkreisfrequenz eines C-Glieds her (P! b Berechnen Sie die -db Eckkreisfrequenz (P und die Eckfrequenz (P eines C- Glieds für = k und C = F. ösung: a C C Für = : j b = s - ; fdb 59,55 Hz C jc mit jc j jc C C ; lg db. 4. a Beschreiben Sie, wie die Kapazität C eines -C-Glieds mit einem echteckgenerator messtechnisch bestimmt wird (P. b Geben Sie die Auswerteformel an (P! c Zeichnen Sie die Schaltung dazu (P. ösung: Schaltung zur Bestimmung der Kapazität Aus dem zeitlichen Verlauf der Spannung u C (t kann man die Kapazität C bestimmen. Wird an den Zweipol des -C-Gliedes eine Spannung u(t mit einem zeitlichen echteckverlauf gelegt, so entsteht durch den Wechsel von Auf- und Entladevorgängen eine Spannung u C (t am Kondensator C. Diese Spannung ist eine auf- und abklingende Exponential-Funktion. Zwischen der maximalen Spannung c,max und dem Spannungsminimum c,min herrscht die einfache Beziehung c,min = c,max. e - /T Über das Oszilloskop misst man die Höhe des Minimums c,min und des Maximums c,max, sowie die Abklingzeit t dieser Funktion u c (t. So lässt sich die Kapazität bestimmen: t C. C, max ln C, min T Darmstadt
Praktikum ETiT V / Vorbereitungsaufgaben V 5. Wie kann die Zeitkonstante eines -C-Gliedes aus einem Messschrieb der Spannung am Kondensator über die Zeit ermittelt werden (P? Zeigen Sie dies anhand einer Skizze (P! ösung: Der Funktionswert 6% der maximalen Spannung u c,max wird ermittelt. Die Zeit zwischen u c,min und,6 u c,max ist die Zeitkonstante. 6. a Zeichnen Sie qualitativ die Zeitverläufe der Gesamtannung u und des Stroms i C im Kondensator eines -C-Gliedes bei sinusförmiger Speisung (P. Tragen Sie die Phasenverschiebung (mit richtigem Vorzeichen ein (P! b Berechnen Sie diese Phasenverschiebung allgemein (P. ösung: a Der Strom eilt der Spannung um den Winkel vor, wobei -9 ist. Zählrichtung vom Strom zur Spannung, daher ist negativ. i / ma u / V u i i u - - - - - -,8,9,,,,,4 Zeit t / s Zeitverläufe der Eingangsannung und des Stroms am Kondensator b I ( j I(cos jsin C jc C ( : Der Winkel von der Spannung (reell zum Strom Im( I arctan arctan arctan e( I C C Im( Z X C arctan arctan arctan (ein kapazitiv: -9, sonst > -9! e( Z C T Darmstadt
Praktikum ETiT V / 4 Vorbereitungsaufgaben V 7. Erläutern Sie qualitativ das Tiefpassverhalten der Ausgangsannung eines -C- Glieds (P. Wie groß ist das Verhältnis Ausgangs- /Eingangsannung bei der Eckkreisfrequenz (.5P? Mit wie viel db je Dekade sinkt oder steigt der Spannungsabfall am Kondensator mit steigender Frequenz (.5P? Weisen Sie dies durch eine kurze echnung nach (P. ösung: Die Eingangsannungen mit Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz Eckkreisfrequenz werden nahezu unabgedämpft an den Ausgang übertragen. Spannungen mit Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz Eckkreisfrequenz werden in ihrer Amplitude abgeschwächt (gefiltert. Bei der Eckkreisfrequenz wird die Ausgangsannung um % (=-/, das sind logarithmisch lg(/ = - db, geschwächt. Oberhalb dieser Frequenz sinkt das Spannungsverhältnis am Kondensator im Bezug zur Eingangsannung um db pro Dekade. C Für >> : j C, ; lg db C, C ; Eine Frequenzdekade: / = 8. Zeichnen Sie das BODE-Diagramm ( (P und (P des -C-Glieds als Tiefpass. Skalieren Sie die Achsen im Frequenzbereich, /. Bezeichnen Sie numerisch den Wert von und bei der Eckkreisfrequenz (P. Zeichnen Sie die Asymptoten (P! Asymptoten BODE-Diagramm des -C-Glieds: oben: Amplitudengang, unten: Phasengang 9. Geben Sie die Schaltung zur Messung des BODE-Diagramms des -C-Glieds (siehe Versuchdurchführung an (P. Erläutern Sie die Versuchdurchführung (P. Wie werden die Auswertegrößen und aus den Oszilloskopgrößen erhalten (P? T Darmstadt
Praktikum ETiT V / 5 Vorbereitungsaufgaben V ösung: Der Funktionsgenerator ist auf "Sinussignal" zu stellen und eist als Spannung u das -C-Glied. Bei verschiedenen Frequenzen werden mit dem Oszilloskop der Effektivwert der Eingangsannung u (t und der Effektivwert der Spannung am Kondensator u C (t sowie C die zeitliche Phasenverschiebung t gemessen. Daraus: lg ; f t. FG vc 5 6 Frequenzzähler AC V u (t C u c (t Masse Schaltung zur Bestimmung des BODE-Diagramms des -C-Gliedes. Geben Sie die Schaltung zur Messung der Strom-Ortskurve I( des -C-Glieds an (P. Erläutern Sie den Versuchsablauf (P. Wie werden die Größen der Ortskurve I( aus den Messgrößen ermittelt (P? ösung: Der Funktionsgenerator ist auf "Sinussignal" zu stellen. Bei konstantem Spannungseffektivwert, gemessen mit dem Voltmeter, wird bei verschiedenen Frequenzen f mit dem Oszilloskop der Spannungsabfall vc am Vorwiderstand vc sowie die zeitliche Phasenverschiebung t zwischen u vc und u gemessen. Der Effektivwert des Stroms i wird über den Spannungsfall vc am Vorwiderstand vc durch I = vc / vc bestimmt. Der Phasenwinkel des Stroms wird mit f t f t 6 berechnet. u vc (t ~ i(t 4 FG Masse vc 5 6 Frequenzzähler AC V u (t C A 4 i(t Schaltung zur Messung der Ortskurve I( des C-Gliedes. Für folgende Kreisfrequenzen berechnen Sie und zeichnen Sie maßstäblich für ein - C-Glied mit = k und C = F (Bild.7- die Strom-Ortskurve I( für einen konstanten Spannungseffektivwert = V (P. Markieren Sie den Punkt der Eckkreisfrequenz (.5P. Welcher Form hat die Strom-Ortskurve (Gerade, Kreis, Ellipse (.5P? ω /s -, 5 4 68 5 ösung: I ; vc jc arctan vc C T Darmstadt
Praktikum ETiT V / 6 Vorbereitungsaufgaben V ω /s - I /ma φ / I e /ma I Im /ma,, -9,,, 5-87,8,7 4,899-7,568,69,857 68,595-57,87,849,5, -45,,5,5,68-6,565,4, 5,94 -,,885 77,985-5,7,97,97 5,999 -,46,999,6, -7,, Die Ortskurve ist ein Halbkreis!, C-Strom-Ortskurve,, Im(I / ma φ,,,,, e( I / ma. Berechnen Sie die Induktivität (P und den OHM'schen Widerstand (P bei C einer zylindrischen uftule der änge l = 68 mm, mit N = 5 Windungen ( = 57 6 S/m, Drahtquerschnitt q cu = 7,85-7 m, = 4-7 Vs/(Am. Nehmen Sie dabei an, dass eine Windung als Kreis mit einem mittleren Durchmesser von d m = 4 mm ausgeführt ist. ösung: = 57 6 (m - ; q Cu = 7,85-7 m² ; N = 5 ; d m = 4 mm ; l = 68 mm, l cu = d m = 6 m lcu N A 7 dm 4, ; N 4 5 5,655 mh q l 4 l cu. a eiten Sie de Formel für die Eckkreisfrequenz eines -Glieds her (Bild.5-4 (P. b Berechnen Sie die -db Eckkreisfrequenz (P und die Eckfrequenz (P eines - -Glieds (Bild.8- mit einer uftule Sp = 5,655 mh, die den Widerstand Sp = 4, hat und einem Vorwiderstand VSp =. ösung: a j mit j j / Für = : j ( / lg db. ; b ges = Sp + VSp = 4, ; T Darmstadt ges = 847,94 s - ; fdb 9,898 Hz
Praktikum ETiT V / 7 Vorbereitungsaufgaben V 4. a Berechnen Sie die Formeln für den Amplitudengang (,5P und den Phasengang (,5 P der Spannung an der Spule / für die angegebene Schaltung. b Zeigen Sie den Sonderfall = für (.5P und (.5P und vergleichen Sie das Ergebnis mit den Formeln im Skript. v 5 6 V u (t u (t 4 ösung: a ( j v j ( v ( ( ( lg lg lg ( v ( ( v ( j ( v ( j v,5 j ( ( v v arctan v ( ( v,5 b Sonderfall: = ; ( lg lg v ( v arctan arctan ( lg v ( ( / lg ( / 5. a Erläutern Sie qualitativ das Hochpassverhalten der Ausgangsannung eines -- Glieds (P. b Zeichnen Sie die Schaltung dazu (P. c Mit wie viel db je Dekade sinkt oder steigt der Spannungsabfall an der Induktivität mit steigender Frequenz (.5P? d Zeigen Sie dies durch eine einfache echnung (.5P! ösung: a Die Amplitude der Eingangsannungen mit Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz Eckkreisfrequenz werden am Ausgang nahezu unabgedämpft übertragen. Die Amplitude der Spannungen mit Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz Eckkreisfrequenz werden abgeschwächt (gefiltert. c Mit steigender Frequenz steigt der Spannungsfall an der Induktivität um db pro Dekade, bei der Eckkreisfrequenz wird die Ausgangsannung um db geschwächt. T Darmstadt b --Hochpass
Praktikum ETiT V / 8 Vorbereitungsaufgaben V d Für << :,, v ( ( / / ; Eine Frequenzdekade: / = ; lg db 6. Zeichnen Sie das BODE-Diagramm ( (P und (P des --Glieds als Hochpass. Skalieren Sie die Achsen im Frequenzbereich, /. Bezeichnen Sie numerisch den Wert von und bei der Eckkreisfrequenz (P. Zeichnen Sie die Asymptoten (P! Asymptoten BODE-Diagramm des --Glieds: oben: Amplitudengang, unten: Phasengang 7. a Geben Sie die Schaltung zur Messung der Strom-Ortskurve I( des --Glieds an (P. b Beschreiben Sie den Messablauf (P. c Wie werden die Größen der Ortskurve I( aus den Messgrößen ermittelt (P? FG Verstärker u (t ~ i(t Masse 5 v 6 AC V u (t ösung: a i(t A 4 Schaltung zur Bestimmung der Ortskurve des -Gliedes T Darmstadt
Praktikum ETiT V / 9 Vorbereitungsaufgaben V b Der Funktionsgenerator ist auf "Sinussignal" zu stellen. Er eist das --Glied mit der Spannung u (t. Bei konstanter Spannungsamplitude, gemessen mit dem Voltmeter, werden bei verschiedenen Frequenzen mit dem Oszilloskop der Spannungsabfall am Vorwiderstand v sowie die zeitliche Phasenverschiebung t gemessen. Der Effektivwert des Stroms I wird über den Spannungsabfall am Vorwiderstand v aus I = / v bestimmt. c Mit dem Betrag des Stroms I und dem Phasenwinkel f t f t 6 wird die Ortskurve gezeichnet. 8. a Für folgende Kreisfrequenzen berechnen und zeichnen Sie maßstäblich die Strom- Ortskurve I( eines --Glieds bei konstantem Spannungseffektivwert =,5 V am Eingang (P. Die uftule ( Sp = 6 mh, Sp = 5,5 Ω ist in eihe mit einem ohmschen Vorwiderstand VSp = Ω geschaltet (Bild.8-. b Zeichnen Sie die age des Stromzeigers bei der Eckkreisfrequenz (.5P! c Welche Form hat die Ortskurve (Gerade, Kreis, Ellipse (.5P? ω /s - 6 6 758, 5 7 5 6 ösung: a I ( VSp Sp ; j Sp Sp arctan VSp Sp ω /s - I /ma φ / I e /ma I Im /ma,7,,7, 6,98,96,78,4,89 9,7,67 5,546 6,58 8,96 9,86,8 8,,4,888 5,8 758,,559 45, 6,659 6,659 5 4,96 6,44 6,669, 7 8,84 75,957,96 7,84 5 4,6 8,7,64 4,577 8 88,997, 8 b Siehe Skizze! c Die Ortskurve ist ein Halbkreis! e(i / ma 5 5 5 5 -Strom-Ortskurve Im(I / ma 9. a Geben Sie die Zeitkonstante T einer --Serienschaltung an (,5P. b Wie verändert sich die Zeitkonstante T, wenn die Temperatur des Widerstandes von C auf 5 C steigt (,5P? (Zur Erwärmung des Widerstandes siehe Versuch. ösung: a T ; 5C / C. 5. b Die Zeitkonstante T wird kleiner: T T.66,5 5C / C,5 φ -. a Beschreiben Sie, wie die Spuleninduktivität Sp eines --Glieds mit einem echteckgenerator messtechnisch bestimmt wird (P. b Geben Sie die Auswerteformel an (P. c Zeichnen Sie die Schaltung dazu (P. T Darmstadt
Praktikum ETiT V / Vorbereitungsaufgaben V ösung: a Aus dem zeitlichen Verlauf der Spannung am Vorwiderstand u v (t kann man die Induktivität bestimmen. Wird an den Zweipol des --Glieds eine Spannung u(t mit einem zeitlichen echteckverlauf gelegt, so entsteht durch den Wechsel von Auf- und Entladevorgängen eine Spannung u v (t, die eine Exponentialfunktion ist. Zwischen der maximalen Spannung v,max und dem Spannungsminimum v,min herrscht die einfache Beziehung v,min = v,max. e - /T b Über das Oszilloskop misst man die Höhe des Minimums v,min und des Maximums v,max sowie die Zeit t zwischen diesen beiden Werten. So lässt sich die Spuleninduktivität bestimmen: t ( v. ln( / FG - Verstärker v, max v,min Masse u (t ~ i(t v 5 6 DC Frequenzzähler u (t + 4 c Schaltung zur Bestimmung der Spuleninduktivität. Zeigen Sie durch Einsetzen, dass (..-4 ist. (4P. t / T i( t e eine ösung der Differentialgleichung T Darmstadt