Hauptseminar in Theoretischer Physik: Nichtlineare und nicht-hermitesche Quantendynamik Sommersemester 2012

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1 Hauptseminar in Theoretischer Physik: Nichtlineare und nicht-hermitesche Quantendynamik Sommersemester 2012 Newton-Schrödinger-Theorie: Grundlagen und objektive Zustandsreduktion Sergey Gelhorn 1

2 Outline Frage der Zustandsreduktion in der Quantenmechanik o Kollaps der Wellenfunktion o Schrödingerkatze o Nichtlokalität o Interpretationen der Zustandsreduktion Quantengravitation o Newton-Schrödinger-Gleichung o Bohr-Sommerfeld-Quantisierung o Objektive Zustandsreduktion nach Penrose 2

3 Zustandsreduktion bei quantenmechanischer Messung: Ein quantenmechanisches Teilchen kann an mehreren Orten gleichzeitig sein, z. B. kann ein Photon oder ein Elektron beim Durchfliegen durch Doppelspalt mit sich selbst interferieren, als wäre er durch beide Spalten durchgeflogen. Man beschreibt Teilchen in Quantenmechanik durch eine Wellenfunktion und macht damit gute Vorhersagen über Entwicklung des Systems, die Wellenfunktion kann jedoch nicht gemessen werden, sie kollabiert bei der Messung. vor der Messung nach der Messung Zustand: Wellenfunktion ψ Wellenfunktion kollabiert Wahrscheinlichkeit: P(x) = ψ(x) 2 1 am Ort der Messung, sonst 0 Kollaps der Wellenfunktion ist nicht determistisch (Ausgang ist nicht genau bekannt) und nicht reversibel (zeitassymetrisch) 3

4 Schrödingerkatze Abb: Schrödingerkatze, [Penrose 1999] Im verschlossenen System (Kasten), kann Zustand Katze = w lebendig +z tod Man misst aber nach dem Öffnen entweder Katze = lebendig oder Katze = tod 4

5 Nichtlokalität der Zustandsreduktion: Bei verschränkten räumlich getrennten Teilchen, z.b. Ψ = 1 2 ( ) Polarisationsmessung bei Teilchen 1 führt zu sofortigen Zustandsreduktion auch bei Teilchen 2 unabhängig von Teilchenabstand: Einstein: Spukhafte Fernwirkung Zwei Ereignisse sind füreinander nicht lokal, wenn sie nicht durch einen Lichtstrahl verbunden werden können Instantanität des Kollaps der Wellenfunktion verstößt gegen Lokalität. Zustandsreduktion ist nichtlokal 5

6 Messproblem: Zustandsreduktion 6

7 Wie kommt es zum Kollaps der Wellenfunktion? 1. Kopenhagener Deutung Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung. Zustandsreduktion ist nicht durch einen physikalischen Prozess, sondern durch Wissensveränderungen begründet 2. Mechanismus der Dekohärenz (Verlust der Kohärenzeigenschaften) Durch Wechselwirkung mit Umgebung (Stöße) gehen interne Phasenbeziehungen verloren, Interferenz kann nicht mehr beobachtet werden. BEC ist ein quantenmechanischer Zustand, da nur kleine Stoßrate bei tiefer Temperatur. Abb: Thermisches Licht kann nicht mit sich selbst interferieren, da Kohärenzzeit zu kurz ist. 7

8 Wie kommt es zum Kollaps der Wellenfunktion? 3. Vielewelten-Interpretation Mehrere Zustände existieren gleichzeitig in parallelen Welten. 4. Verborgene Variablen Messergebniss ist durch verborgene Variablen bestimmt, die noch nicht bekannt sind Diese Hypothese wurde durch Korrelationsmessung bei Bell-Zuständen widerlegt 5. Quantengravitation nach Penrose 8

9 Idee von Penrose: Gravitation ist für die Zustandsreduktion verantwortlich Motivation: ART und Quantenmechanik miteinander zu verheiraten Abb: aus Schrödinger s cat in Space 9

10 Lokalisierung durch Quantengravitation: Abb: Freies Teilchen in Minkowksi- und allgemeiner Metrik: Selbstwechselwirkung durch Raumkrümmung 10

11 Newton-Schrödinger Gleichung - Einteilchenproblem: iħ t ψ = ħ2 2m 2 mφ x ψ 2 Φ = 4πGρ Φ = G m x x ψ x 2 d 3 x Substitution: ψ = αs, E Φ = βu α = ħ 8πGm 3 1 2, β = ħ 2 2m Führt auf: 2 S = SU 2 U = S 2 11

12 Radial-symmetrische Lösungen: (s-wellen-lösungen) 2 S = SU 2 U = S 2 2 r rs = rsu 2 r ru = rs 2 r S 0 = 0 r U 0 = 0 Lösungen bestimmen durch Variation von S(0), U(0). Man kann U(0) = 1 festhalten und nur S(0)/U(0) variieren und danach mit der Normierungsbedingung ψ 2 d 3 x = 1 den Wert für U(0) bestimmen: Abb.: S(r) für Unterschiedliche Genauigkeiten des Startwertes, Bestimmung durch Halbierungsverfahren: 12

13 Abb: Normierter Grundzustand und zweiter angeregter Zustand [Greiner 2005] Echte Längenskala: m r Si r Si = ħ2 m 3 G r für r = 1 m proton Lj m proton meter m proton meter 13

14 Wirkungsintegral nach Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: W = p r dr = 2 r U p r dr 0 = h n + μ p = ħ U = 2m E Φ, U r U = 0 Tab: Test der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung Abb:μ aufgetragen gegen 1 n 14

15 λ c = ħ mc Feinstrukturkonstante α Bohrradius a = 1 α λ c Rydbergenergie R = 1 2 α2 mc 2 R e = 1 2 Energieniveaus: Atomphysik α e = 1 e 2 4πε 0 ħc a e = 4πε 0ħ 2 e 2 m me 4 Gravitative Atomphysik 1 4πε 0 G, e m α G = G m2 ħc a G = Għ2 4πε 0 ħ 2 R G = 1 2 m 3 m 5 Għ 2 Für 1 r Potential gilt: E n = R G n + μ 2 Man findet aus numerischen Lösungen: E n = κ R G n+μ 2 κ = , μ = Abb: E n /R G aufgetragen gegen n 15

16 Quantendefekttheorie: Wirkungsintegral W C für Coulombförmiges Potential V C = Gm 2 U C = 2m ħ E Gm 2 r, r U = Gm 2 E r r W C = 2ħ U U C dr 0 = Gm 3 2mE Zusatzterm W Kr durch kurzreichweitige Abweichung vom Coulombförmigen Potential W = W C + W Kr = Gm 3 2mE + W Kr = 2πħ(n + μ) Numerische Rechnung zeigt: W Kr = c n + 1 c = 8.1ħ Gm 3 2mE + c n + 1 = 2πħ(n + μ) E = G2 m 5 1 ħ 2 1 c 2 μ c n h h 1 c h = 1 c h R G 2 n μ κ = 1 c h 2 = (in guter Übereinstimmung zu gefundenen Werten) 16

17 Größenordnung für Energien und Radien: m elektron m proton 1 kg Rydbergenergie R G ev ev J Bohrradius a G m m m Vergleich: 1kg c 2 = J J = R G 1kg Plancksche Masse m Pl = ħc G = kg R G m Pl = 1 2 m Plc 2 = GeV Für m = kg = m proton R G (m) = 1eV 17

18 Objektive Zustandsreduktion nach Penrose : Da keine Überlagerungszustände, sondern ein definierter Zustand bei makroskopischen Objekten gemessen wird, liegt die Idee nahe, einen gravitativen Effekt als Ursache der Zustandsreduktion zu vermuten. 18

19 Schrödingerkatze mit Gravitation: 19

20 Jede Masse für sich deformiert für sich ihre flache Raum-Zeit: 20

21 Killing-vektorfelder T(r ) stehen senkrecht auf Raum-Zeit-Manifaltigkeit. Für einen stationären Zustand existiert ein zeitartiger Killing-Vektor in Richtung dx 0 = c dt Zeitartiger Killing-Vektor ersetzt die Zeitableitung: iħ t ψ iħt ψ [Penrose 1999] Kovariazionsprinzip der ART verbietet punkt- weise Identifikation verschiedener Raumzeiten Bei Superposition nicht wohl definiert: - Kausalität - Killing-Vektorfelder - Stationarität? - Energie? [Wunner 2001] Abb: Killingvektorfelder bei Superposition Abb: Killingvektorfeld für gekrümmte Raumzeit 21

22 Gravitative Unschärfe: Minkowski-Metrik: g 00 = 1 + 2Φ 2, Φ ist Newton Potential c Für jede Position n wird eigenes Gravitationspotential und eigene Raumzeit erzeugt, in dem eine Testmasse Beschleunigung f n erfahren würde. Man definiert daher als Energieunschärfe: 1. ΔE = 1 f G 2 f 2 1 d 3 x Mit Φ i = f i in ΔE = 1 Φ G 2 Φ 2 1 d 3 x = 1 Φ G 2 Φ 1 Φ 2 Φ 1 d 3 x Partielle Integration von 2. : 3. ΔE = 1 Φ G 2 Φ 1 2 Φ 2 Φ 1 d 3 x Φ(y) = G ρ x x y d3 x ; 2 Φ i = 4πGρ i in 3.: 4. ΔE = 4πG ρ 1 x ρ 2 x ρ 1 y ρ 1 y x y d 3 xd 3 y 22

23 Abschätzung für Lebensdauer: ΔE = 4πG ρ 1 x ρ 2 x x y ρ 1 y ρ 1 y d 3 x d 3 y Ansatz ρ 1 = mδ x ; ρ 2 = mδ x + d (Punktförmige Masse an Position 0 oder d ) ΔE = 4πGm2 d Δt = ħ ΔE = ħd 4πGm 2 Lebensdauer ΔT eines Überlagerungszustands: m [kg] d [m] ΔT [s] Kommentar Elektron mit d = a B Nukleon mit d = a B Wassertropfen mit r = 10 7 m, berührend Wassertropfen mit r = 10 5 m, berührend 23

24 Versuch für einen experimentellen Nachweis: Um die Dekohärenz durch Stöße zu vermeiden und gravitative Dekohärenz zu messen, sollte Verhältnis Q/Tzwischen Resonatorgüte Qund Temperatur T um Faktor 10 6 verbessert werden. 24

25 Literaturliste [Greiner 2005] Daniel Greiner: Semiklassische Lösungen der Newton-Schrödinger-Gleichung, Diplomarbeit, 2005 [Penrose 1996] R. Penrose: On Gravity's Role in Quantum State Reduction [Penrose 1998] I. Moroz, R. Penrose, P. Tod: Spherically-symmetric solutions of the Schrödinger-Newton equations, in Class. Quantum Grav., 1998 [Penrose 1999] R. Penrose: Schrodinger s Cat in Space, Vortrag, Pennsylvania State University, 1999 [Penrose 1999/2] R. Penrose: Quantum State reduction as a real phenomenon, Vortrag, Isaac Newton Institute, [Wunner 2001] G. Wunner: Brauchen wir eine neue Quantenmechanik? Antrittsvorlesung, Universität Stuttgart, 2001 [Marshall 2003] W Marshall: Towards Quantum Superpositions of a Mirror 25