9 Ideale Quantengase Bei tiefen Temperaturen T und/oder hohen Dichten N zeigen ideale Gase Abweichungen vom klassischen erhalten P = N. Diese werden aber nicht wie bei der vdw- Gleichung durch Wechselwirkung der Gasteilchen verursacht, sondern sind Quanteneffekte wechselwirkungsfreier Teilchen. Daher der Name ideale Quantengase. 9. Berechnung der großkanonischen Zustandssumme Die in Abschnitt 8. beschriebenen Probleme beim Abzählen der Mikrozustände bei tiefen Temperaturen lassen sich mit der großkanonischen Gesamtheit bewältigen. 9.. Besetzungszahlen Da die gleichartigen Teilchen (Atome, Moleküle, Elektronen, etc. eines Quantengases nicht unterscheidbar sind, ist ein Mikrozustand σ vollständig charakterisiert durch den Satz {n (σ,n (σ,...} der Besetzungszahlen n (σ i aller (Ein- Teilchenzustände i =,,3,.... Während also in Kapitel 8 der Index i die verschiedenen (unterscheidbaren Teilchen (i =,..., N durchnummerierte, kennzeichnet er jetzt die verschiedenen Einteilchenzustände (i =,...,, die von diesen Teilchen besetzt werden können. Waren dort k i (σ Wellenvektor bzw. ǫ (σ i Energie des i-ten Teilchens im (N-Teilchen- Mikrozustand σ, ǫ (σ i = m k i(σ, (67 so sind jetzt k i ( bzw. ǫ i ( die entsprechenden Größen des i-ten Einteilchenzustands im vorgegebenen olumen (egal ob dieser von Teilchen besetzt ist oder nicht, ǫ i ( = m k i(. (68 Teilchenzahl N σ und Energie E σ ( im Mikrozustand σ sind jetzt gegeben durch N σ = n (σ i, E σ ( = n (σ i ǫ i (. (69 Während in der kanonischen Gesamtheit alle Mikrozustände dieselbe Teilchenzahl haben, N σ = N für alle σ, gilt in der großkanonischen Gesamtheit N σ =,,,.... 6
Mit Gl. (69 wird aus der großkanonischen Zustandssumme aus Gl. (33 Ξ(T,,µ = ( µ ǫ i ( exp n (σ i = x i (T,,µ n(σ i, (7 k σ B T σ mit der Abkürzung ( µ ǫi ( x i (T,,µ := exp. (7 Summation über alle Mikrozustände σ bedeutet, daß jede Besetzungszahl n i, jeweils unabhängig von allen übrigen n j (mit j i, alle erlaubten Werte n (mit n n max ; s. Abschnitt 9.. durchläuft, [ n max n max nmax Ξ(T,,µ = x i (T,,µ n i x i (T,,µ ]. n (7 n =n = n= 9.. Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik Bezüglich der maximal möglichen Besetzungszahl n max eines Einteilchenzustands i gibt es in der Natur zwei Arten von Teilchensorten.. Bosonen (gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, BE : n max =. In diesem Fall können also beliebig viele gleichartige Teilchen den gleichen Einteilchenzustand i besetzen. Beispiele sind He-Atome (genauer: 4 He, H -, O - und N -Moleküle, aber auch die Photonen der Hohlraumstrahlung. Damit Ξ endlich bleibt, muß jetzt gelten x i < µ < ǫ i für alle i, s. Gl. (7. Dann gilt n= xn i = x i, und wir erhalten Ξ BE (T,,µ = ( n= x n i = x i (T,,µ = e. (73 [µ ǫ i(]/. Fermionen (gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik, FD : n max =. Jeder Einteilchenzustand i kann jetzt nur einfach besetzt oder unbesetzt sein. Beispiele für Fermionen sind 3 He-Atome, Elektronen (etwa die Leitungselektronen im Metall oder die Elektronen in einem weißen Zwergstern der Astrophysik, sowie Protonen. Jetzt folgt Ξ FD (T,,µ = ( n= x n i = [ ] +x i (T,,µ = [ ] +e [µ ǫ i(]/. (74 Nach dem Spin-Statistik-Theorem der Quantenfeldtheorie sind die Fermionen genau die Teilchen mithalbzahligemspins {, 3,...}unddieBosonengenaudiemitganzzahligem Spin s {,,,...}. 63
9..3 ergleich mit der Maxwell-Boltzmann-Statistik Zum ergleich mit diesen exakten Ergebnissen wollen wir aus den klassischen kanonischen Zustandssummen, zunächst für unterscheidbare Teilchen berechnet, und dann mit einem Faktor /N! näherungsweise für Ununterscheidbarkeit korrigiert, eine ähnliche Produktform der großkanonischen Zustandssumme gewinnen. Dabei finden Besetzungszahlen n (σ i und das Resultat (7 keine erwendung. ielmehr gilt jetzt N= Ξ MB (T,,µ = N= N! z MB(T, N e µn/k BT, (75 mit der kanonischen Einteilchen-Zustandssumme z MB (T, = e ǫ i(/, [ N [ N Ξ MB (T,,µ = e µ/k BT e ǫ i(/] = x i (T,,µ]. (76 N! N! Wegen N= N! un = e u folgt schließlich Ξ MB (T,,µ = e x i(t,,µ = N= e xi(t,,µ = e exp(µ ǫ i (. (77 9..4 Zusammenfassung Diese insgesamt drei Fälle können also auf einfache Weise zusammengefaßt werden, Ξ(T,,µ = ( Φ x i (T,,µ, Φ(x = e x (MB, (BE, x +x (FD. (78 Man beachte, daß für x in allen drei Fällen gilt Φ(x +x. Für das große thd. Potential Ω(T,,µ ergibt sich ( Ω(T,,µ lnξ(t,,µ lnφ x i (T,,µ. (79 Die Bedeutung des chemischen Potentials µ wird in Abschnitt 9.(genauer: 9.. geklärt. In Abschnitt 9.3 (genauer: 9.3. werden wir Ω(T,, µ auswerten. Bemerkung: Dieser Ausdruck läßt sich nur im Fall MB in geschlossener Form auswerten, ( L 3 Ω MB (T,,µ = x i (T,,µ dk(4πk π e [µ k /m]/ = [ πmkb T BT 8π 3eµ/k 64 ] 3/. (8
Dieses Resultat ergibt sich aber schneller direkt aus Gl. (75, [ ] Ξ MB (T,,µ = exp e µ/kbt z MB (T,, (8 mit z MB (T, = und dem Ausdruck (54 für die thermische Wellenlänge λ(t, λ(t 3 [ ] 3/ Ω MB (T,,µ lnξ MB (T,,µ = e µ/k πmkb T BT. (8 (π Die partiellen Ableitungen hiervon ergeben nach Gl. (36 die Funktionen S(T,, µ, P(T,, µ und N(T,, µ. Umkehrung der letzteren liefert insbesondere das chemische Potential des klassischen idealen Gases, ( N µ MB (T,,N = ln λ(t3. (83 9. Thermische Besetzungszahlen der Einteilchenzustände 9.. Definition Im Gegensatz zu Ω(T,, µ lassen sich die (gemittelten thermischen Besetzungszahlen N i (T,,µ := σ n (σ i p σ = σ n (σ i Ξ e[ Eσ+µNσ]/k BT der Einteilchenzustände i =,, 3,... in geschlossener Form berechnen. Ihre Summe N i ist gleich der Gesamtteilchenzahl N = ( Ω N(T,,µ = µ k BT lnφ(x i = (i =,,3,... (84 µ T,, Φ (x i x i Φ(x i µ = Φ (x i Φ(x i x i, (85 wobei x i (T,,µ = exp( µ ǫ i( k B benutzt wurde. Es liegt also nahe, zu identifizieren T N i (T,,µ = Φ (x i Φ(x i x i (86 (strenge Herleitung in Abschnitt 9..3. Die thermische Besetzungszahl hängt also bei gegebenen T und µ von nur über die Energie ǫ = ǫ i ( des Einteilchenzustands ab, N i (T,,µ = N(T,ǫ i (,µ; (87 m.a.w.: Hat ein Einteilchenzustand i die Energie ǫ i ( = ǫ, so hat bei gegebenen Werten von T und µ seine thermische Besetzungszahl N i (T,,µ den Wert e (ǫ µ/k BT (MB, N(T,ǫ,µ = ( BE (88. e (ǫ µ/k BT FD 65
9.. Chemisches Potential und Fugazität Wir drücken das chemische Potential µ durch die sog. Fugazität ζ aus, ζ := e µ/k BT µ = lnζ. (89 Dann sind die thermischen Besetzungszahlen der Einteilchenzustände gegeben durch ζe ǫ/k BT (MB, N(T,ǫ,µ = ( ζ e ǫ/k BT ζe ǫ/kbt BE (9. ζe ǫ/k BT FD Die Energien ǫ der Einteilchenzustände seien der Größe nach geordnet, mit = ǫ ( < ǫ ( ǫ 3 ( ǫ 4 (... (9 Da N i generell nicht negativ und im Fall FD nicht größer als werden kann, folgt für den maximal möglichen Wertebereich von ζ (bzw. µ Im Fall MB gilt nach Gl. (83 BE: ζ ( < µ, FD: ζ < + ( < µ < +, (9 MB: ζ N λ(t3 < + ( < µ < +. (93 Bem.: Im Grenzfall ζ verschwinden nach Gl. (9 die Unterschiede der idealen Quantengase (BE bzw. FD vom klassischen idealen Gas (MB. Mit wachsendem ζ > werden dagegen Quanteneffekte immer deutlicher. Man spricht von wachsender Entartung des idealen Gases. Maximale Entartung tritt im Fall BE bereits bei ζ = + auf, während im Fall FD ζ beliebig groß werden kann. An dieser Stelle sollten drei Abbildungen erscheinen: Abb. (µ = : Zeichne N(T,ǫ, als Funktion von ǫ, etwa für < ǫ <. Beachte dabei, daß bei ǫ = jeweils gilt N MB (T,, =, N BE (T,, = +, N FD (T,, =. (94 Das Bose-Gas ist bereits vollkommen entartet, N BE (T,ǫ, = +, während die FD- Besetzungszahlen noch nicht extrem stark vom klassischen Grenzfall MB abweichen. 66
Abb. (µ < : Jetzt sind die drei Kurven aus Abb. um µ nach links verschoben. (Wähle etwa µ =.5. Im physikalischen Bereich ǫ sind jetzt alle drei Kurven ähnlich. Der Limes µ (ζ entspricht dem klassischen Grenzfall. Abb. 3 (µ > : Jetzt ist N BE (T,ǫ,µ für ǫ µ nicht definiert. Die beiden anderen Kurven aus Abb. sind jetzt um µ nach rechts verschoben. Beim Fermi-Gas zeigt sich jetzt bei ǫ µ± die Fermikante. 9..3 Einteilchenenergien ǫ i als formal unabhängige ariable Um Gl. (86 in Strenge herzuleiten, betrachten wir vorübergehend statt des olumens die Folge {ǫ i } i N der Einteilchenenergien als unabhängig vorgegebene ariable, Ξ(T,,µ σ = σ = σ e [µnσ Eσ]/k BT ( exp j= ( exp j= n (σ j n (σ j µ ǫ j µ ǫ j ( =: ξ T,{ǫ i },µ. (95 ǫi=ǫi( Für die neue Funktion ξ(t,{ǫ i },µ, in der die Besetzungszahlen n (σ i nicht als ariable, sondern, ebenso wie die Konstante k B, als Parameter aufzufassen sind, gilt einerseits ǫ i lnξ(t,{ǫ j },µ = ǫ i ξ ξ = k BT ξ = σ = σ σ n (σ i ξ ǫ i j= ( exp j= ( exp n (σ j n (σ j µ ǫ j µ ǫ j n (σ i p σ = N i (96 und andererseits, mit x j (T,ǫ j,µ := exp( µ ǫ j, ( lnξ T,{ǫ j },µ ǫ i ǫ i lnφ( x j j= lnφ( x i = Φ ( x i x i = Φ ( x i ǫ i Φ( x i ǫ i Φ( x i x i.(97 67
9.3 Zustandsgrößen als Funktionen der Fugazität ζ 9.3. Die Funktionen g 3/ (ξ und g 5/ (ξ...... werden für < ξ < + erklärt durch die Parameterintegrale g 5/ (ξ := 4 ( dxx ln ξe x, π g 3/ (ξ := ξ d dξ g 5/(ξ = ξ 4 π = + 4 π dxx dxx d dξ ln ( ξe x ξe x ξe x ( < ξ < +. (98 Sie sind offensichtlich streng monoton steigend, mit g 3/ ( = g 5/ ( =. Da für x < + gilt: x x = ν= xν, so folgt für ξ < + g 3/ (ξ = 4 dxx (ξe x ν = ξ ν 4 dxx e νx = π π ν= Es gelten also die Entwicklungen g 3/ (ξ = ν= ξ ν ν 3/, g 5/(ξ = ν= ν= ν= ξ ν ν3/. (99 ξ ν ν 5/ ( ξ < +. (3 Daraus kann man leicht folgern, daß gilt g 3/ ( = g 5/ ( =. Außerdem haben wir g 3/ ( = R( 3 =.64, g 5/( = R( 5 =.345, (3 mit der Riemannschen Zetafunktion, die für l > gegeben ist durch R(l := ν= (und natürlich NICHTS mit der Fugazität ζ zu tun hat!. (SKIZZE: ν l Wir werden sehen: Für < ξ beschreiben diese Funktionen ein Fermigas mit Fugazität ζ = ξ, für ξ < beschreiben sie ein Bosegas mit Fugazität ζ = +ξ. 68
9.3. Das Potential Ω(T,,µ Aus Gl. (79 erhalten wir mit x i (T,,µ = ζe ǫ i( / Ω(T,,µ = ± i ( ( ln ζe ǫ i(/ BE FD. (3 Für großes olumen λ(t 3 wird, mit p 3 = ( k 3 = ( π L 3 = (π 3 gemäß f(ǫ i g S (π 3 ( p d 3 pf m (mit der Spinentartung g S = s+ daraus wieder ein Integral, 6 Ω(T,,µ = ±g S Wegen Ω = P folgt sofort Mit dζ dµ d dµ eµ/k BT = ζ (π 3 (g S = s+ (33 ( dp(4πp ln ζe p /m = g S λ(t 3g 5/(±ζ. (34 P(T,,µ = ±g S λ(t 3 g 5/(±ζ. (35 folgt weiter für N = ( Ω µ T, ( Ω N(T,,µ = ζ T, wegen ζ d dζ g 5/(±ζ = (±ζ d d(±ζ g 5/(±ζ = g 3/ (±ζ also dζ dµ = ±g S λ(t ζ d 3 dζ g 5/(±ζ, (36 N(T,,µ = ±g S λ(t 3g 3/(±ζ. (37 Bevor wir Gl. (37 nach µ bzw. ζ auflösen, µ = µ(t,,n, (38 und in Gl. (35 einsetzen (Abschnitt 9.4, wollen wir zuerst unabhängig davon eine allgemeine Beziehung zwischen Druck P und Energie U herleiten. 6 Ist die Bedingung Nλ(T 3 nicht erfüllt, so wird diese Integraldarstellung beim Bose-Gas unzureichend, s. Abschnitt 9.4.3. Dann ist Gl. (37 zu ersetzen durch Gl. (356. 69
9.3.3 Energie U Die Funktion U(T,,µ erhalten wir aus U(T,,µ = ǫ i (N i (T,,µ = ǫ i ζe ǫ i/ ζe ǫ i/. (39 Mit ǫ i = k i /m = p i /m wird daraus für λ(t3 wieder ein Integral, U = g S (π 3 = 4π 3 π 3/k BTg S λ(t 3 dp(4πp p m { = 4 3 [ ] g S uv π λ(t 3 = 4 3 [ ] g S uv π λ(t 3 ζe p /m ζe p /m dx x3 x ζe x }{{} 3 ζe }{{ x } u(x v (x dx x }{{} u (x Im letzten Schritt haben wir Gl. (35 eingesetzt. Weiterhin gilt [ ] uv } [ ±ln ( ζe x] } {{ } v(x + 3 P. (3 [ x 3 ( = ± 3 ln ζe x] x 3 ( = ± lim x 3 ζe x x 3 ( lim x 3 ln ζ( x =. (3 Im Fall FD (unteres Z verschwinden beide Limites offensichtlich für alle möglichen Werte ζ. Dasselbe gilt im Fall BE (oberes Z; ζ, denn für den einzigen problematischen Wert ζ = haben wir den Limes x 3 lim x 3 ln(x = lim x 3 x3 lnx =. (3 Im Fall ǫ i = k i /m gilt also allgemein die Beziehung U = 3 P. (33 Im Fall anderer Dispersionsrelationen, etwa ǫ i = k i beim Photonengas der Hohlraumstrahlung, besteht dagegen in der Regel ein anderer Zusammenhang zwischen U und P. 7
9.4 Zustandsgleichungen Ziel dieses Abschnitts ist es, das chemische Potential µ (bzw. die Fugazität ζ zugunsten der Teilchenzahl N zu eliminieren. Dazu müssen wir Gl. (37 nach ζ auflösen, N(T,,ζ = ±g S λ(t 3g 3/(±ζ ζ = ζ(t,,n, (34 und den resultierenden Ausdruck in Gl. (35 einsetzen. Dies ergibt dann die thermische Zustandsgleichung P = P(T,,N und, mit U = 3 P, die kalorische, U = U(T,,N. Da sich N(T,, ζ nicht in geschlossener Form nach ζ auflösen läßt, betrachten wir verschiedene Grenzfälle separat. 9.4. Schwache Entartung Für ζ können wir in Gl. (37 die Funktion g 3/ entwickeln, ±g 3/ (±ζ = ζ ± ζ ζ3 + 3/ 3 3/ +O(ζ4 = λ(t3 N g S Inversion dieser Potenzreihe η = ζ +a ζ +a 3 ζ 3 +... ergibt =: η. (35 ζ = η a η +(a a 3η 3 +... = η η 3/ + ( 4 3 3/ η 3 +... (36 [ k Einsetzen in Gl. (35, P(T,,µ = g B T S λ(t ζ ± ζ 3 Potenzen von η ergibt schließlich die Entwicklung P(T,,N = Nk BT 5/ + ζ3 3 5/ +O(ζ 4 ], und Sortieren nach [ η ( 5/ 3 ] η +O(η 3, η := λ(t3 N 5/ 8 g S. (37 Zur weiteren ereinfachung s. Gl. (34 bzw. Gl. (37. Wir sehen: Beim Bosegas ist gegenüber dem klassischen idealen Gas der Druck P erniedrigt. Beim Fermigas ist es infolge des Pauli-erbots genau umgekehrt. Dies ist entscheidend für das Gleichgewicht der weißen Zwergsterne in der Astrophysik. 7
9.4. Starke und maximale Entartung des Fermi-Gases Im Fall ζ bzw. µ gilt im Fall FD für die Besetzungszahlen Gl. (88 N FD (T,ǫ,µ e (ǫ µ/k BT + { falls ǫ < µ kb T, falls ǫ > µ+. (38 Dann sind also so gut wie alle Zustände i mit ǫ i < µ vollständig besetzt, während so gut wie alle mit ǫ i > µ+ leer sind. In dem kleinen Energieintervall ǫ µ < nimmt dann N FD (T,ǫ,µ von auf ab. Entsprechend hat die Ableitung e(ǫ µ/k BT ǫ N FD(T,ǫ,µ = [ e (ǫ µ/k BT + ] (39 bei ǫ = µ ein scharfes Minimum und ist außerhalb dieses Intervalls praktisch gleich null. Diese besonderen Eigenschaften der Funktion N FD (T,ǫ,µ werden wir ausnutzen. (A Maximale Entartung: Nullpunktsdruck Zuerst betrachten wir aber den einfachen Extremfall ζ e µ/kbt + (also T, { falls ǫ < µ, N FD (T=,ǫ,µ = (3 e (ǫ µ/k BT + T= falls ǫ > µ. Jetzt sind alle Einteilchenzustände i mit ǫ i < µ vollständig (also mit je einem Teilchen besetzt, während alle mit ǫ i > µ unbesetzt sind. Die höchste besetzte Einteilchenenergie, ǫ F = µ, (3 heißt die Fermi-Energie des Systems. Die Teilchenzahl N ist jetzt direkt berechenbar, N(,,µ = N FD (,ǫ i (,µ (ǫ i <µ = g S (π 3 pf dp(4πp = g S (π 4π p 3 F 3 3, (3 wobei der Fermi-Impuls gegeben ist durch p F /m = ǫ F. Für die Fermi-Energie gilt also ǫ F = [ 3 (π 3 N ] /3 ( 6π /3( N /3 7.6 N /3. = = m 4π g S m g S mg S /3( (33 Sie ist eine reine Funktion der Teilchendichte N. Wie man leicht nachrechnet, gilt ( 3 π /3[k ]( N /3. ǫ F ( N µ(t =,,N = B T λ(t (34 4g S 7
Für die Gesamtenergie ergibt sich entsprechend (als Funktion von T =, und N U(,,N = g S (π 3 pf dp(4πp p m =... = 3 5 Nǫ F. (35 Sie ist also (infolge des Pauli-Prinzips ganz wesentlich verschieden von (größer als null. Dies gilt auch für den (sog. Nullpunkts- Druck, P(,,N U 3 = N 5 ǫ F. (36 (B Starke Entartung: Sommerfeld-Entwicklung Für große aber endliche ζ untersuchen wir zunächst die Funktion g 5/ ( ζ = 4 ( dxx ln +ζe x = duu π π }{{} / ln(+e y u. (37 }{{} a (u b(u Hier wurde im zweiten Schritt x = u / substituiert und ζ = e y gesetzt, mit y. Zweifache partielle Integration (und anschließende Ersetzung u y u liefert g 5/ ( ζ = du 4 π 5 u5/ }{{} a(u e u y (+e u y } {{ } b (u 8 5 π y e u du(y +u 5/ (+e u. (38 Da die symmetrische Funktion f(u = eu (+e u = f( u mit wachsendem u exponentiell abklingt, s. Gl. (39, dürfen wir wegen y die untere Grenze y durch ersetzen. Dann ergibt die Entwicklung (y+u 5/ = y 5/ + 5 y3/ u+ 5 8 y/ u +... den Ausdruck g 5/ ( ζ = 8 [ 5 I y 5/ + 5 π 8 I y / 5 ] 8 I 4y 3/ +O(y 7/, (39 mit den Integralen I =, I = π, I 3 4 = 7π4 und, allgemein, 5 I l := duu l e u ( (+e u = l! R(l l (l =,,,... (33 Wegen y = lnζ folgt also für ζ mit k { 3, 5 } das erhalten g k( ζ (lnζ k, g 5/ ( ζ = 8 [ ] 5 π (lnζ5/ + 5π 8 (lnζ 7π4 384 (lnζ 4 +O(lnζ 6. (33 Mit g 3/ (ξ = ξ d dξ g 5/(ξ erhalten wir daraus g 3/ ( ζ = 4 3 π (lnζ3/ [ + π 8 (lnζ + 7π4 64 (lnζ 4 +O(lnζ 6 ]. (33 73
Nach Gl. (37 bzw. (35 gelten also die sog. Sommerfeld-Entwicklungen N(T,,ζ = g S 4 [ ] λ(t 3 3 π (lnζ3/ + π 8 (lnζ + 7π4 64 (lnζ 4 +..., (333 P(T,,ζ = g S λ(t 3 8 5 π (lnζ5/ [ + 5π 8 (lnζ 7π4 384 (lnζ 4 +... Es handelt sich um Entwicklungen nach dem kleinen Parameter ]. (334 µ (lnζ. (335 Um Gl. (333 nach ζ aufzulösen, schreiben wir gemäß Gl. (34 [ 3 π λ(t 3 N ǫ F 4g S ] /3 ] = (lnζ [+ π 8 (lnζ + 7π4 /3 64 (lnζ 4 +... = (lnζ [ π (lnζ + π4 7 (lnζ 4 +... ]. (336 Man beachte, daß ǫ F = ǫ F ( N (N /3 eine explizit bekannte Funktion von und N ist, s. Gl. (33. Reiheninversion ergibt ] (lnζ = x [+ π x π4 45 x4 +..., x := k BT = x(t,,n. (337 ǫ F Um direkt in Gl. (334 einsetzen zu können, entwickeln wir weiter, [ (lnζ = x + π 6 x... ], (lnζ 5/ = x 5/ [ 5π 4 x + π4 8 x4 +... ]. (338 Damit findet man (durch Ausmultiplizieren für P und U = 3 P die Entwicklungen, P(T,,N = 5 ǫ N ( F [+ 5π kb T 9π 4 ( kb T 4 ] + +..., (339 ǫ F 96 ǫ F U(T,,N = 3 ( 5 ǫ FN [+ 5π kb T 9π 4 ( kb T 4 ] + +.... (34 ǫ F 96 ǫ F Insbesondere erhalten wir die (molare spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen, c v (T,v ( U = 3 [ 5π n T,N 5 N ] ( kb T 3, Ak B +... = γt +O (34 6 ǫ F ǫ F mit der Sommerfeld-Konstante γ = N A π k B ǫ F ( N /3. Mit der dimensionslosen Temperatur τ := k BT ǫ F lassen sich Gl. (37 für den Grenzfall schwacher Entartung (τ und Gl. (339 zum ergleich schreiben als { P(T,,N = N τ + ǫ F 3 π τ / +O(τ (τ, + (34 π 5 6 τ + 9π4 4 τ4 +O(τ 6 (τ. 74
9.4.3 Starke und maximale Entartung des Bose-Gases (A Sonderbehandlung des tiefsten Einteilchenzustands Die Gesamt-Teilchenzahl eines Bose-Gases, N(T,,µ = g S N BE (T,ǫ i (,µ, (343 ist die Summe der thermischen Besetzungszahlen der Einteilchenzustände, N BE (T,ǫ,µ = e (ǫ µ/k BT. (344 Das chemische Potential µ kann nicht größer sein als die kleinste Einteilchenenergie ǫ (, da sonst N BE negative Werte annehmen könnte. Wir wählen ǫ ( =. (345 Dann muß also µ sein, und für die Fugazität ζ := e µ/k BT folgt ζ. (346 Starke Entartung entspricht nun dem Grenzfall ζ. Dabei kann die Besetzungszahl N (T,,µ g S N BE (T,ǫ (,µ = g S ζ ζ (347 des tiefsten Einteilchenzustands (im Gegensatz zu allen höheren Einteilchenzuständen makroskopisch werden, Wir spalten sie daher von der Summe (343 ab, N(T,,µ = g S ζ ζ +N e(t,,µ. (348 Die Restsumme aller übrigen Besetzungszahlen läßt sich wieder als Integral schreiben N e (T,,µ = g S N BE (T,ǫ i (,µ = g S (π 3 i= dp(4πp ζ p e p /mk BT ζ. (349 Die untere Grenze p k, mit < p < π, trägt dem Ausschluß des Terms i = aus L der Summe Rechnung. Der genaue Wert von p ist eine komplizierte Funktion von T und ζ. Wir werden jedoch zeigen, daß es auf ihn gar nicht ankommt. Dazu betrachten wir zunächst den Fall ζ <. Die Funktion im Integranden, f(p = p e p /mk BT ζ 75, (35
verschwindet bei p = und für p. Die Bedingung f (p = führt auf die Gleichung x = ζe x, x := p m. (35 Wegen ζ < besitzt sie genau eine Lösung ˆx, mit < ˆx <. Der Integrand hat also genau ein Maximum bei ˆp = mˆx. (35 ˆx kann zwar klein aber nicht null sein. Wird also bei vorgegebener Temperatur T > das Gasvolumen = L 3 hinreichend groß gewählt, so gilt p < π L ˆp. (353 Demnach ist die genaue Wahl der unteren Integrationsgrenze ganz unwichtig. Wir können sogar p = wählen, N e (T,,µ = g S (π 3 dp(4πp ζ e p /mk BT ζ = g S λ(t g 3/(ζ. (354 3 Diese Wahl ist aber auch im Fall ζ = zulässig. Dann liegt zwar das Maximum der Funktion f(p bei ˆp =. Sie ist aber erst bei p =.5m π L auf die Hälfte abgesunken. (x =.5 ist die positive Lösung von x = e x. (355 Nach Gl. (348 gilt also ζ N(T,,ζ = g S +g S ζ λ(t g 3/(ζ. (356 }{{}}{{ 3 } N (ζ N e(t,,ζ Ähnliche Argumente führen von den Gln. (3, (34 und (35, mit P = Ω, auf P(T,,ζ = g S [ ] ln( ζ +g S λ(t g 5/(ζ = g 3 S λ(t g 5/(ζ. (357 3 [Wegen ζ = N N +g S g S N gilt hier ln( ζ = ln N g S < ln N g S, was im thd. Limes verschwindet.] Zu untersuchen ist dabei anstatt von Gl. (349 aus Gl. (34 das Integral g S (π 3 p dp(4πp ln ( ζe p /m. (358 76
(B Einstein-Kondensation Es ist aufschlußreich, N(T,,ζ bei festem T und als Funktion von ζ [,] zu skizzieren. Wählen wir die Masse m von 4 He-Atomen (g S =, sowie die Werte T = K und =.665m 3, so wird, mit λ(t = π /(πm /, aus Gl. (356 N(T,,ζ = ζ ζ }{{} N +g 3/ (ζ }{{}. (359 N e Beide Summanden auf der rechten Seite steigen mit ζ, beginnend mit dem Wert null bei ζ =, monoton an. Für ζ < 8 ist der zweite Term extrem dominierend. Dann übernimmt jedoch plötzlich der erste Term die Führung, da er für ζ divergiert, während der zweite Term nur den endlichen Wert.6 erreicht. ζ ζ ζ g 3/ (ζ N(T,,ζ g 3/ (ζ (genauere Werte..5.65.65.64837.9 9.64.64.6444.99 99.7.7.766.9999 9999.577.577.5777.999999 999999.69.69.6883 8 8.6.6.6. 7 7.6.6 8 8.6.63 9 9.6.6.6.7.6 3.6..6 (SKIZZE Satyendranath Bose (894 Calcutta 974 Calcutta. 77
Wollen wir dagegen zu vorgegebener Teilchenzahl N = (mit =.665m 3 die Fugazität ζ als Funktion der Temperatur T bestimmen, so stoßen wir auf die Gleichung Für T = 4 K wird daraus = ζ ζ }{{} N ( T + K 3/g3/ (ζ. (36 N e } {{ } = ζ ζ +8 g 3/(ζ. (36 Wegen g 3/ (.797 =.797 liegt die Lösung sehr nahe bei ζ =.797, da gegenüber 8.797 dem zweiten Term in extrem starkem Maße vernachlässigbar ist. In diesem Fall gilt also N =.797.797 = 3.93 N, N e = 8 g 3/ (.797 = = N. (36 Für T =.5 K ergibt sich die Gleichung = ζ ζ +3.953 g 3/(ζ. (363 Jetzt muß g 3/ (ζ =.53 = g 3.953 3/(.99945, also ζ.99945 sein. Dann ist also der Term ζ 87 gegenüber N = ζ immer noch völlig vernachlässigbar, N N, N e N. (364 Für die nur geringfügig tiefere Temperatur T 3 =.4 K ergibt sich dagegen = ζ ζ +3.78 g 3/(ζ. (365 Jetzt ist der zweite Term, selbst im günstigsten Fall mit ζ =, deutlich kleiner als N, 3.78 g 3/ ( = 9.7 <. (366 Es muß also ζ ζ 9.7 =.89 sein. Das geht nur, wenn ζ extrem nahe bei liegt, sodaß mit hoher Genauigkeit gilt g 3/ (ζ.6. Dann folgt N =.89, N e = 9.7. (367 Zusammenfassung: Während bei T =.5 K die Besetzungszahl des tiefsten Einteilchenzustandspraktischgleichnullist, nimmtsiebeit =.4KeinenmakroskopischenWertan. Die makroskopische Besetzung dieses Einteilchenzustands wird als Einstein-Kondensation bezeichnet. 78
Mit sinkender Temperatur T setzt Einstein-Kondensation also dann (bei T = T c ein, wenn g 3/ (ζ bereits sehr nahe an den Wert g 3/ ( R( 3 herangekommen ist, N e aber gerade noch nicht merklich unter den Hochtemperatur-Wert N abgesunken ist. Daraus folgt die Bestimmungsgleichung für die kritische Temperatur N e g S λ(t c 3 R(3 = N (368 T c = T c ( N = π ( N /3. (369 [R( 3g S] /3 mk B Für T > T c ist also N e = N; für T < T c darf in Gl. (356 g 3/ (ζ = g 3/ ( gesetzt werden, N e (T,,N = { [ ] 3/ T N falls T < T T c( N c ( N, (37 N falls T > T c ( N. DieZahlderGasteilchenimtiefstenEinteilchenzustandistN (T,,N = N N e (T,,N. (SKIZZE (C Druck, Energie und Spezifische Wärme Der Druck P ergibt sich aus Gl. (357, indem wir für T < T c den konstanten Wert ζ = einsetzen und für T > T c die Entwicklung (37 benutzen. Mit η Nλ(T3 g S ( = R( 3 λ(t3 λ(t c 3 R(3 Tc 3/ (37 T und der dimensionslosen Temperatur τ := T T c erhält man P(T,,N = Nk BT c { R(5/ R(3/ τ5/ (τ, τ R(3/ τ R( 3 5/ ( +O(τ 7/ (τ. (37 3 5/ 8 τ 79