IB /36. Die Reynolds-Spannungsgleichungen für kompressible Strömung Herleitung und Zusammenhänge. B. Eisfeld

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2 IB /36 Die Reynolds-Spannungsgleichungen für kompressible Strömung Herleitung und Zusammenhänge B. Eisfeld Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik Braunschweig Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt e.v. Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik Abteilung Numerische Verfahren Lilienthalplatz 7, D-3818 Braunschweig Stufe der Zugänglichkeit 1 Braunschweig, im Dezember 22 Institutsdirektor Prof. Dr.-Ing. H. Körner Verfasser Dr. B. Eisfeld Abteilungsleiter Dr.-Ing. N. Kroll Der Bericht enthält 52 Seiten Bilder Tabellen 12 Literaturstellen

3 Abstract The first part of this report contains the derivation of the Reynolds stress equations for compressible flow. The terms of these equations are grouped in a different way as usual, in order to allow for a consistent treatment with the energy equation, i. e. there are no contributions of the turbulence missing or surplus. or an ideal, calorically perfect gas, it is possible to express the pressure diffusion and, neglecting the influence of density flucutations, the trace of the pressure strain correlation by the turbulent heat flux. These relations have to be accounted for, when transferring turbulence models developed for constant density to the case of compressible flow. The second part of the report investigates the averaging of the material laws for the viscous stresses and the heat flux. As it comes out, the classical neglection of the influence of the turbulent fluctuations relies on contradicting assumptions. Using an approach that is free of contradictions, the influence of the turbulent fluctuations on the averaged Newtonian stress tensor can be expressed by the pressure strain correlation of the Reynolds stress equations and the turbulent heat flux. Thus, it could be accounted for when using the respective turbulence models. In contrast, the classical formulation of the averaged Newtonian stress tensor corresponds to the assumption of an isotropic pressure strain correlation tensor which seems to be a reasonable assumption for simpler turbulence models. Zusammenfassung Im ersten Teil dieser Arbeit werden die Reynolds-Spannungsgleichungen für kompressible Strömungen hergeleitet. Die Terme der Reynolds-Spannungsgleichungen werden dabei anders als sonst gruppiert, um ohne Zusatzannahmen eine konsistente Behandlung der Energiegleichung zu ermöglichen, d. h. dass in der Energiegleichung grundsätzlich weder Beiträge der Turbulenz fehlen noch überschüssig sind. ür ideales, kalorisch perfektes Gas gelingt es dabei, die Druckdiffusion sowie unter der Annahme vernachlässigbarer Dichteschwankungen auch die Spur der Druck-Scher- Korrelation auf den turbulenten Wärmestrom zurückzuführen. Diese Zusammenhänge sind zu berücksichtigen, wenn Turbulenzmodelle, die für konstante Dichte entwickelt wurden, auf den all kompressibler Strömungen übertragen werden. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Mittelung der Materialgesetze für die viskosen Spannungen und die Wärmestromdichte untersucht. Dabei zeigt sich, dass die klassische Vernachlässigung des Einflusses der Schwankungen auf miteinander unvereinbaren Annahmen beruht. Durch ein widerspruchsfreies Vorgehen lässt sich dieser Einfluss im alle des Newtonschen Spannungstensors auf die Druck-Scher-Korrelation der Reynolds-Spannungsgleichungen und den turbulenten Wärmestrom zurückführen und könnte bei entsprechenden Turbulenzmodellen berücksichtigt werden. Die klassische ormulierung des gemittelten Newtonschen Spannungstensors entspricht dagegen der Annahme eines isotropen Tensors der Druck-Scher-Korrelation, was bei einfacheren Turbulenzmodellen eine naheliegende Approximation darstellt.

4 Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis v 1 Einleitung 1 2 Grundgleichungen Bilanzgleichungen Materialgesetze Viskose Spannungen Wärmestromdichte Koeffizienten der Materialgesetze Thermodynamische Beziehungen Thermische Zustandsgleichung Kalorische Zustandsgleichungen Weitere thermodynamische Beziehungen Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen Mittelungsmethoden Einfache zeitliche Mittelung Massengewichtete zeitliche Mittelung Zusammenhänge zwischen einfacher und massengewichteter zeitlicher Mittelung avre-mittelung der Strömungsgleichungen Vorgehen Die avre-gemittelten Bilanzgleichungen Die avre-gemittelten thermodynamischen Beziehungen Die Reynolds-Spannungsgleichungen Herleitung Wichtige Beziehungen Zeitableitungsterm ii

5 4.1.3 Konvektiver Term Druckterme Viskose Spannungen Die einfache orm der Reynolds-Spannungsgleichungen Alternative ormulierungen ormulierung von Barre et al. [2] ormulierung von Wilcox [12] Eigene ormulierung der Reynolds-Spannungsgleichungen Grundüberlegung Zusammenhang zwischen Druckleistungsterm und turbulenter Wärmestromdichte Die -Gleichung Übertragbarkeit auf inkompressible luide olgerungen für die Turbulenzmodellierung Mittelung der Materialgesetze Klassisches Vorgehen Gemittelter viskoser Spannungstensor Gemittelte Wärmestromdichte Gemittelte Koeffizienten Widersprüche des klassischen Vorgehens Widerspruchsfreies Vorgehen Widerspruchsfrei gemittelter viskoser Spannungstensor Widerspruchsfrei gemittelte Wärmestromdichte Gemittelte Koeffizienten Schwankungen der Koeffizienten Vernachlässigbarkeit der Temperaturschwankungen Zusammenhang des gemittelten Newtonschen Spannungstensors mit bekannten Termen Zusammenfassung 3 A Mittelungsbeziehungen 42 A.1 Beziehungen für die einfache Mittelung A.2 Beziehungen für die massengewichtete Mittelung A.3 Beziehungen zwischen einfacher und massengewichteter Mittelung B Mittelung der Gleichungen 46

6 B.1 Transportgleichungen B.1.1 Kontinuitätsgleichung B.1.2 Impulsgleichung B.1.3 Energiegleichung B.2 Thermodynamische Beziehungen B.2.1 Thermische Zustandsgleichung B.2.2 Kalorische Zustandsgleichungen B.3 Abschlussbemerkungen C Schwankungen kalorischer Zustandsgrößen und Energiekorrelationen 5 C.1 Schwankungen von innerer Energie und Enthalpie C.2 Beziehungen für die Korrelationen der Energiegleichung D Die Kontinuitätsgleichung der Schwankungsbewegung 52

7 Symbolverzeichnis Lateinische Symbole Symbol Einheit Bedeutung spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck spezifische Wärmekapazität bei konstantem spezifischem Volumen Dichte) spezifische Gesamtenergie spezifische innere Energie spezifische Gesamtenthalpie spezifische Enthalpie avre-gemittelte spezifische kinetische Turbulenzenergie Prandtl-Zahl!"# Druck $& '! # ) * -te Komponente der Wärmestromdichte + spezielle Gaskonstante + -, Komponenten des avre-gemittelten. spezifischen Reynolds-Spannungstensors Sutherland-Konstante,./ , Komponenten des spurfreien Scherratentensors Temperatur ; Zeit Zeitintervall der Mittelung = * * -te Komponente des Geschwindigkeitsvektors >? = -te Komponente des Vektors der Schwankungsgeschwindigkeit * -te Raumkoordinate Griechische Symbole Symbol Einheit Bedeutung A B Isentropenexponent -, Kronecker-Tensor C D= ) D Wärmeleitfähigkeit E!"# dynamische Viskosität G ) Dichte H I,!"# Komponenten des viskosen Spannungtensors

8 Sonstige Symbole Symbol Bedeutung einfacher Mittelwert der Größe massengewichteter Mittelwert der Größe Schwankung der Größe um den einfachen Mittelwert Schwankung der Größe um den massengewichteten Mittelwert

9 1 Einleitung Bei der Betrachtung des Systems aus Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen und Reynolds-Spannungsgleichungen für kompressible Strömung fällt auf, dass für letztere eine Reihe unterschiedlicher, mathematisch äquivalenter ormulierungen existieren. Dabei werden teilweise dieselben physikalischen Phänomene mit unterschiedlich definierten Termen assoziiert, z. B. die Dissipation der Turbulenz. Darüber hinaus weicht die übliche, am all konstanter Dichte orientierte Gruppierung von Termen in den Reynolds-Spannungsgleichungen von der Gruppierung derselben Terme in der Energiegleichung ab. Eine auf dieser unterschiedlichen Gruppierung beruhende Modellierung führt deshalb ohne Zusatzannahmen zu einer Inkonsistenz zwischen den modellierten Gleichungen. Aus diesem Grunde wurde die Herleitung der Reynolds-Spannungsgleichungen für kompressible Strömung noch einmal aufgerollt und das Vorgehen nachvollzogen, das zu den unterschiedlichen ormulierungen führt. Auf dieser Basis wird eine weitere äquivalente Gruppierung von Termen vorgeschlagen, bei der sich die zu modellierenden Terme der Energiegleichung in analoger orm in den Reynolds-Spannungsgleichungen wiederfinden. Dies erlaubt nicht nur grundsätzlich eine konsistente Erfüllung der modellierten Energieund Reynolds-Spannungsgleichungen sondern liefert auch weitergehende Erkenntnisse bzgl. der Turbulenzmodellierung. Insbesondere zeigt sich, dass die sog. Druckdiffusion in idealen, kalorisch perfekten Gasen in einem Term enthalten ist, der durch die sog. turbulente Wärmestromdichte vollständig beschrieben ist. Außerdem lässt sich die Spur der Druck-Scher-Korrelation auf diesen Term zurückführen. Diese Zusammenhänge sind deshalb grundsätzlich zu berücksichtigen, wenn Turbulenzmodelle, die für den all konstanter Dichte entwickelt wurden, auf kompressible Strömungen übertragen werden. In einem zweiten Teil wird die Behandlung der Materialgesetze bei der Mittelung der Hauptströmungsgleichungen zur Beschreibung turbulenter Strömungen näher betrachtet. In der Regel stehen bei der Reynolds-Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen die konvektiven Terme im Mittelpunkt, weil durch deren Nichtlinearität bei der Mittelung neue, zu modellierende Terme eingeführt werden, u. a. die Reynolds-Spannungen. Der Newtonsche Spannungstensor und die ouriersche Wärmestromdichte sind aufgrund der Temperaturabhängigkeit von dynamischer Viskosität und Wärmeleitfähigkeit ebenfalls nichtlineare unktionen, doch werden die dadurch bei der Mittelung der Beziehungen auftretenden Korrelationen von Schwankungen üblicherweise vernachlässigt. Die zugrundeliegende Methodik verlangt, die dynamische Viskosität und die Wärmeleitfähigkeit durch den einfachen Mittelwert der Temperatur auszudrücken, bei kompressibler Strömung steht aber nur deren massengewichteter Mittelwert zur Verfügung. Der nahe- 1

10 Einleitung 2 liegende und in der Praxis einzig gangbare Weg, beide Mittelwerte gleichzusetzen, widerspricht jedoch der Voraussetzung zur Vernachlässigung der Zusatzterme. Tatsächlich zeigt sich, dass das Vorgehen zur Vernachlässigung dieser Zusatzterme im viskosen Spannungstensor und in der Wärmestromdichte auf Annahmen beruht, die miteinander unvereinbar sind. Es wird deshalb eine alternative Methode bei der Betrachtung der Materialgesetze vorgeschlagen, die in sich widerspruchsfrei ist und ausschließlich auf vorhandenen Größen beruht. Mit deren Hilfe gelingt es, die bei der Mittelung des Newtonschen Spannungstensors auftretenden Zusatzterme auf bekannte Terme der Reynolds- Spannungsgleichung bzw. der gemittelten Energiegleichung zurückzuführen. Danksagung Der Autor bedankt sich vor allem bei seinen Kollegen Jan Delfs, Nicolas Gauger, Andreas Krumbein und rédéric Le Chuiton für die anregenden Diskussionen während der Entstehung dieser Arbeit /36

11 2 Grundgleichungen 2.1 Bilanzgleichungen Die Grundgleichungen des Strömungsmechanik sind die Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Gesamtenergie. Diese lauten in Tensorschreibweise in differentieller orm Masse Kontinuität) 2 2.1) Impuls H 2.2) Gesamtenergie H $ 2.3) Darin bedeuten die Dichte, die Komponenten der Geschwindigkeit, den Druck, H die Komponenten des viskosen Spannungstensors und $ die Komponenten der Wärmestromdichte. Dabei wurden Volumenkräfte, etwa die Gravitation, vernachlässigt. 2.2 Materialgesetze Unter Materialgesetzen werden Modelle verstanden, die das mechanische bzw. thermische luidverhalten näher kennzeichnen. Speziell handelt es sich um Modelle für den viskosen Spannungstensor H -, und die Wärmestromdichte $ Viskose Spannungen Üblicherweise wird ein Newtonsches luid angenommen, bei dem die viskosen Spannungen linear mit dem symmetrischen Anteil des Tensors der Geschwindigkeitsgradienten zusammenhängen, d. h. H -, E. -, 7 2.4) Darin bedeutet E die sog. dynamische Viskosität und. -, B -, 2.5) den spurfreien Scherratentensor. 3

12 Grundgleichungen Wärmestromdichte In der Regel wird ouriersche Wärmeleitung angenommen, bei der die Wärmestromdichte linear mit dem Gradienten der Temperatur zusammenhängt $& C Darin bedeutet C die sog. Wärmeleitfähigkeit. 2.6) Koeffizienten der Materialgesetze Die Materialgesetze enthalten mit der dynamischen Viskosität und der Wärmeleitfähigkeit noch Koeffizienten, die im allgemeinen von den thermischen Zustandsgrößen abhängen. Auch hierfür müssen Modelle bereitgestellt werden. Dynamische Viskosität Im allgemeinen hängt die dynamische Viskosität nur schwach vom Druck ab, so dass man D2 2 von einer reinen Temperaturabhängigkeit ausgehen kann. Diese wird im Bereich 22 2 gut durch das Sutherland-Gesetz E E. mit. D ) wiedergegeben. Dabei bezeichnet der Index Ref einen Referenzzustand, der der Bedingung genügen muss [7]. E ) 3 5 D2 4! # Wärmeleitfähigkeit Die Wärmeleitfähigkeit ist mit der dynamischen Viskosität über die Definition der Prandtl- Zahl E C 2.8) verknüpft, die für Gase in einem weiten Temperaturbereich nahezu konstant ist [11]. Somit erhält man die Wärmeleitfähigkeit ebenfalls aus dem Sutherland-Gesetz 2.7) gemäß C C. mit. D ) mit C E /36

13 2. Grundgleichungen Thermodynamische Beziehungen Das System der Bilanzgleichungen ist nicht geschlossen, denn es enthält nur 5 Gleichungen für die 7 Unbekannten,,, und. Zur Schließung des Systems werden daher zwei weitere Beziehungen benötigt, die die Thermodynamik in orm von Zustandsgleichungen bereitstellt Thermische Zustandsgleichung Thermische Zustandsgleichungen verknüpfen die thermischen Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Dichte miteinander. Hier wird dabei ein ideales Gas angenommen, welches der Bedingung + 2.1) genügt. Darin bedeutet + mit der der allgemeinen Gaskonstanten zusammenhängt. die vom luid abhängige spezielle Gaskonstante, die über ?! und der mittleren Molmasse Kalorische Zustandsgleichungen Kalorische Zustandsgleichungen verknüpfen die kalorischen Zustandsgrößen Enthalpie, Energie und Entropie mit den thermischen Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Dichte. Bei idealen Gasen hängen innere Energie und Enthalpie nur von der Temperatur ab []. Außerdem wird hier ein kalorisch perfektes Gas angenommen, bei dem die spezifischen Wärmekapazitäten 3 sind [4]. Damit erhält man folgende Beziehungen Gesamtenergie mit der spezifischen inneren Energie des luids Spezifische innere Energie 2.11) 2.12) mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem spezifischem Volumen Dichte). Spezifische Enthalpie mit der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck. 2.13) /36

14 2. Grundgleichungen 6 Gesamtenthalpie 2.14) Weitere thermodynamische Beziehungen Das Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten definiert den sog. Isentropenexponenten A 2.15) Dieser ist für kalorisch perfektes Gas konstant. Bei idealen Gasen ist die Differenz der spezifischen Wärmekapazitäten gerade die spezielle Gaskonstante ) /36

15 3 Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen Im Prinzip genügen die Bilanzgleichungen mitsamt der Modelle für den viskosen Spannungstensor und die Wärmestromdichte sowie den thermodynamischen Zustandsgleichungen, um jede Art Strömungen zu beschreiben. In turbulenten Strömungen treten jedoch luktuationen in einem derart breiten zeitlichen und räumlichen Skalenspektrum auf, dass diese bei komplexen Strömungsfeldern nicht mehr mit vertretbarem Aufwand alle aufgelöst werden können. Aus diesem Grunde zerlegt man alle Strömungsgrößen in Mittelwerte und Schwankungen und mittelt die exakten Gleichungen. Diese stellen dann eine Beschreibung des mittleren Strömungsfeldes dar, in der der mittlere Einfluss der Schwankungen in orm zusätzlicher Terme auftritt. Letztere sind zu modellieren, um das System gemittelter Gleichungen zu schließen. 3.1 Mittelungsmethoden Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten zur Mittelung der Strömungsgleichungen zeitliche, räumliche und Ensemblemittelung, bei der über eine Anzahl von Realisierungen derselben Strömung Messungen) gemittelt wird. Die sog. Ergodenhypothese besagt, dass alle diese Mittelwerte bei stationärer, homogener Turbulenz gleich sind [12], so dass man meist von der Vorstellung einer zeitlichen Mittelung ausgeht. Dabei unterscheidet man zwischen einer einfachen und einer massengewichteten Mittelung, die bei kompressiblen Strömungen verwendet wird, um explizite Dichteschwankungen aus den Gleichungen zu eliminieren Einfache zeitliche Mittelung Bei der einfachen zeitlichen Mittelung wird eine Größe gemäß 3.1) in ihren zeitlichen Mittelwert ; H 7

16 3. Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen 8 und die Schwankung zerlegt. Diese Mittelwerte sind zeitlich konstant. Eine Verallgemeinerung auf instationäre Strömungen ist möglich, wenn man eine sog. spektrale Lücke voraussetzt. Das bedeutet, dass die größte Periode der turbulenten Schwankungen ; wesentlich kleiner ist als die kleinste Periode der mittleren instationären Bewegung ;, so dass sich eine Mittelungsdauer ; finden lässt, die der Bedingung ; ; ; genügt. Die Gültigkeit dieser Annahme ist für jede einzelne instationäre Strömung zu prüfen. Daraus ergeben sich unter der Voraussetzung, dass die jeweiligen Mittelwerte existieren, eine Reihe von Regeln, die z. B. bei Wilcox [12] angegeben und im Anhang A.1 hergeleitet werden. Der zeitliche Mittelwert der Schwankung ist 2 Der zeitliche Mittelwert eines zeitlichen Mittelwertes ist der zeitliche Mittelwert selber Zeitliche Mittelung und Differentiation sind kommutativ, d. h. Der zeitliche Mittelwert eines Produktes ist bei spektraler Lücke) Massengewichtete zeitliche Mittelung Bei der massengewichteten zeitlichen Mittelung wird eine Größe H H in ihren massengewichteten zeitlichen Mittelwert gemäß 3.2) und die Schwankung um diesen Mittelwert zerlegt. Die Verallgemeinerung auf instationäre Strömungen setzt wiederum eine spektrale Lücke zwischen den Periodendauern der turbulenten luktuationen und der instationären Bewegung voraus. Daraus ergeben sich unter der Voraussetzung, dass die jeweiligen Mittelwerte existieren, eine Reihe von Regeln, die z. B. bei Wilcox [12] angegeben und im Anhang A.2 hergeleitet werden /36

17 3. Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen Der massengewichtete zeitliche Mittelwert der Schwankung ist 2 Der massengewichtete zeitliche Mittelwert eines massengewichteten zeitlichen Mittelwertes ist der massengewichtete zeitliche Mittelwert selber Massengewichtete zeitliche Mittelung und Differentiation sind kommutativ, d. h. bei spektraler Lücke) Der massengewichtete zeitliche Mittelwert eines Produktes ist Zusammenhänge zwischen einfacher und massengewichteter zeitlicher Mittelung Zwischen einfacher und massengemittelter zeitlicher Mittelung gibt es eine Reihe von Zusammenhängen, die sich aus den Definitionen der jeweiligen Mittelung ergeben. Diese sind z. B. bei Wilcox [12] angegeben und werden im Anhang A.3 ergeleitet. Es ergibt sich dabei Einfache zeitliche Mittelung eines massengewichteten Mittelwerts liefert wieder den massengewichteten Mittelwert Einfache zeitliche Mittelung der Schwankung um den massengewichteten Mittelwert ergibt nicht null, sondern Einfacher und massengewichteter Mittelwert hängen gemäß zusammen. Einfache zeitliche Mittelung eines Produktes mit der Dichte liefert /36

18 3. Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen 1 Einfache Mittelung eines Produktes zweier Größen mit der Dichte liefert Einfache zeitliche Mittelung eines Produktes aus Schwankung um den massengewichteten Mittelwert und Dichte ist 2 Hinweis Bei vernachlässigbaren Dichteschwankungen sind die einfache und die massengewichtete zeitliche Mittelung identisch. 3.2 avre-mittelung der Strömungsgleichungen Vorgehen Die in Kapitel 2 zusammengestellten Gleichungen werden einfach zeitlich gemittelt und dabei die obengenannten Regeln angewendet. Wie im Anhang B gezeigt, erreicht man durch die Behandlung aller Produkte mit der Dichte entsprechend der massengewichteten Mittelung, dass nirgends mehr Dichteschwankungen explizit auftreten. Dies entspricht einer kombinierten Verwendung einfacher und massengewichteter Mittelwerte entsprechend der nachfolgenden Aufteilung Einfache Mittelwerte H -, H -, $& $ H -, $ Massengewichtete Mittelwerte > Das Aussehen des gemittelten Tensors der viskosen Spannungen H I, und des gemittelten Vektors der Wärmestromdichte $ wird gesondert in Kapitel 5 beschrieben Die avre-gemittelten Bilanzgleichungen In Anhang B.1 ist das beschriebene Verfahren auf die in Abschnitt 2 angegebenen Bilanzgleichungen 2.1), 2.2) und 2.3) angewendet worden. Dabei erhält man folgendes /36

19 3. Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen 11 Ergebnis Masse Kontinuität) 2 3.3) Impuls > > H 3.4) Gesamtenergie > H H > $ 3.5) Wie man erkennt, sind die gemittelten Transportgleichungen den exakten Gleichungen formal sehr ähnlich, es treten lediglich drei Zusatzterme auf, die den Beitrag der turbulenten Schwankungen zu Impuls und Energie beschreiben. Dabei wird > > > > 3.6) + > > als Tensor der Reynolds-Spannungen bzw. 3.7) als Tensor der spezifischen d. h. auf die Masse bezogenen) Reynolds-Spannungen bezeichnet [12]. Die aus dem Konvektionsterm der Energiegleichung hervorgehende Korrelation zwischen Schwankungen der Totalenthalpie und der Geschwindigkeit lässt sich, wie im Anhang C hergeleitet, als > > > > >?> > > > > > > > > darstellen. Nach Wilcox [12] bedeuten > >?> 3.8) die durch Turbulenz transportierte Wärmestromdichte und > > > den turbulenten Transport kinetischer Turbulenzenergie. Der Term + > > 3.) entspricht der mechanischen Leistung der turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen. Schließlich beschreibt der Ausdruck H &> /36

20 3. Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen 12 die molekulare Diffusion von Turbulenzenergie. Um das Gleichungssystem zu schließen, sind für alle diese Terme außer der mechanischen Leistung) sog. Turbulenzmodelle zu finden, die die Wirkung der genannten Mechanismen in den gemittelten Gleichungen richtig beschreiben. Allerdings wird der Begriff Turbulenzmodell oft nur für Ansätze für den Tensor der spezifischen) Reynolds-Spannungen verwendet, weil dieser bei Strömungen mit konstanter Dichte bereits ausreicht, um ein geschlossenes Gleichungssystem zu erhalten. Wenn allerdings die Energiegleichung gelöst werden soll, sind zusätzlich auch die anderen Terme zu modellieren Die avre-gemittelten thermodynamischen Beziehungen Die avre-gemittelte thermische Zustandsgleichung Wie im Anhang B.2 gezeigt, liefert die Mittelung der themischen Zustandsgleichung für ideale Gase 2.1) direkt + 3.1) Die avre-gemittelten kalorischen Zustandsgleichungen Wie im Anhang B.2 gezeigt, erhält man die avre-gemittelten kalorischen Zustandsgleichungen, indem man die in Abschnitt aufgelisteten Gleichungen mit der Dichte multipliziert und anschließend mittelt. Daraus ergibt sich avre-gemittelte spezifische Gesamtenergie > > 3.11) avre-gemittelte spezifische innere Energie avre-gemittelte spezifische Enthalpie avre-gemittelte Gesamtenthalpie > > > > 3.12) 3.13) /36

21 3. Gemittelte Gleichungen für turbulente Strömungen 13 Diesen Beziehungen liegt wieder die Annahme eines idealen, kalorisch perfekten Gases zugrunde. Die Korrelation der Schwankungsgeschwindigkeiten, die in der Gesamtenergie und -enthalpie auftritt ist die avre-gemittelte spezifische kinetische Energie der turbulenten luktuationen, > > > > 3.14) Weitere thermodynamische Beziehungen Die Beziehungen für den Isentropenexponenten und die spezielle Gaskonstante bleiben für ideales, kalorisch perfektes Gas von jeglicher Mittelung unberührt, d. h. A /36

22 4 Die Reynolds-Spannungsgleichungen Die Modellierung des mittleren Einflusses der Turbulenz auf die mittlere Strömung beruht auf der Transportgleichung für die Reynolds-Spannungen. Diese wird nachfolgend für den allgemeinen all kompressibler Strömung hergeleitet. Es besteht jedoch eine gewisse reiheit in der Darstellung der Terme, die den Druck und die viskosen Spannungen enthalten [1]. Hier wird deshalb, abweichend vom üblichen vorgehen, eine ormulierung gewählt, die auf die Konsistenz mit der Energiegleichung abzielt. Daraus lassen sich eine Reihe von orderungen ableiten, die bei der Turbulenzmodellierung grundsätzlich zu erfüllen sind. 4.1 Herleitung ür die in der gemittelten Impuls- und Energiegleichung auftretenden spezifischen Reynolds-Spannungen lässt sich eine weitere Transportgleichung ableiten. Ausgangspunkt hierfür ist die Impulsgleichung für die Geschwindigkeitskomponente in der orm 8 Diese wird mit der Schwankungsgeschwindigkeit >, multipliziert, zu der mit > multipli- addiert und das Ergebnis gemittelt, also >, >, 2 zierten Gleichung für, H Um daraus die Transportgleichung für die Reynolds-Spannungen zu erhalten, geht man am besten Term für Term vor. Dabei wird zwischenzeitlich von der Differenzierbarkeit aller Größen ausgegangen Wichtige Beziehungen Eine Beziehung, die nachfolgend benötigt wird, ist der Zusammenhang von Dichteableitungen mit den Schwankungsgeschwindigkeiten. Dabei gilt für die Zeitableitung > > > 14

23 ,,, 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 15 2 > 4.1) Analog erhält man für beliebige Raumableitungen > 2 4.2) Zeitableitungsterm Aus den Zeitableitungstermen der Impulsgleichung ergibt sich >, >, >, >, >, >, >, > >, > > >, >, >, > > > > > >, + -, > >, > >, >, > > >, > >, > >, 4.3) Der zweite Term auf der rechten Seite wird stehen gelassen, weil er sich später gegen einen identischen Ausdruck wegheben wird, der aus dem konvektiven Term entsteht Konvektiver Term Die Betrachtung der konvektiven Terme der Impulsgleichung ist der aufwändigste Teil der Herleitung. Systematisches Ausdifferenzieren aller Terme sowie Zerlegung aller Geschwindigkeitskomponenten in Mittelwert und luktuation liefert >, >, >, >, >, /36

24 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 16 > >,, >, >, >, >, >, > >, >, > >,, > >,, >, > > > > > >, >, > >, > >, > >, > > >, > > >, > >, > > >, > >, > >, > > > >, > > >, > Die durchnummerierten Terme werden nachfolgend zusammengefasst. 4.4) Konvektion > >, > >, + -, > >, > >, >, > 4.5) Turbulenter Transport ) > >, > > >, > > > >, > >, > >, > > 4.6) /36

25 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 17 Zeitterm > >, > >, > > >, > >, > >, Einsetzen der exakten Kontinuitätsgleichung für > >, > >, > 4.7) liefert > >, 4.8) Entfallende Terme,,, > > > >, > > > > > > 4.) Setzt man nunmehr die exakte Kontinuitätsgleichung in der orm > ein, so erhält man,, 2 > > > > 4.1) Analog erhält man ) Vertauschung von * und ) /36

26 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 18 Verbleibende Terme Die verbleibenden Terme ) > > >, >, + +,, 4.12) 4.13) beschreiben die Produktion von Turbulenz und lassen sich nicht weiter zusammenfassen. Zusammenfassung Die Betrachtung des konvektiven Terms der Impulsgleichung liefert >, + -, >, > >, > +, Konvektion turb. Transport Produktion > >, 4.14) +, Druckterme Die Betrachtung der Druckterme in den Impulsgleichungen liefert Dieser Ausdruck lässt sich nicht weiter zusammenfassen. Bestenfalls könnte man den Druck noch in Mittelwert und Schwankung zerlegen. >, Viskose Spannungen Die Betrachtung der viskosen Spannungen in den Impulsgleichungen liefert > H, Dieser Ausdruck lässt sich ebenfalls nicht weiter zusammenfassen. Man könnte nur noch den viskosen Spannungstensor H -, in seinen Mittelwert H -, und seine Schwankung H -, zerlegen. >, /36

27 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen Die einfache orm der Reynolds-Spannungsgleichungen Setzt man die oben bereitgestellten Terme in die genannte Ausgangsgleichung >, >, 2 ein und sortiert in der üblichen Weise, dann erhält man die Transportgleichung für die Reynolds-Spannungen in der orm + -, + -, +, +, > >, > > Produktion allg. Druckterm > turb. Transport H, >, H allg. viskoser Term 4.15) In dieser Gleichung sind der turbulente Transportterm, der Druckterm und der viskose Term unbekannt und müssen modelliert werden. Dies ist die kompakteste orm der Reynolds-Spannungsgleichungen, wie sie sich auf direktem Wege ergibt. Deshalb wird sie hier als einfache orm bezeichnet. In der Literatur findet man dagegen üblicherweise andere ormulierungen des Druckterms und des viskosen Terms. Nachfolgend werden die ormulierungen bei Wilcox [12] und Barre et al. [2] beschrieben, die aufgrund ihrer Aktualität und des Lehrbuchcharakters ihrer Veröffentlichung den gegenwärtigen Stand der orschung hinsichtlich kompressibler Strömungen repräsentieren dürften. Eine Übersicht über andere vorgeschlagene Zerlegungen des Druckterms unter der Annahme konstanter Dichte findet man bei Hadžić [5]. Diesen ormulierungen wird dann eine eigene, physikalisch motivierte Aufteilung des viskosen Terms und des Druckterms gegenübergestellt. 4.2 Alternative ormulierungen ormulierung von Barre et al. [2] Barre et al. [2] zerlegen den Druck in seinen Mittelwert und seine Schwankung, so dass sie für den Druckterm >, >, >, erhalten. Die beiden letzten Terme der rechten Seite formulieren sie dann mittels partieller Differentiation noch einmal um, so dass sich schließlich >, >, /36

28 , 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen > >, >, ergibt. Dieselbe Methodik wenden sie auf den viskosen Term an und erhalten > H, >, H > H, >, H H >, >, > H, >, H > H, >, H H, Weiterhin fassen Barre et al. [2] bestimmte Druck- und Spannungsterme zusammen und schreiben schließlich + -, + -, +, + >, H, > H >, > >, > > H > > > B, >, H H >, B turb. Transport > H, >, H viskose Diffusion Den einzelnen Termen ordnen sie folgende Bedeutung zu -, Produktion -, Druck-Scher-Korrelation Umverteilung von Normalspannungen) -, Dissipation -, Schwankungen des Massenstroms Dichtefluktuation) -, turbulenter Transport und Diffusion 4.16) Hinweis Man beachte, dass die Druck-Scher-Korrelation aufgrund der mathematischen Umformungen im Druckanteil des sog. turbulenten Transports enthalten ist. Ebenso ist der als Dissipation bezeichnete Term ein Teil der sog. viskosen Diffusion /36

29 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen ormulierung von Wilcox [12] Wilcox [12] zerlegt den Druckterm genau wie Barre et al. [2], erhält also >, > >, >, Den viskosen Term teilt er dagegen nur einmal mittels partieller Differentiation in > H, >, H > H, >, H H, > H >, auf. Damit ergibt sich für die Reynolds-Spannungsgleichungen + -, + -, +, + >, H, > H >, > >, > turb. Transport >, > B, >, B Druckdiffusion > H, >, H viskose Diffusion 4.17) Den einzelnen Termen ordnet er folgende Bedeutung zu -, Produktion -, Druck-Scher-Korrelation Umverteilung von Normalspannungen) -, Dissipation -, Druckarbeit Dichtefluktuationen) -, turbulenter Transport und Druckdiffusion /36

30 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 22 Hinweis Man beachte, dass die Druck-Scher-Korrelation aufgrund der mathematischen Umformungen im Druckanteil des sog. turbulenten Transports enthalten ist. Ebenso ist der als Dissipation bezeichnete Term ein Teil der sog. viskosen Diffusion. Weiterhin ist darauf zu achten, dass die Begriffe Dissipation, turbulenter Transport und viskose Diffusion von Wilcox [12] und Barre et al. [2] unterschiedlich definiert sind! 4.3 Eigene ormulierung der Reynolds-Spannungsgleichungen Grundüberlegung Die Zerlegung der Druckterms und des viskosen Terms von Barre et al. [2] und Wilcox [12] sind mathematisch exakt und sind eine Übertragung des allgemein üblichen Vorgehens bei Strömungen mit konstanter Dichte. Dieses ist jedoch nicht frei von Willkür [1] und bietet in Bezug auf die Energiegleichung einen wesentlichen Nachteil Bei einer Modellierung entsprechend der vorgeschlagenen Gliederung der Terme lassen sich die Energiegleichung und die Reynolds-Spannungsgleichungen nicht mehr ohne Zusatzannahme konsistent erfüllen, wie nachfolgend erläutert wird. Die Energiegleichung 3.5) lautet + H -, > > > H -, 4.18) und enthält die zu modellierenden Terme > > H Diese treten aber nur teilweise in dieser orm in den ormulierungen der Reynolds-Spannungsgleichungen von Barre et al. [2] und Wilcox [12] auf. Insbesondere ist der Druckterm der Energiegleichung auf die mit -,, I, und -, bezeichneten Terme in den Reynolds-Spannungsgleichungen verteilt, von denen aber nur I, ausschließlich Terme enthält, die zur Energiegleichung beitragen. Eine Modellierung entsprechend dieser Aufteilung führt also dazu, dass entweder Beiträge zur Energiegleichung fehlen oder überzählig sind. Nur wenn von vornherein angenommen wird, dass Dichtefluktuationen vernachlässigbar sind, entfällt diese Inkonsistenz, weil dann gilt.?> > > > /36

31 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 23 Das Problem wird jedoch sofort und ohne zusätzliche Annahmen gelöst, wenn man in den Reynolds-Spannungsgleichungen eine Aufteilung des Druckterms und des viskosen Terms entsprechend der Terme in der Energiegleichung vornimmt, d. h. für den Druckterm > >, >, und für den viskosen Term wie Wilcox [12] > H, >, H > H, >, H H, > H >, schreibt. Damit erhält man die Reynolds-Spannungsgleichungen in der orm + -, + -, -, -, 7 -, -, 4' -, 4.1) mit Produktionsterm -, + Verallgemeinerte Druck-Scher-Korrelation 7 -, >,, +, >, 4.2) >, 4.21) Dissipationsrate nach Wilcox [12]) I, H, > H >, 4.22) Turbulenter Transport und molekulare Diffusion -, > >, > H, &> H &>, 4.23) Druckleistung ' I,?> B,?>, B 4.24) /36

32 + 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen Zusammenhang zwischen Druckleistungsterm und turbulenter Wärmestromdichte Der hier eingeführte sog. Druckleistungsterm?> lässt sich über thermodynamische Beziehungen auf die turbulente Wärmestromdichte > zurückführen. Zunächst gilt, wie in Anhang C gezeigt,?> > > ür ideale Gase folgt aus den kalorischen Zustandsgleichungen für spezifische innere Energie und Enthalpie so dass man unter der Annahme eines kalorisch perfekten Gases > > > > 3 ) und folglich?> & > schreiben kann. Somit ergibt sich für den Zusammenhang von Druckleistung und turbulenter Wärmestromdichte?> > A D > 4.25) + > A > A 4.26) Der Druckleistungsterm ist also keine unabhängig zu modellierende Unbekannte mehr, sondern wird durch das Modell für die turbulente Wärmestromdichte bereits vollständig beschrieben Die -Gleichung Die -Gleichung erhält man durch Bildung der Spur der Reynolds-Spannungsgleichungen 4.1). Sie lautet, 4' 4.27) mit Produktionsterm ) /36

33 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 25 verallgemeinerte Druck-Scher-Korrelation 7 7 > 4.2) Dissipationsrate H Turbulenter Transport und molekulare Diffusion > 4.3) > > > H &> 4.31) Druckleistung ' ' A A > > 4.32) ür den all vernachlässigbarer Dichtefluktuationen lässt sich hierin auch noch die Druck- Scher-Korrelation durch die turbulente Wärmestromdichte ausdrücken. Wie im Anhang D dargestellt, erhält man unter dieser Voraussetzung aus der Kontinuitätsgleichung der Schwankungsbewegung D.1) die Divergenz der Schwankungsgeschwindigkeit zu > > Damit lautet der Term der verallgemeinerten Druck-Scher-Korrelation in der 7 > A A > -Gleichung 4.33) Anders als im all konstanter Dichte ist die Spur der Druck-Scher-Korrelation also von null verschieden und wird unter der Voraussetzung vernachlässigbarer Dichteschwankungen durch die turbulente Wärmestromdichte vollständig beschrieben. Die von Wilcox [12] angegebenen Modelle für diesen als Druckdilatation bezeichneten Term widersprechen obigem Befund, was ihren Mangel an Akzeptanz [12] erklären könnte. Der hier gefundene Zusammenhang stellt eine wichtige Nebenbedingung für die Modellierung der Druck-Scher-Korrelation bei kompressibler Strömung dar, die bei einfacher Übertragung von Modellen für konstante Dichte verletzt wird /36

34 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen Übertragbarkeit auf inkompressible luide Eine Übertragung des gefundenen Ergebnisses auf inkompressible luide ist schwierig, denn Gl. 4.25) beruht unmittelbar auf den Annahmen eines idealen und kalorisch perfekten Gases mit 8 3 Demgegenüber lässt die Annahme einer konstanten Dichte keinerlei Schlüsse über den Druckterm?> > zu, weil die Strömung in diesem alle ohne jede weitere thermodynamische Beziehung berechnet werden kann. Es wird jedoch im allgemeinen davon ausgegangen, dass dieser sog. Druckdiffusionsterm klein sei [12]. Jakirlić [6] betrachtet die bisherigen Modelle für diesen Term jedenfalls als nicht physikalisch begründet, sondern als Verfeinerung der Modelle für die Druck-Scher-Korrelation olgerungen für die Turbulenzmodellierung 1. Mit der hier gewählten ormulierung der Reynolds-Spannungsgleichungen lassen sich sämtliche zu modellierende Terme der Energiegleichung auf zu modellierende Terme der Reynolds-Spannungsgleichungen zurückführen. Diese dürfen deshalb nicht mit Termen vermischt werden, die nicht in der Energiegleichung auftreten. In diesem alle wäre die Energiegleichung nicht mehr konsistent zu erfüllen, weil Beiträge überzählig wären oder fehlen würden. Die übliche Aufteilung des Druckterms [2, 12] erfüllt diese orderung nur im alle vernachlässigbarer Dichtefluktuationen. 2. Die obige Herleitung zeigt, dass sich bei idealem und kalorisch perfektem Gas Druckleistung und turbulente Wärmestromdichte nur um einen konstanten aktor unterscheiden. Sie dürfen daher nicht unabhängig voneinander modelliert werden. Diesem widerspricht die gängige Praxis, die turbulente Wärmestromdichte z. B. durch einen Ansatz der orm > C zu modellieren, den Druckleistungsterm jedoch auf verschiedene Modellterme der Reynolds-Spannungsgleichungen zu verteilen. 3. Aufgrund der üblicherweise anders gewählten Aufteilung des Druckterms in den Reynolds-Spannungsgleichungen tritt dort ein sogenannter Druckdiffusionsterm auf, von dem angenommen wird, dass er klein sei [12]. Er wird deshalb entweder vernachlässigt oder mit anderen Termen, meist dem des turbulenten Transports, zusammengefasst. Diese Annahmen sind aufgrund der gezeigten Zusammenhänge überflüssig, denn unter den genannten Annahmen ist die sogenannte Druckdiffusion in der hier eingeführten Druckleistung enthalten. Diese ist über den gefundenen Zusammenhang /36

35 4. Die Reynolds-Spannungsgleichungen 27 mit der turbulenten Wärmestromdichte vollständig beschrieben. Bei vernachlässigbaren Dichtefluktuationen ist der Druckdiffusionsterm sogar mit dem Druckleistungsterm identisch. 4. Eine direkte Übertragung des gefundenen Zusammenhangs zwischen Druckdiffusion und turbulenter Wärmestromdichte auf den all konstanter Dichte ist nicht möglich. 5. Da für die turbulente Wärmestromdichte seit langem akzeptierte Modelle existieren, über die Druckdiffusion bzw. Druckleistung) jedoch kaum etwas bekannt ist [12], empfiehlt es sich, die Korrelation > zu modellieren und > über die obigen Beziehungen zu berechnen. 6. Die turbulente Wärmestromdichte tritt für die genannten luideigenschaften auch in der -Gleichung auf. Infolgedessen muss das Modell der turbulenten Wärmestromdichte in der modellierten -Gleichung ebenfalls an den entsprechenden Stellen auftreten. Dies wird bislang nicht berücksichtigt. 7. Die Spur der Druck-Scher-Korrelation ist bei kompressibler Strömung von null verschieden und lässt sich bei vernachlässigbaren Dichteschwankungen auf den Druckleistungsterm und damit bei idealem, kalorisch perfekten Gas auf die turbulente Wärmestromdichte zurückführen. Dies ist bei der Modellierung der Druck-Scher-Korrelation zu berücksichtigen und schließt eine einfache Übertragung von Modellen für konstante Dichte, deren Spur null ergibt, aus /36

36 5 Mittelung der Materialgesetze 5.1 Klassisches Vorgehen Gemittelter viskoser Spannungstensor Um den viskosen Spannungstensor 2.4) zu mitteln, zerlegt man üblicherweise die dynamische Viskosität E in ihren einfachen Mittelwert und die zugehörige Schwankung E E 5.1) Die Zerlegung des spurfreien Scherratentensors. -, 7 ergibt sich automatisch aus der Zerlegung der Geschwindigkeit in den massengewichteten Mittelwert und die zugehörige Schwankung > zu. I, 7. -, , 5.2) mit dem mittleren spurfreien Scherratentensor. -, E B -, 5.3) und der zugehörigen Schwankung des spurfreien Scherratentensors. -, 7 > >, > -, 5.4) Damit lautet der gemittelte viskose Spannungstensor ausgeschrieben H -, E. -, 7 E. I, 7 E. -, 7 E. -, 7 E. -, 7 E. 7 I, E. -, 7 E. 7 -, Nun wird angenommen, dass der einfache und der massengewichtete Mittelwert der Geschwindigkeit annährend gleich groß seien, also > 28

37 5. Mittelung der Materialgesetze 2 gilt, woraus. 7 -, 2 folgt [1, 2]. Barre et al. [2] vernachlässigen einfach den Beitrag der Schwankungen der dynamischen Viskosität E, während Aupoix [1] dies noch näher begründet. Er führt die Schwankungen der dynamischen Viskosität E auf Schwankungen der Temperatur gemäß E E zurück. Die Temperaturschwankungen um den einfachen Mittelwert) sind nach Aupoix [1] mit den großen Skalen verknüpft, während die Geschwindigkeitsschwankungen in der Schwankung des spurfreien Scherratentensors um den massengewichteten Mittelwert) mit kleineren Skalen verknüpft sind. Beide Schwankungen seien also nur schwach miteinander korreliert, so dass E. -, 7 E. -, 7 2 ist. Somit ergibt sich der gemittelte viskose Spannungstensor für ein Newtonsches luid zu H -, E. I, 7 5.5) Gemittelte Wärmestromdichte Das Vorgehen bei der Mittelung der Wärmestromdichte $& erfolgt analog zur Behandlung des viskosen Spannungstensors, d. h. man zerlegt die Wärmeleitfähigkeit C in ihren einfachen Mittelwert und die zugehörige Schwankung C C C 5.6) Damit liefert die Mittelung der Wärmestromdichte $ C C C C C C C C Entsprechend der Vorgehensweise bei der Herleitung des gemittelten viskosen Spannungstensors wird nun angenommen, dass der einfache und der massengewichtete Mittelwert der Temperatur ungefähr gleich sind, d. h /36

38 5. Mittelung der Materialgesetze 3 Daraus folgt, dass 2 ist. Da außerdem die Wärmeleitfähigkeit nur über den als konstant angenommenen aktor # mit der dynamischen Viskosität zusammenhängt, wird der Beitrag der Schwankungen C zur Wärmestromdichte ebenfalls vernachlässigt. Aupoix [1] verweist dabei auf dieselben Gründe wie bei der Vereinfachung des viskosen Spannungstensors, d. h. die Temperaturschwankungen um den einfachen und den massengewichteten Mittelwert sind nur schwach miteinander korreliert, so dass C C 2 ist. Somit ergibt sich der gemittelte Vektor der ourierschen Wärmestromdichte zu $ C 5.7) Gemittelte Koeffizienten Die von Aupoix [1] angegebene Schwankung der dynamischen Viskosität bzw. Wärmeleitfähigkeit beruht auf einer Linearisierung der orm E E E C C C ür die gemittelte dynamische Viskosität und die gemittelte Wärmeleitfähigkeit kann also das Sutherland-Gesetz 2.7) bzw. 2.) mit eingesetzt werden. Aufgrund der avre-mittelung der Temperatur steht zwar nur der massengewichtete Mittelwert zur Verfügung, doch wurde oben bereits angenommen, dass beide Größen ungefähr gleich groß sind. Daher ergibt sich E E mit E nach Gl. 2.7) und C nach Gl. 2.). C C E 5.8) /36

39 5. Mittelung der Materialgesetze Widersprüche des klassischen Vorgehens Wie man sieht, liefern die klassischen Approximationen einen gemittelten Spannungstensor und eine gemittelte Wärmestromdichte, die formal mit den exakten Modellen für Newtonsche luide und ouriersche Wärmeleitung einschließlich des Sutherland-Gesetzes übereinstimmen. Es treten also keinerlei zusätzliche Korrelationen von Schwankungsgrößen auf, die zu modellieren wären. Das dargestellte klassische Vorgehen beruht jedoch auf Annahmen, die nicht miteinander vereinbar sind. Aus den Annahmen folgt nämlich unmittelbar > > und damit. 7 -,. 7 -, Somit schwanken Temperatur und Geschwindigkeit um gleichartig gebildete Mittelwerte, sind also mit denselben Skalen verknüpft, so dass die von Aupoix [1] angeführten Gründe für eine schwache Kopplung der Schwankungen von dynamischer Viskosität und spurfreiem Scherratentensor entfallen. Noch deutlicher wird dies bei der Betrachtung der Wärmestromdichte, denn die Annahmen der klassischen Methode liefern C C C C 5.) >, > B I, und ganz sicher ist 2 Alternativ zitiert Coratekin [3] die Annahme einer von der Mittelung unabhängigen dynamischen Viskosität als Grund für die Vernachlässigbarkeit ihrer Schwankungen. Die unten ausgeführte Differenziation des Sutherland-Gesetzes 2.7) bzw. 2.) zeigt allerdings, dass die relativen Schwankungen der dynamischen Viskosität und der Wärmeleitfähigkeit ungefähr genauso groß wie die Temperaturschwankungen sind. Diese sind wiederum über die thermische Zustandsgleichung proportional zu den Schwankungen des Drucks, die ganz sicher nicht vernachlässigt werden dürfen, sonst wäre die Druck-Scher-Korrelation in der Reynolds-Spannungsgleichung nicht so wichtig. Damit entfällt die Voraussetzung einer einfachen Vernachlässigung der Schwankungen der dynamischen Viskosität und der Wärmeleitfähigkeit /36

40 C 5. Mittelung der Materialgesetze Widerspruchsfreies Vorgehen Die aufgezeigten Konflikte zwischen verschiedenen Annahmen treten nur dadurch auf, dass die gemittelten Materialgesetze auf dieselbe orm wie die exakten Materialgesetze gebracht und jegliche Zusatzterme unterdrückt werden. Wie nachfolgend gezeigt wird, ergibt sich eine widerspruchsfreie Darstellung, wenn man auf diesen Versuch verzichtet Widerspruchsfrei gemittelter viskoser Spannungstensor Um den viskosen Spannungstensor 2.4) widerspruchsfrei zu mitteln, wird die dynamische Viskosität E anders als beim klassischen Vorgehen in ihren massengewichteten Mittelwert und die zugehörige Schwankung zerlegt. E E E 5.1) Die Zerlegung des spurfreien Scherratentensors bleibt dagegen gleich. Damit erhält man für den gemittelten viskosen Spannungstensor H -, E. -, 7 E. -, 7 E. -, 7 E. -, 7 E. -, ) Die Morkovin-Hypothese besagt, dass sich die Turbulenz in Scherströmungen bis zu einer Mach-Zahl von wie im alle inkompressibler Strömungen verhält [1], Dichteschwankungen demnach vernachlässigbar sind [8]. In diesem all gehen einfache und massengewichtete Mittelwerte sowie ihre zugehörigen Schwankungen ineinander über, so dass die beiden mittleren Terme in Gl. 5.11) verschwinden. Unter der Annahme vernachlässigbarer Dichteschwankungen erhält man also für den gemittelten viskosen Spannungstensor H -, E. -, 7 E. -, ) Der verbleibende zweite Term entfällt nur dann, wenn auch die Temperaturschwankungen vernachlässigbar werden. Ist dieses nicht der all, benötigt man für ihn ein weiteres Modell. Kann dieses nicht bereitgestellt werden, zieht dies einen systematischen ehler nach sich Widerspruchsfrei gemittelte Wärmestromdichte Um die Wärmestromdichte 2.6) widerspruchsfrei zu mitteln, wird diese ebenfalls in ihren massengewichteten Mittelwert und die zugehörige Schwankung zerlegt C C 5.13) Damit erhält man für die gemittelte Wärmestromdichte $ C C C C C 5.14) /36

41 Mittelung der Materialgesetze 33 Nimmt man wiederum vernachlässigbare Dichteschwankungen an, so dass einfache und massengewichtete Mittelung identisch sind, dann erhält man für die gemittelte Wärmestromdichte $ C C 5.15) Auch hier entfällt der zweite Term nur dann, wenn die Temperaturschwankungen vernachlässigbar sind. Andernfalls benötigt man ein entsprechendes Modell oder handelt sich einen systematischen ehler ein Gemittelte Koeffizienten Anstelle der von Aupoix [1] vorgeschlagenen Linearisierung der dynamischen Viskosität und der Wärmeleitfähigkeit um E bzw. C lässt sich auch um E bzw. C linearisieren. In diesem all erhält man E E E 5.16) C C C 5.17) und damit die massengewichteten Mittelwerte E E C C 5.18) 5.1) Diese Approximationen sind unabhängig von den Annahmen bei der Mittelung des viskosen Spannungstensors und der Wärmestromdichte. Der erste Term in den Beziehungen 5.11) und 5.14) lässt sich deshalb immer durch die Sutherland-ormeln 2.7) bzw. 2.) mit annähern Schwankungen der Koeffizienten Aus der gewählten Linearisierung 5.16) und 5.17) erhält man die Schwankungen um den massengewichteten Mittelwert E E C C 5.2) 5.21) Um sie näher zu bestimmen, muss das Sutherland-Gesetz 2.7) bzw. 2.) nach der Temperatur abgeleitet werden. Dabei erhält man für die dynamische Viskosität E E ) ) /36