Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mathematik Nichttechnik - A I - Lösung Teilaufgabe. Gegeben ist die Funktion f mit f( ) Der Graph wir mit G f bezeichnet. 8 und D f IR. Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f mit jeweiliger Vielfachheit. f( ) 8 8 ( ) Nullstellen: einfach zweifach Teilaufgabe. (8 BE) Bestimmen Sie die maimalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der relativen Etrempunkte des Graphen G f. f' ( ) f' ( ) Waagrechte Tangenten: 8 8 8 f'() neg pos neg G f ist streng mon. fallend in ] ; ], G ist streng mon. steigend in [ ; f G f smf sms smf G ist streng mon. fallend in [ f ], ; [. TP AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7 HP G f ' f( ) TP( ) f 7 HP( ) 7
Teilaufgabe. ( BE) Berechnen Sie die maimale positive Steigung des Graphen G f. Stärkste Steigung im Wendepunkt. f'' ( ) ( ) 8 f'' ( ) w Wendestelle, da Nullstelle mit Vorzeichenwechsel maimale Steigung: f' 8 Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie den Graphen G f im Bereich unter Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: LE cm. 7 d 7 d - - - - - - f d..8. -. p d. -. - -.. AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. Der Graph G p der quadratischen Funktion p enthält die Punkte A(- ), B(- -) und C(,). Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie den Funktionsterm p(). [ Mögliches Ergebnis: p ( ) ] p ( ab c) a b c Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems: a b c p( a b c) p( a b c) p ( ab c) a a b b c c a b c auflösen a b c Koeffizienten: a. b c Funktionsterm: p ( ) pa b c p ( ) Teilaufgabe. ( BE) Zeichnen Sie den Graphen G p im Bereich in das vorhandene Koordinatensystem ein. Teilaufgabe. ( BE) Die Graphen G f und G p schließen insgesamt zwei endliche Flächenstücke ein. Markieren Sie im vorhandenen Koordinatensystem das weiter links gelegene und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die ganzzahligen Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden. A ( p ( ) f( ) ) d Differenzfunktion: p ( ) f( ) Stammfunktion: D ( ) ( p ( ) f( ) ) d D( ) D( ) 9 A D( ) D( ) A.7 AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. Gegeben sind die reellen Funktionen h t mit h t ( ) ( t ) ( ) ( ), D IR, t IR. h t Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie Anzahl und Lage der Nullstellen der Funktion h t in Abhängigkeit von t. h t ( ) ( t ) ( ) ( ) t t t t vier einfache Nullstellen NR: t auflösen t t auflösen t t drei Nullstellen t drei Nullstellen t drei Nullstellen Teilaufgabe. ( BE) Begründen Sie, welche der im Folgenden dargestellten Graphen zur Funktionenschar h t gehören können und welche nicht. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung mithilfe der ganzzahligen Nullstellen und ggf. des Grenzverhaltens bzw. des Leitkoeffizienten. Geben Sie für den Fall, dass der Graph zur Funktionenschar h t gehört, den zutreffenden Wert von t an. Graph Graph Graph AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Graph : h ( ) ( ) ( ) t drei einfache Nullstellen und negativer Leitkoeffizient Graph : h ( ) ( ) t vier einfache Nullstellen und negativer Leitkoeffizient Graph : gehört nicht zur Funktionenschar, da es für kein t ekne doppelte Nullstelle gibt. AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. Ein Planschbecken soll entsprechend folgender Skizze hergestellt werden, wobei der Boden und die Wand luftgefüllte Hohlkammern mit einer Dicke von cm sind. Die Summe aus Radius R und Höhe h soll konstant 9 cm betragen. Teilaufgabe. ( BE) Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf, welche die Maßzahl des Volumens des mit Luft gefüllten Teils des Planschbeckens in Abhängigkeit von R beschreibt. [ Mögliches Ergebnis: VR ( ) π R 7R 8 ] Zielfunktion: Volumen großer Zylinder - Volumen kleiner Zylinder VRh ( ) R πh ( R ) π( h ) VRh ( ) R πh R R π( h ) VRh ( ) π R h R h R Rh R VRh ( ) πr Rh R h h Nebenbedingung: R h 9 h 9 R Einsetzen: Vereinfachen: VRh ( ) π R R( 9 R) R ( 9 R) VR ( ) π R 8R R R 9 R VR ( ) π R 7R 8 AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite von 7
Teilaufgabe. ( BE) Mit der Vorgabe R soll die Funktion V: R VR ( ) den absolut größten Wert annehmen. Berechnen Sie für diesen Fall die maimale Füllhöhe des Planschbeckens. V' ( R) π( R 7) 7 V' ( R) R 7 R 8 nicht in der Definitionsmenge G V ist stetig im Intervall R uns streng monoton steigend. Randwerte: lim R VR ( ) 8π V ( ) 77 absolut größter Wert von V bei R ma Füllhöhe großer Zylinder: h 9 Füllhöhe kleiner Zylinder: cm Graph der Zielfunktion 8 V(R) R Graph der Abl. der Zielfkt 8 V '(R) R AP, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A I - Lösung Seite 7 von 7