Vorlesung "Molekülphysik/Festkörperphysik" Wintersemester 2013/2014

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1 Vorlesung "Molekülhysik/Festkörerhysik" Wintersemester 13/14 Prof. Dr. F. Kremer Übersicht der Vorlesung am Die Schrödingergleichung für einen harmonischen Oszillator Die Nullunktsenergie des harmonischen Oszillators Die Unschärferelation am Beisiel eines Lichtmikroskos 1

2 Die Schrödingergleichung für einen harmonischen Oszillator D ω =, D=ωm (4) m Schrödingergleichung Substitution mit ψ + ψ = m d d 1 D E ψ (5) liefert ξ= m ω d ψ ξ D D + ξ ψ ξ = m dξ m E (6) ψ ξ (7) oder nach Multilikation mit d ψ ξ d D m m E + ψ ξ = ξ D (8) Aus der Theorie der Differentialgleichungen folgt, dass (8) nur dann in - ξ + ein vollständig orthonormiertes Funktionssystem besitzt, wenn es die Form hat: d ψn ξ + ( n + 1 ) ψ n ( ξ ) = dξ d. h., wenn die Energieeigenwerte E n der Bedingung genügen. oder mit (4) m E D n 1 = + ω En n (n =,1,,...) (9) = n+ 1 (n =,1,,...) (1) (n =,1,,...) (11) Die Lösungen ψ n (ξ) bestimmt sich durch die ermite'schen Polynome n vom Grade n zu ψ ξ = n n ( ξ) e n n! π Für die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man das Teilchen am Ort findet, folgt ( ξ) e e ψ π π (1)

3 ( ξ) 1 ξ e e ψ1 π π ( ξ) e ( ξ ) 1 e ψ 8 π π 3 ( ξ) e ( ξ ξ) 3 e 3 ψ3 48 π 3 π 4 ( ξ) e ( ξ ξ + ) e 4 ψ4 384 π 4 π 5 3 ( ξ) e ( ξ ξ + ξ) 4 15 e 5 ψ5 384 π 6 π Vergleicht man die quantenmechanische und klassische Wahrscheinlichkeitsdichte für den linearen harmonischen Oszillator, so gibt es charakteristische Unterschiede, die aber hier nicht weiter vertieft werden sollen. 3

4 Aus (11) erhält man für n = die Nullunktsenergie des linearen quantenmechanischen harmonischen Oszillators: E 1 = ω (13) Der direkte eerimentelle Nachweis der Nullunktsenergie gelang 198 durch Bestimmung der Temeraturabhängigkeit von Röntgeninterferenzen. 4

5 Die Unschärferelation am Beisiel eines Lichtmikroskos Wenn man mit einem Lichtmikrosko den Ort eines ruhenden Teilchens bestimmen will, so muss dieses mit Licht, z. B. der Wellenlänge λ, bestrahlt werden (Abbildung). Ein gestreutes Photon muss in einem Raumkegel mit dem Öffnungswinkel α gestreut werden, um von dem Objektiv des Mikroskos (mit Durchmesser d) erfasst zu werden. d sinα tanα = y (14) Seine Imulskomonente in -Richtung hat dann eine Unbestimmtheit ( Photon) h d Δ = Photonsinα = (15) λ y Wegen der Imulserhaltung während der Streuung hat auch das Teilchen eine Unbestimmtheit des Imulses in -Richtung Δ. Paralleles Licht, welches von oben in y-richtung auf das Mikrosko trifft, erzeugt im Fokus eine Beugungsstruktur, deren zentrales Maimum den Durchmesser D hat: D= 1. ysinϑ yλ d (16) Deshalb kann umgekehrt aus dem an den Teilchen gestreuten Licht, das von dem Mikrosko gesammelt wird, der Ort des Teilchens nicht genauer als Δ = D angegeben werden. Kombiniert man (15) und (16), so folgt h d yλ Δ Δ = h (17) λ y d Der Messrozess selber ändert den Zustand des zu messenden Objekts. Die Unschärferelation ist eine unmittelbare Konsequenz aus dem Wellen-Teilchen-Dualismus. 5

6 Die Unschärferelation für ein "freies" und ein lokalisiertes Teilchen Schrödingergleichung für ein freies Teilchen (i.e. E ot = ): ψ( ) ψ = i m t Für ein Teilchen mit fest vorgegebenem Imuls gilt für (18) die Lösung E ψ (,t) = a e i t (18) (19) Beweis: Buch Pfeifer/Schmiedel, S. 41 Mit dem Lösungsansatz Ψ, t = ψ ( ) f( t) folgt aus Gl. (18) 1 t 1 ψ 1 ²( me) f( t) ² ψ / ² = I ψ( ) f / oder i m ψ f 1 ( e) ² / ² = f / t. Die linke Seite dieser Gleichung ist unabhängig von der Zeit und die rechte unabhängig vom Ort. Also 1 müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein, die wir K nennen. Aus f f / t = K folgt f ( t) = f()e( Kt) und aus i ( me) 1 ψ 1 ² ψ / ² = K ergibt sich 1/ 1/ ψ ( ) = ψ ()e ± ( mk e ) ( i ). Damit erhalten wir zunächst 1/ 1/ ψ ( t, ) = ψ () f()e Kt± ( mek) ( i ). Wenn wir voraussetzen, dass das Teilchen einen vorgegebenen Imuls besitzt, so muss ψ ( ) eine Eigenfunktion von ˆ sein, d. h. es muss gelten ˆ ψ ( ) = ψ. Unter Verwendung von ˆ = i / erhält man = i ( mek) 1/ ( i ) -1/. Beachten wir noch, dass die Gesamtenergie E gleich der kinetischen Energie ergibt sich /( m e) ist, so folgt E = ( ²/ ) mk e /( i me) oder E = i K. Damit ψ [ + ] { [ ]} mit a ψ () f() Ψ (, t) = () f()e i( E/ ) t i( / ) oder Ψ (, t) = ae i ( E/ ) t ( / ) =. Dies entsricht einer in + -Richtung fortschreitenden Welle, deren Frequenz ν = E/h und deren Wellenlänge λ durch h gegeben ist. Wie oben gezeigt, ist ein "kräftefreies" Teilchen in dem gesamten Raum "verschmiert", d. h. delokalisiert. Um ein lokalisiertes Teilchen zu beschreiben, das sich in -Richtung bewegt, muss eine geeignete Linear-Kombination der Form von (19) gefunden werden. Man nennt dies ein Wellenaket. Der Imuls des Teilchens ist in diesem Fall nicht fest vorgegeben, sondern genügt einer Verteilungsfunktion, für die eine Kastenfunktion gewählt wird (siehe Abb.). g ( ) g d Gewichtsfaktor C + 6

7 Abb: Zur Bildung eines Wellenakets. Die Konstante C folgt aus den Normierungsbedingungen für ψ. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte des Wellenakets folgt: ψ ( ) ψ( ) sin ξ () ξ mit ξ= t Δ me wobei der Proortionalitätsfaktor sich aus der Normierung ergibt. (1) Beweis: Pfeifer/Schmiedel, S. 4 Mit dem Gewichtsfaktor nachobiger Abb. gilt für die Linearkombination Ψ von Lösungen +Δ 1 der Form nach Gl. (19), Ψ α Ψ e { ( e ) ( i m t + i / ) } d oder, bei Δ Vernachlässigung des in Δ quadratischen Terms (dies ist nur für hinreichend kleine t erlaubt, wogegen bei großen t das Wellenaket zerläuft ) +Δ 1 1 Ψ e { ( e ) ( e i m t i Δ m ) t + i( / ) + i( Δ / )} dδ. Die Integration Δ liefert das Ergebnis { } { e ( e ) ( / ) }{ sin ( ( e ) ) } ( ( e ) ) Ψ i m t + i m t Δ + m t Δ woraus unmittelbar die gesuchte Gl. (1) folgt. Der Wert für das Maimum der Wahrscheinlichkeitsdichte sei und es muss dort gelten oder t = m m () = t (3) Das ist ein Teilchen, das im Wesentlichen an der Stelle lokalisiert ist und sich mit der Geschwindigkeit /m in -Richtung bewegt. Die "Lokalisierung" des Teilchens ist also bestimmt durch das Maimum der Aufenthaltswahrscheinlichkeit an der betreffenden Stelle. Die Schärfe der Lokalisierung kann aus () abgeschätzt werden, indem man den Wert von bestimmt, für den die Wahrscheinlichkeitsdichte auf die älfte ihres Maimalwertes abgesunken ist. Nennt man diesen Wert Δ, so bekommt man ΔΔ 1,39 (4) Beweis: Pfeifer/Schmiedel, S. 4 * Setzen wir = ( / me) t (s. Gl. (3)) in die Gl. (1) ein, so folgt Ψ PΨP (sin ξ) / ξ mit ξ = ( ) Δ /. Die Funktion (sin ξ ) / ξ hat ihren größten Wert, nämlich 1, an der Stelle ξ = (autmaimum). Der Wert ½ wird für ξ ± 1, 39 erreicht, oder für ( ) 1/ ± 1,39 / Δ. Mit Δ = ( ) ergibt sich ΔΔ 1/ 1, 39. 7

8 Die Zahl 1,39 hängt von der gewählten Verteilung ab (Kastenfunktion). Allgemein gilt ΔΔ (5v) 8

9 Kontrollfragen zu der Vorlesung am Wie lauten die Wellenfunktionen für einen quantenmechanischen (linearen) harmonischen Oszillator? Was sind die zugehörigen Eigenwerte? 1. Leiten Sie die eisenbergsche Unschärferelation aus der Abschätzung des räumlichen Auflösungsvermögens eines Lichtmikroskos ab.. Wie wird im Rahmen der Quantenmechanik ein freies und ein lokalisiertes Teilchen dargestellt? 9