2 GLEICHUNGEN LÖSEN TECHNIKEN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3)... 20

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2 Inhaltsverzeichnis 1 FUNKTIONEN GRUNDFUNKTIONEN DIE DREI HÄUFIGSTEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN MANIPULATION VON GRUNDFUNKTIONEN UMKEHRFUNKTION WAS IST IN DER FUNKTION GEGEBEN? VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) GLEICHUNGEN LÖSEN TECHNIKEN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) ABLEITUNG ABLEITUNG ALLGEMEIN ABLEITUNGSREGELN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) SEKANTE, TANGENTE UND NORMALE SEKANTENGLEICHUNG AUFSTELLEN TANGENTENGLEICHUNG AUFSTELLEN NORMALE, SENKRECHTE BZW. ORTHOGONALE AUFSTELLEN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) KURVENDISKUSSION GRENZVERHALTEN (LIMES) SYMMETRIE ACHSENABSCHNITTE DEFINITIONS- UND WERTEBEREICH EXTREMPUNKTE WENDESTELLE MONOTONIE KRÜMMUNG VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) LGS LÖSEN LÖSUNGSSTRATEGIEN GAUß ALGORITHMUS VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-2) MODELLIERUNGSAUFGABEN STECKBRIEFAUFGABEN TRASSIERUNGSAUFGABEN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3)

3 8 EXTREMWERTPROBLEME LÖSUNGSSTRATEGIE VERSTÄNDNISAUFGABEN WACHSTUMSPROZESSE LINEARES UND EXPONENTIELLES WACHSTUM ANWENDUNGSAUFGABEN (LEVEL 1-3) INTEGRALRECHNUNG GRUNDLAGEN ÜBERSICHT ÜBER TYPISCHE STAMMFUNKTIONEN UNBESTIMMTES INTEGRAL BESTIMMTES INTEGRAL BESTIMMUNG VON FLÄCHENINHALTEN PRODUKTINTEGRATION (PARTIELLE INTEGRATION) UND INTEGRATION DURCH SUBSTITUTION MITTELWERTSATZ DER INTEGRALRECHNUNG ROTATIONSKÖRPER ZUSATZ VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-2) SCHARFUNKTIONEN ZUSAMMENHÄNGE VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) SPECIALS GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN (BRUCHFUNKTIONEN) GERADEN MIT BESONDERER LAGE MEHRFACHE NULLSTELLEN STÜCKWEISE DEFINIERTE FUNKTION ABSTAND VON ZWEI PUNKTEN SENKRECHTER ABSTAND SCHNITTWINKEL ZWISCHEN EINER GERADE UND DER x-achse WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN AUFGABEN AUF ABITURNIVEAU VEKTOREN PUNKTE UND VEKTOREN IM KOORDINATENSYSTEM ADDITION UND SUBTRAKTION VON VEKTOREN S-MULTIPLIKATION BETRAG EINES VEKTORS LINEARE ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN DAS SKALARPRODUKT DAS KREUZPRODUKT/VEKTORPRODUKT DAS SPATPRODUKT AUFGABEN

4 15 GERADEN AUFGABEN EBENEN DARSTELLUNGSFORMEN DER EBENENGLEICHUNG AUFSTELLEN DER EBENENGLEICHUNG IN PARAMETERFORM UMWANDELN VON EBENENGLEICHUNGEN AUFGABEN LAGEBEZIEHUNGEN LAGE: PUNKT GERADE LAGE: PUNKT EBENE LAGE: GERADE GERADE LAGE: GERADE EBENE LAGE: EBENE EBENE SCHNITTWINKEL SPURPUNKTE UND SPURGERADEN AUFGABEN ABSTANDSBERECHNUNG ABSTAND: PUNKT PUNKT ABSTAND: PUNKT GERADE ABSTAND: GERADE GERADE ABSTAND: PUNKT EBENE ABSTAND: GERADE EBENE ABSTAND: EBENE EBENE AUFGABEN PROJEKTIONEN UND SPIEGELUNGEN SPIEGELUNG AN EINEN PUNKT SPIEGELUNG AN EINER GERADEN SPIEGELUNG AN EINER EBENE PROJEKTIONEN AUFGABEN KREISE UND KUGELN KREISGLEICHUNG UND KUGELGLEICHUNG LAGEBEZIEHUNGEN UND ABSTAND AUFGABEN LINEARE ALGEBRA: GRUNDLAGEN MATRIZEN RECHNEN MIT MATRIZEN VOM LGS ZUR MATRIX VERSTÄNDNISSAUFGABEN (LEVEL 1-2) AUSTAUSCHPROZESSE VORHERSAGEN

5 22.2 ZEITLICH RÜCKWÄRTSRECHNEN (MIT LGS ODER INVERSE) VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-2) POPULATIONSPROZESSE SONDERFALL: ZYKLUS BEI POPULATIONEN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-2) PRODUKTIONSPROZESSE DAS 1-SCHRITT-VERFLECHTUNGSMODELL EINFACHE MEHRSCHRITT-MODELLE VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-3) AFFINE ABBILDUNGEN SPIEGELUNGEN PROJEKTIONEN DREHUNG UM DEN URSPRUNG PUNKTE UND GERADEN ABBILDEN FIXPUNKT UND FIXPUNKTGERADE BESTIMMEN FIXPUNKTGERADE BESTIMMEN FIXGERADEN BESTIMMEN VERKETTUNG VON ABBILDUNGEN ABBILDUNGSGLEICHUNG BESTIMMEN VERSTÄNDNISAUFGABEN (LEVEL 1-2) AUFGABEN AUF ABITURNIVEAU AUFGABE: ONLINE-HÄNDLER AUFGABE: FÖRSTER GRUNDLAGEN GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND DIE WAHRSCHEINLICHKEIT NACH LAPLACE WAHRSCHEINLICHKEITEN NACH LAPLACE BAUMDIAGRAMME MIT ODER OHNE ZURÜCKLEGEN? PFAD- UND SUMMENREGEL KOMBINATORIK GRUNDLAGEN BEISPIELE BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN VIERFELDERTAFEL DISKRETE VERTEILUNGEN WAHRSCHEINLICHKEITSFUNKTION VERTEILUNGSFUNKTION PARAMETER DISKRETER VERTEILUNGEN

6 31.4 BERNOULLIVERTEILUNG BINOMIALVERTEILUNG HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNGEN ZUSAMMENFASSUNG STETIGE VERTEILUNGEN VERTEILUNGSPARAMETER NORMALVERTEILUNG APPROXIMATION DER BINOMIALVERTEILUNG DURCH DIE NORMALVERTEILUNG ZUSAMMENFASSUNG HYPOTHESENTESTS WIE FUNKTIONIEREN HYPOTHESENTESTS? EINSEITIGER HYPOTHESENTEST ZWEISEITIGER HYPOTHESENTEST ZUSAMMENFASSUNG UND WEITERE BEISPIELAUFGABE ANHANG TABELLE DER NORMALVERTEILUNG WICHTIGE FORMELN IM ÜBERBLICK

7 2 Gleichungen lösen 2.1 Techniken Zur Bestimmung von x gibt es einige Standardtechniken, die man beherrschen muss. 1. Umformen: Wenn x 1 die höchste Potenz ist 2x 8 = x = 8 2 x = 4 2. Umformen/Wurzel: Wenn es kein x, sondern nur x 2 gibt: 2x 2 8 = x 2 = 8 2 x 2 = 4 x = ±2 Merke: Die Gleichung x 2 = a hat für a > 0 die beiden Lösungen x = ± a a = 0 die einzige Lösung x = 0 a < 0 keine Lösung, denn aus einem negativen Radikand (das, was unter der Wurzel steht), darf kein gerader Wurzelexponent gezogen werden 3. Ausklammern: Wenn eine Seite Null ist und sonst nur Terme mit x auftreten x x5 = 0 x 3 ausklammern x 3 Faktor (1 1 4 x2 ) = 0 Faktor Produkt Merke: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist! x 3 = 0 (1 1 4 x2 ) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 =

8 4. pq-formel: Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 Direkte Lösung: x 1/2 = p 2 ± ( p 2 ) 2 q 5. abc-formel ( Mitternachtsformel ): Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 Direkte Lösung: x 1/2 = b ± b2 4ac 2a Beispiel: 2x 2 4x 16 = 0 x 1,2 = ( 4)± ( 4)2 4 2 ( 16) 2 2 x 1 = 4 x 2 = 2 6. Substitution: Gleichung mit 2 Exponenten, die das doppelte voneinander sind: Beispiel: x 4 2x 2 8 = 0 Substitution: z = x 2 x 4 2x 2 8 = 0 z 2 2z 8 = 0 Quadratische Gleichung Gleichung mit pq-formel lösen: z 1 = 4 z 2 = 2 Resubstitution/Rücksubstitution: z = x 2 z 1 = 4 z 2 = 2 x 2 = 4 x 1 = 2 x 2 = 2 x 2 = 2 keine Lösung Lösungen: x 1 = 2 x 2 =

9 7. Polynomdivision: Wenn kein anderes Verfahren angewendet werden kann. Erste Nullstelle durch Probieren herausfinden (raten) und dann Polynomdivision durchführen. Beispiel: f(x) = 2x 3 7x x 5 1. Erste Nullstelle raten: mit TR Werte einsetzen. Beachte: konstanter Term " 5" ist ein Vielfaches von allen Nullstellen. Wir können daher anfangen mit (±1, ±5) als ganze Teiler von 5: f(1) = = 0 x 1 = 1 2. Charakteristisches Polynom (x x 1 ) aufstellen 3. Polynomdivision durchführen: (2x 3 7x x 5): (x 1) = 2x 2 5x + 5 (2x 3 2x 2 ) 5x x ( 5x 2 + 5x) 5x 5 (5x + 5) 0 Wenn als Rest 0 heraus kommt, so hat man alles richtig gemacht! 4. Restpolynom 2x 2 5x + 5 mit entsprechendem Verfahren lösen (hier: pq-formel) 8. Gleichung mit e-funktion lösen 1. Wenn möglich: Alle e-terme auf eine Seite bringen und 0 auf der anderen Seite. Ausklammern und aufteilen. 2. Sonst: e alleine auf eine Seite bringen seitenweise mit ln() logarithmieren und ln(e x ) = x (3. LN-Gesetz) anwenden Beispiel: 1. Mit Aufteilen: e 2x (x 2 2) = 0 Aufteilen e 2x = 0 k. Lösung x 2 2 = x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = 2 Lösung: x 1 = 2 und x 2 =

10 2. Alleine auf eine Seite bringen: 8e 2x 16 = e 2x = 16 8 ln( ) ln(e 2x ) = ln (2) 2x = ln(2) ( 2) x = ln (2)/2 9. Newtonverfahren: Numerische Bestimmung der (ungefähren) Nullstelle: 1. Gegeben: f(x), bilde f (x) und wähle einen (zufälligen) Startpunkt x start 2. Berechne aus dem bisherigen Punkt x alt den nächsten Punkt x neu : x neu = x alt f(x alt) f (x alt ) 3. Setze x neu als x alt in die Formel ein und wiederhole, bis sich x neu nicht mehr signifikant von x alt unterscheidet. Dann hat man eine Annäherung für die Nullstelle gefunden: x 0 x neu Beispiel: f(x) = x 3 15x = 0 1. Bilde f (x): f (x) = 3x 2 30x 2. Wähle z.b. x start = Wende die Formel wiederholt an. Das erste x alt ist x start : x alt f(x) f (x) x neu = x alt f(x alt) f (x alt ) ,16 16,16 127,93 298,64 15,73 15,73 5,63 270,40 15,71 Man könnte hier beliebig lang fortführen und so eine immer genauere Abschätzung der Nullstelle erhalten. Man hört jedoch dann auf, wenn sich der Wert von x nicht mehr signifikant verändert. Hier ist demnach das Ergebnis: x 0 15,

11 2.2 Verständnisaufgaben (Level 1-3) 1.) Forme folgende Gleichungen nach x um. (Level 1) a. 2x 8 = 0 b. 1 3 x + 9 = 0 c. 4x 2 = 4 d. x 2 16 = 0 e. x 2 + x 3 = 0 2.) Löse folgende Gleichungen mit der pq-formel oder abc-formel. (Level 2) a. x 2 + 2x 4 = 0 b. x x + 2 = 0 c. 2x 2 + 4x + 4 = 0 d. 8x 2 + 2x + 6 = 0 e. 6x(x + 2) + 4 = 0 3.) Führe die Polynomdivision für folgende Funktionen durch. (Level 2) a. f(x) = x 3 7x + 6 b. f(x) = x 3 + 2x 2 4x ) Auf einer Fähre sollen auf der rechten Seite 10 Autos mit einem Gewicht von jeweils 2 Tonnen untergebracht werden. (Level 2-3) Wie viele LKWs (5 Tonnen Gewicht pro LKW) können auf der linken Seite des Schiffs untergebracht werden, sodass das Gewicht gleichmäßig verteilt ist, das Schiff also ausgeglichen ist? 5.) Löse die folgenden Gleichungen nach x auf. (Level 2) a. e (x+1) 3e x = 0 b. 6 3e 2 x + 3 = 0 c. (2 3x) 2 e 7x+28 = 0 d. 1 2 ex + 3 = 2 e. e 7x+28 = e 2 6.) Führe die ersten beiden Iterationen des Newtonverfahrens zur Bestimmung der Nullstellen für die Funktion f(x) = 1 5/x 2 mit dem Startwert x 0 = 3 durch. (Level 3)