Übungsaufgaben (Einführung in die Mathematik 1)

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1 Übungsaufgaben (Einführung in die Mathematik ) Paul Bergold, Oliver Deiser und Caroline Lasser 3. Januar 209 Bitte drucken Sie für die Übungen das entsprechende Aufgabenblatt für sich aus.

2 Blatt Übungsaufgabe 2 aus. Sei f : R R eine Funktion. Es gebe eine Konstante c R mit der Eigenschaft (+) Für alle x, y R mit x y ist f(x) f(y) x y = c. Zeigen Sie, dass f eine Gerade ist. Betrachten Sie nun die schwächere Eigenschaft (++) Für alle x R ist f(x + ) f(x) = Folgt hieraus ebenfalls, dass f eine Gerade ist? f(x + ) f(x) = c. Übungsaufgabe 3 aus.2 Seien f, g : R R Parabeln, die dieselben Nullstellen x, x 2 mit x x 2 und zudem denselben Scheitelpunkt besitzen. Zeigen Sie, dass f = g. Zusatzaufgabe Lesen Sie Anhang 5 Grundlagen über reelle Funktionen. 2

3 Blatt 2 Übungsaufgabe aus.3 Seien b, c, d R und seien x, x 2, x 3 die Nullstellen von x 3 + bx 2 + cx + d. Zeigen Sie: x + x 2 + x 3 = b, x x 2 + x 2 x 3 + x x 3 = c x x 2 x 3 = d. Übungsaufgabe 6 aus.4 Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung für (a) (b) (c) (x )x(x + ) (x + )(2x 3 + ) 6 x(x + )(x + 2)(x + 3) (d) (x 2 + x + )(2x 2 + x + ) ( = ax + b x 2 + x + + cx + d ) 2x 2 + x + 3

4 Blatt 3 Übungsaufgabe 4 aus.5 Zeigen Sie mit Hilfe des Additionstheorems für alle x R:. exp(nx) = exp(x) n für alle n N, 2. exp( nx) = exp(x) n für alle n N, 3. exp(n/m x) = m exp(x) n für alle n Z, m. Übungsaufgabe 9 aus.5 Skizzieren Sie die Funktionen exp a : R R und log a :]0, [ R für einige Basen a, sodass der von der Basis abhängige qualitative Verlauf deutlich wird. 4

5 Blatt 4 Übungsaufgabe 5 aus.6 Zeigen Sie, dass für alle x R unter der Voraussetzung der Definiertheit die folgenden Halbwinkelformeln gelten: (a) (b) (c) cos 2 (x/2) = + cos x, 2 sin 2 (x/2) = cos x, 2 tan(x/2) = cos x sin x = sin x + cos x. Welche Vorzeichen sind beim Wurzelziehen in (a) und (b) abhängig von x zu wählen? Übungsaufgabe aus.7 Zeigen Sie, dass für alle x im Definitionsbereich der Funktionen gilt: (a) arcsin( x) = arcsin(x), (b) arccos( x) = π arccos(x), (c) arccos(x) + arcsin(x) = π. 2 Illustrieren Sie die Formeln durch Diagramme am Einheitskreis. 5

6 Blatt 5 Übungsaufgabe 2 aus 2. Sei f : R R mit f(x) = x 2 für alle x R. Weiter sei p R. (a) Bestimmen Sie die Tangente von f an der Stelle p. (b) Bestimmen Sie die Restfunktion r : R R und weisen Sie die Limesbedingung des Approximationssatzes nach. (c) Zeichnen Sie f sowie die Tangenten und Restfunktionen für die Stellen p = und p = 2. Übungsaufgabe 2 aus 2. Sei n. Geben Sie eine Funktion f : R R an, die an der Stelle 0 n-mal, aber nicht (n + )-mal differenzierbar ist. Übungsaufgabe 5 aus 2.2 Beweisen Sie die folgenden tabellarisch angegebenen Formeln für die Ableitungen trigonometrischer Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen. Funktion Ableitung Funktion Ableitung tan x sec 2 x cot x -csc 2 x sec x sec x tan x csc x csc x cot x arcsin x x 2 arccos x x 2 arctan x arccot x +x 2 +x 2 arcsec x x 2 arccsc x /x 2 x 2 /x 2 6

7 Blatt 6 Übungsaufgabe aus 2.3 Bestimmen Sie die Schmiegeparabel h : R R im Punkt für die Funktion f : R R mit f(x) = x 3 2x 2 +x+ für alle x R. Überzeugen Sie sich explizit von der Darstellung f(x) = h(x) + o((x ) 2 ) für x. Übungsaufgabe 4 aus 2.3 Bestimmen Sie die Taylor-Polynome dritten Grades für die Wurzelfunktion sqrt in den Entwicklungspunkten p = und p = 2. Übungsaufgabe aus 2.4 Zeigen Sie, dass die Funktion f :]0, [ R mit f(x) = ( + /x) x für alle x > 0 streng monoton steigend ist. 7

8 Blatt 7 Übungsaufgabe aus 2.5 Sei f : [0, ] R mit f(x) = x für alle x [0, ]. Für alle n sei p n eine äquidistante Partition von [0, ] der Länge n mit beliebigen Stützstellen. Zeigen Sie lim f =. n 2 p n Übungsaufgabe 2 aus 2.5 Zeigen Sie mit Hilfe der Definition des Riemann-Integrals, dass die Dirichletsche Sprungfunktion f : [0, ] R, { falls x rational, f(x) = 0 falls x irrational, nicht Riemann-integrierbar ist. Übungsaufgabe 2 aus 2.6 Sei E die achsenparallele Ellipse mit den Halbachsen a, b > 0, d.h. E = { (x, y) R 2 (x/a) 2 + (y/b) 2 = }. Skizzieren Sie E und bestimmen Sie die Fläche von E in Abhängigkeit von den Parametern a und b mit Hilfe von Integration. Übungsaufgabe 3 aus 2.6 Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln: (a) (b) dx für x > 0 x + x2 sin x cos x + 4 sin 2 x dx. 8

9 Blatt 8 Übungsaufgabe 5 aus 3. Zeigen Sie, dass für alle nichtleeren X, Y R gilt:. sup(cx) = c sup(x) für alle c > 0, 2. sup(x Y ) = sup(x) sup(y ), falls X, Y R +, 3. X Y impliziert sup(x) sup(y ), 4. inf(x) = sup( X), sup(x) = inf( X). Gelten diese Eigenschaften auch für leere Mengen? Begründen Sie Ihre Antworten. Übungsaufgabe 4 aus 2.6 Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln: (a) log x x dx (b) x log(x) dx (c) log 2 (x) dx (d) log 3 (x) dx (e) x log(x) dx (f) log( x) dx 9

10 Übungsaufgabe 4 aus 3.2 Sei (x n ) n N eine konvergente Folge in R. Zeigen Sie mit Hilfe der Epsilontik, dass (x n ) n N beschränkt ist. Übungsaufgabe aus 3.2 (a) Bestimmen Sie die Partialsummen s n und den Wert der Reihe n n(n + ) = (b) Zeigen Sie mit Hilfe von (a), dass die Reihe n /n2 konvergiert. (c) Lässt sich das Quotientenkriterium verwenden, um die Konvergenz der Reihe n /n2 zu beweisen? 0

11 Blatt 9 Übungsaufgabe 5 aus 2.6 Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln: (a) x x 2 dx, (b) x 2 dx, (c) x x 4 dx. Übungsaufgabe 3 aus 3.2 Zeigen Sie mit Hilfe der Epsilontik, dass ein Grenzwert einer konvergenten Folge (x n ) n N eindeutig bestimmt ist. Zeichnen Sie ein Diagramm, das die Beweisidee erläutert. Übungsaufgabe 9 aus 3.3 Zeigen Sie, dass die Verknüpfung g f zweier stetiger und miteinander verknüpfbarer Funktionen f und g stetig ist. Übungsaufgabe 0 aus 3.3 Sei f : P R differenzierbar an der Stelle p P. Zeigen Sie, dass f stetig an der Stelle p ist.

12 Blatt 0 Übungsaufgabe 3 aus 3.4 Zeigen Sie, dass für alle z, w C gilt: (a) z = 0 genau dann, wenn z = 0. (b) z + w z + w (c) zw = z w (Dreiecksungleichung) (Produktregel) [Hinweis zu (b): Es gilt 2 xy x 2 + y 2 für alle x, y R. Zeigen Sie diese Aussage, wenn Sie sie zum Beweis der Dreiecksungleichung verwenden möchten.] Übungsaufgabe 4 aus 3.4 Zeigen Sie (wahlweise in kartesischen Koordinaten oder in Polarkoordinaten), dass für alle z C gilt: (a) Re(z) = z+z 2, (b) Im(z) = z z 2i, (c) z 2 = zz, (d) z = z z 2, falls z 0. Illustrieren Sie die Formeln mit Hilfe von Diagrammen. Übungsaufgabe 3 aus 3.5 Sei n. Zeigen Sie: (a) Das Produkt zweier n-ter Einheitswurzeln ist eine n-te Einheitswurzel. (b) Das multiplikative Inverse einer n-ten Einheitswurzel ist eine n-te Einheitswurzel. Übungsaufgabe 6 aus 2.6 Seien a, b R mit b > 0. Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln: ae x + be x dx. 2

13 Übungsaufgabe 4 aus 3.2 Wir betrachten die unendliche Reihe n n 2 n = (a) Berechnen Sie einige Partialsummen s n und vermuten Sie, welchen Wert die Reihe besitzt. (b) Ordnen Sie die Summanden in der aufgespalteten Form 2, 4, 4, 8, 8, 8,... so an, dass Sie den Wert der Reihe bestimmen können. Übungsaufgabe 5 aus 3.2 Sei n x n eine unendliche Reihe wie im Leibniz-Kriterium. Zeigen Sie, dass die Partialsummen der Reihe eine konvergente Pendelfolge bilden. Erstellen Sie ein Diagramm zur Illustration. 3

14 Blatt Übungsaufgabe 5 aus 3.6 Skizzieren Sie die Mengen A = { exp( + ix) x [ π, π]}, 2 2 B = {exp(log(x) + ix) x ]0, 2π]}. Übungsaufgabe 9 aus 3.2 Beweisen Sie das Majoranten-Kriterium. Übungsaufgabe 6 aus 4. (a) Welche allgemeinen Größenbeziehung bestehen zwischen der Euklidischen Norm, der Maximumsnorm und der -Norm im R n? Formulieren Sie eine Hypothese und beweisen Sie sie. (b) Welche Formen haben für n = 2 und n = 3 die Mengen K max n = {v R n v max = } und K n = {v R n v = }? Übungsaufgabe 2 aus 4. Sei n. Zeigen Sie, dass für alle v, w R n gilt: 4 v, w = v + w 2 v w 2. (Polarisation) 4

15 Blatt 2 Übungsaufgabe 2 aus 4.2 Seien v, w R 2 nicht kollinear. (a) Zeigen Sie, dass det(v, w) 0. (b) Zeigen Sie, dass span(v, w) = R 2. (c) Sei u R 2. Beweisen Sie, dass u einen eindeutigen Koordinatenvektor (λ, µ) bzgl. der Basis (v, w) besitzt. Übungsaufgabe 6 aus 4.2 Sei u R 2 normiert, und sei G = {λu λ R}. Weiter sei w R 2 orthogonal zu u, und es sei H = w +G die durch w und G definierte affine Gerade. Schließlich sei s = w, u mit u = rot π/2 (u). (a) Erklären Sie die Darstellung H = {v R 2 u, v = s} geometrisch mit Hilfe der Winkelformel für das Skalarprodukt. Welche Bedeutung haben der Betrag und das Vorzeichen von s? (b) Sei nun w H beliebig und s = w, u. Zeigen Sie, dass s = s und illustrieren Sie die Situation durch ein Diagramm. Übungsaufgabe 4 aus 4.3 Seien A, B R 2 2. Zeigen Sie, dass f AB = f A f B. Übungsaufgabe 7 aus 4.3 Seien φ, ψ R und seien rot φ, rot ψ : R 2 R 2 die Rotationen der Ebene um die Winkel φ bzw. ψ. Nehmen Sie an, dass rot φ rot ψ = rot φ+ψ gilt, und leiten Sie hieraus mit Hilfe von Matrizen die Additionstheoreme für den Kosinus und Sinus ab. 5

16 Blatt 3 Übungsaufgabe 5 aus 4.4 Sei A R 2 2 invertierbar. Zeigen Sie, dass A t invertierbar ist mit (A t ) = (A ) t. Übungsaufgabe 3 aus 4.4 Sei A R 2 2. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (a) Die Spalten von A sind orthogonal und haben die gleiche Länge λ > 0. (b) A ist winkeltreu, d.h. es gilt (v, w) = (Av, Aw) für alle v, w R 2 mit v, w 0. Übungsaufgabe 6 aus 4.6 Seien E und E 2 zwei Ebenen des R 3 mit E E 2. Zeigen Sie mit Hilfe des Kreuzprodukts, dass es einen Vektor u R 3 gibt mit G(u) = E E 2. Übungsaufgabe 3 aus 4.6 Sei K : R 3 R 3 R 3 eine Funktion mit den Eigenschaften: (a) K(e, e 2 ) = e 3, K(e 2, e 3 ) = e, K(e 3, e ) = e 2. (b) K(v, w) = K(w, v) für alle v, w R 3. (c) K ist bilinear, d.h. für alle v, w, u R 3 und λ R gilt K(λv, w) = K(v, λw) = λk(v, w), K(v + u, w) = K(v, w) + K(u, w), K(v, w + u) = K(v, w) + K(v, u). Zeigen Sie, dass K(v, w) = v w für alle v, w R 3 gilt. 6

17 Blatt 4 Übungsaufgabe 2 aus 4.7 Sei G = span(u) für einen normierten Vektor u R 3. Weiter sei v R 3. Zeigen Sie, dass der Vektor pr G (v) G den kleinsten Euklidischen Abstand zu v unter allen Vektoren von G besitzt. Übungsaufgabe 7 aus 4.7 Lösen Sie für eine beliebige rechte Seite u R 3 das Gleichungssystem x + 2y + 3z = u x + y + z = u 2 2x + 2y + z = u 3 durch Invertierung der Koeffizientenmatrix A R 3 3. Verwenden Sie dabei den Invertierungsalgorithmus zur Berechnung von A. Übungsaufgabe aus 5. Seien a, ϕ > 0. Wir definieren die Archimedische Spirale f : [0, ϕ] R 2 durch f(t) = at(cos t, sin t) für alle t [0, ϕ].. Skizzieren Sie spur(f) für a = und ϕ = 2π. 2. Beschreiben Sie qualitativ die Bedeutung der Parameter a und ϕ für die Kurve f. 3. Berechnen Sie L(f) in Abhängigkeit von a und ϕ. Übungsaufgabe 3 aus 5. Seien a b > 0, und sei E a,b = {(x, y) R 2 (x/a) 2 + (y/b) 2 = } die achsenparallele Ellipse mir den Halbachsen a und b. Wir definieren f : [0, 2π] R 2 durch f(t) = (a cos t, b sin t) für alle t [0, 2π]. Zeigen Sie, dass E a,b = spur(f). 7