Mathematische Modelle in Angewandten Wissenschaften

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Ingrid Arnold
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1 Mathematische Modelle in Angewandten Wissenschaften LVA C. Fuchs Inhaltsübersicht Inhaltsübersicht Diese Lehrveranstaltung dient zur Finalisierung der mathematischen Ausbildung im Lehramtsstudium UF Mathematik. Es werden ausgewählte Themen behandelt, welche eine Brücke zwischen theoretischen Konzepten und Anwendungen darstellen. Gelegentlich werden dabei einige Begriffe wiederholt bzw. neu eingeführt und diskutiert. Der Fokus der Lehrveranstaltung im WS15/16 liegt dabei auf diskreten Modellen. Aspekte, welche Methoden aus der Analysis, der Geometrie oder der Stochastik benötigen, werden hier nicht weiter betrachtet. Hingegen werden Methoden der Algebra, Zahlentheorie und der diskreten Mathematik (insbesondere der Graphentheorie) eingesetzt, um Probleme der realen Welt zu beschreiben (modellieren), zu analysieren und zu bearbeiten. Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen: 1. Phasenfolgen and durch Ampeln geregelte Kreuzungen 2. Projektplanung mittels CPM 3. Gleichgewicht in soziologischen Strukturen 4. Abstimmungsverfahren bei Wahlen 5. Analysis und Entwurf von elektrischen Schaltungen 6. Das DNS-Protein-Codierungsproblem 7. Elemente der Automatentheorie 8. Formale Sprachen und ein aus der Biologie 9. Melodien für Glockenspiele 10. Heiratssysteme 11. Kristallographische Gruppen 12. Zähltheorie und Anwendungen 13. Ausbeutung von Tierpopulationen 14. Simulation von Epidemien Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen; Tippfehler ausgenommen) schicken Sie ein an 1

Es werden ausgewählte Themen behandelt, welche eine Brücke zwischen theoretischen Konzepten und Anwendungen darstellen. Gelegentlich werden dabei einige Begriffe wiederholt bzw.

2 1. Phasenfolge und durch Ampeln geregelte Kreuzungen 1.1 Grundsätzliches zur Fragestellung 1.2 Phase, optimale Phase 1.3 Modell=Graph, Phase=vollständiger Teilgraph, optimale Phase=optimaler Teilgraph 1.4 Lexikographische Ordnung 1.5 Verfahren zur Suche nach einem optimalen Teilgraphen mit erstem Knoten i Verfahren zur Bestimmung aller optimalen Teilgraphen 1.7 Bemerkungen 2. Projektplanung mittels CPM 2.1 Grundsätzliches 2.2 Modell 2.3 Ereignisse, Scheinvorgänge 2.4 Zusammenführungsregeln, (CPM)-Netzplan 2.5 Sortierung der Knoten, Start- und Zielknoten 2.6 Zeitplanung 2.7 kritischer Vorgang, kritischer Weg 2.8 Folgerungen und Verfahren zu Bestimmung der kritischen Wege 3. Gleichgewicht in soziologischen Strukturen 3.1 Grundsätzliches 3.2 Modell 3.3 Graphen mit Vorzeichen, Kantenfolgen, Kreise, soziologische Interpretation 2

6 Verfahren zur Bestimmung aller optimalen Teilgraphen 1.7 Bemerkungen 2. Projektplanung mittels CPM 2.1 Grundsätzliches 2.2 Modell 2.3 Ereignisse, Scheinvorgänge 2.

3 3.4 Gleichgewicht, Stabiltät 3.5 Satz 3.6 Bemerkungen 4. Abstimmungsverfahren bei Wahlen 4.1 Grundsätzliches (HO, Hasse-Diagramm) 4.2 Präferenzrelationen 4.3 e 4.4 Satz 4.5 Satz: Sei (H, ) eine Halbordnung. Gibt es eine Abbildung h : H Z mit a < b h(a) < h(b), so ist (H, ) eine Präferenzordnung. 4.6 Modell für Wahlenentscheidungen 4.7 e 4.8 Forderungen an ein gerechtes Wahlverfahren 4.9 Satz 4.10 Weitere Bemerkungen 5. Analyse und Entwurf von elektrischen Schaltungen 5.1 Boolesche Algebra, Boolesche Funktion 5.2 Zweipolserienparallelschaltung:... sind elektrische Netzwerke mit zwei Endpunkten (Polen), welche sich aus Schaltern durch Anwendung der Grundoperationen Hintereinanderschaltungünd Parallelschaltungäufbauen lassen. Schalter, welche stets denselben Zustand (also geöffnet oder geschlossen) haben, werden mit demselben Buchstaben bezeichnet. Schalter, welche genau dann geöffnet sind, wenn ein Schalter X geschlossen ist, wird mit X bezeichnet. 5.3 Schaltwert, Schaltfunktion (sind Abbildungen von B n 2 B 2 ), Schaltwerttafel 5.4 Schaltungsform, Schaltskizze 5.5 Konjunktive und disjunktive Normalform 5.6 Satz Sei h jene Abbildung, die einer Schaltungsform in X 1,..., X n die zugehörige Schaltfunktion in der booleschen Algebra (Abb(B2 n, B 2 ),,, ) zuordnet. Dann ist h surjektiv und 3

8 Forderungen an ein gerechtes Wahlverfahren 4.9 Satz 4.10 Weitere Bemerkungen 5. Analyse und Entwurf von elektrischen Schaltungen 5.1 Boolesche Algebra, Boolesche Funktion 5.

4 erfüllt h(f 1 F 2 ) = h(f 1 ) h(f 2 ), h(f 1 F 2 ) = h(f 1 ) h(f 2 ), h(x ) = h(x) für alle Schaltungsformen F 1, F 2 und alle Schalter X. 5.7 Äquivalenz von Schaltung 5.8 Analyse und Synthese von Schaltungen 5.9 Verfahren von Quine-McCluskey 5.10 Verfahren nach Karnaugh und Veitch, Karnaugh-Diagramme 9. Melodien für Glockenspiele 9.1 Permutationsgruppe, Zyklenschreibweise, Eigenschaften (jede Permutation lässt sich als Produkt elementfremder Zyklenschreiben, jede Permutation lässt sich als Produkt von Tranpositionen schreiben), Signum, alternierende Gruppe 9.2 Transitivität, Bahnen e: {(1), (12), (34), (12)(34)} ist nicht transitiv, {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ist transitiv. 9.3 Stabilisator und Bahngleichung e 9.4 regulär 9.5 Satz Eine transitive Permutationsgruppe auf einer n-elementigen Menge ist genau dann regulär, wenn ihre Ordnung gleich n ist. 9.6 Erzeuger 9.7 Campanologie, Wechsel, Regeln, Weg einer Glocke 9.8 Modell und Darstellung 9.9 Glockenspiele mit drei Glocken 9.10 Glockenspiele mit vier Glocken 10. Heiratssysteme 10.1 Zur Fragestellung, Heiratsgesetze, Kemeny-Snell-Thompson-Heiratsgesetze 10.2 Modellierung, Heiratsgruppe 10.3 Verwandtschaftspermutation 4

1 Permutationsgruppe, Zyklenschreibweise, Eigenschaften (jede Permutation lässt sich als Produkt elementfremder Zyklenschreiben, jede Permutation lässt sich als Produkt von Tranpositionen schreiben),

5 10.4 irreduzible Gesellschaften 10.5 Satz VI ist genau dann erfüllt, wenn [π, ρ] transitiv ist VII und Fixpunkte 10.7 Satz ü ber Heiratsgesetze 10.8 Satz MBT-Heiraten 10.9 Kinship-Systeme Bestimmung aller Kinship-Systeme für vier Heiratstypen 12. Zähltheorie und Anwendungen 13. Ausbeutung von Tierpopulationen Literatur 1. D. Dorninger, W. Müller: Allgemeine Algebra und Anwendungen, Teubner, D. Dorninger, G. Karigl, W. Timischl: Modelle der Angewandten Wissenschaften (Diskrete Modelle), Vorlesungsskriptum, TU Wien, K.-H. Zimmermann: Diskrete Mathematik, Books on Demand, 2006, ISBN

Ausbeutung von Tierpopulationen Literatur 1. D. Dorninger, W. Müller: Allgemeine Algebra und Anwendungen, Teubner, 1984 2. D. Dorninger, G. Karigl, W.

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