Deckblatt. Fachhochschule München Fakultät 03 FA WS 201l/2012. Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) - Fahrzeugtechnik

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1 Fachhochschule München Fakultät 03 FA WS 201l/2012 Diplomvorprüfung in Mathematik (Lineare Algebra) - Fahrzeugtechnik Arbeitszeit: 90 Minuten,. Hilfsmittel: Formelsammlung, Skripten, Bücher, Taschenrechner Aufgabensteller: Kaltsiclou-Kloster, Mahllke, Pöschl, Sohwarz--emmert, Warenclorf!! WCHTG: Alle RechnUltgen und Ergebllisseauf diesem Arbeitsblatt eintragen!! Das Ergebnis allein zählt llicht.der Rechellweg muss erkennbar sein!! Name: Geb. -Datum Punkte: ~a( /50) Vorname: Stud.- Gruppe Korr: Raum/Platz-Nr: Aufsicht: Note: Deckblatt

2 1 _ 2 Aufgabe 1: (Berechnung Determinante und inverse Matrix) ca ( / 10) Gegeben ist die folgende Matrix: A= :} 0-1 a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A. ca C /4), 'V'""/)'.A! J ' ~"'r1,,'(2) ti.1""", ( - ~,S7t(-? /) -' #~ -!/ 0 " ~ ' ~'v,, -~ (-~): ~Q,d!l, U' /~ -~ '/l... A '/ J "--",,, ),... ("'~.~.' c.:: c"! ~; rr1 [,...""... rl ~t' i...,...,..r" c:: C~(:.J{' r:) i sl::?{lfe g djj.jvta~.. j) ;.?J- (~A~)~"(;j- ) ' /,/ 2

3 3 Fortsetzung Aufg~lbe 1 b) Berechnen Sie die nverse von B: B- 1 ca ( /6 ) Jhl~ 0 1 ~J ::::Y d,k'..~ ~--.' -1 'J~, /t, +! /,:"2) //.--"",,/ i--!././ o o "'1! - J j;... o -/t ) (.~ "'.2 :.:1' Ji...!.t.1 r-",' ~....'. 2:2 /) C!. / ", /'"") ::: 'f',..i..,...' / '1 ' - C..~) () F,.-, ) (,").,"'f 1..., i- 'M-.- i [ t,;~:, n /) "'( L.,// ;', > - -, ",.., ) (,'1 "" i... t!...., " '-" t,. " '3 (..,) i.;.:+ ( j } 1--,/ " f..j k-u..''{",. 3.,A J~r{..'./' '",,.i

4 4 Aufgabe 2: Line~lres Gleichungssystem mit Parameter ca ( /9) Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit dem Parameter a: + X2 + X3 + X2 + X3 + X2 + ax3 a 2 4 Für welche Werte des reellen Parameters a besitzt das lineare Gleichungssystem a) keine Lösung? b) unendlich viele Lösungen? c) gehau eine Lösung? d) Man berechne die Lösungen für den Fall c). i ' (~..2) ;, j.,...~""..; J,.,.r~ {~:/''.. i.~ ~,1 J! ) /"" '. _.~ r~-"'~_.._ ",:r-".r!,:.~. i ',,:"...~"~.~! /'" 4

5 5 Rechenseite für Aufgabe 2. :-.-. }~ (~jl! h "-.} _.._.._.-_._.-~--_....~/ {'''/./ 1,'.,... } )/ l ['" " ;.-~"l --...,/ ;...::~ , _.---._.n~_'~::~:~:;"-_.-...t-'" 5

6 6 Aufgabe 3: (Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix, ( /10) inverse Matrix," Diagonalmatrix, Ällnlichkeitstransformation), (0 0 0) Gegeben ist die Matrix A = ' 1 0, a) Berechnen Sie die Eigenwerte /"1' /'2 und /"3 von A. o o 3) ' f ('..-/,' {.,'. ( /2) A -"..',""t Ä - / - ''' ' 3 b) Berechnen Sie alle Eigenvektoren der MatrixA zu denjeweiligen Eigenwerten und geben Sie drei linear unabhängige Eigenvektoren e 1, e 2 und e 3 von A ~nnonnierter Darstellung an. (Wenn Sie die Eigenwelie und Eigenvektoren nicht ermitteln konnten, bearbeiten Sie die nachfolgenden Teilaufgaben ohne Einsetzen von konkreten Werten) ( /3) X ',9..,:< 6 >~.

7 7 Fortsetzung Aufgabe 3: c) Genau eine der folgenden drei Vektorsummen ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Markieren Sie die Vektorsumme mit dieser Eigenschaft: e 1 + e 2) _"? -"'7 (1R --"7 -:';;- / 'j/r;: --> -i> (/0. Cl + e. 3.~e,f ej,)::'..,/.,..,~ 'J; e +8:;.. r".--'.. '......'.1, e +e.:; "'} 1' tf ~. r 2, 7:, 1. * '"":1 -.J,,/,...,.. f,.' r. - e 2 e 3 -; ').- ', ;.,.'..<':!./ ~ f -.,; V Ci t". '( (.,' Bestätigen Sie hre Behauptung durch Ausführung einer geeigneten Multiplikation mit A ( /2), la.1 c t'". (!;,);..;.:~,.;:'. ~/ L r ",. 1'"-,,,,,, 2) ~'2 :-)/' d) Geben Sie folgende Welie oder Matrizen an oder begründen Sie, warum diese nicht existieren: (Hinweis: dies ist ohne weitere große Berechnungen möglich) ( /3) _ Die Determinante von A ~ej A =-0 U.;r-f,:,,~L A 0,,1", e )J&L.~,.eherr. D. d' M'- A-1,L,..1 /. ' / t,..~ch.,.f.l: t ;~ (.'~ A. - (,rr) - D le eterml11ante er l11versen atnx 8 "')c.l..] bl ".t...ar. ""~' _.J'..." t,... -v f, -.J.. },~), / - Eine zur Matrix A ähnliche Diagonalmatrix D und eine zugehörige Transformationsmatrix P diev J AP = Derfüllt.. (Produkt muss nicht nachgeprüft werden- o Aufgabe 4: Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit von Vektoren ca ( /8). /")./' T j,~._..,:, (./ "J, Jr,>" i... ;~L~.. t! r ). _~.lf' ;!">..<.~. i).' "- {' Gegeben ist das folgende Parallelogramm, welches von den Vektoren 7

8 8 ä = AB und E = BC aufgespannt wird. Die Strecke FC hat die Länge Fe = 0,2.E, EB die Länge EB = 0,25 'äl a) Drücken Sie die Vektoren AF und DE durch die Vektoren ä und baus. -> AF _~> --;ww:::;' CL + b G -~ ---~ -> - 1~D -+ AB.+ S ' ---~ "-r U..l;-'C:{) J ',./.~.'" ca ( /2) ->. - tc;> (~ Lösen Sie durch Überlegen (ohne Rechnung): ca ( /2) 8

9 9 Welchen Vektor ergibt /-,.AF ~ AE + 0:. DE '7 Markieren Sie diese Beziehung in der Grafik.....s '-" -'.....?' J.. ". r'-:.16- r " ::..... c). Nutzen Sie die lineare Unabhängigkeit von ä und baus, ca ( /2) ~~> At~ b -") -~( -' (-' 0 l'-s"'i]...j-. (1' 0- )j~ -f.. D. () f-s' ' - v '---e.---..f--.---j - (1/:,./! V {J,/F~. F ''7'--' (':/ J.., _../ 'i,~.. j;~= Fortsetzung Aufgabe 4 =-0 &.::::::.0?j::=O d) n welchem Verhältnis AM: kf teilt DE die Strecke AF?. ca ( / 2) 9

10 i,,/.-: r..., " ~f""" i!,,' ' JO rf'~' " r "" -, i "!,,- ", j/1'-"-~' ,...,..~.. '----f' l;if '._. -- /_.l.' /11 -', / ;..'" r -, r-.. ) r f" r-' )~....-,- J r / "";_':'/'"".'.,...}."'"'-, -,! U v,''-'' '---~----._-- u :~... ;,' ",,.,";.', C),.> v C' _.' 1/ c,..,. ~.' /,,: { -r Aufga be 5: (Ha uptachsentransformation) ca ( /13)' Gegeben ist die folgende Kurve 2. Ordnung: 10

11 J 32 x x x x 9 x'' + 12 x = _. 5 "5 2 a) Ermitteln Sie mithilfe der Hauptachsentransformation Ali und Lage des Kegelschnittes. Zeichnen Sie (Teil b) die Kurve im gegebenen Ausgangskoordinatensystem. Hinweis: Die Kurve ist nur gedreht, nicht verschoben.. ( /9)! '~'j ~. ':.- / ~. ~-2.5' -/ '-.. ", ~J. 1"~ r:l t~'."~. t"- l~_"",.... :,... ) A id 0 ) ~ <::..., ')1 '. --,. - -".' / ~., ()- ~;;:o/ -,...., f) C:j" ~-' --~ -.,.,e -+ i~ - /1" c; "'1- C) -:.---- /',";.~:; l:? c:...,,/ ')l p:.:......~!_l,:) - -'...~~) :~r 1'1./}"<>-:. t.,.,., "",'...,. 32' k~'.,.< /.r " ~.)2;) >< ::. r')?~. V).. -..,.;;~. ( _..~~'.//r; L/5 / ]

12 12 _':->,< (~ :=' (.':;{'( r.r v) '2 jl Ci () 6, i ~> b= _. ~ -;>.~~../' _;1~4> (~ --0 t~ ~J - "') <:-, Fortsetzung Aufgabe 5: b) Zeichnen Sie die Lage des transfon'niertenachsensystems im Xj,X2 System und zeichnen Sie den Graphen der Kurve (Maßstab 1 LE = 1 Cl11). ( / 4 ) 12

13 " l. 13 Fortsetzung Aufgabe 5: b) Zeichnen Sie die Lage des transformierten Achsensystems im X,X2 Systel11lll1d zeichnen Sieden Graphen eier Kurve (Maßstab 1 LE = 1 cm). ( / 4 ) //' ///... ~/ 'v/ /:). // -,../~.....,,:.;. ", ~:.) ""~~,- ""'--".'" / 13