EIN SCHALTKREIS ZUR ERZEUGUNG, GLEICHRICHTUNG UND KUMULATION VON RAUSCHSPANNUNGEN. FernUniversität Universitätsstrasse 1 D Hagen, GERMANY

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1 EIN SCHALTKREIS ZUR ERZEUGUNG, GLEICHRICHTUNG UND KUMULATION VON RAUSCHSPANNUNGEN Eugen Grycko 1, Werner Kirsch 2, Tobias Mühlenbruch 3 1,2,3 Fakultät für Mathematik und Informatik FernUniversität Universitätsstrasse 1 D Hagen, GERMANY 1. Einleitung In [1] [6] beschäftigen wir uns mit dem thermischen Spannungssignal in Metallen. Methodisch basieren wir auf mathematischen Modellen, die sich gelegentlich statistisch und unter Rückgriff auf computerexperimentelle Simulationsdaten quantitativ evaluieren lassen. Dabei versuchen wir Brücken zwischen Modell, Computerexperiment und empirischen Messungen zu schlagen. Es stellt sich manchmal heraus, dass solche Brücken mit vergleichsweise einfacher experimenteller Ausstattung realisierbar sind. Gemäß dem in [1] vorgestellten Drude-Modell des Valanzelektronengases und gemäß unserer experimentellen Erfahrung wird ein langer dünner Draht benötigt, um eine Rauschspannung zu erzeugen, die in den Messbereich eines handelsüblichen Oszilloskops fällt. In dem vorliegenden Beitrag motivieren und präsentieren wir einen Schaltkreis zur Erzeugung, Gleichrichtung und Kumulation von Rauschspannungen und berichten die an ihm durchgeführten Messungen. 2. Ein theoretischer Rauschspannungsindikator In [1] wird das Drude-Modell des Valenzelektronengases in Metallen betrachtet. N Valenzelektronen innerhalb eines Metalls werden als nicht interagierende Massenpunkte der Masse m = kg aufgefasst, deren Geschwindigkeiten v (1) (t),..., v (N) (t) zum Zeitpunkt t 0 als stochastisch unabhängige Zufallsvektoren modelliert werden, die gemäß der 3-dimensionalen 1

2 zentrierten Normalverteilung N(0, σ 2 ) N(0, σ 2 ) N(0, σ 2 ) mit der Varianz σ 2 > 0 verteilt sind. Verteilungsparameter σ 2 hat die physikalische Interpretation (2.1) σ 2 = k B T m, wobei k B bzw. T die Boltzmannkonstante bzw. die Temperatur bezeichnet. Basierend auf der Theorie der Punktprozesse wird in [1] eine Formel für die Varianz V(U(t)) des thermischen Spannungssignals hergeleitet, das als Trajektorie eines stationären stochastischen Prozesses (U(t)) t 0 modelliert werden kann, vgl. Formel (5.5) in [1]. Diese Formel beinhaltet ein Integral, dessen für lange Drähte gültige Approximation auf (2.2) V(U(t)) ϱ e 2 s 2 σ 2 L a 2. führt. Die in (2.2) auftretenden Symbole werden in Tabelle 1 erläutert. ϱ materialspezifische Dichte des Valenzelektronengases e der Betrag der Ladung eines Elektrons in C s spezifischer Widerstand des Metalls in Ω m σ 2 Temperatur-abhängige Varianz der Geschwindigkeitsverteilung L Länge des Leiters in m a 2 Querschnittsfläche des Leiters in m 2 Tabelle 1: Legende zu (2.2) Wir diskutieren jetzt die in (2.2) auftretenden Größen. Der Betrag e := C der Elektronenladung ist eine universelle Konstante. Der Wert s des spezifischen Widerstandes ist für die meisten Metalle allgemeinen zugänglich. Für die Bestimmung von ϱ benutzen wir die Formel (2.3). Dazu werden noch folgende materialspezifische Daten benötigt, die wir aus Wikipedia übernommen haben. 1. Massendichte ϱ des Metalls in kg/m 3 2. Anzahl v der Valenzelektronen pro Atom 2

3 3. Die relative Atommasse m r des Metalls. Eine Standard-Argumentation führt auf (2.3) ϱ = ϱ N A v m r, wobei N A = kg 1 die Avogadro-Zahl bezeichnet. Als ein Indikator der Stärke des Spannungssignals zwischen den Enden eines metallischen Drahtes wird nun die Streuung (2.4) U := ( V(U(t)) ) ( 1 2 ϱ L e s σ vorgeschlagen, die sich zugleich als energetischer Wert der Wechselspannung (U(t)) t 0 interpretieren lässt. An Hand von (2.4) ist erkennbar, dass U bei einer gegebenen festen Temperatur T = 300 K sowohl vom Material als auch von der geometrischen Form des Leiters abhängt. Wir standardisieren die Form des Leiters gemäß (2.5) L = 1500 m und a 2 = π r 2 mit r = m. Für Kupferdraht, dessen geometrische Form in (2.5) spezifiziert ist, erhalten wir den theoretischen Wert der Wechselspannung aus (2.4): (2.6) U = V. a 2 ) Kumulation von Rauschspannungen und ihre Empirischen Pendants Die Messung von Wechselspannungen erfasst nur einen Frequenzband, der typischerweise einen Ausschnitt aus dem Gesamtspektrum des Rauschspannungssignals darstellt. Für unser Messgerät gibt der Hersteller den Frequenzband [18Hz, 10 6 Hz] an. Betrachtet man einen Kupferdraht, dessen Länge und Querschnitt in (2.5) spezifiziert sind und der auf einer Spule aufgewickelt ist, dann ergibt die Messung etwa (3.1) U emp = V. 3

4 Auffallend ist, dass der empirische Wert in (3.1) um den Faktor 30 kleiner ist, als der theoretische Wert in (2.6), was darauf hindeutet, dass das Gesamtspektrum des Rauschspannungssignals wesentlich breiter ist, als es unser Messgerät zu erfassen vermag. Nun möchten wir N identische Kupferdrahtspulen in Reihe schalten. Zur Beschreibung des resultierenden Rauschsignals betrachten wir N unabhängige Replikanten ( U (1) t )t 0,..., ( U (N) ) t t 0 eines zentrierten, stationären stochastischen Prozesses ( U t mit endlicher )t 0 Varianz U 2. Wir bilden die Summe S t := U (1) t U (N) t (t 0) und erhalten für die resultierende Spannung S N : (3.2) S 2 N = Var ( S t ) = N U 2, d.h. die resultierende Spannung wächst mit der Quadratwurzel aus N, was im Einklang mit der theoretischen Formel (2.4) steht. Wir haben empirisch die Anzahl N der in Reihe geschalteten Spulen variiert und die resultierenden Wechselspannungswerte erhoben. Die Messungen sind in Tabelle 2 wieder gegeben. N U emp / mv Tabelle 2: Empirische Wechselspannungswerte Tabelle 2 bestätigt die approximative Gültigkeit von (3.2). 4. Kumulation gleichgerichteter Rauschspannungen Das zur Wurzel der Drahtlänge proportionale Anwachsen der Rauschspannung U impliziert, dass der Leistungsindikator (4.1) U 2 R = U 2 s L a 2 4

5 konstant ist und sich mit der Drahtlänge nicht vergrößert. Ein Versuch, nun auch verfügbare Rauschleistung zu vergrößern, besteht darin, dass Ausgänge von Spulen S an Eingänge von Gleichrichtern G angeschlossen werden, und zwar in der Hoffnung, dass an den Ausgängen der Gleichrichter ein Spannungssignal generiert wird, welches einen Gleichspannungsanteil aufweist. Ein typischer Baustein, der diese Idee realisiert, ist in Fig. 1 abgebildet. Fig. 1: Ein Bauelement zur Gleichrichtung der Rauschspannung 5

6 Fig. 2: Ein Schaltkreis zur Gleichrichtung und Kumulation von Rauschspannungen 6

7 Um den zeitlich gemittelten Gleichspannungsanteil messen zu können, wird am Ausgang des Gleichrichters ein bipolarer Kondensator der Kapazität C angeschlossen. In einem Experiment wurden 34 Exemplare des in Fig. 1 dargestellten Bausteins in Reihe geschaltet, vgl. Fig. 2. Zwischen den Ausgängen dieser Reihe wurde der Gleichspannungswert gemessen. Die Phänomenologie dieser Schaltung ist nicht einheitlich. Wählt man Kondensatoren der Kapazität C = 3.3µF, dann scheint sich Polarität der gemessenen Gleichspannung auf Zeitintervallen der Länge s zu stabilisieren. Der angezeigte Spannungswert hängt stark vom Eingangswiderstand des verwendeten Spannungsmessers ab. Eine typische gemessene Spannung liegt im Bereich 1-4 mv, obwohl auch Werte im Bereich mv beobachtet wurden. Der Eingangswiderstand des verwendeten Messgeräts betrug 10 7 Ω. Verdoppelt man die Anzahl der involvierten Bauelemente, dann steigt die gemessene Spannung: Die Betrachtung langer Messreihen, die wir aufgenommen haben, suggeriert, dass im statistischen Mittel der typische Gleichspannungsanteil um den Faktor 2 steigt, wenn man 68 anstatt von 34 Exemplaren des betrachteten Bausteins in Reihe schaltet. 5. Messungen mit einem Oszilloskop Des Weiteren haben wir 34 in Reihe geschaltete Exemplare des in Fig. 1 dargestellten Bausteins an den Eingang eines Oszilloskops angeschlossen. In Fig. 3 präsentieren wir ein typisches Bild des von unserem Schaltkreis erzeugten Rauschspannungssignals, das auf dem Bildschirm des Oszilloskops erscheint. 7

8 Fig. 3: Visualisierung eines typischen Rauschspannungssignals Die gemessene Amplitude des Signals beträgt ca. 2 mv. Eine Asymetrie des verrauschten Graphen bezüglich der (horizontalen) Zeitachse, die einen Gleichspannungsanteil bestätigen würde, ist leider nicht ohne Weiterem erkennbar, was mit dem relativ kleinen Eingangswiderstand (10 6 Ω) des verwendeten Oszilloskops zusammenhängen mag. 6. Messungen von Stromstärken Uns stand ein Strommesser mit der angegebenen Genauigkeit von 10 na mit den Optionen Gleichstrom und Wechselstrom zur Verfügung. Zunächst schließen wir den Strommessereingang mit einer Messleitung kurz. Das Ergebnis ist na Wechselstrom bzw na Gleichstrom. Als Nächstes schließen wir den Ausgang des in Fig. 2 dargestellten Schaltkreises an den Eingang des Strommessers an und beobachten die Messung 8

9 340 na Wechselstrom bzw na bei der Option Gleichstrom. In beiden Fällen handelt es sich um den sogenannten Kurzschlussstrom. Wir interpretieren diese Messergebnisse als eine Bestätigung der Tatsache, dass der durch den Schaltkreis erzeugte elektrische Strom eine verrauschte Vorzugsrichtung hat, zumal die bei den Messungen der Stromstärken erhobenen Messwerte leichter reproduzierbar sind als die bei der Spannungsmessung erzielten Ergebnisse. Danksagung Die Autoren bedanken sich bei Peter Böhme, Wolfgang Köhler und Joachim Warzecha für technische Unterstützung im Zusammenhang mit der Realisierung des hier thematisierten Schaltkreises. Literatur [1] E. Grycko, W. Kirsch, M. Könenberg, J. Li, T. Mühlenbruch, J. Rentmeister, Thermal noise in a modified Drude model. Int. J. Pure Appl. Math. 54, No. 4, (2009), [2] E. Grycko, W. Kirsch, T. Mühlenbruch, Amplification of thermal noise by an electrostatic field. Int. J. Pure Appl. Math. 60, No. 2, (2010), [3] E. Grycko, W. Kirsch, T. Mühlenbruch, Some quantum mechanical evidence for the amplification of thermal noise in an electrostatic field. Int. J. Pure Appl. Math. 69, No. 4, (2011), [4] E. Grycko, W. Kirsch, T. Mühlenbruch, On the thermal voltage signal in a virtual nanoconductor. Int. J. Pure Appl. Math. 87, No. 2, (2013), [5] E. Grycko, W. Kirsch, T. Mühlenbruch, On the thermal angular momentum of the electron gas. Seminarberichte Mathematik, Band 86, (2014), [6] E. Grycko, W. Kirsch, T. Mühlenbruch, Über Spannungs- und Leistungsindikatoren für thermisches Rauschen in Metallen. Erscheint in: Seminarberichte Mathematik, (2015). 9