Wellenfunktion. Kapitel Schrödinger - Gleichung

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1 Kapitel 1 Wellenfunktion Diejenigen, die nicht schockiert sind, wenn sie zum ersten mal mit Quantenmechanik zu tun haben,habensie nicht verstanden. ( If you are not confusedby quantum physics then you have not really understood it.) Niels Bohr I am still confused, but on a higher level. Enrico Fermi Ich denke, man kann mit Sicherheit sagen, dass niemand Quantenmechanik versteht. ( I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.) Richard Feynman Ich mag sie nicht, und es tut mir leid, jemals etwas damit zu tun gehabt zu haben. Erwin Schrödinger über Quantenmechanik. 1.1 Schrödinger - Gleichung Eindimensionale Bewegung, Teilchen Masse m, vorgegebene Kraft F(t) = V x Weiter: nur konservative Systeme, weil alle mikroskopische Systeme konservativ sind! Klassische Mechanik: Hauptaufgabe der Mechanik: Position des Teilchens zur beliebigen Zeit zu bestimmen: x(0),v(0) = m d2 x 2 = V = x(t) x Dann wissen wir alle dynamische Grössen: x(t) = v = dx = p = T = mv2 2 1

2 Quantenmechanik: das Problem wird anders gelöst Dem Teilchen wird die komplexe Wellenfunktion Ψ(x, t) zugeordnet (bitte Ψ und ψ unterscheiden). Die ist die Lösung der Schrödinger Gleichung i h Ψ t = h2 2 Ψ 2m x 2 +VΨ V: Potentielle Energie (nicht pot.energie, nicht elektrisches Potential) Ladung Planksche Konstante h quer (Plancksches Wirkungsquantum): h = h 2π = J s, die konstante hat die Dimension von Energie mal Zeit. 1.2 Statistische Interpretation der Wellenfunktion Nach Max Born, 1926 Komplexe Funktion Ψ(x, t) (i.a: Ψ( r, t)) heisst Wellenfunktion oder Zustandsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsamplitude. Integral b a Ψ(x,t) 2 dx = b a Ψ Ψdx ist die Wahrscheinlichkeit, ein quantenmechanisches Teilchen bei einer Ortsmessung zum Zeitpunkt t zwischen a und b zu finden = Fläche Ψ 2 Fläche a b x = QM gibt nur statistische Informationen über mögliche Messergebnisse 2

3 Statistische Beschreibung mittels Wellenfunktion bedeutet dass in der QM keine Bahnen gibt! (Keine deterministische Beschreibung!) Messung ändert den Zustand = ändert Ψ gleich nach der Messung (z.b. Teilchen bei x = c gefunden, s. Abb. n. Seite.) c x Statistische Interpretaion der QM war nie unumstritten. Albert Einstein: Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Liebe Gott mit Wuerfeln spielt! Niels Henrik David Bohr: Einstein, schreiben Sie Gott nicht vor, was er zu tun hat. Also: die Messung liefert x = c. Die Frage: wo war das Teilchen gleich vor der Messung? Drei mögliche Varianten das zu beantworten: 1. Antwort eines Realisten: das Teilchen war im Punkt c (Einstein). Wenn es so wäre, dann wäre die Quantenmechanik keine komplette Theorie. D.h.: Wellenfunktion reicht nicht um das Teilchen zu beschreiben, es gibt eine verborgene Variable. 2. Orthodox Antwort: das Teilchen war nirgendwo (Kopenhagener Deutung, Bohr und andere). Nur die Messung zwingt das Teilchen den Stand (ein bestimmten Wert der Koordinate) zu nehmen. 3. Antwort eines Agnostikers: macht kein Sinn dass zu besprechen (Pauli). John Bell, 1964: das kann man experimentell verifizieren!! Experimente zeigen dass es keiner verborgene Variable gibt und die Antwort 2 richtig ist. (Darüber später.) 3

4 1.3 Schrödinger - Gleichung: Motivation Nach de Broglie: p = hk k = 2π/λ E = hν = hω Ein Teilchen entspricht ein Wellenpaket, das sich als Superposition ebener Wellen darstellen lässt. Ebene Welle: e i(kx ωt) = e i(p h x Ē h t) = Ψ(x,t) Wir suchen nach einer Wellengleichung, die de Broglie ebene Wellen als Lösungen hat. Wir berechnen: Ψ t = iē h Ψ = E = i h Ψ Ψ t Ψ x = ip h Ψ 2 Ψ x 2 = p2 h 2Ψ = p2 = h2 2 Ψ Ψ x 2 Wir benutzen und bekommen die Schr.-Gl. E = p2 2m +V 1.4 Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung Diskrete Variablen Beispiel: 14 Leute im Zimmer: 1 Person 14 Jahre alt 1 Person 15 Jahre alt 3 Personen 16 Jahre alt 2 Personen 22 Jahre alt 2 Personen 24 Jahre alt 5 Personen 25 Jahre alt Notation: N(j) ist die Anzahl von Personen, die j Jahre alt sind: N(14) = 1 N(15) = 1 N(16) = 3 N(22) = 2 N(24) = 2 N(25) = 5 4

5 Andere Werte: z.b. N(17) = 0 Histogramme. N = N(j) j=0 Wahrscheinlichkeit P(j) = N(j) N Bemerkungen: 1. W keit eine Person im Alter von 14 oder 15 zu finden ist P(14)+P(15) 2. wahrscheinlichster Wert? entspricht dem Maximum von P(j) P(j) = 1 j=0 3. Medianwert (Zentralwert): Hier 23 (7 Personen jünger, 7 Personen älter). i.a.: W keit einen größeren oder kleineren Wert zu finden ist gleich. 4. Mittelwert (Erwartungswert) jn(j) < j >= = jp(j) N j=0 übliche Notation Erwartungswert ist nicht der wahrscheinlichste Wert!! = Mittelwert von Quadraten 14 2 mit W keit 1/14 u.s.w. < j 2 >= j 2 P(j) j=0 i.a.: < f(j) >= f(j)p(j) j=0 5

6 Wichtig: < j 2 > < j > 2 i.a. zwei Babies, 1 und 3 Jahre alt: < j 2 >= = 5 < j > 2 = Standardabweichung Bild: zwei Histogramme mit dem gleichen Mittelwert j = j < j > Abweichung < j >= (j < j >)P(j) = jp(j) < j > P(j) σ 2 < ( j) 2 > Varianz σ Standardabweichung = < j > < j >= 0 σ 2 = ( j) 2 P(j) = (j < j >) 2 P(j) = (j 2 2j < j > + < j > 2 )P(j) = j 2 P(j) 2 < j > jp(j)+ < j > 2 P(j) = < j 2 > 2 < j >< j > + < j > 2 =< j 2 > < j > 2 0 σ = Kontinuierliche Variablen < j 2 > < j > 2 < j 2 > < j > 2 Z.B.: Alter in Sekunden W keit, dass der Messwert zwischen x und x+dx liegt ist ρ(x)dx Wahrscheinlichkeitsdichte P ab = 1 = b a ρ(x)dx ρ(x)dx 6

7 < x > = < f(x) > = xρ(x)dx f(x)ρ(x)dx σ 2 = < ( x) 2 >=< x 2 > < x > 2 = Var(x) Beispiel: x Stein h Photos gemacht zu zufälligen Zeiten = viele Ortsmessungen Frage: < x >=? (Soll kleiner als h/2 sein.) x(t) = 1 2x dx 2 gt2 = t = = Fallzeit T = 2h/g, g = gt W keit ein Photo im Intervall x,x+dx zu machen (W keit der Ortsmessung) ist Wir schreiben P = ρ(x)dx = dx v = dx gt ρ(x)dx = A dx gt = A dx 2gx, wobei A eine noch unbekannte Normierungskonstante ist. Wir finden A aus der Bedingung h 0 = W keitsdichte: ρ(x)dx = 1 = A h dx = A 2 g h = A = 2g x 2g 2h 0 ρ(x) = g 2h 1 = 1 2gx 2 hx (0 x h) 7

8 ρ(x) 1 2h h x Mittelwert der Ortsmessung: < x >= h 0 xρ(x)dx = h 0 x 1 2 hx dx = 1 2 h (2 3 x3/2 ) h = h 0 3 < x > ist kleiner als h/2, wie erwartet. 1.5 Normierung der Wellenfunktion Ψ(x,t) 2 ist die W keitsdichte, also entspricht ρ. Es soll gelten: Ψ(x,t) 2 dx = 1, sonst wäre die statistische Interpretation sinnlos. Widerspricht das der Schrödingergleichung? Nein: Schrödingergleichung ist linear wenn Ψ eine Lösung ist, dann ist auch AΨ eine Lösung wir können A so wählen, dass die Normierung stimmt, wenn Ψ 2 dx existiert. 1 Dafür soll Ψ(x, t) schneller abfallen als. x Andere Lösungen haben keine physikalische Bedeutung. Wichtige Frage: Angenommen, wir haben Ψ zur Zeit t = 0 normiert. 8

9 Bleibt Ψ mit der Zeitentwicklung normiert? Antwort: ja Beweis: Ψ 2 dx ist eine Zeitfunktion Wir berechnen d Ψ 2 dx = t Ψ(x,t) 2 dx t Ψ 2 = t (Ψ Ψ) = Ψ Ψ t + Ψ t Ψ Aus der Schrödinger Gleichung folgt: Komplex konjugiert: Ψ t = i h 2 Ψ 2m x 2 ī h VΨ Ψ t = i h 2 Ψ 2m x 2 + ī h VΨ (wir ersetzen i i) t Ψ 2 = Ψ i h 2 Ψ 2m x 2 ī h VΨΨ Ψ i h 2 Ψ 2m x 2 + ī h VΨΨ Letztendlich = i h 2m (Ψ 2 Ψ x 2 2 Ψ x 2 Ψ) = [ i h x 2m (Ψ Ψ x Ψ ] x Ψ) (wird auch weiter benutzt) d Ψ 2 dx = i h 2m (Ψ Ψ x Ψ x Ψ) Normierungsbedingung: Ψ 0 wenn x ± d Ψ 2 dx = 0 Integral ist konstant Normierung bleibt erhalten 9

10 1.6 Impuls Mittelwert bei einer Ortsmessung: Was bedeutet es? < x >= x Ψ(x,t) 2 dx Es bedeutet nicht dass wenn wir x wieder und wieder messen, der Mittelwert der Ergebnisse x Ψ 2 dx ist. Nein: Messung ändert Ψ (macht δ-funktion) < x > ist Ensemblemittelung, d.h. wir haben viele Teilchen, die gleiche Ψ haben und messen die Koordinaten von allen. Wie ändert sich < x > mit der Zeit? d < x > Wir integrieren partiell: d < x > = x t Ψ 2 } {{ } dx schon berechnet! = i h x 2m x (Ψ Ψ x Ψ x Ψ)dx = i h (Ψ Ψ 2m x Ψ x i h Ψ)dx+ 2m x(ψ Ψ x Ψ x Ψ) } {{ } =0 d < x > = i h 2m Ψ Ψ i h dx+ Ψ Ψ x 2m x dx } {{ } (weil Ψ 0,x ± ) d < x > = i h m i h 2m Ψ x Ψ dx+ψψ } {{ } =0 Ψ Ψ x dx 10

11 Es ist nicht die Geschwindigkeit des Teilchens, es ist die Geschwindigkeit des Mittelwertes. Postulat: (Beweis später) Mittelwert der Geschwindigkeit < v >= d < x > = Impuls < p >= m < v >= i h (Ψ Ψ x )dx Wir schreiben < x > und < p > um: < x > = Ψ x Ψdx < p > = Ψ ( i h x ) Ψdx ˆx = x (Ortoperator) ˆp = i h (Impulsoperator) x Um den Mittelwert zu berechen machen wir ein Sandwich : Ψ (Operator) Ψdx Alle klassischen Grössen kann man durch Impulsen und Koordinaten darstellen. z.b.: Energie: T = mv2 2 = p2 2m Drehimpuls: L = r p Dann, für alle Grössen Q(x, p): Z.B.: (Natürlich nicht in einer Dimension) < Q(x,p) >= Ψ ˆQ(x, i h ) Ψdx Beweis später! x < T > = Zeitliche Ableitung des Impulses = h2 2m Ψ [ 1 2m 11 ( i h)2 2 x 2 ] Ψdx Ψ 2 Ψ x 2 dx

12 t (Ψ Ψ x ) = Ψ t [ = i h 2m = i h [ 2m < p >= i h (Ψ Ψ d < p > Ψ x +Ψ t ( Ψ 2 Ψ x 2 + ī h VΨ x )dx = i h t (Ψ Ψ x )dx x ) = Ψ Ψ t x +Ψ ] Ψ x +Ψ x ] Ψ 3 Ψ x 3 2 Ψ Ψ x 2 x Erste [ ] verschwindet bei der Integration: + ī h [ ] Ψ 3 Ψ [ ] 2 Ψ Ψ x 3 dx x 2 dx = Ψ 2 Ψ x x 2 Berechnen wir zweite [ ]: Ψ x Ψ x x ( Ψ t ) [ i h 2 Ψ 2m x 2 ī ] h VΨ [ VΨ Ψ x Ψ x (VΨ) ] Ψ 2 Ψ + x x 2 dx = 0 VΨ Ψ x Ψ V Ψ x Ψ V x Ψ = Ψ V x Ψ d < p > = i h ī h Ehrenfestsches Theorem (zur Zeit ohne Beweis): Ψ V V x Ψdx = x Mittelwerte erfüllen klassische Gesetze. Ψ 2 Ψ x x 2 dx 12

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