Anderson-Lokalisierung

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1 Anderson-Lokalisierung Hauptseminar: Wechselwirkende Quantengase - WS 2009/2010 David Peter 26. Januar 2010

2 Unordnung in der Physik Normalerweise störend Reibung in der klassischen Physik BEC: Kühlen um thermische,,unordnung zu beseitigen Aber: Neue Phänomene Quanten-Hall-Effekt Hochtemperatursupraleiter Anderson-Lokalisierung Anderson-Lokalisierung David Peter 2

6 Inhalt 1 Einführung 2 Theorie 3 Simulationen 4 Experimente Anderson-Lokalisierung David Peter 3

7 Inhalt 1 Einführung Festkörperphysik Anderson-Lokalisierung 2 Theorie 3 Simulationen 4 Experimente Anderson-Lokalisierung David Peter 4

8 Festkörperphysik Festkörperphysik periodischer Kristall Translationsinvarianz Lösung: Blochwellen (1928) Leitend, falls Fermienergie im Band Kristall mit zufälligen Störungen Translationsinvarianz gebrochen Blochwellen keine Lösungen mehr bei starker Unordnung keine Störungstheorie möglich Semi-klassische Theorien (Drude-Modell 1900) können Transport nicht richtig beschreiben Anderson-Lokalisierung David Peter 5

9 Festkörperphysik Festkörperphysik periodischer Kristall Translationsinvarianz Lösung: Blochwellen (1928) Leitend, falls Fermienergie im Band Kristall mit zufälligen Störungen Translationsinvarianz gebrochen Blochwellen keine Lösungen mehr bei starker Unordnung keine Störungstheorie möglich Semi-klassische Theorien (Drude-Modell 1900) können Transport nicht richtig beschreiben Anderson-Lokalisierung David Peter 5

10 Anderson-Lokalisierung Veröffentlichung 1958 Durch Unordnung können Teilchen (quantenmechanisch) lokalisiert werden Andersons Veröffentlichung wurde 4500 mal zitiert (Platz 5) und... Anderson-Lokalisierung David Peter 6

13 Anderson-Lokalisierung Nobelpreis 1977,,for their fundamental theoretical investigations of the electronic structure of magnetic and disordered systems Philip Warren Anderson b1923 Sir Nevill Francis Mott b1905 d1996 John Hasbrouck van Vleck b1899 d1980 Anderson-Lokalisierung David Peter 7

14 Anderson-Lokalisierung Anderson-Lokalisierung: Erklärung Teilchen im zufälligen Potential: Teilchen wird an Störstellen gestreut (nicht am Gitter!) Auf jedem Pfad ändert sich die Phase Teilchen kann zurückgestreut werden Für geschlossenen Pfad gilt: ϕ hin = ϕ zurück Beide Streu-Pfade interferieren konstruktiv:,,coherent backscattering Wahrscheinlichkeit zurückzukehren ist erhöht Anderson-Lokalisierung David Peter 8

21 Anderson-Lokalisierung Anderson-Lokalisierung: Erklärung Teilchen im zufälligen Potential: Teilchen wird an Störstellen gestreut (nicht am Gitter!) Auf jedem Pfad ändert sich die Phase Teilchen kann zurückgestreut werden Für geschlossenen Pfad gilt: ϕ hin = ϕ zurück Beide Streu-Pfade interferieren konstruktiv:,,coherent backscattering Wahrscheinlichkeit zurückzukehren ist erhöht Anderson-Lokalisierung ist 1-Teilchen Phänomen! Anderson-Lokalisierung David Peter 8

22 Anderson-Lokalisierung Anderson-Lokalisierung: Relevante Skalen Es treten zwei relevante Längenskalen auf De Broglie-Wellenlänge λ db Mittlere freie Weglänge l Ioffe-Regel Kriterium Lokalisierung findet statt, falls l < λ db Führt zu einer Mobilitätskante λ db l Anderson-Lokalisierung David Peter 9

23 Anderson-Lokalisierung Anderson-Lokalisierung: Relevante Skalen Es treten zwei relevante Längenskalen auf De Broglie-Wellenlänge λ db Mittlere freie Weglänge l Ioffe-Regel Kriterium Lokalisierung findet statt, falls l < λ db Führt zu einer Mobilitätskante λ db l Anderson-Lokalisierung David Peter 9

24 Anderson-Lokalisierung Was bedeutet Lokalisierung? V max Energie klassisch: Teilchen ist räumlich eingegrenzt, falls E ges V max QM: Teilchen kann tunneln, kein ausreichendes Kriterium Anderson-Lokalisierung findet auch im Fall E ges V max statt! Lokalisiert, falls Wellenfunktion von Zentrum aus hinreichend schnell abfällt Anderson-Lokalisierung: Ψ(x) exp( x x 0 /ξ) mit der Lokalisierungslänge ξ Ψ(x) x/ξ Anderson-Lokalisierung David Peter 10

25 Anderson-Lokalisierung Was bedeutet Lokalisierung? V max Energie klassisch: Teilchen ist räumlich eingegrenzt, falls E ges V max QM: Teilchen kann tunneln, kein ausreichendes Kriterium Anderson-Lokalisierung findet auch im Fall E ges V max statt! Lokalisiert, falls Wellenfunktion von Zentrum aus hinreichend schnell abfällt Anderson-Lokalisierung: Ψ(x) exp( x x 0 /ξ) mit der Lokalisierungslänge ξ Ψ(x) x/ξ Anderson-Lokalisierung David Peter 10

26 Inhalt 1 Einführung 2 Theorie Anderson-Modell Aubry-André-Modell 3 Simulationen 4 Experimente Anderson-Lokalisierung David Peter 11

27 Anderson-Modell Anderson-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Anderson-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + k a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Anderson-Lokalisierung David Peter 12

28 Anderson-Modell Anderson-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Anderson-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + k a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Beschreibung Tight-Binding-Modell J: Tunnelrate k : Zufallszahl, z.b. gleichmäßig aus Intervall [0, ] Anderson-Lokalisierung David Peter 12

32 Anderson-Modell Anderson-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Anderson-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + k a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Eigenschaften Metall-Isolator-Übergang in 3D, Ordnungsparameter /J Für d = 1, 2 sind alle Zustände lokalisiert (Isolator) Anderson-Lokalisierung David Peter 12

33 Anderson-Modell Anderson-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Anderson-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + k a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Eigenschaften Metall-Isolator-Übergang in 3D, Ordnungsparameter /J Für d = 1, 2 sind alle Zustände lokalisiert (Isolator) Anderson-Lokalisierung David Peter 12

34 Anderson-Modell Anderson-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Anderson-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + k a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Gründe für ein abgewandeltes Modell Anderson-Modell zeigt Phasenübergang nur in 3 Dimensionen Experimente aus Florenz realisieren Aubry-André Modell Anderson-Lokalisierung David Peter 12

35 Anderson-Modell Anderson-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Anderson-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + k a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Gründe für ein abgewandeltes Modell Anderson-Modell zeigt Phasenübergang nur in 3 Dimensionen Experimente aus Florenz realisieren Aubry-André Modell Anderson-Lokalisierung David Peter 12

36 Aubry-André-Modell Aubry-André-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Aubry-André-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + cos (2πβk) a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Anderson-Lokalisierung David Peter 13

37 Aubry-André-Modell Aubry-André-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Aubry-André-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + cos (2πβk) a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Beschreibung : Stärke des äußeren Potentials β: Irrationale Zahl quasiperiodisches Potential Anderson-Lokalisierung David Peter 13

38 Aubry-André-Modell Aubry-André-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Aubry-André-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + cos (2πβk) a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Beschreibung : Stärke des äußeren Potentials β: Irrationale Zahl quasiperiodisches Potential Anderson-Lokalisierung David Peter 13

41 Aubry-André-Modell Aubry-André-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Aubry-André-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + cos (2πβk) a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Eigenschaften Phasenübergang auch in 1D, Ordnungsparameter /J Für β = Phasenübergang bei /J = 2 Anderson-Lokalisierung David Peter 13

42 Aubry-André-Modell Aubry-André-Modell Hamilton-Operator Hamilton-Operator für das diskrete Aubry-André-Modell: H = J ( ) a k a l + a l a k + cos (2πβk) a k a k <k,l> k }{{}}{{} kinetische Energie ext. Potential Eigenschaften Phasenübergang auch in 1D, Ordnungsparameter /J Für β = Phasenübergang bei /J = 2 Anderson-Lokalisierung David Peter 13

43 Inhalt 1 Einführung 2 Theorie 3 Simulationen Verfahren Ergebnisse 4 Experimente Anderson-Lokalisierung David Peter 14

44 Verfahren Verfahren Simuliere Aubry-André-Modell (1D) Stelle diskreten Hamilton-Operator auf (N N-Matrix, N: Anzahl Gitterpunkte) (Wähle Randbedingungen) Berechne Eigenwerte (Energien) und Eigenvektoren (Zustände) numerisch Grundzustand = Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert Berechnung der Lokalisierungslänge (Korrelationslänge) Die Lokalisierungslänge ξ ist proportional zur Streuung: x = x 2 x 2 Für exponentiell lokalisierte Zustände gilt x = ξ/ 2 Anderson-Lokalisierung David Peter 15

45 Verfahren Verfahren Simuliere Aubry-André-Modell (1D) Stelle diskreten Hamilton-Operator auf (N N-Matrix, N: Anzahl Gitterpunkte) (Wähle Randbedingungen) Berechne Eigenwerte (Energien) und Eigenvektoren (Zustände) numerisch Grundzustand = Eigenvektor zum niedrigsten Eigenwert Berechnung der Lokalisierungslänge (Korrelationslänge) Die Lokalisierungslänge ξ ist proportional zur Streuung: x = x 2 x 2 Für exponentiell lokalisierte Zustände gilt x = ξ/ 2 Anderson-Lokalisierung David Peter 15

46 Ergebnisse Dichteverteilung Aufgetragen ist jeweils die Dichte Ψ(k) 2 über der Position /J = Anderson-Lokalisierung David Peter 16

47 Ergebnisse Dichteverteilung Aufgetragen ist jeweils die Dichte Ψ(k) 2 über der Position. /J = 0 /J = Anderson-Lokalisierung David Peter 16

48 Ergebnisse Dichteverteilung Aufgetragen ist jeweils die Dichte Ψ(k) 2 über der Position. /J = 0 /J = /J = Anderson-Lokalisierung David Peter 16

49 Ergebnisse Dichteverteilung Aufgetragen ist jeweils die Dichte Ψ(k) 2 über der Position. /J = 0 /J = /J = /J = Anderson-Lokalisierung David Peter 16

50 Ergebnisse Phasenübergang Trage die Lokalisierungslänge über dem Verhältnis /J auf: ξ/ξ(0) /J Phasenübergang bei /J = 2 Anderson-Lokalisierung David Peter 17

51 Inhalt 1 Einführung 2 Theorie 3 Simulationen 4 Experimente Motivation BEC im Laser-Speckle BEC im quasiperiodischen Gitter Anderson-Lokalisierung David Peter 18

52 Motivation Warum? (Wiederholung) Warum untersucht man die Anderson-Lokalisierung mit Bose-Einstein-Kondensaten? Wechselwirkung kann kontrolliert (abgeschaltet) werden (Feshbach-Resonanzen, Einstellen der Dichte) Dimension frei wählbar Externe Potentiale können beliebig und genau eingestellt werden (vgl. Festkörper mit Phononen) Direkte Messung der Dichteprofile Bisher noch nie an Materiewellen beobachtet(!), jedoch mit 1990: Ultraschall Weaver, R. L. et al., Wave Motion 12, : Mikrowellen Dalichaouch, R. et al., Nature 354, : Licht Wiersma, D. S. et al., Nature 390, Anderson-Lokalisierung David Peter 19

53 Motivation Warum? (Wiederholung) Warum untersucht man die Anderson-Lokalisierung mit Bose-Einstein-Kondensaten? Wechselwirkung kann kontrolliert (abgeschaltet) werden (Feshbach-Resonanzen, Einstellen der Dichte) Dimension frei wählbar Externe Potentiale können beliebig und genau eingestellt werden (vgl. Festkörper mit Phononen) Direkte Messung der Dichteprofile Bisher noch nie an Materiewellen beobachtet(!), jedoch mit 1990: Ultraschall Weaver, R. L. et al., Wave Motion 12, : Mikrowellen Dalichaouch, R. et al., Nature 354, : Licht Wiersma, D. S. et al., Nature 390, Anderson-Lokalisierung David Peter 19

54 BEC im Laser-Speckle BEC im Laser-Speckle (Paris 2008) 1 Experimenteller Aufbau BEC aus Rb Atomen Quasi-1D Falle mit Fallenfrequenzen ω /2π = 70Hz, Ausdehnung: 3µm ω z/2π = 5,4Hz, Ausdehnung: 35µm wird abgeschaltet Expansion im Laser-Speckle Potential (siehe nächste Folie) Wechselwirkung durch niedrige Dichte vernachlässigbar Dichtemessung durch Fluoreszenz-Aufnahmen (Auflösung 15µm) 1 Billy, J. et al., Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder. Nature 453, (2008). Anderson-Lokalisierung David Peter 20

55 BEC im Laser-Speckle Laser-Speckle Speckle: Leite kohärente Strahlung durch diffuses Medium Im Experiment: Aufgeweiteter Laser bei 514nm (großes δ L ) mit niedriger Leistung charakteristische Größen: Korngröße πσ R 0,82µm Impuls Cut-off bei k c = 2/σ R. Zustände oberhalb nicht (exponentiell) lokalisiert: vgl. Mobilitätskante Anderson-Lokalisierung David Peter 21

56 BEC im Laser-Speckle Ergebnisse - Lokalisierung (räumlich) Lokalisierung auf Millimeterskala Exponentieller Abfall der Dichte am Rand: Starker Hinweis auf Anderson-Lokalisierung Anderson-Lokalisierung David Peter 22

57 BEC im Laser-Speckle Ergebnisse - Lokalisierung (zeitlich) Lokalisierungslänge ändert sich zeitlich nicht Lokalisierter Zustand über Sekunden hinweg beobachtbar Anderson-Lokalisierung David Peter 23

58 BEC im Laser-Speckle Ergebnisse - Mobilitätskante unterhalb der Mobilitätskante: k max < 1/σ R exponentiell lokalisierter Zustand: Dichte e z /ξ oberhalb der Mobilitätskante: k max > 1/σ R algebraisch lokalisierter Zustand: Dichte z β mit β = 2,01 ± 0,03. kmax: Größte Impulskomponente im BEC, σ R : Speckle-Korngröße Anderson-Lokalisierung David Peter 24

59 BEC im Laser-Speckle Ergebnisse - Mobilitätskante unterhalb der Mobilitätskante: k max < 1/σ R exponentiell lokalisierter Zustand: Dichte e z /ξ oberhalb der Mobilitätskante: k max > 1/σ R algebraisch lokalisierter Zustand: Dichte z β mit β = 2,01 ± 0,03. kmax: Größte Impulskomponente im BEC, σ R : Speckle-Korngröße Anderson-Lokalisierung David Peter 24

60 BEC im quasiperiodischen Gitter BEC im quasiperiodischen Gitter (Florenz 2008) 2 Experimenteller Aufbau BEC aus K Atomen Durch Feshbach-Resonanz: Wechselwirkungsenergie kin. Energie Realisiert Aubry-André-Modell Optische Gitter (1D) durch zwei stehende Wellen: 1032nm und 862nm β 1, Roati, G. et al., Anderson localization of a non-interacting Bose-Einstein condensate. Nature 453, (2008). Anderson-Lokalisierung David Peter 25

61 BEC im quasiperiodischen Gitter Ergebnisse - Lokalisierung Anderson-Lokalisierung David Peter 26

62 BEC im quasiperiodischen Gitter Ergebnisse - Universalität Lokalisierung auf der Mikrometerskala Universelles Verhalten für verschiedene J Anderson-Lokalisierung David Peter 27

63 BEC im quasiperiodischen Gitter Ergebnisse - Phasenübergang Fitte n(z) = n 0 exp ( x/ξ α ) an das Dichteprofil Übergang von Gaußschem Wellenpaket (α = 2) zu lokalisiertem Zustand (α = 1) Phasenübergang bei /J 2 Anderson-Lokalisierung David Peter 28

64 Ausblick Was ist mit den wechselwirkenden Quantengasen? Theoretische Herausforderung: gemeinsame Behandlung von Unordnung und Wechselwirkung Viele offene Fragen, Experimente mit BEC können Vorreiter sein Theoretisch vorhergesagt: Anderson-Lokalisierung von Solitonen Mott-Anderson-Übergang, neue Quantenphasen. Experiment 3 : 3 Deissler, B. et al, arxiv v2 (2010) Anderson-Lokalisierung David Peter 29

65 Ausblick Was ist mit den wechselwirkenden Quantengasen? Theoretische Herausforderung: gemeinsame Behandlung von Unordnung und Wechselwirkung Viele offene Fragen, Experimente mit BEC können Vorreiter sein Theoretisch vorhergesagt: Anderson-Lokalisierung von Solitonen Mott-Anderson-Übergang, neue Quantenphasen. Experiment 3 : 3 Deissler, B. et al, arxiv v2 (2010) Anderson-Lokalisierung David Peter 29

66 Zusammenfassung In Zufalls-Potentialen tritt (exponentielle) Lokalisierung auf Phasenübergang bei kritischer Unordnungsstärke (3D) Grund: Kohärente Rückstreuung an den Störstellen (1 Teilchen Phänomen) Wechselwirkungsfreie Anderson-Lokalisierung theoretisch (und jetzt experimentell) gut verstanden In Zusammenhang mit WW sind noch viele Fragen offen Fragen? Anderson-Lokalisierung David Peter 30

67 Zusammenfassung In Zufalls-Potentialen tritt (exponentielle) Lokalisierung auf Phasenübergang bei kritischer Unordnungsstärke (3D) Grund: Kohärente Rückstreuung an den Störstellen (1 Teilchen Phänomen) Wechselwirkungsfreie Anderson-Lokalisierung theoretisch (und jetzt experimentell) gut verstanden In Zusammenhang mit WW sind noch viele Fragen offen Fragen? Anderson-Lokalisierung David Peter 30

68 Dichteverteilungen 2 Aufgetragen ist jeweils die Dichte Ψ(k) 2 über der Position. /J = 2.4, β = 1.62, fest /J = 2.4, β = 1.62, per /J = 2.4, per /J = 0.01, per Anderson-Lokalisierung David Peter 31