$Id: transform.tex,v.7 29//25 2::59 hk Exp $ $Id: kurven.tex,v.2 29//26 3:3:25 hk Exp hk $ 2 Koordinatentransformationen 2.5 Uneigentliche Rieman-Integrale Bisher haben wir das Rieman-Integral nur für beschränkte Funktionen definiert die über beschränkte Mengen integriert werden. Genau wie beim eindimensionalen Rieman- Integral in 3 des letzten Semesters kann man sich von dieser Einschränkung durch geeignete Grenzwertbildungen befreien. Erinnern wir uns zunächst einmal an das Vorgehen im eindimensionalen Fall. Eine Funktion f : R R hatten wir uneigentlich Rieman-integrierbar genannt, wenn der Grenzwert f(x) dx = lim a a f(x) dx existiert. Zusätzlich musste natürlich vorausgesetzt werden das die Funktion f überhaupt über alle Intervalle [, a] für a integrierbar ist. Andere Typen uneigentlicher Integrale wurden dann entsprechend definiert. Bei Funktionen in mehreren Variablen ist eine solche Definition nicht direkt möglich, da es ungezählte Möglichkeiten gibt wie der Integrationsbereich nach unendlich gehen kann. Man könnte ein Integral R 2 f(x, y) d(x, y) zum Beispiel als den Grenzwert der Integrale von f über Kreise mit Mittelpunkt definieren wenn der Radius der Kreise gegen Unendlich geht. Genausogut könnte man auch irgendeinen anderen Mittelpunkt nehmen oder statt Kreisen Quadrate benutzen, und so weiter. All diese Grenzwerte sind im Allgemeinen voneinander verschieden sofern sie überhaupt existieren. Die übliche Methode dieses Problem zu umgehen, ist es sich auf absolute Rieman-Integrierbarkeit zu beschränken. Absolut Rieman-integrierbare Funktionen hatten wir dabei auch in einer Variablen definiert, aber dort kam man notfalls auch ohne absolute Integrierbarkeit aus. In mehreren Variablen hingegen ist es recht selten nicht absolut integrierbare Funktionen zu betrachten. Dies führt auf die folgende Definition uneigentlicher Rieman-Integrale in mehreren Variablen. Definition 2.2: Seien U R n offen und f : U R eine fast überall stetige Funktion. Dann nennen wir f absolut Rieman-integrierbar über U, wenn es eine Konstante C R gibt so, dass für jede beschränkte, Jordan-meßbare Menge D U stets f(x) dx C ist. Man kann zeigen, dass es eine Folge (D D k) k N kompakter, Jordanmeßbarer Mengen (D k ) k N mit U = k N D k und D k D k+ für alle k N gibt, 9-
und das weiter im Fall einer absolut über U Rieman-integrierbaren Funktion f für jede solche Folge der Grenzwert f(x) dx := lim f(x) dx U k D k existiert, und unabhängig von der speziell gewählten Folge ist. In diesem Fall gilt dann auch f(x) dx C. U Folgen D k wie in dieser Definition bezeichnet man auch als Ausschöpfungen der Menge U. Für U = R 2 haben wir beispielsweise die Ausschöpfungen y k y k D D2 x D D2 x D 3 D 3 D 4 D k = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 k 2 } D k = [ k, k] [ k, k] einmal durch Kreise mit Mittelpunkt und Radius k und einmal durch Quadrate der Kantenlänge 2k mit Mittelpunkt in. Die Definition der absoluten Rieman-Integrierbarkeit sieht zunächst nicht besonders gut verifizierbar aus, aber dies ist nur eine Täuschung. Hat man nämlich bereits eine die Menge U ausschöpfende Folge (D k ) k N, so ist eine fast überall stetige Funktion f : U R genau dann uneigentlich Rieman-integrierbar, wenn sup k N D k f(x) dx < ist, es reicht also sich die Mengen D k anzuschauen. Im recht häufigen Spezialfall f(x) für alle x U fällt das Überprüfen der absoluten Integrierbarkeit dann sogar mit der Berechnung des Integrals zusammen, da man die Integrale D k f(x) dx = D k f(x) dx sowieso ausrechnen muss. 9-2
Bezeichnen wir etwa für U = R 2 mit B r für r > die Kugel mit Radius r und Mittelpunkt in, so ist eine fast überall stetige Funktion f : R 2 R genau dann absolut Rieman-integrierbar wenn ist, und in diesem Fall haben wir sup k N B k f(x) dx < f(x) dx = lim f(x) dx. R 2 k B k Alle unsere bisherigen Sätze über Rieman-Integrale gelten entsprechend weiter. Dies gilt insbesondere für die Grenzwertsätze aus.6, diese Sätze hatten wir tatsächlich bereits so formuliert das sie sich auf den uneigentlichen Fall übertragen. Als ein Beispiel wollen wir einmal das Integral e x2 y 2 d(x, y) berechnen. Für R 2 jedes n N haben wir x2 y2 e B n und damit gilt d(x, y) = n π π x2 y2 e R 2 Andererseits ist für jedes n N auch und es folgt auch x2 y2 e [ n,n] 2 x2 y2 e R 2 re r2 dφ dr = 2π d(x, y) = Insgesamt liefert dies die Formel n d(x, y) = lim n π( e n2 ) = π. [ n,n] 2 e x2 n re r2 dr = πe r2 = π( e n2 ), ( n 2 e y2 d(x, y) = e dx) x2, n ( n 2 ( 2 d(x, y) = lim e dx) x2 = e dx) x2. n n e x2 dx = π (Gaußsches Fehlerintegral). 3 Kurven In den ersten beiden Kapiteln haben wir die Integration über n-dimensionale Objekte im R n behandelt. In vielen Zusammenhängen benötigt man allerdings auch Integrale über k-dimensionale Teilmengen des R n mit k < n. In der für uns wichtigsten 9-3
Dimension n = 3 gibt es für k dann die Möglichkeiten k = und k = 2, und Integration über diese Mengen bezeichnet man als Kurvenintegrale beziehungsweise als Oberflächenintegrale. Für jeden dieser beiden Integrationstypen gibt es dann zwei verschiedene Integralvarianten je nach Typ des Integranden. Bei den Kurven- beziehungsweise Oberflächenintegralen erster Art wird eine reellwertige Funktion f integriert, in diesem Zusammenhang spricht man dann oft auch von einer skalaren Funktion oder manchmal auch von einem Skalarfeld. Bei den Integralen zweiter Art wird dagegen über eine vektorwertige Funktion integriert, wobei die Vektoren dieselbe Dimension wie der Gesamtraum haben. Diese Integranden werden dann oft auch als Vektorfelder bezeichnet. Bei den von uns bisher betrachteten Integralen haben diese Integrale zweiter Art keine Rolle gespielt, da wir sie einfach komponentenweise interpretieren konnten. Wir wollen diese für n = 3 zu untersuchenden Integraltypen hier einmal auflisten, jeweils mit einem Beispieltyp. k Name Erster Art Zweiter Art k = Kurvenintegrale f ds, Längen f ds, Arbeit γ γ k = 2 Oberflächenintegrale f dσ, Fläche f dσ, Fluß F F k = 3 Integral f(x) dx, Volumen f(x) dx, Kraft K An rechnerischen Aspekten kommt dabei nicht viel neues hinzu. Die Berechnung von Kurvenintegralen ist im wesentlichen wie die Berechnung eindimensionaler Integrale von Funktionen R R und die Berechnung von Oberflächenintegralen führt auf die Berechnung von Integralen f(x, y) d(x, y) in zwei Variablen. A K 3. Kurvenintegrale erster Art Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R n von einem Intervall I R in den R n. Dabei wird das Funktionsargument t I oft als Zeit interpretiert und entsprechend mit t bezeichnet. Zur Veranschaulichung einer Kurve verwendet man in der Regel nicht ihren Graphen sondern das Bild {γ(t) t I}. Beschreibt die Kurve γ etwa die Bahn eines Teilchens, so ist das Bild die gesamte Bahnkurve des Teilchens. Für die exakte Definition stellt man noch einige Forderungen an die Abbildung γ. Zum einen sollte die Kurve keine Sprünge machen, also stetig sein. Zum anderen sollte sie an den meisten Punkten einen Tangentenvektor haben, also im wesentlichen differenzierbar sein. Man fordert in der Regel nicht das die Kurve überall eine Tangente besitzt, da man zum Beispiel den Rand eines Quadrates in einer Kurve durchlaufen möchte. Dies führt auf die folgende Definition: 9-4
Definition 3.: Eine Kurve im R n ist eine stetige und stückweise stetig differenzierbare Abbildung γ : [a, b] R n. Dabei bedeutet die stückweise stetige Differenzierbarkeit, das wir das Definitionsintervall [a, b] in endlich viele Teile [a, b] = [a, a ] [a, a 2 ]... [a r, a r ], a = a < a <... < a r = b zerlegen können so, dass γ auf jedem Teilstück [a i, a i ], i r stetig differenzierbar ist. Den Punkt γ(a) nennen wir den Startpunkt und γ(b) den Endpunkt der Kurve. Stimmen Anfang- und Endpunkt der Kurve überein, ist also γ(a) = γ(b), so nennt man γ auch eine geschlossene Kurve. Entsprechend führt man dann auch Kurven ein, die auf den anderen Intervalltypen definiert sind. In diesem Fall hat man eventuell keine Anfangs- beziehungsweise Endpunkte mehr. Wir wollen nun einige Beispiele von Kurven in der Ebene und im Raum durchgehen. 5 5 5 5 5 5 2 2 Ellipse 5 Spirale Starten wir mit der Randkurve einer Ellipse. Der Einfachheit halber sei der Mittelpunkt der Ellipse im Nullpunkt und die beiden Hauptachsen seien die x- und die y-achse. Die Randkurve einer solchen Ellipse ist dann durch die Gleichung x 2 a 2 + y2 b 2 = gegeben, wobei a, b > die Radien der Hauptachsen sind. Die Ellipse entsteht aus dem Einheitskreis durch Strecken mit a in x-richtung und Strecken mit b in y-richtung, und erinnern wir uns daran das der Rand des Einheitskreises mit (cos t, sin t), t 2π durchlaufen wird, so ergibt sich die Randkurve der Ellipse als γ : [, 2π] R 2 ; t 9-5 ( a cos t b sin t ).
Das rechte Beispiel ist eine Spiralkurve. Bei dieser läuft man zum einen mit wachsenden t um den Nullpunkt herum und vergrößert dabei gleichzeitig den Abstand zum Nullpunkt. In Polarkoordinaten soll also beispielsweise r = t und φ = t sein, und dies ergibt die Formel γ : R R 2 ; t ( t cos t t sin t ). Die Ellipse ist eine geschlossene Kurve, die Spirale aber nicht. Ein anderer einfach zu definierender ebener Kurventyp sind die sogenannten Lissajou-Kurven. Diese haben die allgemeine Form γ(t) = ( α sin(nt + β) α 2 sin(mt) ) mit α, α 2, β R, n, m N. Wir beschränken uns hier auf den Fall α = α 2 =, β =. Starten wir mit t = im Nullpunkt, so schließt sich die Kurve wenn t der kleinste gemeinsame Vielfache von n und m ist. Je größer dieser ist desto komplizierter sieht die Kurve aus. Lissajoukurve mit n = 2, m = 3 Lissajoukurve mit n = 9, m = 8 Wir wollen auch noch zwei kleine Beispiele räumlicher Kurven behandeln 9-6
4 2 2 4 Schraubenlinie (Helix) Räumliche Lissajou Kurve Die Schraubenlinie oder Helix windet sich um einen Zylinder indem in der (x, y)-ebene eine Kreisbewegung ausgeführt wird und dabei gleichzeitig die z-koordinate vergrößert wird, also etwa γ(t) = cos t sin t t oder allgemeiner γ(t) = r cos t r sin t st Räumliche Lissajou Kurven haben die Form sin(pt) γ(t) = sin(qt) mit p, q, r N. sin(rt) (r, s > ). Im Gegensatz zur Schraubenlinie schließt sich die Lissajoukurve wenn t der kleinste gemeinsame Vielfache von p, q und r ist. In all diesen Beispielen war die Kurve sogar in einem Stück stetig differenzierbar. Ein Beispiel y einer Kurve bei der man wirklich die Aufteilung (3 t, ) in Teilstücke braucht, ist wie schon erwähnt der Rand eines Quadrates. Dieser Rand setzt sich aus vier einzelnen Strecken zusammen und jede dieser (, t ) Strecken durchlaufen wir in der Zeit t =. Insgesamt braucht man dann von t = und t = 4. Die (, 4 t) Kurve setzt sich dann aus den r = 4 Teilen in [, ], x [, 2], [2, 3] und [3, 4] zusammen, in denen sie jeweils stetig differenzierbar ist. In den Eckpunkten (t, ) des Quadrates hat man dagegen keine Tangente. 9-7
Als Formel können wir etwa (t, ), t, γ : [, 4] R 2 (, t ), t 2, ; t (3 t, ), 2 t 3, (, 4 t), 3 t 4 verwenden. Mit eventueller Ausnahme der endlich vielen Zerlegungspunkte hat eine Kurve in jedem Punkt einen Tangentialvektor. Dies hatten wir bereits im letzten Semester in 9.2 festgehalten. Der Tangentenvektor einer Kurve γ : I R n zu einem Zeitpunkt t I ist die Ableitung γ (t) = γ (t). γ n(t) in t, wobei γ,..., γ n die Komponenten von γ sind. Die Tangentialvektoren in einigen der obigen Beispielkurven ergeben sich etwa als ( ) ( ) a cos t a sin t γ(t) = = γ (t) =, b sin t b cos t ( ) ( ) t cos t cos t t sin t γ(t) = = γ (t) =, t sin t sin t + t cos t r cos t r sin t γ(t) = r sin t = γ (t) = r cos t. st s Im schon erwähnten 9.2 hatten wir begründet das γ (t) tatsächlich geometrisch tangential zur Kurve ist, und zugleich die Änderungsrate zum Zeitpunkt t angibt. Beschreibt etwa γ(t) die Bahnkurve eines Teilchens, so ist γ (t) der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t. In eher physikalisch orientierten Texten, schreibt man oft auch γ(t) := γ (t) für den Tangentenvektor. Jetzt sind wir bereit die Kurvenintegrale erster Art einzuführen. Angenommen wir haben ein auf einer offenen Menge U R n definiertes Skalarfeld, d.h. eine sagen wir stetige Funktion f : U R, etwa ein Potential. Weiter sei eine ganz in U verlaufende Kurve γ : I U gegeben. Zu jedem Zeitpunkt t I sammelt die Kurve den Wert f(γ(t)) ein und wir wollen berechnen was dabei insgesamt zusammenkommt, also sozusagen die Summe von f längs der Kurve γ. Um zu sehen was dies bedeuten soll, betrachten wir erst einmal den einfachsten Fall das unsere Kurve die Verbindungsstrecke zweier Punkte p und q ist und das Skalarenfeld gleich einer Konstanten c ist. 9-8
Auf jedem Punkt zwischen p und q haben wir dann den Wert c, und insgesamt sollte sich c Länge der Verbindungsstrecke = c q p ergeben. Geometrisch ist dies die Fläche des Rechtecks mit Höhe c über der Strecke von p nach q. Dabei denken wir uns das Rechteck im Fall c < als unterhalb der (x, y)-ebene gelegen und zählen es wie beim Rieman-Integral negativ. Zur Berechnung des Kurvenintegrals im allgemeinen Fall stellen wir wieder unsere übliche Näherungsüberlegung an. Wir denken uns eine Zerlegung der Kurve zu den Zeitpunkten a = t < t < t r = b gegeben. Das Kurvenstück von t = t i bis t = t i nähern wir dann durch die Verbindungsstrecke von γ(t i ) nach γ(t i ) an, und diese Strecke wird durch den Vektor γ(t i ) γ(t i ) beschrieben. Da das zu integrierende Skalarenfeld f als stetig angenommen wird können wir Werte f(q) für Punkte q nahe bei γ(t i ) durch den Wert f(γ(t i )) annähern. Da auch die Kurve γ stetig ist, ist γ(t) für t nahe bei t i auch nahe bei γ(t i ), unser Skalarfeld f ist also auf dem Stück zwischen t = t i und t = t i näherungsweise konstant gleich f(γ(t i )). Den Beitrag des Teilstücks der Kurve definiert auf [t i, t i ] können wir damit durch das Produkt f(γ(t i )) γ(t i ) γ(t i ) approximieren. Summieren wir all diese Teilergebnisse auf, so ergibt sich als Näherung des gesamten Kurvenintegrals die Summe γ f ds r f(γ(t i )) γ(t i ) γ(t i ) = i= r f(γ(t i )) i= γ(t i ) γ(t i ) t i t i (t i t i ). Lassen wir die Zerlegung immer feiner werden, so soll im Grenzwert das Kurvenintegral erster Art herauskommen. Jetzt erinnern wir uns an den Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Satz 4.6 im ersten Semester). Dieser besagte das die Sekantensteigung (γ(t i ) γ(t i ))/(t i t i ) des i-ten Teilstücks gleich der Ableitung γ (ξ) für ein ξ zwischen t i und t i ist. Machen wir die Zerlegung sogar so fein das auch die Ableitung γ auf jedem Teilstück näherungsweise konstant ist, so haben wir γ(t i ) γ(t i ) t i t i = γ (ξ) γ (t i ). Streng genommen trifft dies eigentlich nur auf die einzelnen Komponenten von γ, da der Mittelwertsatz bei uns nur für reellwertige Funktionen formuliert wurde, aber haben wir die Näherung in jeder Komponente so auch für den gesamten Vektor. Setzen wir diese Näherung in die obige Summe ein, so erhalten wir r f ds f(γ(t i )) γ (t i ) (t i t i ), γ und rechts steht hier jetzt eine Riemansumme der Hilfsfunktion i= g : [a, b] R; t f(γ(t)) γ (t). 9-9
Lassen wir die Feinheit immer kleiner werden, so konvergieren diese Riemansummen gegen das Integral der Hilfsfunktion g, welches damit gleich dem skalaren Kurvenintegral ist. Dementsprechend werden wir das skalare Kurvenintegral durch f ds = γ b f(γ(t)) a γ (t) dt definieren, wobei [a, b der Definitionsbereich der Kurve γ ist. Wie bereits bemerkt spricht man hier auch von einem Kurvenintegral erster Art. Am anschaulichsten wird dies wenn wir uns eine Fläche über der Kurve denken, deren Höhe über dem Punkt p = γ(t) der Kurve gerade gleich f(p) ist. Dabei sollen negative Werte von f(p) für unterhalb der Kurve liegende Flächenstücke stehen und positive Werte für Flächenstücke oberhalb der Kurve. Unseren gesuchten Gesamtwert, also das Kurvenintegral erster Art, stellen wir uns dann als die Fläche dieses vertikal über der Kurve liegenden Flächenstücks vor. Dabei werden Vorzeichen wie beim eindimensionalen Integral behandelt, d.h. oberhalb der Kurve liegende Flächteile werden positiv gezählt und 2.5.2.4.6.8 unterhalb der Kurve liegende Teile werden negativ gewertet. In diesem Bild ist das skalare Kurvenintegral die Fläche eines Zauns mit der Kurve als Grundlinie. 9-