Kapitel 6 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

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1 Kapitel 6 Wahrscheinlichkeitsräume Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Die Laplace- Die Poisson- Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU Die einer ZV en von ZVen

2 Wahrscheinlichkeitsräume 1 Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf höchstens abzählbaren Ergebnismengen 2 Die wichtigsten diskreten 3 und Varianz 4 () Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

3 Problemstellung Wie beschreibt man eine Wahrscheinlichkeit P : A R bzw. P(A) durch eine Formel? bzw. Was muss man mindestens über P wissen, um im Prinzip P(A) für jedes Ereignis A berechnen zu können? Die Laplace- Laplace-Experimente Formel: Ausgangsbasis: P(A) = A Ω P{ω} = p Die Poisson- 1. Fall: Wahrscheinlichkeitsräume mit endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnismengen Ω. Oberbegriff: Ω ist abzählbar. Die einer ZV en von ZVen

4 Abzählbare Ergebnismengen Ist die Ergebnismenge Ω abzählbar, dann auch jede Teilmenge A Ω. A = {ω 1, ω 2,..., ω n,...} = {ω 1 } + {ω 2 } + + {ω n } + = k {ω k } = ω A{ω} Die Laplace- Sind alle einelementigen Mengen {ω} Elemente der σ-algebra A, so ist A A und P(A) = k P{ω k } = ω A P{ω} Die Poisson- Wegen P(A) = ω A P{ω} genügt die Kenntnis der f (ω) = P{ω} der Elementarereignisse, um die Wahrscheinlichkeit jedes beliebigen Ereignisses berechnen zu können. Die einer ZV en von ZVen

5 r Wahrscheinlichkeitsraum Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit einer abzählbaren Ergebnismenge Ω und der Ereignisalgebra A = 2 Ω heißt ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P heißt in diesem Fall eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die f : Ω R mit f (ω) = P{ω} heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion von P. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

6 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion Wesentliche Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Satz P{ω} 0 f (ω) 0 P(Ω) = 1 ω Ω f (ω) = 1 Jede f : Ω R auf einer abzählbaren Menge Ω mit den Eigenschaften f (ω) 0 für alle ω Ω und ω Ω f (ω) = 1 legt durch P(A) = ω A f (ω) eine eindeutig bestimmte diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf 2 Ω fest. ( ω f (ω) := 0) Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

7 = π2 6 f (n) = 6 π 2 1 n 2 ist Wahrscheinlichkeitsfunktion zu einer Wahrscheinlichkeit auf Ω = {1, 2, 3,...}. Aber wozu ist die gut? Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

8 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Übersicht über die wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Herleitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion aus Eigenschaften von Zufallsexperimenten Sprechweise Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt auch kurz eine diskrete. Diese Kurzbezeichnung verwendet man meist dann, wenn die Ergebnismenge Ω eine Teilmenge eines R n ist. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

9 Die Laplace- Ist Ω ist eine endliche Menge, so ist f (ω) = 1 Ω eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω. Bezeichnung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion heißt Laplace- auf Ω oder kurz L(Ω)-. Anwendung Zufallsexperimente, bei denen jedes Ergebnis die gleiche Chance hat. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

10 K, N und n seien natürliche Zahlen mit 1 K < N und 1 n N Satz ( K )( N K ) k n k f (k) = ( N n) ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω = {0, 1, 2,..., n} Beweis. Die Ereignisse B k : k schwarze Kugeln unter n gezogenen bilden eine Partition von ˆΩ N n : 1 = P(B 0 ) + P(B 1 ) + + P(B n ) = f (0) + f (1) + + f (n) Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

11 Bezeichnung Die auf Ω = {0, 1, 2,..., n} mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion ( K )( N K ) k n k f (k) = ( N n) heißt die Hypergeometrische mit Parametern N, K und n oder kurz H(N, K, n)-. Anwendung Zufallsexperimente, bei denen man die Ergebnisse als Anzahlen von schwarzen Kugeln unter n gezogenen interpretieren kann. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

12 p sei eine reelle Zahl mit 0 < p < 1 und q = 1 p. Satz f (k) = ( ) n p k q n k k ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω = {0, 1, 2,..., n} Beweis. Nach der Binomialformel ist 1 = (p + q) n = n k=0 ( ) n p k q n k = k n f (k) k=0 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

13 Bezeichnung Die auf Ω = {0, 1, 2,..., n} mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion ( ) n f (k) = p k q n k k heißt Binomialverteilung mit Parametern n und p oder kurz B(k; n, p)-. Anwendung Summe der Erfolge bei einer Bernoulli-Versuchsreihe. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

14 Wartezeit bis zum Eintreffen eines Ereignisses Ein Zufallsexperiment wird so lange wiederholt, bis ein bestimmtes Ereignis zum ersten Mal eintritt. Z.B. Würfeln so lange, bis eine Sechs kommt. Ergebnismenge ist Ω = N { } = {1, 2, 3,...} { } Dabei steht n N für das Ergebnis, dass das Ereignis beim n-ten Versuch zum ersten Mal eintritt und dafür, dass es niemals eintritt. Das Ereignis Es werden mehr als n Versuche benötigt wird in Ω durch die Menge A n = {n + 1, n + 2, n + 3,..., } mit n = 0, 1, 2,... beschrieben. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

15 Gedächtnislosigkeit Ansatz für eine Wahrscheinlichkeit P: Die Gedächtnislosigkeit der Versuchsreihe. Zum ist es nicht vorstellbar, dass sich ein Würfel beim (m + 1)-ten Wurf daran erinnert, dass bereits m-mal keine Sechs kam und daher die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer Sechs erhöht. Gedächtnislosigkeit Für alle m, n = 0, 1, 2,... gilt Umformung P(A m+n A m ) = P(A n ) Wenn P(A n ) > 0 für alle n, dann ist das äquivalent zu bzw. P(A m+n A m ) P(A m ) = P(A n ) P(A m+n A m ) = P(A m )P(A n ) Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

16 Gedächtnislosigkeit Wegen A m+n = {m + n + 1, m + n + 2,...} {m + 1, m + 2,...} = A m ist A m+n A m = A m+n und daher erhält man als Charakterisierung der Gedächtnislosigkeit Für alle m, n = 0, 1, 2,... gilt P(A m+n ) = P(A m )P(A n ) Konsequenz: Die Folge der Zahlen q n := P(A n ) erfüllt die Gleichungen q m+n = q m q n q 2 = q 1 q 1 = q 2 1 q 3 = q 2 q 1 = q 2 1q 1 = q 3 1 q 4 = q 3 q 1 = q1 3 q 1 = q1 4 usw. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

17 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion Satz Mit q := q 1 = P(A 1 ) gilt für n = 0, 1, 2,...: P(A n ) = q n Anmerkung zum Fall n = 0: A 0 = Ω und P(A 0 ) = q 0 = 1. Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Für n = 1, 2, 3,... ist A n 1 = {n, n+1, n+2,...} = {n}+{n+1, n+2,...} = {n}+a n und daher Die Laplace- Die Poisson- P(A n 1 ) = P{n} + P(A n ) oder f (n) = P{n} = P(A n 1 ) P(A n ) = q n 1 q n = (1 q)q n 1 Die einer ZV en von ZVen

18 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion Ist 0 < q < 1, so ergibt die Summation der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n) über alle natürlichen Zahlen (nicht über ) f (n) = (1 q) q n 1 = (1 q) q m 1 = (1 q) 1 q = 1 n=1 n=1 m=0 Daher ist zwangsläufig die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis niemals eintritt, nämlich f ( ) = 0. Bei der der der Wartezeit unter Gedächtnislosigkeit lässt man das Ergebnis daher weg. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

19 Sei q eine reelle Zahl mit 0 < q < 1 und p := 1 q. Dann heißt die diskrete auf der Menge N = {1, 2, 3,...} der natürlichen Zahlen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n) = pq n 1 die geometrische mit Parameter p oder kurz G(p)-. Anwendung beschreibt die Wartezeit für das erstmalige Eintreten eines Ereignisses unter der Annahme der Gedächtnislosigkeit. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

20 Interpretation des Parameters p p = f (1) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis gleich beim ersten Versuch eintritt. Wartet man beim Würfeln mit einem regulären Würfel auf eine Sechs, so ist also p = 1/6 zu setzen. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

21 Die Poisson- Sei µ eine reelle Zahl mit µ > 0. Dann heißt die diskrete auf der Menge N 0 = {0, 1, 2, 3,...} der nichtnegativen ganzen Zahlen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (k) = µk k! e µ die Poisson- mit Parameter µ oder kurz P(k; µ)-. Anwendung Die Poisson- beschreibt die Häufigkeit des Eintreten eines Ereignisses, das zu zufälligen Zeitpunkten eintritt. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

22 Die Poisson- Interpretation des Parameters µ Strebt in der B(k; n, p)- n und p 0 so, dass np = µ konstant bleibt, dann lim B(k; n, p) = µk n k! e µ für k = 0, 1, 2,... np=µ Die Laplace- Es gilt mit p = µ n : Folgerung ( lim 1 µ ) n = e µ. n n Die Poisson- B(k; n, p) P(k; np) für n 1 und p 1. Die einer ZV en von ZVen

23 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Serum von einem Patienten nicht vertragen wird sei p = Es werden 2000 Personen geimpft. Sei k die Anzahl der durch die Impfung erkrankten Personen, dann gilt: B(k; 2000, 0.001) P(k; 2). Für k = 1,..., 7 stimmen die Näherungen auf mindestens drei Stellen mit dem exakten Wert überein. Speziell B(0; 2000, 0.001) e 2 = 0.135, B(1; 2000, 0.001) 2 e 2 = 0.271, Die Laplace- Die Poisson- B(2; 2000, 0.001) 22 2 e 2 = 0.271, B(3; 2000, 0.001) 23 6 e 2 = Die einer ZV en von ZVen

24 Eine diskrete mit einer Ergebnismenge Ω N 0 kann man als eine auf der Ergebnismenge N 0 ansehen, wenn man die Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n) für n Ω gleich f (n) := 0 setzt. D.h. man ersetzt die Aussage Das Ergebnis n ist nicht möglich durch Das Ereignis {n} hat die Wahrscheinlichkeit Null, was für die Berechnung von äquivalent ist. Ist P eine diskrete auf N 0 mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (n), so heißt die ˆf (z) := f (n)z n n=0 für 0 z 1 die erzeugende von P Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

25 Wegen f (n) 0 und n=0 f (n) = 1 besitzt die Potenzreihe f (n)z n n=0 einen Konvergenzradius R 1 und es gilt ˆf (1) = f (n) = 1 n=0 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

26 : der Binomialverteilung. Die Binomialformel liefert ˆf n ( ) n (z) = f (k)z k = p k q n k z k k k=0 k=0 n ( ) n = (pz) k q n k k k=0 = (pz + q) n = (1 + p(z 1)) n Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

27 Ist ˆf (z) die erzeugende einer P mit der Potenzreihenentwicklung ˆf (z) = a0 + a 1 z + a 2 z a n z n + um z = 0, so folgt aus der Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung, dass a n = f (n) der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion an der Stelle n ist. Jeder Wahrscheinlichkeitsfunktion f entspricht also genau eine erzeugende ˆf und umgekehrt. Für diskrete auf N 0 ist die erzeugende eine zur sfunktion äquivalente Charakterisierung. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

28 (X, 2 X, P) sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit X R. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f : X R enthält die vollständige Information über P. Wir suchen Kenngrößen mit summarischer Information, die die allgemeine Gestalt der P charakterisieren. Die wichtigsten Kenngrößen sind Mittelwert und Varianz Sie sind Spezialfälle der sogenannten absoluten und zentralen Momente Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

29 Die Formel für den Mittelwert einer kann man auf zwei Weisen herleiten: 1 Aus Häufigkeitsbetrachtungen bei der Wiederholung eines Zufallsexperiments: Der statistische Mittelwert. 2 In Analogie zur Physik als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

30 Der statistische Mittelwert Als für den statistischen Mittelwert betrachten wir die Prämienberechnung bei einer Kfz-Versicherung: N sei Anzahl der Versicherungsnehmer (VN) x = 0, 1, 2,... seien die möglichen Schadenssummen pro Jahr (in 1000 EURO), die ein VN meldet. Nachträgliche Berechnung der mittleren Schadenssumme pro VN: A N {x}: Anzahl der VN mit Schadenshöhe x S = x=0 x A N{x}: Gesamtschaden x = S : durchschnittlicher Schaden pro VN und Jahr N Statistischer Mittelwert x = x=0 x A N{x} N = xh N {x} x=0 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

31 Theoretischer Mittelwert x = x=0 x A N{x} N = xh N {x} x=0 Prämienkalkulation P{x}: Wahrscheinlichkeit, mit der ein VN den Schaden x produziert. Theoretischer Mittelwert: Schätzwert für den mittleren Schaden pro VN m 1 (P) = xp{x} = xf (x) x=0 x=0 Die Laplace- Die Poisson- Prämie = Theoretischer Mittelwert + Sicherheitsaufschlag + Verwaltungskosten Die einer ZV en von ZVen

32 Physikalische Interpretation Wir interpretieren den Wahrscheinlichkeitsraum (X, 2 X, P) mit abzählbarem X R als unendlich langen masselosen Stab, auf dem an den Positionen x X Massenpunkte mit der (Wahrscheinlichkeits-) Masse P{x} sitzen. Der Schwerpunkt dieses Systems ist x X xp{x} x = x X P{x} = x X xp{x} = xf (x) P(X ) x X Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

33 einer diskreten P sei eine diskrete auf einer abzählbaren Teilmenge X R der reellen Zahlen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x). Falls x X x f (x) <, heißt m 1 = m 1 (P) = x X der Mittelwert der P. x f (x) Falls die Summe nicht absolut konvergiert und damit der Wert eventuell von der Summationsreihenfolge abhängig ist, sagt man, dass die P keinen Mittelwert besitzt. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

34 der Poissonverteilung m 1 (P) = n=0 µ µn ne = µe µ n=1 = µe µ = µ n=0 n! = n=1 µ n 1 (n 1)! µ µn ne n! µ n n! = µe µ e µ Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

35 der geometrischen m 1 = npq n 1 d = p dq qn = p n=1 n=1 ( = p d ) q n = p d dq dq n=0 1 = p (1 q) 2 = p 1 p 2 = 1 p n=0 ( 1 ) 1 q d dq qn Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

36 Ist für k {1, 2, 3,...} die Summe x X x k f (x) <, so heißt m k = m k (P) = x k f (x) x X das k-te (absolute) Moment der P. Andernfalls sagt man, dass die P kein k-tes Moment besitzt. Berechnung Für den Fall, dass X [0, ), gibt es als Berechnungsverfahren für die absoluten Momente die momenterzeugende Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

37 Die momenterzeugende Für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (X, 2 X, P) mit X [0, ), der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x) und t < 0 heißt M(t) = e tx f (x) x X die momenterzeugende von P. Eigenschaften M(0) = x X f (x) = 1 Ableitungen nach t dürfen summandenweise gebildet werden Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

38 Ableitungen 1. Ableitung 2. Ableitung M (t) = d 2 k-te Ableitung M (t) = d dt M(t) = x X dt 2 M(t) = d dt M (t) = x X M (k) (t) = d k dt k M(t) = x X t etx f (x) = xe tx f (x) x X t xetx f (x) = x 2 e tx f (x) x X k t k etx f (x) = x k e tx f (x) x X Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

39 Berechnung der Momente Weitere Eigenschaft Der Limes t 0 darf bei allen Ableitungen mit der Summe vertauscht werden. Berechnung der absoluten Momente M (k) (0) := lim M (k) (t) = lim x k e tx f (x) = x k f (x) t 0 t 0 x X x X = m k (P) Falls das k-te Moment nicht existiert, erhält man da alle Summanden nichtnegativ sind für M (k) (0) den Wert. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

40 Die Poissonverteilung Mit e tn = (e t ) n ist M(t) = (e t ) n e n=0 µ µn n! = (e t µ) n e µ = e µ e et µ n! n=0 = e µ(et 1) M (t) = M(t)µe t m 1 = M (0) = µ Produktregel: M (t) = M (t)µe t + M(t)µe t m 2 = M (0) = µ 2 + µ Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

41 M(t) = = (e t ) n pq n 1 = pe t (qe t ) n 1 = pe t n=1 pe t 1 qe t n=1 n=0 M (t) = (pet )(1 qe t ) (pe t )( qe t ) pe t (1 qe t ) 2 = (1 qe t ) 2 m 1 = M (0) = p (1 q) 2 = 1 p M (t) = (M (t)) =... = pet (1 + qe t ) (1 qe t ) 3 m 2 = M (0) = p(1 + q) (1 q) 3 = 1 + q p 2 (qe t ) n Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

42 Interpretation Mittlere (quadratische) Abweichung der Ergebnisse vom Mittelwert Trägheitsmoment als Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsmasse um den Schwerpunkt Die Laplace- Ist P eine diskrete auf X R mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f und existiert der Mittelwert m 1 (P), so heißt die Größe ˆm 2 = ˆm 2 (P) = x X(x m 1 (P)) 2 f (x) Die Poisson- die Varianz der P. Divergiert diese Summe, so spricht man von einer unendlichen Varianz. Die einer ZV en von ZVen

43 Der Steinersche Satz Berechnung der Varianz ˆm 2 = x X(x m 1 ) 2 f (x) = x X(x 2 2m 1 x + m1)f 2 (x) = x 2 f (x) 2m 1 xf (x) + m1 2 f (x) x X x X x X = m 2 2m 1 m 1 + m1 2 = m 2 m1 2 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

44 Poissonverteilung ˆm 2 = (µ 2 + µ) (µ) 2 = µ Geometrische Die Laplace- ˆm 2 = 1 + q p 2 ( ) 2 1 = q p p 2 Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

45 Die Ungleichung von Tschebyscheff Abschätzung der Wahrscheinlichkeit, dass man ein Ergebnis erhält, das vom Mittelwert weit entfernt liegt: Theorem Beweis. B ε = {x X ; x m 1 (P) > ε} ˆm 2 (P) P(B ε ) ˆm 2(P) ε 2 Für x B ε ist (x m 1 (P)) 2 > ε 2 ˆm 2 (P) ε 2 x B ε (x m 1 (P)) 2 f (x) x B ε f (x) = ε 2 P(B ε ) Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

46 Für k = 2, 3,... heißen die Größen ˆm k (P) = x X(x m 1 (P)) k f (x) soweit sie existieren, die k-ten zentralen Momente der P. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

47 (Ω, A, P) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, X eine abzählbare Teilmenge von R und X : Ω X eine, die jedem Ergebnis ω Ω des Zufallsexperiments einen Wert X(ω) X zuordnet. Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse X nimmt bei Durchführung des Experiments einen Wert in einer vorgegebenen Menge A an. X nimmt bei Durchführung des Experiments einen Wert y X an. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

48 Diese Ereignisse werden durch die Urbildmengen bzw. (X A) = {ω Ω ; X(ω) A} (X = y) = {ω Ω ; X(ω) = y} = (X {y}) von A bzw. {y} unter der Abbildung X beschrieben. Damit man überhaupt von Ereignissen oder der Wahrscheinlichkeit dieser Ereignisse sprechen kann, müssen diese Urbilder im sbereich der Wahrscheinlichkeit P, d.h. in der σ-algebra A liegen. X heisst diskrete, wenn für alle A X gilt: (X A) A. Ist X eine diskrete, so ist die Wahrscheinlichkeit P(X A), dass X einen Wert in der Menge A annimmt, wohldefiniert. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

49 Rechenregeln für Urbilder Für das weitere werden einige Eigenschaften der Mengenabbildung A (X A) benötigt. Rechenregeln 1 (X A B) = (X A) (X B) 2 (X A B) = (X A) (X B) 3 A B = (X A) (X B) = 4 Daraus folgt insbesondere (X A + B) = (X A) + (X B) 5 (X X ) = Ω 6 Für A = {y 1, y 2, y 3,...} ist (X A) = (X = y 1 ) + (X = y 2 ) + = y A(X = y) Die Laplace- Die Poisson- Die Identitäten beweist man nach dem Schema: ω ist ein Element der linken Seite genau dann, wenn es ein Element der rechten Seite ist. Die einer ZV en von ZVen

50 Aus Regel 6 erhält man eine einfachere Charakterisierung einer diskreten n: Theorem X ist eine diskrete, wenn für alle y X gilt: (X = y) A. Die Laplace- Beweis. Jede Teilmenge A X ist abzählbar: A = {y 1, y 2, y 3,...} Für jedes k ist (X = y k ) A Dann ist auch (X A) = (X = y 1 ) + (X = y 2 ) + (X = y 3 ) + A Die Poisson- Es muss also nur nachgeprüft werden, ob (X = y) A für alle y X. Die einer ZV en von ZVen

51 Die einer n Durch P X (A) := P(X A) wird eine Mengenfunktion P X auf den Teilmengen von X definiert. Ω X X Die Laplace- Die Poisson- P(X A) P X (A) Die einer ZV en von ZVen

52 einer n Theorem Die Abbildung P X : 2 X R definiert durch P X (A) = P(X A) ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f X (y) = P(X = y). Beweis. Axiom 1: 0 P(X A) 1 0 P X (A) 1 Axiom 2: (X X ) = Ω P X (X ) = P(Ω) = 1 Axiom 3: P X (A + B) = P(X A + B) = P[(X A) + (X B)] = P(X A) + P(X B) = P X (A) + P X (B) Axiom 4: Genauso zeigt man P X ( k A k) = k PX (A k ) f X (y) = P X {y} = P(X {y}) = P(X = y) Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

53 Die einer n Bezeichnungen P X heißt die der n X f X (y) heißt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der n X Die Laplace- Schematische Darstellung (Ω, A, P) X (X, 2 X, P X ) Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

54 en von n Berechnung der einer Z = F (X, Y ) aus den von X und Y. : Die Summe zweier r X : Ω N 0, Y : Ω N 0 Bekannt sei f X (n) = P X {n} = P(X = n) und f Y (n) = P Y {n} = P(Y = n) Frage: Ist Z (ω) := X(ω) + Y (ω) eine und wie berechnet man f Z (n)? Ansatz Wegen f Z (n) = P(Z = n) muss zunächst (Z = n) mit Hilfe von X und Y dargestellt werden. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

55 Die Summe von n Das Prinzip sieht man am besten mit einem konkreten n, hier n = 3: Z (ω) = 3 X(ω) = 0 und Y (ω) = 3 oder (X(ω) = 1 und Y (ω) = 2) oder (X(ω) = 2 und Y (ω) = 1) oder (X(ω) = 3 und Y (ω) = 0) {ω ; Z (ω) = 3} = = (Z = 3) = 3 {ω ; X(ω) = k und Y (ω) = 3 k} k=0 3 {ω ; X(ω) = k} {ω ; Y (ω) = 3 k} k=0 3 (X = k) (Y = 3 k) k=0 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

56 Die Summe von n Allgemein gilt offensichtlich (Z = n) = n (X = k) (Y = n k) k=0 Daraus folgt auch schon, dass Z eine ist, denn für alle n und k gilt: X (X = k) A Y (Y = n k) A A Mengenalgebra (Z = n) A D.h. Z ist Wahrscheinlichkeitsfunktion f Z (n) = P Z {n} = P(Z = n) n = P[(X = k) (Y = n k)] k=0 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

57 Stochastische Unabhängigkeit f Z (n) = n P[(X = k) (Y = n k)] k=0 Um weiterrechnen zu können, benötigt man eine Produktregel P[(X = k) (Y = n k)] = P(X = k)p(y = n k) Diese ist aber nicht automatisch gegeben, sondern eine zusätzliche Eigenschaft, die man fordern muss: Die stochastische Unabhängigkeit von n: X 1, X 2,..., X m auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit Werten in Mengen X 1, X 2,..., X m heißen stochastisch unabhängig, wenn für beliebige Teilmengen A 1 X 1, A 2 X 2,..., A m X m gilt P [(X 1 A 1 ) (X 2 A 2 )... (X m A m )] = P(X 1 A 1 )P(X 2 A 2 ) P(X m A m ) Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

58 Die Summe von n Sind X und Y stochastisch unabhängig, so gilt f Z (n) = = = Die Faltung n P(X = k)p(y = n k) k=0 n P X {k} P Y {n k} k=0 n f X (k) f Y (n k) k=0 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f X f Y mit n f X f Y (n) = f X (k) f Y (n k) k=0 heißt die Faltung der Wahrscheinlichkeitsfunktionen f X und f Y. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

59 Die Summe von n Folgerung Sind X und Y stochastisch unabhängige N 0 -wertige, so gilt f X+Y = f X f Y Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

60 X und Y seien stochastisch unabhängig und Poisson-verteilt mit Parametern λ bzw. µ: f X+Y (n) = f X λ λk (k) = e k! f Y µ µm (m) = e m! n e k=0 λ λk k! = e (λ+µ) n k=0 = e (λ+µ) 1 n! e µ µn k (n k)! 1 k!(n k)! λk µ n k n k=0 = e (λ+µ) (λ + µ)n n! ( ) n λ k µ n k k Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

61 Folgerung Theorem Sind X und Y stochastisch unabhängige und mit Parametern λ bzw. µ Poisson-verteilte, so ist ihre Summe X + Y eine mit Parameter λ + µ Poisson-verteilte. Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

62 Der Sei X R abzählbar, X : Ω X eine diskrete und f X (y) = P X {y} = P(X = y) die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X m 1 (P X ) = y X y f X (y) Die Laplace- der von X heißt auch der der n X. m 1 (P X ) = E P X = EX Die Poisson- Ist der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), auf dem X definiert ist, diskret, so kann man EX auf eine andere Weise berechnen. Die einer ZV en von ZVen

63 Der (Ω, A, P) sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (ω) = P{ω}. Die Ereignisse B y = (X = y) = {ω ; X(ω) = y} sind abzählbar und bilden eine Partition von Ω: y 1 y 2 B y1 B y2 = und y X B y = y X(X {y}) = (X y X {y}) = (X X ) = Ω Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

64 Der m 1 (P X ) = y f X (y) = y P(B y ) y X y X = y f (ω) y X ω By = (y f (ω)) y X ω B y Für ω B y ist y = X(ω): m 1 (P X ) = X(ω)f (ω) y X ω B y = X(ω)P{ω} y X ω B y y X ω B y... = ω Ω...: m 1 (P X ) = ω Ω X(ω)P{ω} Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

65 Der Theorem Falls der einer diskreten n X auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) existiert, ist E P X = ω Ω X(ω)P{ω} Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

66 Der Beim Würfelspiel Die verflixte Sechs kann man eine beliebige Anzahl von Würfeln vom Tisch nehmen und werfen. Ist unter den geworfenen Augenzahlen mindestens eine Sechs, so ist der Gewinn Null. Andernfalls erhält man die Summe der geworfenen Augenzahlen als Gewinn gutgeschrieben. Wieviele Würfel sollte man nehmen? Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

67 Werfen von n regulären Würfeln: Laplace-Experiment mit Ω n = {ω = (w 1, w 2,..., w n ) ; w i {1,..., 6}} Ω n = 6 n, f n (ω) = P n {ω} = 1/6 n. Gewinnfunktion: Mit ist A n = {ω = (w 1, w 2,..., w n ) ; w i {1,..., 5}} X n (ω) = { w1 + w w n falls ω A n 0 sonst der Gewinn bei Ergebnis ω = (w 1, w 2,..., w n ). Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

68 Kriterium für die optimale Anzahl von Würfeln: g n = EX n = E Pn X n = X n (ω)p n {ω} ω Ω g n = 1 6 n w 1 + w w n ω A n Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

69 Überschlagsrechnung: Mittlerer Gewinn pro Spiel bei N Runden: Positiver Gewinn bei ungefähr M = P(A n )N = A n Ω n N = ( ) n 5 N 6 Runden. Bei M Runden insgesamt Mn Würfe, wobei die fünf Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 etwa gleich oft, d.h. Mn/5-mal vertreten sind. Die Gesamtsumme der geworfenen Augenzahlen ist daher ( ) n Mn 5 ( ) = 3n N 5 6 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

70 Mittlere Augenzahlsumme pro Runde g n = 3n ( ) n 5 6 Durch vollständige Induktion nach n beweist man, dass die Überschlagsrechnung das korrekte Ergebnis liefert: Welches n ist optimal? g n = EX n = 3n ( ) n 5 6 Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen

71 g n+1 = 5 n + 1 = g n 6 n > 1 für n < 5 = 1 für n = 5 < 1 für n > 5 Denn z.b. 5 n + 1 > 1 5(n + 1) > 6n 5n + 5 > 6n 5 > n 6 n Daher ist g 1 < g 2 < g 3 < g 4 < g 5 = g 6 > g 7 > g 8 >... Die Laplace- Die Poisson- Die einer ZV en von ZVen