Multiplikatoren von Lagrange und wie werde ich sie wieder los

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1 Multiplikatoren von Lagrange und wie werde ich sie wieder los Problembeschreibung Etremwertbetrachtungen sind jedem noch aus der Schule bekannt Dabei nennen wir Stellen, die minimale bzw maimale Werte aufweisen kurz Etremstellen Dabei hat eine Funktion f : E R, wobei E ein Banachraum ist, an der Stelle a ein relatives Minimum (Maimum), wenn f ( a) f ( ) ( f ( ) f ( a )) für alle U, wobei U eine offene Umgebung von a ist Das Etremum ist streng, wenn die Gleichheit für a ausgeschlossen ist Die erste und zweite Ableitung von f gibt in den meisten Fällen eine Antwort auf diese Frage Notwendige Bedingung: f ( a ) = (auch kritische Stellen genannt) Hinreichende Bedingung: f ( a ) = und (, ) f a (relatives Minimum) Ist die Bilinearform f ( a ) sogar positiv und nicht entartet, so ist es ein strenges Minimum Dieses Theorem ist sehr weitreichend und kann auf viele Probleme angewendet werden Ein Problem ist die Beschränkung einer Funktion auf eine reguläre Teilmenge (Mannigfaltigkeit) Wir betrachten hier eine Teilmenge n M E=R, auf die die Funktion f beschränkt werden soll Konkrete Beispiele, die das Problem verdeutlichen und zu der allgemeinen Formulierung führen Dazu stellen wir verschiedene Lösungsstrategien vor Problemstellung a) Welchen Abstand hat der Punkt ( ) von der Parabel { } M : =, g( ) g = 4+ 7 b) Welchen Abstand hat der Punkt (, ) von der Parabel M g ( ) =? i i -,5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75,5,5,75,5,5 - Die Kreise erscheinen als Ellipsen, da die Koordinatenachsen unterschiedlich skaliert sind MatheGrafide PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

2 Pthagoras und Kreis a) Jeder Punkt der Parabel ( a g( a) ) M hat einen bestimmten Abstand zu ( ) Dieser Abstand muss minimal werden und dieses Problem kann mit Hilfe des Pthagoras gelöst werden Dazu berechnen wir den Abstand eines beliebigen Punktes ( a g( a )) von ( ) Das Quadrat des Abstandes beträgt ( ) ( ) ( ) ( 4 7 ) ( ) ( 4 4) a + g a = r a + a a+ = r a + a a+ = r Wir betrachten daher die Funktion R( a) ( a ) ( a 4a 4) Die erste Ableitung ist zu berechnen Also = + + ( ) ( 4 4)( 6 4) R a = a + a a+ a = a + 6a 7a + 8a = 6a 7a + 8a 4 und = + R a 8a 44a 8 Wir erhalten nur eine reelle Lösung R ( a) = a, Dies liefert R (, ) 4, 4> Der Abstand des minimalen Punktes von der Parabel beträgt folglich b) Für den Punkt R(, ), 68695, ergibt sich ( ) ( ) ( 4 5) a + g a = r a + a a = r Also ist R( a) = a + ( a 4a 5) R ( a) = a+ ( a 4a 5)( 6a 4) = = R a a a a a, , a, , a, 9968 Nun ist = + + = auszuwerten R a 6a 4 6a 4 6 a 4a 5 8a 44a 6 und wir R a 5,8, R a 74,, R a 45, Folglich gibt a das Minimum erhalten an und R( a), 784 Die Normale durch den Punkt ( ) steht senkrecht auf der Tangente der Parabel Die Funktion der Tangente in a lautet T( ) = g ( a) a + g( a) Die Normale infolgedessen = ( ) + Die Normale durch den Punkt ( a g( a) a 4a 7) N( ) a g( a) g ( a) natürlich den Punkt ( ) Dies liefert 6a 4 = + trifft = N() a + g( a) = a + 6a 4 a 4a+ 4 = PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

3 8a 6a + 4a 7= a, Der Abstand ist folglich R( a) ( a ) ( g a ) Für den Punkt (, ) erhalten wir entsprechend = +, a 4 = N() a + g( a) = a+ 6a 4 a 4a 5 = Die zu lösende Gleichung ist uns bekannt: 8a 6a a+ = Einschränkung von Kreisen auf die Parabel Zur Lösung definieren wir Kreise um den Punkt ( ), also f (, ) : ( ) ( ) = + Das Funktional f stellt somit das Quadrat des Radius dar Dieses Quadrat gilt es zu minimieren Betrachten wir nun f (, 4 7) ( ) ( 4 4) + = + + Dies ist eine Funktion h in einer Veränderlichen h( ) ( ) ( 4 4) = + + Dies ist R( a = ) unter h ( ) = liefert wieder, und zwei komplee Wurzeln Für die hinreichende Bedingung finden wir wieder h ( ) = 4, 44887> Damit liegt an der Stelle ein Minimum vor Setzen wir diesen Wert in die Parabel ein, so finden wir g( ) = 5,66789 und damit f ( ) ( ), g : = + g = 7, als Quadrat des Radius Folglich ist der Abstand ( ) r = f, g =, Im zweiten Fall um den Punkt ( ) definieren wir f (, ) : ( ) (, 4 7) ( 4 5) f = + und erhalten + = +, woraus sich h ( ) = + ( 4 5)( 6 4) ergibt Also ist wieder = zu lösen Geht es ein bisschen schneller? Die Tangente des ausgezeichneten Kreises ist eine Linearkombination der Tangente der Parabel Bisher haben wir gesehen, dass das Problem auf das Betrachten der Tangentialräume oder deren Orthogonalräume zurückgeführt werden kann Im Etremfall stimmen beide Tangentialräume im Etrempunkt überein Natürlich stimmen dann auch die Orthogonalräume überein Tangentialraum: T M a, a M : = g ( ), Normalraum: ( a ) T M Hierbei wird davon ausgegangen, dass rg( g ( a )) maimal ist Die dazu gehörigen Punkte heißen regulär PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

4 Da der zu betrachtende Punkt a der Menge M angehört und alle anderen Punkte, die nicht zu M gehören außer Acht gelassen werden, sprechen wir von einer Zwangsbedingung (die anderen daneben liegenden Punkte würden einer Nebenbedingung genügen) Die eingangs gemachte Bemerkung über Etremstellen gilt hier immer noch Da f ( a ) und g a als lineare Abbildungen den gemeinsamen Tangentialraum abbilden, jedoch im Allgemeinen f a v g a v für T M F = f Λ g F a = v gilt, muss jetzt ( a) ( a) ( a ), also a unter der Zwangsbedingung M : = g ( ) a betrachtet werden Ich beschreibe es hier mit Differentialen (pfaffsche Formen), da es einfacher ist Der Leser interpretiere auch gerne partielle Ableitungen 4 Vergleich der Tangentialgeraden im R Dazu schreiben wir alles in ebenen Koordinaten Die Parabel als Menge M : g ( ) (, ) = 4 + 7=, die Quadrate der Kreise f (, ) : ( ) ( ) g also F(, ) f (, ) λ g(, ) = lautet = + Es sei = Berechnen wir das Differential df = Wir finden (, ) = (, ) λ (, ) ( ) ( ) λ( 6 4) df df dg = d+ d d+ λd λ = d λ + + d df(, ) = liefert ( ) λ( ) = und ( ) + λ = Mit der Zwangsbedingung g, = 4+ 7 = ist das Gleichungssstem lösbar Eleminieren wir λ und setzen ein, so finden wir ( ) ( ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) = = = = =, Setzen wir in g ein, so erhalten wir = 5,66789 Damit berechnet sich wieder via f der tatsächliche Abstand Die Größe λ (lagrangescher Multiplikator) ist nur eine Hilfsgröße und ist hier für die Rechnung unerheblich Manche nehmen auch λ als Parameter auf, also F(, λ, ) Dann ist df (,, λ) = F F (, ) d d g d λ + +, so dass hier noch einmal die Zwangsbedingung g(, ) = erscheint Natürlich kann in diesem Fall auch mit Vektoren gerechnet werden Tangentenvektoren sind PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 4

5 p 6 4 = (Parabel) und k = (Kreis) Aus k 6 4 = λ p = λ folgt die Gleichung ( ) = ( )( 6 4) und mit der Zwangsbedingung Lösung g, = folgt die In der Prais ist folglich das Problem genauso zu formulieren, damit es hierauf zurückgeführt werden kann 5 Tiefergehendes Beispiel Gegeben ist die Funktion f (, ) : = 4, die auf { R } M : =, + = beschränkt wird und dort auf Etrema untersucht werden soll Dazu definieren wir die Funktion g(, ) : = + und untersuchen F(, ) : f (, ) λg(, ) Wir finden Folglich ist df(, ) (, ) = (, ) λ (, ) = ( 8 ) d+ ( ) d λ( d+ d) = ( 8 λ) d+ ( λ) d df df dg = genau dann, wenn 8 λ = 8 = + λ = + λ = = auf Etrema λ + = Aufgrund der Einschränkung von f auf M erhalten wir aus die Gleichung 8 + = und + = 8 8 ± + =, da und, sonst (, ) (,) ( ± ) ( ) + = ( ± ) = ( ) = = = Wir finden also / =±, /4 =± und / =±, /4 =±, denn g ( ±, ± ) = sowie g ( ±, ± ) = Damit ist nur noch 8 + = zu prüfen Wegen =, aber bei ungleichen Vorzeichen von und, bleiben nur diese 4 Möglichkeiten f, = 4 liefert f ( ±, ± ) = 4 = sowie f ±, ± = 4 9 = 7 PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 5

6 In den Punkten (, ), (, ) Minimum und in den Punkten (, ), (, ) Maimum angenommen wird ein übereinstimmendes ein übereinstimmendes 6 Die Menge M besitzt mindestens einen nicht regulären Punkt Es seien g(, ) : ( ) entfernt? = und M : = g ( ) Wie weit ist der Punkt (,4) Sei f definiert durch f (, ) : ( ) ( 4) = + + Dann ist (, ) = (, ) λ (, ) df df dg Das liefert die Gleichungen Für = + d+ 4 d d d = ( ) λ( ) d ( 4) λ d = folgt λ( ) ( ) Wir eliminieren λ λ ( ) λ( ) + = ( ) 4 + λ = ( ) = 6+ + =, 4 =, also = 4 und λ = 6 7 λ λ von M + = ( + ) + ( 4)( ) = 4 + = ( ) = Also bleibt = für zu untersuchen Dies liefert = + 4 = =, Unter Beachtung von + g = folgt 4 (, ) Vereinfachen bringt + =, also + 6 = = = = = Diese liefert,867 und,9675 zu den bereits bekannten Punkt (, 4 ), der sich auch aus f (, ) = ( 4) + 9 als Minimum f, 4 = LE ergibt PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 6

7 (, ): = ( + ) + ( 4) = 8, f Etremstelle Wegen Zur Untersuchung eines Etremums ist f, = 5,6685LE ist keine 4 4+ λ = λ = =, 85 kann λ eliminiert werden 6λ λ F (, ) = f (, ) λ g (, ) = λ + λ auszuwerten Insbesondere 6λ und 6λ λ = det = 4( + λ λ λ ) 4λ λ + λ Setzen wir,867 und,9675 sowie λ =, 85 ein, so finden wir 6λ < und 4, 4<, so dass hier kein Etremum vorliegt Mit Graßmann wird es einfacher Wir erhalten df, dg, = d 4 d d d + + = ( )( ) ( 4)( ) + d d = ( ) ( 4)( ) + + d d ( ) d d = d d = = und ( ) Hieraus folgt wieder (, ) = (,4) Im anderen Fall ist reduzieren wir die Potenz = = Wir finden = =, also + 4 = oder = 4 =, + = + = 6 + = + = 6 und damit wieder = = PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 7

8 Abschließende Bemerkung (Nur für ein Minimum definiert) Selbstverständlich gelten für Etrema mit Zwangsbedingungen der Funktion F definiert F a = f a Λ g a, folgenden Aussagen durch Notwendige Bedingung: F ( a ) = Hinreichende Bedingung: F ( a ) = und (, ) F a (relatives Minimum) Ist F ( a ) positiv und nicht entartet, so ist es ein strenges Minimum Wir untersuchen diese Aussage geometrisch, um sie zu verstehen Dabei beschränken wir uns auf den dreidimensionalen Raum { } Es sei M ( z) g( z) : =,, R,, = für eine reguläre Funktion wir an, es gibt um den Punkt (,, ) ϕ : I J M R mit (, ) : (,, ) g : R R Nehmen z M eine reguläre Parameterdarstellung ϕ s t = z M und rang ϕ ( s, t ) = Dann ist ϕ ein Diffeomorphismus, wenigstens lokal, und (, ): ( s, t ) (,, z ) Isomorphismus der zugehörigen Tangentialebenen mit ( z ) R ( ) Die Einschränkung einer Funktion f ϕ gegeben Wegen ϕ s t T I J T M ein { } T,, M = v g,, z v = f : U R R auf U M ist durch die Funktion ( gϕ) ( s, t ) = g ( ϕ( s, t )) ϕ ( s, t ) = g (,, z ) ϕ ( s, t ) ( f ϕ) ( s, t ) = f ( ϕ( s, t )) ϕ ( s, t ) = f (,, z ) ϕ ( s, t ) und ϕ (, ) = (,, z ) s t u v T M bekommen wir λ ( λ ) f,, z v = g,, z v f,, z g,, z v = Da der Normalenvektor senkrecht auf dem Tangentialraum steht, kann die Aussage auch für den Gradienten formuliert werden, obwohl der Gradient hier an dieser Stelle nichts verloren hat, da er ein Objekt der (semi)riemannschen Räume ist Er hängt folglich von der Metrik ab Es gilt somit folgender Satz Definition g eine Abbildung zwischen Banachräumen mit g ( a ) = Es sei : E F a E differenzierbar Der Punkt a heißt regulärer Punkt der Menge { } M : = E g = = g,, g sei an der Stelle wenn die Ableitung von g an der Stelle a den Raum E auf F abbildet, dh ( )( E) g a = F PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 8

9 Es sei E : ( g = ( a )) ( ) Der Raum T M : = { } E M g ( ) a a heißt der Tangentialraum der Menge = an der Stelle a M Der Tangentialraum trägt die Verknüpfung (, ) + (, ): = (, + ) a u a v a u v für u, v E Man stelle sich die Tangentialebene als Koordinatensstem auf einer Folie mit { a } als Ursprung vor, die auf eine Fläche im Raum gelegt wird Bemerkung Manchmal wird der Tangentialraum auch als sogenannte lineare affine Mannigfaltigkeit { } TaM : = a + E ausgewiesen Vorsicht! Hier handelt es sich um eine Nebenklasse Theorem Sei g : E F eine Abbildung zwischen Banachräumen, die stetig differenzierbar in einer a ist Umgebung U von M = g ( ) Ist a ein regulärer Punkt und ist E= E E die topologische Summe der Unterräume ( g ) E = a und seines topologisches Komplement E, dann (i) gibt es eine Umgebung V T a M in dem Tangentialraum an der Stelle a M die homöomorph zu einer Umgebung V mit a V M ist (ii) eistiert eine Umgebung W der null W E und eine Abbildung F : W E so dass Definition a+ + F M und F( ) lim = Es seien E und F Banachräume Es sei U des regulären Punktes Eine Funktion a E mit U M g : E R stetig differenzierbar in einer Umgebung a, wobei M : = { E g = } = g ( ) f : E R hat ein lokales durch die Menge M erzwungenes Minimum (Maimum), falls es ein r > gibt, so dass Theorem Falls f an der Stelle lineares Funktional ( f ( a) f ( ) ) für (, ) f ( a) f ( ) K a r M a M ein lokales erzwungenes Etremum besitzt, dann eistiert ein Λ F des Dualraumes mit f ( a) = Λ g ( a ) Λ heißt lagrangesches Funktional Notwendig und hinreichend für das Funktional = Λ F a f a g a sind folgende Aussagen Notwendige Bedingung: F ( a ) = Hinreichende Bedingung: F ( a ) = und (, ) F definiert durch F a (relatives Minimum) Ist F ( a ) sogar positiv und nicht entartet, so ist das Minimum streng PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 9

10 Eleminieren der lagrangeschen Multiplikatoren Für ungerade ( p+ ) -Formen ω gilt ω ω Differentialform α und s-differentialform β rs = Folgt aus α β = β α für eine r- Aus df(, ) = df (, ) λdg(, ) = df (, ) = λdg(, ) und dg( ) dg( ) folgt λ df, dg, = dg, dg, = Dies liefert uns die beste und schnellste Lösungsmöglichkeit Die Fläche df (, ) dg(, ) Folglich ist wieder Oder direkt mit,, = verschwindet, wenn die Vektoren linear abhängig sind (, ) (, ) ( ) ( ) ( 6 4) df dg = d d d d + = ( ) ( )( 6 4) d d = ( )( 6 4) d + d + ( )( 6 4) = = + + = g, = 4+ 7 = ( ) ( )( ) = Also =, und = 5, Noch einmal das tiefergehende Beispiel Gegeben ist die Funktion f (, ) : = 4, die auf { R } M : =, + = beschränkt wird und dort auf Etrema untersucht werden soll Dazu definieren wir die Funktion g(, ) : = + und untersuchen ( f g)( ), = auf Etrema Wir finden ( f g)(, ) = (( 8 ) + 6 ) d d Folglich ist 8 + = zu untersuchen Aufgrund der Einschränkung von f auf M erhalten wir aus die oben berechneten Daten! 8 + = und + = 8 Ein etwas ausführlicheres Beispiel Es sei f definiert durch f,, z = z Gesucht sind die Etremstellen und werte der Funktion f eingeschränkt auf die Kugeloberfläche definiert durch g mit g,, z = + + z = PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

11 Es sind df (,, z) = ( + ) d+ 4d+ 6zdz und dg,, z = d+ d+ zdz Also (,, ) ( ) 4 ( 4 ) df dg z = d d zd dz+ z dz d Wir finden ( ) = und z = sowie z g,, z = + + z = Dies liefert folgende Stellen ( z ) 4 = in der Zwangsbedingung 5 5 { },,,,,,,,,,,,,,,,,,, Hierzu finden wir folgende Werte f (,,) =, f ( ),, = (Minimum), f 5 5 5,, = = f,, (Maimum) Selbstverständlich können auch f 9,, = = f,, 4, f,, ± = = + f, ± z, z = + + z + z = + + z f ± z,, z = z ± z + + z auf Etremstellen untersucht werden ( ±,, ) = + 4 = + + z ± z df,, ± = 4+ d d 4 = und = df, ± z, z = + d+ zdz + = und z = df z z d zdz Hier sind nur (, z ) = (,) möglich! d+ zdz z und z 4 = = z z Führen Sie die Untersuchung auch mit F = f Λ g Notwendige Bedingung: F ( a ) = a a a durch Hinreichende Bedingung: F ( a ) = und F ( a)(, ) bzw F ( a)( ) Ist F ( a ) positiv und nicht entartet?, PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

12 Quader im Ellipsoid Gegeben sei ein Ellipsoid ( ) ( z) E : a + c b + = mit,, z R ; a, b, c R + Gesucht ist der achsenparallele Quader mit dem größten Volumen, welcher zentriert in einem kartesischen Koordinatensstem liegt und E einbeschrieben werden kann Dazu zerlegen wir das Ellipsoid in seine acht Oktanten und dürfen,, z R + annehmen Das Volumen des zu beschreibenden Quaders lautet dann V ( z),, = 8z mit,, z R + Wir betrachten also die Funktion V unter der Zwangsbedingung von g, wobei g (,, z ) = ( ) ( z a + c) b + = dv dg z = zd+ zd + dz a d+ d+ z b c dz ( )(,, ) 8 6 ( ) ( z ) ( ) ( z = z b a d d+ c d dz b + a c) dz d z a = b Also sind die Gleichungen c = b, ( z ) unter der Zwangsbedingung ( ) ( z) :, z c b Für z ( a c ), ( ) ( z) g,, z = a + c b + = auszuwerten = = = liefert dies die Stellen (, ± b,), (,, c) = ± Ferner erhalten wir noch die Stelle ( ± a,,) Diese scheiden jedoch aus, da das Volumen null ergibt Bleiben noch die Differenzen auszuwerten Keine der Koordinaten darf null werden, da sonst wieder das Volumen null wird Folglich ist nur = αa, = αb und z = αc möglich In g eingesetzt liefert dies α = α =±, also die Stelle a, b, c, wobei der negative Wert nach Definition auszuschließen ist Das maimale Volumen beträgt somit V 8 a, b, c 8 = abc = ( 9) abc 9 Weiteres D-Problem Gegeben ist ein Zlinder Z in R mit Z,, z = + z 5= Berechnung des minimalsten Abstandes zwischen P( 6,7, 8) und Z Lösung Hier müssen die Tangentialflächen der zu bildenden Kugeln um den P und des Zlinders übereinstimmen Es wird zwei Lösungen geben Vor dem Zlinder und parallel dazu hinter dem Zlinder Funktion der Kugeln: k(,, z) = ( 6) + ( 7) + ( z+ 8) vom Radius (,, ) k z Aus dk(,, z) = ( 6) d+ ( 7) d+ ( z+ 8) dz und dz(,, z) = d+ zdz Folglich PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

13 ( dk dz)(,, z) = 4( ( 6) d+ ( 7) d+ ( z+ 8) dz) ( d+ zdz) = 4( ( z 8) ( 6) z dz d ( 7) d d ( 7) zd + + dz) = 4( ( 8 6z) d d ( 7) d d+ ( 7) zd dz) Wir erhalten 8 6z + =, ( 7) = und ( 7) z = mit den Stellen (, ) (,) z =, widerspricht der Zwangsbedingung Z(,, z) = + z 5=, und ( a,7, 4a) Eingesetzt in Z(,, z ) liefert Folglich sind Z a,7, 4a = 9a + 6a 5= a = a =± k k, 7, 4 = 9+ 6= 5, 7, 4 = 5 das Minimum und damit der minimale Abstand 5 zwischen dem Punkt und vorderer Wand des Zlinders Aus k k,7, 4 = 8+ 44= 5,7, 4 = 5 folgt der maimale Abstand 5 zwischen Punkt und hinterer Wand des Zlinders Klar, der Zlinder besitzt einen Durchmesser von LE Mehrere Zwangsbedingungen Gesucht sind die Etrema der Funktion f,, z = + z unter den Zwangsbe- dingungen (Nebenbedingungen) g(,, z) = + 8= und Lösung (,, ) = +, dg(,, z) = d+ d und (,, ) df z d d dz Folglich ist df λdg ζdh ( λ ζ, λ, ζ) auszuwerten = + = + = = oder h,, z = + z 4= dh z = d+ dz ( df dg dh)( z) ( d d dz) ( d d) ( d dz),, = = Hier erzwingt die lineare Abhängigkeit das Verschwinden des Volumens (Determinantenform) df dg dh,, z = 4 d d dz = = (,, ) = 8= = oder = sowie g z bringt (,, ) sowie (,,6) Folglich ist Minimum und f,, = 4 das Maimum Natürlich können in diesem einfachen Fall auch g,, z = + 8= betrachtet werden h,, z = + z 4= z = 4 f,,6 = 4 6= das f,,4 = + 4 und PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt

14 Literatur Barner, M/Flohr, F: Analsis II, de Gruter Lehrbuch, ISBN 469 X Cartan, H: Differentialrechnung, BI Wissenschaftsverlag, ISBN Maurin, K: Analsis, part I: Elements, D Reidel Publishing Compan,ISBN Reifen, H-J/Trapp, H: Einführung in die Analsis III, BI Hochschultaschenbücher, Band 787, ISBN PD Dr rer nat habil Gert Hillebrandt 4