Residue Number System und Modulararithmetik

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Waldemar Hauer
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1 Residue Number System und Modulararithmetik Patrick Russell Dresden, 18. Juni 2015

2 Zahlendarstellung RNS Systeme Anwendungsbeispiele Literatur TU Dresden, Folie 2 von 30

3 01 Zahlendarstellung Darstellung von Zahlen als Tupel von Resten in Bezug auf eine vorher definierte Menge teilerfremder Moduli Gewichtete Zahl: Moduli Menge: RNS-Darstellung: Z=(z (k 1), z (k 2),..., z 0 ) (m (n 1),m (n 2),...,m 0 ) (x (n 1), x (n 2),..., x 0 ) x i =Z mod m i = Z mi, 0 x i <m i TU Dresden, Folie 3 von 30

4 Vorzeichenlose RNS Darstellung (5,3,2) R 5 =13mod 5=3 R 3 =13mod 3=1 R 2 =13mod 2=1 [3,1,1] R 5 =8 mod 5=3 R 3 =8 mod 3=2 R 2 =8 mod 2=0 [3,2,0] TU Dresden, Folie 4 von 30

5 Vorzeichenbehaftete RNS Darstellung (5,3,2) R 5 = 13 mod 5=2 R 3 = 13 mod 3=2 R 2 = 13 mod 2=1 [2,2,1] R 5 = 8mod 5=2 R 3 = 8mod 3=1 R 2 = 8mod 2=0 [2,1,0] TU Dresden, Folie 5 von 30

6 Chinese Remainder Theorem (CRT) Bei einer gegebenen teilerfremden Menge an Moduli ist die Menge an Resten für jede Zahl X < M einzigartig, wobei: n M= i=0 m i Beweis: (m (n 1),m (n 2),...,m 0 ) x i = y i X Y Vielfaches von m i X=(x (n 1), x (n 2),..., x 0 ) => x i =X mod m i => X Y Vielfaches von M Y =( y (n 1), y (n 2),..., y 0 ) y i =Y mod m i X oder Y M TU Dresden, Folie 6 von 30

7 Warum RNS? Carry-freie Addition, Subtraktion und Multiplikation durch parallele Abarbeitung einzelner Ziffern Reduzierung der Laufzeit der Operation auf die Laufzeit des langsamsten Modulus Binär (7-Bit) RNS (7,5,3,2) [3,0,0,1] +[6,3,0,0] [2,3,0,1] [011,000,00,1] +[110,011,00,0] [010,011,00,1] TU Dresden, Folie 7 von 30

8 Schwächen Keine einfachen Lösungen für Divisionen, Vergleiche, Überlauferkennung und Vorzeichenerkennung Hoher zeitlicher und räumlicher Overhead durch Konverter und modular rechnende Einheiten RNS (7,5,3,2) [3,0,0,1] +[6,3,0,0] [2,3,0,1] Negativ? Überlauf? TU Dresden, Folie 8 von 30

9 Zahlendarstellung RNS Systeme Anwendungsbeispiele Literatur TU Dresden, Folie 9 von 30

10 02 RNS Systeme TU Dresden, Folie 10 von 30

n 1 X m = j=0 k 1 x j 2 j m m= 2 jp B j m m j=0 = 1 m + 4 m + 16 m

11 Forward Converter Konvertierung in RNS Darstellung Lösung durch Zerlegen der Eingabezahlen Parallele oder serielle Implementierung n 1 X m = j=0 k 1 x j 2 j m m= 2 jp B j m m j=0 = 1 m + 4 m + 16 m + 32 m m = m m m TU Dresden, Folie 11 von 30

12 Forward Converter seriell & bitweise TU Dresden, Folie 12 von 30 [6]

13 Forward Converter parallel & blockweise TU Dresden, Folie 13 von 30 [6]

14 Modulo Addition A+B m = { A+B if A+B<m A +B m otherwise [6] TU Dresden, Folie 14 von 30

15 Modulo Multiplikation Reduktion des Produkts Reduktion der partiellen Produkte Look-Up-Tables TU Dresden, Folie 15 von 30

16 Modulo Multiplikation partielle Reduktion TU Dresden, Folie 16 von 30 [6]

17 Reverse Converter Konvertierung von RNS in konventionelle Darstellung Lösung durch Ausnutzen des Chinese-Remainder-Theorem X=(x (n 1), x (n 2),..., x 0 ) n 1 X= w i x i M M i=0 = (x (n 1),0,...,0)+(0, x (n 2),0,..., 0)+...+(0,...,0, x 0 ) M = x (n 1) (1,0,...,0) M + x (n 2) (0,1,...,0) M x 0 (0,...,0,1) M M TU Dresden, Folie 17 von 30

18 Reverse Converter (CRT) [6] TU Dresden, Folie 18 von 30

19 Wahl der Moduli Menge Teilerfremde Moduli zur Vermeidung von Redundanz Effiziente binäre Darstellung der Ziffern 13: Effizienz 13/16, 17: Effizienz: 17/32 Ausbalanciert: geringe Differenzen zwischen einzelner Moduli verhindern eine Dominanz des größten Modulus Vereinfachung der Implementierung TU Dresden, Folie 19 von 30

20 Moduli Mengen [5] [5] TU Dresden, Folie 20 von 30

21 Zahlendarstellung RNS Systeme Anwendungsbeispiele Literatur TU Dresden, Folie 21 von 30

22 04 Anwendungsbeispiele Anwendungungen dessen vorherrschenden Operationen Additionen, Subtraktionen und Muliplikationen sind High-Speed und Low-Power Systeme Fehlererkennung und -korrektur TU Dresden, Folie 22 von 30

23 RNS Speedup (32-Bit Ripple-Carry-Adder) [3] => Speedup von 28.67/10.77 = 2.66 TU Dresden, Folie 23 von 30

24 FIR-Filter n 1 y(n)= k=0 a k x (n k) TU Dresden, Folie 24 von 30

25 RNS FIR-Filter TU Dresden, Folie 25 von 30

26 Low-Power RNS FIR-Filter Kleinere Betriebsspannung [1] Dual-Voltage Technik Speedup = 1 kein Performance-verlust [1] TU Dresden, Folie 26 von 30

27 One-Hot RNS Darstellung einzelner Ziffern im One-Hot-Code Einfache und schnelle Implementierung der Arithmetik Änderungen reduziert auf Invertieren von maximal zwei Bits TU Dresden, Folie 27 von 30

28 Redundant RNS Zusätzliche redundante Moduli ermöglichen die Erkennung und eventuelle Korrektur von fehlerhaften Ziffern Unabhängige und ungewichtete Ziffern Dezimal RRNS (7,5,3,2) [3,0,0,1] +[6,3,0,1] [2,3,1,0] = => Fehler TU Dresden, Folie 28 von 30

29 Literatur I [1] G.C. Cardarilli, A. Nannarelli and M. Re: Reducing power dissipation in FIR filters using the residue number system, Proceedings of the 43rd IEEE Midwest Symposium on Circuits and System, p , Lansing, USA, Aug [2] Harvey L. Garner: The Residue Number System, IRE Transactions on Electronic Computers, p , June 1959 [3] M. Bhardwaj and A. Balaram: Low power signal processing architectures using residue arithmetic, Proc. Of the 1998 IEEE International Conference on Acoustics, p , Seattle, USA, May 1998 [4] Lie-Liang Yang and L. Hanzo: Redundant residue number system based error correction codes, Vehicular Technology Conference, p , Atlantic City, USA, Oct TU Dresden, Folie 29 von 30

30 Literatur II [5] D. Younes and P. Steffan: A comparative study on different moduli sets in residue number system, International Conference on Computer Systems and Industrial Informatics, p. 1-6, Sharjah, ARE, Dec [6] A. Omondi and B. Premkumar: Residue Number Systems, Theory and Implementation. Imperial College Press, 2007 TU Dresden, Folie 30 von 30

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