Nichtlineare Schrödinger-Gleichung und Soliton-Lösung

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Mathilde Hummel
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1 Nichtlineare Schrödinger-Gleichung und Soliton-Lösung WWU Münster 7.Januar 2009

2 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung 2 Eingeschaft Solitonen im BEC BEC schwach wechselwirkender Atome 3 Implizite und explizite Methode

3 Was ist Soliton? Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung Solitonen sind Wellen, die formstabil über theoretisch unbegrenzte Strecken durch ein nichtlineares Medium propagieren. Kompensation der Dispersion durch nichtlineare Effekte

John Scott Russel: Beobachtung der Solitonen in einem

4 Entdeckung der Solitonen Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung 1834 John Scott Russel: Beobachtung der Solitonen in einem engen Kanal in Scottland Entstanden durch Bsemsen eines Bootes

5 Solitonen auf LWL Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung 1973 Hasegawa theoretische Vorhersage der Existenz von Solitonen auf Lichtwellenleitern 1980 Mollenhauer erster experimenteller Nachweis 1992 AT&T Bell Labs fehlerfreie 5 Gbit-Übertragung über km 1996 Fujitsu, Bell Labs 1 Tbit-Übertragungen NTT Labs

6 Tsunami Motivation Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung

7 Pororoca Motivation Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung

8 Soliton-Gleichungen Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung u u + 6u t x + 3 u x = 0 3 «u u + 6u x t x + 3 u ± 2 u x 3 y = u t 2 u 2 x + sin u = 0 2 i u t u 2 x + g 2 u 2 u = 0 kdv-gleichung kp-gleicuhng Sin-Gordon-Gleichung nichtlineare Schrödinger-Gleichung

9 nichtlineare Schrödinger-Gleichung (Gross-Pitaevskii-Gleichung) Geschichte der Solitonen Beipiele in der Natur Mathematische Beschreibung Ψ(x, t) i = 2 2 Ψ(x, t) 2 t 2m x 2 + g Ψ(x, t) 2 Ψ(x, t) = 0 g Ψ 2 : Wechselwirkungsterm g < 0 für atraktive, g > 0 für abstoßende WW Beschreibt z. B schwach wechselwirkender Atome bei T=0 Ausbreitung eines Licht-Wellenpacketes im Glasfaser Ozeanwellen

10 Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Verhalten der Alle Bosonen befinden sich bei T=0 im Grundzustand Makroskopische Wellenfunktion sichtbare Quanteneffekt

11 Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Verhalten der Alle Bosonen befinden sich bei T=0 im Grundzustand Makroskopische Wellenfunktion sichtbare Quanteneffekt Dispersion Interferenz usw

12 Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Verhalten der Alle Bosonen befinden sich bei T=0 im Grundzustand Makroskopische Wellenfunktion sichtbare Quanteneffekt Dispersion Interferenz usw Wie können Solitonen im BEC bilden?

13 BEC schwach wechselwirkender Atome Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome WW (g Ψ 2 ) der Atome kann Zerlaufen der Wellenfunktion kompensieren Ψ(x, t) i = 2 2 Ψ(x, t) 2 t 2m x 2 + g Ψ(x, t) 2 Ψ(x, t) = 0 Soliton als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung

14 BEC schwach wechselwirkender Atome Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome WW (g Ψ 2 ) der Atome kann Zerlaufen der Wellenfunktion kompensieren Ψ(x, t) i = 2 2 Ψ(x, t) 2 t 2m x 2 + g Ψ(x, t) 2 Ψ(x, t) = 0 Soliton als Lösung der Gross-Pitaevskii-Gleichung Ψ(x, t) = a sech(a(x x 0 v(t t 0))) e i(vx+ 1 2 (a2 v 2 )(t t 0 )) (Für g < 0) Ψ(x, t) = iv + p a 2 v 2 tanh( p a 2 v 2 (x x 0) v (t t0)) (Für g > 0)

15 Anzahl der Atome in einem Soliton Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Das lineare Auseinanderfließen von der Anzahl der Atome nicht abhängig Je mehr Atome im Kondensat, desto größer die anziehende WW

16 Anzahl der Atome in einem Soliton Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Das lineare Auseinanderfließen von der Anzahl der Atome nicht abhängig Je mehr Atome im Kondensat, desto größer die anziehende WW Es gibt eine Bestimmte Anzahl der Atome, die ein Soliton enthalten kann.

17 Experimetelle Beobachtung Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Experimentelle Beobachtung Beschreibung der Solitonen durch Gross-Pitaevskii-Gleichung sehr gut Abweichung der Theorie von der Messung unter paar % Abbildung: BEC aus Rubidium

Experimetelle Beobachtung Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Experimentelle Beobachtung Beschreibung der Solitonen durch Gross-Pitaevskii-Gleichung

18 Experimetelle Beobachtung Eingeschaft BEC schwach wechselwirkender Atome Experimentelle Beobachtung Beschreibung der Solitonen durch Gross-Pitaevskii-Gleichung sehr gut Abweichung der Theorie von der Messung unter paar % ABER: nur Theorie für T=0 Theoretisch sehr schwierig für höherer Temperatur Abbildung: BEC aus Rubidium

19 Implizite und explizite Methode Nummerische Methode zum Lösen der NLSG

20 Explizite Methode Implizite und explizite Methode Ψ(x, t) i t Mit = m = 1 = 1 2 Ψ(x, t) 2 2 x 2 + g Ψ(x, t) 2 Ψ(x, t) = 0 Ψ n+1 i Ψ n i t mit α = t x 2 = i 2 Ψ n i+1 2Ψn i + Ψ n i 1 x 2 ig Ψ n i 2 Ψ n i Ψ n+1 i = iα 2 Ψn i+1 + (1 iα)ψ n i + iα 2 Ψn i 1 ig Ψ n i 2 Ψ n i

21 Implizite Methode Implizite und explizite Methode Ψ(x, t) i = 1 2 Ψ(x, t) 2 t 2 x 2 + g Ψ(x, t) 2 Ψ(x, t) = 0 Ψ n+1 i = Ψ n i + iα 2 iα 2 Ψn+1 i 1 + (1 + iα)ψn+1 i ( Ψ n+1 i+1 2Ψn+1 i + Ψ n+1 i 1 ) ig Ψ n i 2 Ψ n i iα 2 Ψn+1 i+1 = Ψn i ig Ψ n i 2 Ψ n i AΨ n+1 = Ψ n ig Ψ n 2 Ψ n 1 + iα 0.5 iα 0. mit A = 0.5 iα 1 + iα iα iα 1 + iα

22 Nummerische Fehler Implizite und explizite Methode

23 Implizite und explizite Methode ( u t = F u, x, t, u ) x, 2 u x 2

24 Implizite und explizite Methode ( u t = F u, x, t, u ) x, 2 u x 2 u n+1 i u n+1 i ui n t ui n t = F n i = F n+1 i forward Euler backward Euler

25 Implizite und explizite Methode ( u t = F u, x, t, u ) x, 2 u x 2 u n+1 i u n+1 i u n+1 i ui n t ui n t ui n t = F n i = F n+1 i = 1 2 ( F n+1 i + Fi n ) forward Euler backward Euler Crank-Nicholson

26 Beispiel: Schrödinger-Gleichung Implizite und explizite Methode 2 Ψ t = ihψ H = 1 2 x 2 Ψ n+1 Ψ n t = 1 2 ih(ψn+1 + Ψ n ) 1 + i t «2 H Ψ n+1 = 1 i t «2 H Ψ n 2 Ψ x 2 Ψ i+1 2Ψ i + Ψ i 1 x 2 iα 4 Ψn+1 i+1 + (1 + iα 2 )Ψn+1 i iα 4 Ψn+1 i 1 = iα 4 Ψn i+1 + (1 iα 2 )Ψn i + iα 4 Ψn i 1 AΨ n+1 = BΨ n iα 0.25 iα mit A = 0.25 iα iα. B.. A 0.25 iα iα iα und B = A

27 Split-Step Implizite und explizite Methode Nichtlineare Schrödinger-Gleichung

28 Split-Step Nichtlineare Schrödinger-Gleichung Implizite und explizite Methode Ψ(x, t) i = (H w + H 0 + H w )Ψ t 2 mit H 0 = 1 2 und H x 2 w = 1 2 (V (x) + g Ψ 2 )

29 Split-Step Nichtlineare Schrödinger-Gleichung Implizite und explizite Methode Ψ(x, t) i = (H w + H 0 + H w )Ψ t 2 mit H 0 = 1 2 und H x 2 w = 1 2 (V (x) + g Ψ 2 ) Quantentheorie: Zeitliche Entwicklung der Quantenzustände durch Zeitentwicklungsoperator U Ψ(t) = U(t t 0 )Ψ(t 0 ) = e i(t t 0)H Ψ(t 0 ) ABER, Nur für zeitlich Konstanten H Infinitesimalen Zeitentwicklung t t + t H const.

30 Split-Step Nichtlineare Schrödinger-Gleichung Implizite und explizite Methode Ψ(x, t) i = (H w + H 0 + H w )Ψ t 2 mit H 0 = 1 2 und H x 2 w = 1 2 (V (x) + g Ψ 2 ) Quantentheorie: Zeitliche Entwicklung der Quantenzustände durch Zeitentwicklungsoperator U Ψ(t) = U(t t 0 )Ψ(t 0 ) = e i(t t 0)H Ψ(t 0 ) ABER, Nur für zeitlich Konstanten H Infinitesimalen Zeitentwicklung t t + t H const. Ψ(t + t) = e i t Hw e i t H0 e i t Hw Ψ(t)

31 split-step Implizite und explizite Methode 3 Schritte für die infinitesimale Zeitentwicklung 1 Ψ n+ 1 3 = e i t Hw ψ n 2 Ψ n+ 2 3 = e i t H 0 ψ n Ψ n+1 = e i t Hw ψ n+ 2 3

32 split-step Implizite und explizite Methode 3 Schritte für die infinitesimale Zeitentwicklung 1 Ψ n+ 1 3 = e i t Hw ψ n 2 Ψ n+ 2 3 = e i t H 0 ψ n Ψ n+1 = e i t Hw ψ n Schritt: Taylorentwicklung der exp. Funktion Ψ n+ 2 3 = (1 i th 0 )Ψ n+ 1 3 Ψ n+ 2 3 Ψ n+ 1 3 t = ih 0 Ψ n+ 1 3 AΨ n+ 2 3 = BΨ n+ 1 3

33 Nummerische Fehler Implizite und explizite Methode

34 Rechenaufwand Implizite und explizite Methode

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