Zweitabgabe Übung 5 6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-1
Erstabgabe Übung 6 6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-2
Übungsaufgabe y 13ax 14bax 21ab 2 3 a 0, 013008... b x 0, 0052901... 0, 026714... a b x y a 2 2 2 2 2 2 y y y y a b x a b x 2 3 y 13x 14bx 21b 28, 442... a 045507,... a y b y x 2 2 0 14ax 63ab 46, 6376... 13a 28bax 0 37, 923... y b b 0, 139913... y x x 1, 137697... y 35, 0 1, 2 y y 0, 034... T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-3
Übungsaufgabe Kraftansatz: m v F G F R F A m v 3 3 4 / 3 K g r 6 r v 4 / 3 Fl g r Dies ist eine Differentialgleichung für v deren Lösung ist: v v v v e wenn v 0 : o v v 1 e o t t Stationärer Zustand: 0 FG FR FA T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-4
Übungsaufgabe T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-5
Übungsaufgabe Was sagt Fehlerfortpflanzungsgesetz? 2 2 2 2 m t r H 2 2 2 2 m t r H T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-6
Übungsaufgabe T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-7
Bestimmung des Kugelradius: Übungsaufgabe x 1 n xi n i 1 x n 1 i n 1 i 1 2 x x n 1 s x x n T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-8
Übungsaufgabe 2 2 2 2 m t r H 2 2 2 2 m t r H Frontal: 4 3 m 3 r g t 6 r H g t η m 6 r H m r 4 3 3 4 3 m 3 r g t 6 r H t 4 3 m 3 r gt 2 H 6 r H H r r 6 r H 6 H m g t 4 3 2 r g t 2 6 r H 6 H 4 2 m g t 3 r g t m g t 4 r g t 2 6 r H 9 H Vier partielle Ableitungen T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-9
Vereinfachung des Klammerausdruckes: Übungsaufgabe Gedanklich nachvollziehbar, aber leider falsch m Agt 6 rh 3 r g t 6 rh 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 A t H r A t H r 2 2 2 2 A t H r A t H r A m 4 3 r 3 2 2 2 A 2 A A m r m r A m A 1; 4 r r 2 (0.3498 0.0026) Pa s Die Messgröße A ist nicht unabhängig von der Messgröße r! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-10
Übungsaufgabe Korrekte Vereinfachung des Klammerausdruckes: m 4 A g t 6 H 3 3 r 6 r H g t 2 2 2 2 2 2 A t H A t H 2 2 2 A t H A t H A m r 4 r 3 2 2 2 A A A m r m r 2 2 A m 1 r ; A r m r 2 8 r 3 (0.3498 0.0027) Pa s Zwei partielle Ableitungen T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-11
Warum sind graphische Darstellungen sinnvoll? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-12
Messung: Kennlinie eines Widerstandes U/V I/mA 7,8 35 15,6 65 23,4 78 31,3 126 39,0 142 46,9 171 54,7 194 62,6 226 78,3 245 86,0 258 87,6 258 93,6 271 101,6 277 109,6 284 118.0 290 Spannungsgenau Stromgenau V R U I A R T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-13
Bestimmung des Widerstandswertes U/V I/mA R=U/I / 7,8 35 222,86 15,6 65 240,00 23,4 78 300,00 31,3 126 248,41 39,0 142 274,65 46,9 171 274,27 54,7 194 281,96 62,6 226 276,99 78,3 245 319,59 86,0 258 333,33 87,6 258 339,53 93,6 271 345,39 101,6 277 366,79 109,6 284 385,91 118,0 290 406,90 Stromgenau V A U R I R T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-14
Bestimmung des Widerstandswertes U/V I/mA R=U/I / 7,8 35 222,86 15,6 65 240,00 23,4 78 300,00 31,3 126 248,41 39,0 142 274,65 46,9 171 274,27 54,7 194 281,96 62,6 226 276,99 78,3 245 319,59 86,0 258 333,33 87,6 258 339,53 93,6 271 345,39 101,6 277 366,79 109,6 284 385,91 118,0 290 406,90 R U I Mittelwert? R = 307,77 R = ( 308 14 ) Die Mittelwertbildung ist unsinnig, was durch eine graphische Darstellung sofort ersichtlich wird. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-15
Bestimmung des Widerstandswertes U/V I/mA 7,8 35 15,6 65 23,4 78 31,3 126 39,0 142 46,9 171 54,7 194 62,6 226 78,3 245 86,0 258 87,6 258 93,6 271 101,6 277 109,6 284 118,0 290 Stromstärke / ma 350 300 250 200 150 100 50 0 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 Spannung / V Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes nur in einem bestimmten Spannungsbereich (Verlustleistung Erwärmung Widerstandsänderung) T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-16
Graphische Darstellungen 350 300 250 Stromstärke / ma 200 150 100 50 0 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 Spannung / V Graphische Darstellungen sind wesentlich zur Auswertung von Messergebnissen Sinn und Zweck ist es, eine möglichst zugängliche Darstellung zu experimentellen Befunden zu bilden Die Güte einer Messung muss sich in der graphischen Darstellung widerspiegeln T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-17
Worauf ist beim Erstellen graphischer Darstellungen zu achten? Wie werte ich graphisch aus? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-18
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 1: Die unabhängige Variable sollte an der Rechtswertachse aufgetragen werden. Y = A + B * X = f(x) Regel 2: Die Achseneinteilung sollte so gewählt sein, dass die Koordinaten jedes Punktes der Zeichnung schnell und leicht ermittelt werden können. Y / nm 0 1 2 3 X / km T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-19
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 1: Die unabhängige Variable sollte an der X-Achse aufgetragen werden. Y = f(x) Regel 2: Die Achseneinteilung sollte so gewählt sein, dass die Koordinaten jedes Punktes der Zeichnung schnell und leicht ermittelt werden können. NICHT SO SO T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-20
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 3: Die Achseneinteilung sollte so beschaffen sein, dass die eingezeichnete Kurve so ausgedehnt ist, wie es das Format der Zeichnung gestattet. Nullpunktsunterdrückung NICHT SO SO T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-21
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 3: Die Achseneinteilung sollte so beschaffen sein, dass die eingezeichnete Kurve so ausgedehnt ist, wie es das Format der Zeichnung gestattet. Nullpunktsunterdrückung Hier ist Vorsicht geboten! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-22
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 4: Die Achseneinteilung sollte so gewählt werden, dass die Kurve möglichst unter (~ 45 o ) verläuft (Formatfüllend). NICHT SO SO T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-23
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 5: Die Messpunkte sollen deutlich durch entsprechende Symbole gekennzeichnet werden. Üblich sind:. 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 ÜBERSCHRIFT NAME C / 3 R 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 Blei 88 K Silber 215 K Kupfer 315 K Diamant 1860 K Debye-Theorie) Legende 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 Temperatur /Debyetemperatur Punkte, die zu verschiedenen Messreihen gehören, werden verschieden gekennzeichnet. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-24
Graphische Darstellungen: Regeln Regel 5: Die Messpunkte sollen deutlich durch entsprechende Symbole gekennzeichnet werden.. Konvention im Grundpraktikum (und auf den Übungsblättern): Wenn nur eine Messung in die Graphik einfließt, wählen wir als Symbol stets: Symbolgrößen haben eine Bedeutung! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-25
Graphische Darstellungen: Beispiel Kugelfallmethode nach Stokes Auf eine in einem sehr zähen Medium fallende Kugel mit dem Radius r wirken drei Kräfte Die Gewichtskraft F G = 4/3 r 3 g Die Auftriebskraft F A = - 4/3 r 3 Fl g Die Reibkraft nach Stokes F R = - 6 r v Der Ansatz für die Reibkraft gilt nur bei unendlich ausgedehnten Gefäßen (Bedingung H >> R >> r ) Die Stokes-Beziehung gilt auch nur dann, wenn die Reynoldszahl sehr klein gegen 1 ist T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-26
T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-27 Graphische Darstellungen: Beispiel Kugelfallmethode nach Stokes Kraftansatz: A R G F F F v m t o t o e v v v e v v v v 1 0 wenn m r g r v Fl K 6 und 9 2 2 t 9 g 2 0 2 r h F F F Fl k A R G Dies ist eine Differentialgleichung für v deren Lösung ist: Stationärer Zustand: 3 3 3 4 / 6 3 / 4 r g v r g r v m Fl K
Graphische Darstellungen: Beispiel Kugelfallmethode nach Stokes Stationärer Zustand: 0 F 2 G F R k 9 h Fl g F A 2 r t Scheinbare Zunahme von mit r. ABER: ist eine Eigenschaft der Flüssigkeit. LÖSUNG: Messe (r) und extrapoliere gegen r=0. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-28
Graphische Darstellungen: Beispiel Für die Zähigkeit ist eine Nullpunktsunterdrückung sinnvoll. Skalenbeschriftung entspricht noch nicht den Regeln. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-29
Graphische Darstellungen: Beispiel /Pas /Pas r/mm r/mm So oder So T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-30
Graphische Darstellungen: Beispiel 28 cm r geht von 0 bis 9 mm. Bei r darf keine Nullpunktsunterdrückung gemacht werden. Rasterung: 1,0 mm 180 mm in der Zeichnung entsprechen 9 mm Radius. 1, 0 mm in der Zeichnung entsprechen 0,050 mm Radius. 280 mm in der Zeichnung entsprechen 9mm Radius. 18 cm 1,0 mm in der Zeichnung entsprechen 0,032 mm Radius. Die Ablesegenauigkeit ist immer besser als die Rasterung. Ich muss aus der Graphik Werte von ablesen. Alleine In beiden aus diesem Fällen ist Grund die Rasterung empfiehlt größer es sich, als die die Angabe lange des Seite Messwertes. zu wählen. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-31
Graphische Darstellungen: Beispiel /Pas /Pas r/ mm r/ mm So Und nicht So T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-32
Graphische Darstellungen: Beispiel /Pas Skalenbeschriftung entspricht noch nicht den Regeln. r/mm T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-33
Graphische Darstellungen: Beispiel 0.500 180 mm in der Zeichnung entsprechen 9 mm Radius. 1, 0 mm in der Zeichnung entsprechen 0,050 mm Radius. Zähigkeit / Pa s 0.450 0.400 0.350 280 mm in der Zeichnung entsprechen 0,3Pas. 1,0 mm in der Zeichnung entsprechen 0,0011 Pas. Die Rasterung bestimmt die Achsenskalierung. 0.300 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 Radius / mm Die Ablesegenauigkeit ist immer besser als die Rasterung. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-34
Worauf ist beim Erstellen graphischer Darstellungen zu achten? Wie werte ich graphisch aus? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-35
Ausgleichende Kurve In der überwiegenden Mehrzahl aller physikalischen Messungen sind glatte Kurven zu erwarten. Abweichungen der Messpunkte sind durch Messfehler bedingt. Daher sollte man Messpunkte nie nach der Art einer "Fieberkurve" verbinden. 1. Die Kurve sollte glatt sein und nur wenige Wendepunkte haben. 2. Die Kurve sollte so nah wie möglich an allen eingezeichneten Punkten verlaufen. 3. Es ist nicht nötig, dass die Kurve überhaupt einen Messpunkt enthält und völlig unnötig, dass sie in einem Endpunkt endet. Die Endpunkte sind oft weniger genau, weil sie entweder durch die Grenzen der Messinstrumente oder der Meßmethode bedingt sind. 4. Etwa die Hälfte der Messpunkte sollte oberhalb und unterhalb der Kurve liegen, auch in Teilstücken der Kurve. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-36
Lineare graphische Darstellung T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-37
Ausgleichende Gerade Wie legt man eine ausgleichende Gerade? 10 Beispiel 9 8 7 Y Axis Title 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X axis title T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-38
Ausgleichende Gerade 10 9 Beispiel Messung mit Ausreißer Y Axis Title 8 7 6 5 4 3 2 1 Wie legt man die ausgleichende Gerade? Messfehler, Rechenfehler? 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X axis title T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-39
Ausgleichende Gerade 10 9 Beispiel Messung mit Ausreißer Y Axis Title 8 7 6 5 4 3 2 1 Wie legt man die ausgleichende Gerade? Messfehler, Rechenfehler? 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X axis title T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-40
Ausgleichende Gerade 10 9 Beispiel Messung mit Ausreißer Y Axis Title 8 7 6 5 4 3 2 1 Wie legt man die ausgleichende Gerade? Messfehler, Rechenfehler? Überprüfung der Messung in der Umgebung des Messpunktes 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X axis title T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-41
Ausgleichende Gerade 10 9 Beispiel Messung mit Ausreißer Y Axis Title 8 7 6 5 4 3 2 1 Wie legt man die ausgleichende Gerade? Messfehler, Rechenfehler? Überprüfung der Messung in der Umgebung des Messpunktes 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X axis title T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-42
Ausgleichende Gerade 10 9 Beispiel Messung mit Ausreißer Y Axis Title 8 7 6 5 4 3 2 1 Wie legt man die ausgleichende Gerade? Messfehler, Rechenfehler? Überprüfung der Messung in der Umgebung des Messpunktes 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X axis title T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-43
Ausgleichende Gerade 10 Beispiel Y Axis Title 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ( ) Messung mit Ausreißer Wie legt man die ausgleichende Gerade? Messfehler, Rechenfehler? Überprüfung der Messung in der Umgebung des Messpunktes 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X axis title Nicht berücksichtigte Messpunkte werden eingeklammert, nicht weggelassen!!!! T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-44
Ausgleichende Gerade Auf wie viele Stellen soll die Steigung B angegeben werden? Im Folgenden werden drei Beispiele diskutiert, die zeigen, wie genau man die Steigung aus graphischen Darstellungen bestimmen kann: 40 10 35 8 Y - Achse 30 25 20 Y-Achse 6 4 15 2 10 0 2 4 6 8 10 12 X - Achse 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X-Achse a) Die Daten streuen wenig. Die Fehler der einzelnen Datenpunkte sind unbekannt. b) Die Daten streuen. Die Fehler der einzelnen Datenpunkte sind unbekannt. c) Die Daten streuen. Die Fehler der einzelnen Datenpunkte sind bekannt. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-45
Ausgleichende Gerade: Fall a.) Steigung B und Achsenabschnitt A einer Geraden Y = A + B X können graphisch leicht ermittelt werden. Hat man eine "mittlere, ausgleichende Gerade" durch die Punkteschar gelegt, dann entnimmt man der Zeichnung die Koordinaten zweier weit auseinanderliegender Punkte P a (X a.y a ) und P e (X e.y e ) und bestimmt die Steigung B zu: 40 35 B Y X e e Ya X a 30 Y - Achse 25 20 B 31,2 14,8 16, 4 8,00 1,00 7,0 2,34286 15 A = 12,4 10 0 2 4 6 8 10 12 X - Achse Auf wie viele Stellen sollen die Koeffizienten A und B angegeben werden? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-46
Ausgleichende Gerade: Fall a.) Auf wie viele Stellen soll die Steigung B angegeben werden? Wenig streuende Daten; Fehler unbekannt. Man gibt die Steigung auf soviel signifikante Stellen an, dass bei der Berechnung eines Y Wertes im Rahmen des Rundungsfehlers der Steigung, die Ablesegenauigkeit widergespiegelt wird. (in diesem Beispiel etwa 0,1). 40 Beispiele für möglichst großes x : x = 9. Aus der Graphik ist y zu 33,5 bestimmbar. Ablesegenauigkeit etwa 0,1 (9; 33,5) Y - Achse 35 30 25 20 15 10 0 2 4 6 8 10 12 X - Achse T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-47
Ausgleichende Gerade: Fall a.) Auf wie viele Stellen soll die Steigung B angegeben werden? B=2,34286 Angabe von B auf zwei signifikante Stellen: B=2,3 y = 2,3 * 9 + 12,4 = 33,1 Schwankung der Steigung um einmal den Wert in der letzten signifikanten Stelle y = 2,2 * 9 + 12,4 = 32,2 y = 2,4 * 9 + 12,4 = 34,0 Die Schwankung des y Wertes, den man bei der Unsicherheit in B rechnerisch erhält. ist größer als die Ablesegenauigkeit. d.h. B ist in zu geringer Stellenzahl angegeben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-48
Ausgleichende Gerade: Fall a.) Auf wie viele Stellen soll die Steigung B angegeben werden? B=2,34286 Angabe von B auf drei signifikante Stellen: B=2.34 y = 2,34 * 9 + 12,4 = 33,5 Schwankung der Steigung um einmal den Wert in der letzten signifikanten Stelle y = 2,33 * 9 + 12,4 = 33,4 y = 2,35 * 9 + 12,4 = 33,6 Die Schwankung des y Wertes, den man bei der Unsicherheit in B rechnerisch erhält. ist etwa so groß wie die Ablesegenauigkeit. d.h. B ist in vernünftiger Stellenzahl angegeben T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-49
Ausgleichende Gerade: Fall a.) Auf wie viele Stellen soll die Steigung B angegeben werden? B=2,34286 Angabe von B auf vier signifikante Stellen: B=2,343 y = 2,343 * 9 + 12,4 = 33,487 Schwankung der Steigung um einmal den Wert in der letzten signifikanten Stelle y = 2,342 * 9 + 12,4 = 33,478 y = 2,344 * 9 + 12,4 = 33,496 Die Schwankung des y Wertes, den man bei der Unsicherheit in B rechnerisch erhält. ist kleiner als die Ablesegenauigkeit. d.h. B ist mit zu vielen Stellen angegeben Ablesegenauigkeit ist nicht gleich Messgenauigkeit Wie groß ist der Fehler der Steigung bzw. des Achsenabschnittes? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-50
Ausgleichende Gerade: Fall b.) Streuende Daten; Fehler unbekannt. Messung Graphische Darstellung x y 10 8 1,0 0,5 2,3 3,0 6 3,4 2,0 4,5 4,5 4 5,1 5,1 6,7 7,8 2 7,2 6,9 8,3 8,4 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y-Achse X-Achse Anfertigung einer graphischen Darstellung inkl. ausgleichender Gerade Wie groß ist der Fehler der Steigung bzw. des Achsenabschnittes? T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-51
Ausgleichende Gerade: Fall b.) Streuende Daten; Fehler unbekannt. 10 8 6 Y-Achse 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X-Achse Einzeichnen von zwei weiteren parallelen Geraden, die nach oben und unten verschoben sind (ca. 70% der Messpunkte sollten innerhalb liegen) Einzeichnen eines Streubereichsrechteckes Die Diagonalen in diesem Rechteck liefern etwa den Fehler der Steigung sowie des Achsenabschnittes T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-52
Ausgleichende Gerade: Fall b.) Streuende Daten; Fehler unbekannt. 10 8 6 Y-Achse 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X-Achse Alle drei Geraden gehen durch den Schwerpunkt der Daten. Dies ist in der Regel der Fall, wenn die Fehler aller Datenpunkte die gleiche Größe haben. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-53
Ausgleichende Gerade: Fall c.) Streuende Daten; Fehler bekannt. Messung der Kennlinie eines Ohmschen Widerstands Messung Graphische Darstellung Auswertung U / V I / ma 0,4 0,1 7 3 0,8 0,1 17 3 1,4 0,1 25 3 2,0 0,2 38 4 2,6 0,2 45 6 3,4 0,2 62 6 3,8 0,2 72 6 Optimale Gerade durch den Nullpunkt Anfangswert Endwert (0,00; 0,0) (4,56; 84,83) Widerstand 53,75 Der Nullpunkt wird aus physikalischen Gründen stark gewichtet. Es entscheidet immer die Messung. Man kann nur prüfen, ob die Messung im Rahmen der Fehler mit der physikalischen Theorie im Einklang ist. T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-54
Ausgleichende Gerade: Fall c.) Nimmt man realistischerweise an, dass auch kleine Spannungen und Ströme fehlerhaft gemessen werden, ist die starke Gewichtung des Nullpunktes nicht gerechtfertigt. Auswertung Optimale Gerade Widerstand 54,92 Flache Gerade Widerstand 63,81 Steile Gerade Widerstand 44,82 R = (54,9 ± 9,5) T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-55
Ausgleichende Gerade: Fall c.) Beispiel c: Sind die Fehler einzelner Datenpunkte unterschiedlich groß, verschiebt sich der Schnittpunkt der Fehlergeraden in Richtung der genauer gemessenen Werte. R = (54,9 ± 9,5) T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen 07.12.2017 Vorlesung 07-56