PHYSIK. KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 2002 Realgymnasium SCHWERPUNKTFACH PHYSIK UND ANWENDUNGEN DER MATHEMATIK. 180 Minuten

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1 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA Minuten Hilfsmittel: Formelsammlung DMK und der Rechner TI-9 mit Handbuch. Die Lösungen sind ausführlich zu dokumentieren und der Einsatz der Hilfsmittel ist klar anzugeben. Die Physikaufgaben Nr.-3 und die Anwendungen der Mathematik Nr.4-6 sind auf separaten Bögen zu lösen. Die Note 6 wird für 50 Punkte erteilt. PHYSIK. Lichtbrechung ( Punkte) a) Erkläre das Brechungsgesetz on Snellius anhand einer Zeichnung mittels der Huygens schen Wellentheorie für eine Brechung an einer ebenen Grenzfläche zweier Medien mit dem relatien Brechungsindex n =.5. b) Ein Laserstrahl wird durch ein Glasprisma gebrochen. Der Strahl liegt in der Zeichenebene. Das Prisma ist on Luft umgeben (zu behandeln wie Vakuum). Gegeben sind: Winkel zwischen den brechenden Grenzebenen = ε Brechungsindex des Glases = n Einfallswinkel = α. Gesucht sind: Berechnung des Deiationswinkels = Winkel(Einfallsstrahl, Ausfallsstrahl) = δ, Numerische Berechnung on δ für ε = 50.0, n =.48, α = 6.0. b) Für welchen Bereich des Einfallswinkels erfolgt statt Austritt aus der zweiten Grenzfläche dort eine Totalreflexion? Falls der Einfallsstrahl aus dem Winkelbereich oberhalb des Lotes kommt, ist α negati. Die Grenzflächen sind unendlich ausgedehnt zu denken, das heisst der Schnitt der Grenzflächen mit der Zeichenebene ist je eine Halbgerade. k ε α

2 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 PHYSIK. Spannung und Strom mit C, R, L ( Punkte) Zur Zeit t = 0 s ist der Kondensator C geladen, seine Spannung ist U o = +00 V. Der Schalter S wird zur Zeit t = 0 s entweder in die Stellung A gebracht, sodass der Widerstand R in den Stromkreis einbezogen wird, oder in die Stellung B, sodass die Induktiität L (ohne Ohm schen Anteil) in den Stromkreis einbezogen wird. C =.00 µf, R = 50 kω, L = 0.0 H. a) Finde mit den Kirchhoff schen Gesetzen und den grundlegenden elektrischen Beziehungen die Differentialgleichung für den zeitlichen Verlauf der Spannung U C (t) je in den beiden Fällen. Die Stromstärke durch R und die Spannung an R haben bei gleicher Orientierung dasselbe Vorzeichen. Das gilt analog für I L und U L. Löse die Differentialgleichungen unter Verwendung der Anfangsbedingung. b) Erkläre den zeitlichen Verlauf I(t) in den beiden Fällen. Erstelle qualitati korrekte Grafiken dazu. Mache quantitatie Aussagen über Halbwertszeit t H, Frequenz f, Anfangsstrom I o bzw. maximalen Strom I max. Diskutiere den Verlauf I(t) im Vergleich mit U C (t). C - + I(t) Schalter A R U c (t) B L 3. Spezielle Relatiitätstheorie und Quanten (7 Punkte) Ein ruhender Beobachter registriert, dass sich on links ein Objekt A mit Geschwindigkeit A und on rechts ein Objekt B mit Geschwindigkeit B nähern. Beide Objekte senden Lichtquanten aus, die in ihren eigenen Systemen die Wellenlänge λ = 600 nm besitzen. Diese Lichtquanten dienen dem ruhenden Beobachter dazu, die Geschwindigkeit der Objekte A und B zu finden. a) Bestimme A und B als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit c, wenn der Beobachter λ A = 39.8 nm beziehungsweise λ B = nm registriert. b) Welche Geschwindigkeit des Systems B würde ein Beobachter im System A feststellen? c) Bestimme den Impuls, die Energie in ev und die Ruhmasse eines beschriebenen auf das Ruhsystem auftreffenden Lichtquantes on A, registriert im Ruhsystem.

3 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA Komplexe Funktion (0 Punkte) Gegeben ist die komplexe Funktion f : z w mit w = f(z) = i z z + für z C und die Zahlenmenge M: ={ z ( + i) z + ( - i) z + = 0 }. a) Bestimme und zeichne die Menge M in der komplexen Ebene. b) Bestimme das Bild on M und stelle es in der komplexen Ebene dar (Einheit Häuschenlängen). 5. Differentialgleichung (0 Punkte) Gegeben ist die inhomogene Differentialgleichung: xy y x = 0. Berechne für x > 0 a) die Lösung der homogenen Differentialgleichung xy y = 0 mit Separation der Variablen. b) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit Variation der Konstanten. c) die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. d) die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung für y() =. 6. Statistischer Test (0 Punkte) Von zwei neuen Futtermitteln A und B soll B angeblich besser nähren als das A. Um diese Behauptung zu überprüfen wurden zwei zufällig gebildete Gruppen on Ratten während 60 Tagen mit dem Futter A bzw. B gefüttert und danach die Endgewichte (in g) bestimmt. a) Formuliere die allgemeinen Hypothesen. b) Ein erstes Experiment wurde mit den Stichprobenumfängen n A = 4 und n B = 5 durchgeführt und ergab die folgenden Endgewichte: A B Bestimme unter der Annahme der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit, dass die Rangsumme für die Gruppe A kleiner gleich k ist für k = 0,,, 3, 4 d.h. P(R A k). Führe damit den Rangsummentest on Wilcoxon-Mann-Whitney mit dem Sicherheitsnieau 5% durch. c) Ein Experiment mit den grösseren Stichprobenumfängen n A = und n B = 9 ergab die folgenden Endgewichte: A B Führe den Rangsummentest on Wilcoxon-Mann-Whitney mit dem Sicherheitsnieau 5 % durch. 3

4 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 LÖSUNGEN Physik a) Der Brechungsindex charakterisiert das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeiten des Lichts in den beiden Medien. Hier ist das Verhältnis 3:=.5 Wird ein Punkt der Grenzfläche on einer Wellenfront getroffen, ist er Ausgangspunkt on Elementarwellen. Die Einhüllende der Elementarwellenfronten gleicher Phase bildet die neue Wellenfront. Die Normale auf die Wellenfronten bezeichnet die Ausbreitungsrichtung. Die Wellenfronten bilden Streifenscharen. λ λ sin α =, sin β = d d sin α λ c = = = n sin β λ c b) α k ε β β ε δ α sinα sinβ sinα = n, β = arcsin( ) = n β = ε β = 3.37 α = n, α = arcsin(n sin β ) = 0.0 β sin sin δ = α β + α β = 3.0 4

5 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 LÖSUNGEN Physik c) k ε αmin αmax β β' Bereich : α min max αmax : α = 90, β = arcsin( ) = 4.5 n β = ε β = 7.49 α = arcsin(n sin β ) =.3 α max min < α < α : Strahl im Glas parallel zur zweiten Ebene β ' = 90 ε = 40 α = arcsin(n sin β ) = 7.05 min somit : 7.05 < α <.3 a) Fall A: Anschluss an R Fall B: Anschluss an L Erklärung U C = U R = U U C = U L = U () Maschenregel U C = Spannungsquelle I C = I R = I I C = I L = I () Knotenregel I = U I = R dq = C du U = RC du = U RC du t ln( U) = + ln(a) RC (Var. separiert) U(t=0s)=U o =U max A=U o t RC I = U dq = C du di = UL = Uind L =U C = U = LC d U U = U o e U = Uo cos( ωt) (3) Definition Strom, Ladung (4) Ohm sches Gesetz Induktionsgesetz (3 + 4) (5) Differentialgleichung U = A cos( ωt + ϕ) Lösungsansatz U(t=0s)=U o =U max A=U o,ϕ=0 Anfangsbedingung Lösung U(t) U: Exponentielle Abnahme Entladung des Kondensators Harmonische ungedämpfte Schwingung, Schwingkreis Beschreibung Verhalten U 5

6 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 LÖSUNGEN Physik b) Fall A: Widerstand R Fall B: Induktiität L Erklärung mit (4) folgt: mit (3) folgt: I = I o e t RC I = CUoω sin( ωt) Strom I o = R U o =.0 ma t H = RC ln() = 34.6 ms I(t) nimmt ebenso exponentiell ab I(t) ist zu U(t) proportional CUo Imax = = 4mA, LC ω f = = 356 Hz, T=.8 ms π I(t=0s) = 0 ma I(t) wechselt periodisch mit sin-funktion, I(t) ist zu U(t) ¼ Periode phasenerschoben Anfangsstrom Stromamplitude Halbwertszeit Frequenz Verhalten on I(t) U[V] I[0µA] t H Entladung des Kondensators über den Widerstand. Die Halbwertszeit ist gut ersichtlich. 6

7 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 LÖSUNGEN Physik Der Entladestrom ist in Gegenrichtung zur Kondensatorspannung definiert. Er erreicht seinen Spitzenwert, wenn die Kondensatorspannung 0 ist. Definiert man den Strom in dieselbe Richtung wie die Spannung am Kondensator, so eilt dieser Strom der Kondensatorspannung oraus. I U 3a) Relatiistischer Doppler-Effekt f' f λ = λ' c = c + A = 0.40 c, B = 0.60 c 3b) Relatiistisches Additionstheorem der Geschwindigkeiten + A B = = c AB + c 3c) Impuls: h p = = λ ' hc Energie: E = hf' = λ' A 34 9 Js m = =.69 0 J = 7 3.6eV Ruhmasse: Photonen haben keine Ruhmasse. kgms 7

8 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 LÖSUNGEN Mathematik 4. Komplexe Funktion Gegeben ist die komplexe Funktion f : z w mit w = f(z) = i z z + für z C und die Zahlenmenge M: ={ z ( + i) z + ( - i) z + = 0 }. a) Bestimme und zeichne die Menge M in der komplexen Ebene. b) Bestimme mit der Funktion f das Bild on M und stelle es in der komplexen Ebene dar (Einheit Häuschenlängen). a) x+ i*y -> z i*z^ - *z+->f(z) M: (+i)*z+(-i)*conj(z) + =0 y = x+ Gerade b) f(z) y= x+ -x 4x + +( -4x 3) i u = -x 4x + und = -4x 3 u = -x 4x + x = ¼ *(+3) u = ¼ ( -) = - 8 ( u 3) liegende Parabel Scheitel S (3 / ) nach links geöffnet p = 4 und Brennpunkt F( / ) 5. Differentialgleichung Gegeben ist die inhomogene Differentialgleichung: xy y x = 0. Berechne für x > 0 a) die Lösung der homogenen Differentialgleichung xy y = 0 mit Separation der Variablen. b) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung mit Variation der Konstanten. c) die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. d) die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung für y() =. a) Homogene Differentialgleichung: y' y = x ln y = ln x + a y ( x ) = c x b) Partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: z(x) = c(x) x xz z x = x ( c x + c) cx x= 0 x c (x)x x= 0 c (x) = Eine partikuläre Lösung ist: z(x)= x ln x c) Allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y(x) = cx + z(x) = c x + x ln x x c(x) = ln x d) Bedingung: y() = c + ln () = c = y(x) = x + x ln x 8

9 KANTONSSCHULE LUZERN MATURA 00 LÖSUNGEN Mathematik 6. Statistischer Test Von zwei neuen Futtermitteln A und B soll B angeblich besser nähren als A. Um diese Behauptung zu überprüfen wurden zwei zufällig gebildete Gruppen on Ratten während 60 Tagen mit dem Futter A bzw. B gefüttert und danach die Endgewichte (in g) bestimmt. a) Formuliere die allgemeinen Hypothesen Hypothesen: Annahmen über die theoretische (unbekannte) Verteilungen der Zufallsariablen X und Y Nullhypothese H o Alternatie Hypothese H Die Nullhypothese möchte man erwerfen. Die alternatie Hypothese möchte man annehmen µ A = µ B µ A < µ B b) Ein erstes Experiment wurde mit den Stichprobenumfängen n A =4 und n B = 5 durchgeführt und ergab die folgenden Endgewichte: A B Bestimme unter der Annahme der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit, dass die Rangsumme für die Gruppe A kleiner gleich k ist für k = 0,,, 3, 4 ist, d.h. P(R A k). Führe damit den Rangsummentest on Wilcoxon-Mann-Whitney mit dem Sicherheitsnieau 5% durch = = ++3+7= = = ++4+5= ++4+6= = = = = =4 9 Anzahl Ränge 4 = 6 k P ( R A k ) R A = 3 R B = 3 5% entsprechen % =7*00/ 6 P( T 3) = 5.5% H 0 kann man mit α=5 % nicht erwerfen d.h. Mittelwert on A ist nicht signifikant kleiner als der on B c) Ein Experiment mit den grösseren Stichprobenumfängen n A = und n B = 9 ergab die folgenden Endgewichte: A B Führe den Rangsummentest on Wilcoxon-Mann-Whitney mit dem Sicherheitsnieau 5 % durch. R A = 8 n = A = 8-66=5 R B = 9 n = 9 B = 9-45= = 7 > A =5 H 0 erwerfen d.h. µ A < µ B d.h. Mittelwert on B ist signifikant grösser als der on A 9