11. Vorlesung

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Markus Kranz
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Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz. Vorlesung.06.0 5.

1 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz. Vorlesung Versetzungsechselirkung Versetzungen sind im Allgemeinen umgeben von einem elastischen Spannungsfeld, über das die Versetzungen gegenseitig in Wechselirkung stehen. So erartet man z.b., dass sich zei Stufenversetzungen die sich auf gleicher Gleitebene beegen, gegenseitig abstoßen, falls Sie den gleichen Burgersvektor besitzen, ährend sie sich im Falle entgegen gesetzter Burgers-Vektoren gegenseitig anziehen Passieren paralleler Stufenversetzungen Wir betrachten zei reine Stufenversetzung, deren Burgers- Vektoren in -Richtung, und deren Linienelemente in z-richtung zeigen. Die Gleitebene der Versetzungen ist folglich jeeils parallel zur -z-ebene.,y 0 0 z y

2 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz Nehmen ir an, dass für die Versetzung gilt b 0 b = 0 und s = 0, 0 und das σ das von Versetzung hervorgerufene Spannungsfeld bezeichnet, so folgt für die Kraft (Peach-Köhler Kraft), die Versetzung auf Versetzung ausübt = σ K b s. ( ) Für den Spannungstensor gilt bei der gegebenen Geometrie σy τy 0 σ = τy σyy 0, σ 0 0 zz und damit folgt für Peach-Köhler Kraft K σ τy 0 b 0 = τy σyy σ 0 0 zz 0 b τy K = b σ (5.3) 0 Da ir als Gleitebene die -z Ebene angenommen haben, erhalten ir das folgende Zischenergebnis: K = b τ Kraft in der Gleitebene ( Gleitkraft ) y K = b σ Kraft senkrecht zur Gleitebene ( Kletterkraft ) y K z = 0 Keine Kraft in s-richtung. Während die Gleitkraft eine Versetzungsbeegung innerhalb ihrer Gleitebene verursacht, beirkt die Kletterkraft ein Verlassen der aktuellen Gleitebene: Man spricht daher in diesem Fall vom Klettern der Versetzung.

3 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz Wir ollen uns im Folgenden zunächst auf die Versetzungsbeegung innerhalb der vorgegebenen Gleitebene beschränken. Für die Komponente τ y des Spannungstensors gilt nach Gleichung () τ y G b ( y ) =. π ( ν) ( + y ) Damit folgt für die Kraft in -Richtung, d.h. für die Gleitkraft K G b ( y ) =. (5.33) π ( ν) ( + y ) Wir ollen dieses Ergebnis genauer diskutieren:.) Befinden sich beide Versetzungen auf der gleichen Gleitebene, so gilt y = 0 und ir finden Abfall der Wechselirkungskraft mit /. K ~, d.h. einen.) Befinden sich beide Versetzungen auf unterschiedlichen Gleitebenen (d.h. y 0), so ist die Kraftkomponente K in - Richtung soohl von, als auch von y abhängig. Trägt man in Koordinaten von y auf, so erhält man den folgenden Zusammenhang: Man stellt fest, dass jeeils bei = 0 und bei = y die Kraftkomponente in -Richtung verschindet, d.h. immer dann, 3

4 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz enn beide Versetzungen einen Winkel von 90 bz. 45 miteinander bilden. Gleichzeitig gilt für die maimale Spannung τ, die beim Passieren beider Versetzungen überunden erden muss K = τy b K τ = b. Geht man von kleinen y-abständen beider Versetzungen aus, so folgt mit Gleichung (5.33) für die Passierspannung τ, d.h. diejenige Spannung die beim Gleiten der Versetzungen überunden erden muss τ = α' mit dem Geometriefaktor α' = π ( ν). Gb, (5.34) Da für die Versetzungsdichte gilt ρ = N ρ = folgt für die Passierspannung τ = α G b ρ. (5.35) 5.9. Schneiden von Versetzungen Grundsätzlich sind im Kristall verschiedene Typen von Versetzungen vorhanden: Beegliche Versetzungen auf primären Gleitsystemen und unbeegliche Versetzungen auf sekundären Gleitsystemen. Beegen sich nun z.b. die beeglichen Versetzungen gegen die Unbeeglichen, so kommt es zum sogenannten Schneidprozess. 4

5 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz Hieraus resultiert eine Verlängerung der Versetzungslinie um den Burgers-Vektor b der schneidenden Versetzung, und damit eine Erhöhung der Linienenergie E = Gb b. Bezeichnet l den mittleren Abstand zischen zei unbeeglichen Versetzungen (sogenannten Waldversetzungen ), so besitzt die schneidende Versetzung die freie Länge l und damit folgt für die Peach-Köhler Kraft K = τ b l. s Die Energiebilanz für den Schneidprozess lautet demnach K b = E τs b l b = Gb b τs = Gb l. (5.36) Da für die Dichte der Waldversetzungen ebenfalls gilt ρ = l, folgt für die Schneidspannung τs = Gb ρ. (5.37) Wir haben damit die beiden Vorgänge des Passierens und des Schneidens von Versetzungen diskutiert, die die Versetzungsbeegung (aufgrund der Versetzungsechselirkung) beegen. Als quantitative Größen haben ir in diesem 5

6 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz Zusammenhang die Passierspannung (Gleichung (5.35)) und die Schneidspannung (Gleichung (5.37)) ermittelt. Gehen ir davon aus, dass zu Beginn des plastischen Fließens eines Materials die Versetzungsdichten auf allen Gleitsystemen etas gleich groß sind ρ ρ = ρ, so folgt schließlich für die kritische Schubspannung τ0 = τ + τs τ0 = α Gb ρ + Gb ρ τ0 = α Gb ρ. (5.38) Man erartet als, dass die kritische Schubspannung eines (einkristallinen) Materials mit der Wurzel aus der Versetzungsdichte zunimmt. Diese Resultat ird eperimentell bestätigt Thermische Versetzungsbeegung Die im Eperiment gefundenen kritischen Schubspannungen sind im Allgemeinen kleiner als die theoretisch berechneten. Grund hierfür ist, dass die Überindung von Hindernissen bei der Versetzungsbeegung thermische aktiviert ist. 6

7 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz Durchläuft eine Stufenversetzung mit Burgers-Vektor b einen idealen Kristall, so führt dies im Allgemeinen zu einer Abscherung γ des Kristalls. Für den Fall, dass mehrere Versetzungen den Kristall mit gleicher Geschindigkeit v in gleiche Richtung durchlaufen, findet man für die Abscherrate die sogenannte Oroan-Gleichung dγ dt = ɺ γ = ρ b v (5.39) Wir gehen nun davon aus, dass die Überindung von Hindernissen ährend der Beegung von Versetzungen thermisch aktiviert erfolgt. Durchläuft eine Versetzung ungestört den Kristall benötigt sie hierfür die Zeit t m. Stößt sie auf ein Hindernis, so verbringt sie vor diesem Hinderniss eine geisse Wartezeit t, bis die Energie der Versetzung aufgrund thermischer Fluktuationen ausreicht, dass Hindernis zu überinden. Folglich gilt für die Versetzungsgeschindigkeit v = t + t. m Nehmen ir an, dass die Beegung der Versetzungen sehr schnell erfolgt, so gilt näherungseise v t. Die Wartezeit vor einem Hindernis ist abhängig von der Sprungfrequenz, die iederum thermisch aktiviert ist G() τ = νd ep t kbt. ν D bezeichnet hier die Debye Frequenz, G die Aktivierungsenthalpie, k B die Bolzmann Konstante und T die Temperatur. Für die thermisch aktivierte Abscherrate (Gleichung (5.39)) folgt damit 7

8 Werkstoffmechanik SS0 Baither/Schmitz ɺ γ = ρ b νd ep G() τ kbt ɺ γ = γ0 ep G() τ kbt, (5.40) d.h. die Abscherrate folgt der sogenannten Arrhenius- Beziehung, mit der Aktivierungsenthalpie G. 8

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