Aufgaben zu den verschiedenen Wachsumsmodellen 1. Beispiel: Spezialdünger Durch den Einsaz von Spezialdünger kann der Errag von Feldfrüchen verbesser werden. Erräge können aber nich grenzenlos geseiger werden, sondern es gib für jede Fruch pro ha eine spezifische Obergrenze K. Wir nehmen an, dass die Obergrenze für eine Feldfruch 6 pro ha berage. Ein Landwir sell fes, dass er ohne Spezialdünger einen Errag von 3 pro ha erwaren kann. Sez er hingegen 30 kg Spezialdünger ein, dann kann der Errag auf 5 pro ha geseiger werden. Der funkionale Zusammenhang zwischen dem Spezialdüngereinsaz und dem Errag wird angegeben K mi: N( x) 1 x c a N Errag Tonnen pro Hekar (/ha) x Menge des eingesezen Düngers in kg/ha angeben. a) Miels dieser Informaionen sind c und a zu berechnen. b) Der Graph der Funkion is darzusellen und zu inerpreieren. c) Wie wei würdes du den Düngereinsaz für günsig empfinden? (offene Frage) d) Ab welcher Menge würdes du nich mehr erhöhen? Begründe deine Meinung! c) Bei welcher Düngermenge sind 90% der spezifischen Obergrenze erreich? 2. Beispiel: Grippe In einer Sad sei die Anzahl N der Menschen, die bei einer Grippeepidemie nach Tagen infizier 10000 sind, näherungsweise durch N( ) 1 9999 e angegeben. a) Zeichne den Graphen der Funkion N und gib die Ar der Monoonie an! b) Mi welchem Wachsumsmodell wird hier gearbeie? Begründe! Berechne N 0! c) Wie viel Menschen sind nach 10 Tagen infizier? d) Nach wie vielen Tagen sind i) 200, ii) 500, iii) 1000 Menschen infizier? e) Welcher Wer wird nich überschrien? 3. Aufgabe: Ein Paien nimm 6 mg eines Medikamenes in Tableenform zu sich. Im Körper werden im Laufe eines Tages 35% des Medikamenes abgebau. a) Besimme das Zerfallsgesez, wenn exponenielle Abnahme angenommen wird ( in Sunden). b) Das Zerfallsgesez laue y() = c 0,98 in Sunden. Berechne die Halbwerszei. c) Dokumeniere, wie man die Zei (in Sunden) für die Einnahme der nächsen Tablee berechnen kann, wenn die im Blu vorhandene Menge des Medikamenes nich uner z mg fallen solle und das Zerfallsgesez y() = 7 0,95 laue.
4) Während der Fahr mi einem Auo erwärm sich die Kühlflüssigkei durch die Wärme des Moors. Beim Absellen eines Moors kühl sich diese dann wieder nach dem Newonschen Abkühlungsgesez T() = 10 + 65 e k ab. ( in Minuen; T in C) a) Besimme die Konsane k, wenn die Kühlflüssigkei nach einer Sunde (1) noch 12 C ha. b) Selle den Abkühlvorgang für die ersen 3 Sunden grafisch dar. (2) (Verwende k = 0,018) c) Besimme die Temperaur der Kühlflüssigkei beim Absellen des (1) Moors. d) Besimme die Umgebungsemperaur. (1) e) Erkläre, was mi dem Ausdruck T(60) T(30) berechne wird. (1) 5) Das Höhenwachsum von Hopfen wird in folgender Grafik veranschaulich: a) Besimme die Höhe des Hopfens nach 16 Wochen. (1) b) Ermile aus der Grafik, wie lange der Hopfen brauch um (1) von 2 auf 3 m zu wachsen. c) Begründe, ob der Hopfen nach 6 Wochen oder nach 14 Wochen (1) schneller wächs.
6) Der Kupferverbrauch seig welwei. Waren es 1960 noch schäzungsweise 4,5 Mio. Tonnen die verbrauch wurden, waren es im Jahre 2010 bereis 18 Mio. Tonnen. a) Besimme eine Gleichung mi der der Kupferverbrauch in einem Jahr (2) berechne werden kann ( = 0 is das Jahr 1960), wenn lineares Wachsum angenommen wird. b) Besimme eine Gleichung mi der der Kupferverbrauch in einem Jahr (2) berechne werden kann ( = 0 is das Jahr 1960), wenn exponenielles Wachsum angenommen wird. c) Experen schäzen dass sich der welweie Kupferverbrauch nach (2) folgender Formel enwickeln wird: V() = 1,8 10 7 1,029 =0 is das Jahr 2010; V Verbrauch in Tonnen Berechne den Verbrauch von China im Jahre 2025, wenn Schäzungen davon ausgehen, dass China im Jahre 2025 40 % des welwei erzeugen Kupfers verbrauch. 7) Einem Paienen wird per Tropfinfusion ein Medikamen ins Blu geleie. Von der im Blu vorhandenen Menge wird ein Teil über die Nieren wieder ausgeschieden. Die im Blu vorhandene Menge des Medikamenes kann durch die Formel B() = 125 120 e 0,04 in Minuen; B in mg berechne werden. a) Selle die im Blu vorhandene Menge des Medikamenes für die (2) nächsen 2 Sunden grafisch dar. b) Inerpreiere die Grafik in Bezug auf das verwendee (1) Wachsumsmodell. c) Gib die Säigungsmenge an. (1) d) Berechne, nach wie viel Minuen (auf Minuen genau) sich 110 mg des (1) Medikamenes im Blu befinden. e) Erkläre, was mi dem Ausdruck B(35) berechne wird. (1) 8) Die Ausbreiung einer Grippe in einer Sad wird in folgender Grafik dargesell: a) Ermile aus der Grafik, nach welcher Zei die Hälfe der (2) Personen der Risikogruppe der Sad erkrank sind. Erkläre, welche Bedeuung dieser Zeipunk für die weiere Ausbreiung der Krankhei ha. b) Besimme die Zahl der Personen, die sich zwischen dem (1) 10. Und 15. Tag infizieren.
Lösungen 1. Aufgabe: a) Lösungsansaz: Es is K = 6, N(0) = 3, N(30) = 5 (vom Tex herauslesen!!) c = 1, a = 0,947765727 b) sreng monoon seigend Wendepunk auf der y-achse. Im Bereich R 0 + is der Graphenverlauf degressiv. Die Funkion sreb gegen einen Höchswer. Dieser is K = 6 pro ha. 2. Aufgabe: a) sreng monoon seigend. charakerisischer Graph für logisisches Wachsum b) logisisches Wachsum wegen der Darsellung K N( ) 1 c e N 0 = 1 c) ca. 6878 Menschen. d) i) nach 5,3 Tagen ii) nach 6,3 Tagen iii) nach 7 Tagen 10000 Lösungsansaz i): 200 daraus: = ln 0,00490049 = 5,318 5,3 1 9999 e e) Der Höchswer K = 10 000 wird nich überschrien. Siehe Graphik oder Berechne N(10000000 ) 2. Aufgabe: a) c = 1 (degressiv in R + ) a = 0,947765727 exak: a is die 30se Wurzel aus 0,2 Lösungsansaz: Es is K = 6, N(0) = 3, N(30) = 5 (vom Tex herauslesen, dann einsezen!!) b) sreng monoon seigend + Wendepunk auf der 2.Achse. Im Bereich R 0 is der Graphenverlauf degressiv. Die Funkion sreb gegen einen Höchswer. Dieser is K = 6 pro ha. c) Komm drauf an, was der Dünger kose und um wie viel man die Fruch verkaufen kann. d) Für x-were, deren N-Were nahe bei K sind. Also ab ca. 40 kg/ha vielleich. 3. Lösungen: a) y() = 6 0,9822 ; b) ca. 34 Sunden; c) Wir sezen für y() = z ein, dividieren dann durch 7, berechnen davon den Logarihmus und dividieren dieses Ergebnis durch den Logarihmus von 0,95. 4. Lösungen a) k = 0,018056; b) siehe Grafik c) T(0) = 55 C; d) Umgebungsemperaur: -10 C, e) Die Temperaurabkühlung in C zwischen der 30. und 60. Minue. 5. Lösungen a) ca. 5,8 m b) ca. 2 Wochen c) nach 6 Wochen (Kurve is seiler)
6. Aufgabe a) V() = 0,27 + 4,5 in Jahren; V in Mio. Tonnen; b) V() = 4,5 1,028 ; c) Welverbrauch: V(2025) = 2,76 10 7 Tonnen; Verbrauch China: V(2025) = 1,1 10 7 Tonnen 7. Aufgabe a) siehe Grafik b) beschränkes Wachsum; c) 125 mg; d) 52 Minuen; e) die nach 35 Minuen im Blu vorhandene Menge des Medikamenes 8. Aufgabe a) nach ca. 18 Tagen; die Ausbreiung verlangsam sich; b) ca. 1.000 Personen