Oberflächenspannung und Minimalflächen

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1 77 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Anfängerpraktikum Grundkurs I Oberflächenspannung und Minimalflächen Stichworte: van der Waals-Kräfte, spezifische Oberflächenenergie, Oberflächenspannung, Minimalflächen, Kapillarität, Adhäsion, Kohäsion Literatur: (1) Demtröder, W.: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme, Springer-Verlag, Berlin u.a. (2) Eichler, H. J., Kronfeldt, H.-D., Sahm, J.: Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Springer- Verlag, Berlin u.a. (3) Walcher, W.: Praktikum der Physik, Teubner Studienbücher, Teubner-Verlag, Stuttgart 1 Einleitung Viele werden sich noch an das Experiment aus der Kindheit erinnern, bei dem eine Stecknadel auf eine Wasseroberfläche gelegt wurde und nicht versank. Oder an die Beobachtung von Insekten, die über die Wasseroberfläche eines Teiches laufen können, ohne einzusinken. Beide Erscheinungen sind Folge der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten, um deren quantitative Messung es in diesem Versuch geht. 2 Theorie Zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit wirken die sogenannten van der Waals-Kräfte, die nur eine sehr kurze Reichweite besitzen. Diese Kräfte sind deutlich größer als die Wechselwirkungskräfte, die zwischen den Flüssigkeitsmolekülen und den Molekülen eines über der Flüssigkeitsoberfläche liegenden Gases (hier Luft) auftreten. Das führt zu der in Abb. 1 dargestellten Situation: auf die Moleküle im Innern der Flüssigkeit wirken gleich große Kräfte in alle Raumrichtungen, die sich in ihren Wirkungen gegenseitig aufheben. In einer dünnen Schicht an der Oberfläche der Flüssigkeit verbleibt jedoch eine resultierende, ins Innere der Flüssigkeit gerichtete Kraft F R, die auf der Flüssigkeitsoberfläche senkrecht steht. F R = 0 F R = 0 Abb. 1: Zur Entstehung der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten. F R : resultierende Kraft auf Flüssigkeitsmolekül. Soll die Oberfläche der Flüssigkeit vergrößert werden, indem Flüssigkeitsmoleküle aus dem Innern der Flüssigkeit an die Oberfläche gebracht werden, so muss gegen diese Kraft Arbeit geleistet werden; die potentielle Energie der Moleküle wird erhöht. Hieraus lässt sich sofort ein wichtiger Schluss ziehen: da ein Gleichgewichtszustand durch ein Minimum an potentieller Energie gekennzeichnet ist, nehmen Flüs-

2 78 sigkeitsoberflächen ohne Einwirkung äußerer Kräfte Minimalflächen ein. Eindrucksvolle Minimalflächen lassen sich sehr einfach demonstrieren, indem z.b. unterschiedlich geformte Draht- oder Kunststoffgestelle in Seifenwasser eingetaucht und anschließend herausgezogen werden. Die sich dabei ausbildenden Seifenhautlamellen zwischen den Drähten bzw. Stegen stellen Minimalflächen dar. Die zur Vergrößerung der Flüssigkeitsoberfläche um den Betrag A erforderliche Arbeit sei W. Der Quotient beider Größen, (1) w W = A heißt spezifische Oberflächenenergie oder Oberflächenenergiedichte, ihre Einheit ist [w] = J/m 2. L s s F Aufhängung Metallring F h Flüssigkeitslamelle Flüssigkeit Abb. 2: Zur Definition der Oberflächenspannung Abb. 3: Messung der Oberflächenspannung mit der Abreißmethode Wir betrachten nun gemäß Abb. 2 einen rechteckig geformten Drahtbügel mit den Kantenlängen L und s, zwischen dem eine Flüssigkeitsoberfläche mit der Oberfläche 2A = 2Ls gespannt ist, beispielsweise eine Seifenhautlamelle (Faktor 2 wegen Vorder- und Rückseite der Oberfläche). Durch Einwirkung der Kraft F wollen wir nun eine Seite des Drahtbügels (die mit der Kantenlänge L) um das Stück s verschieben und damit die Oberfläche um das Stück A = 2L s vergrößern. Die dazu erforderliche Arbeit W ist mit F = F : (2) W = w A = w2l s = F s Damit folgt für die spezifische Oberflächenenergie (3) w = F 2L Berücksichtigt man die Vektoreigenschaft der Kraft F, so erhält man die ebenfalls vektorielle Größe Oberflächenspannung σ : (4) σ = F 2L

3 79 mit der Einheit [ σ ] = N/m = J/m 2. Man sieht, dass der Betrag der Oberflächenspannung, σ = σ, identisch ist mit der spezifischen Oberflächenenergie w: w = σ. In der Praxis gebräuchlich ist der Begriff der Oberflächenspannung für den Betrag σ ; so werden auch wir ihn im folgenden verwenden. 2.1 Abreißmethode Eine typische Anordnung zur Messung der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten gegen Luft zeigt Abb. 3. Ein dünnwandiger zylindrischer Ring vom Radius r und der Masse m wird an einer Federwaage aufgehängt und in die Flüssigkeit eingetaucht. Anschließend wird der Ring aus der Flüssigkeit herausgezogen, wodurch zwischen Ring und Flüssigkeitsoberfläche eine Flüssigkeitslamelle entsteht. Um den Ring in der Höhe h zu halten, ist die Kraft F(h) erforderlich. Wir wollen annehmen, dass wir den Ring gerade noch um ein Stück h bis auf die Höhe h 0 aus der Flüssigkeit herausziehen können, ohne dass die Lamelle abreißt (Gleichgewichtsbedingung). Die hierfür erforderliche Arbeit ist W = F h h, (5) ( ) durch die die Lamellenoberfläche um (6) A= 2 2πr h 0 vergrößert wird. (Meniskusform der Lamelle an der Flüssigkeitsoberfläche vernachlässigt). Damit ergibt sich für die Oberflächenspannung: (7) ( ) ( ) W F h0 h F h0 σ = = = A 2 2πr h 4π r Mit Hilfe dieser Abreißmethode lässt sich also durch Messen der Kraft F, bei der die Lamelle gerade noch nicht abreißt und des Ringradius r die Oberflächenspannung σ von Flüssigkeiten gegen Luft bestimmen. Dabei ist zu beachten, dass die Federwaage die Gesamtkraft F g (8) Fg = F + mg anzeigt, wobei m die Masse des Ringes und g die Erdbeschleunigung ist. 2.2 Gasblasen-Methode Eine weniger bekannte Methode zur Messung der Oberflächenspannung ist in Abb. 4 dargestellt. Eine plan geschliffene Kapillare K mit kleinem Innenradius r taucht senkrecht in eine Flüssigkeit ein (Eintauchtiefe h), deren Oberflächenspannung gegen Luft gemessen werden soll. Die Kapillare ist mit einem Schlauch mit einem luftdicht verschlossenen Erlenmeyer-Kolben (E) verbunden, in dem der Luftdruck durch Variation des Wasserstandes verändert werden kann. Die Veränderung des Wasserstandes in E erfolgt durch Heben oder Senken eines mit Wasser gefüllten Vorratsgefäßes (V) mit Hilfe eines Scherentisches S; V und E sind über einen Schlauch miteinander verbunden. Der Überdruck in E und damit in K gegenüber dem Umgebungsluftdruck kann mit Hilfe eines U-Rohr-Manometers U gemessen werden. Um die Luft bis zur Öffnung der Kapillare zu treiben, muss zunächst der hydrostatische Gegendruck p F in der Flüssigkeit überwunden werden, der durch

4 80 (9) pf = ρ gh gegeben ist, wobei ρ die Dichte der Flüssigkeit und g die Erdbeschleunigung ist. Wird der Luftdruck in K nun weiter erhöht, so bilden sich Luftblasen an der Öffnung der Kapillare, die bei einem Überdruck p gegenüber dem hydrostatischen Druck an der Kapillaröffnung gerade abreißen. Ist ρ m die Dichte der Flüssigkeit im Manometer (hier Wasser) und h m die im Manometer angezeigte Druckhöhe, so gilt für den Überdruck p: (10) = ( ρ ρ ) p h h g m m Bei engen Kapillaren (Durchmesser einige 1/10 mm) reißen die Blasen gerade dann ab, wenn sie den gleichen Radius r wie die Kapillare haben. In diesem Fall lässt sich die Oberflächenspannung näherungsweise wie folgt berechnen: (11) r 2 p r ρ g r ρ g σ = 2 3 p 6 p U h m Wasser B K h E Luft Wasser V S Abb. 4: Zur Gasblasen-Methode zur Messung der Oberflächenspannung Gleichung (11) stellt eine Näherungslösung dar, auf deren Herleitung wir verzichten wollen, da sie nicht leicht nachzuvollziehen ist. An ihr haben schließlich so berühmte Physiker wie Erwin Schrödinger, einer der Begründer der Quantenmechanik, mitgewirkt! (Vgl. E. Schrödinger: Notiz über den Kapillardruck in Gasblasen, Ann. Phys (1915) ) Für kleine Radien r fallen die beiden letzten Glieder in Gl. (11) (Korrekturterme) nicht ins Gewicht und wir können schreiben: (12) r p σ 2

5 81 Der Vorteil dieser Gasblasen-Methode gegenüber der Abreißmethode ist der, dass hier die Oberflächenspannung jeweils an einer frischen Oberfläche, nämlich der der Gasblase in der Flüssigkeit, gemessen wird. Zunehmende Verunreinigungen der Flüssigkeitsoberfläche durch die umgebende Luft, die bei der Abreißmethode zu recht drastischen Fehlern führen können, fallen hier also nicht ins Gewicht. 2.3 Versuchsdurchführung Zubehör: Federwaage (Messbereich 0,1 N), Gewichtssatz zur Kalibrierung der Federwaage, Ring mit Schneide und Aufhängung, höhenverstellbare Plattform, Kapillare in Halterung an Höhenverstelleinheit (Ablesegenauigkeit mindestens 0.1 mm), Erlenmeyer-Kolben mit geschliffenem Stopfen, U-Rohr-Manometer mit Halterung und Ableseskala (Wasserfüllung), Stativ mit verstellbaren Zeigern, Bechergläser, Schlauchmaterial, Schlauchverbinder, Scherentische, Stativmaterial, Thermometer (Genauigkeit 0,1 C), destilliertes Wasser, Glykol (C 2 H 4 (OH) 2 ), Seifenlauge, Kunststoffgestelle, Glasrohrgestell mit einer Eintrittsöffnung und zwei Austrittsöffnungen, Ethanolbad, Bad mit destilliertem Wasser, Fön, Papiertuchrolle Minimalflächen Beschreiben und skizzieren Sie Ihre Erwartungen hinsichtlich der Minimalflächen, die sich nach Eintauchen und Herausziehen der bereitliegenden Kunststoffgestelle in Seifenlauge ergeben. Vergleichen Sie Ihre Erwartungen mit den experimentell gefundenen Minimalflächen. Beachten Sie, dass sich neben dem absoluten Minimum auch sogenannte lokale Minima einstellen können Bestimmung der Oberflächenspannung mit der Abreißmethode Hinweise: - Die Haltefäden am Ring wurden vor Versuchsbeginn von der technischen Assistenz so justiert, dass der Ring waagerecht hängt. Änderungen an diesen Einstellungen nur nach Rücksprache mit der technischen Assistenz oder der/dem Betreuer/in! - Der Ring darf auf keinen Fall mit den bloßen Händen angefasst werden, da sich sonst Fett- und Schweißrückstände bilden, die die Messergebnisse verfälschen. Halten des Ringes deshalb nur an den Haltefäden! Die Oberflächenspannungen von destilliertem Wasser und Glykol gegen Luft sollen mit Hilfe einer Anordnung gem. Abb. 3 gemessen werden. Dazu wird zunächst die am Stativ aufgehängte Federwaage mit Hilfe des bereitliegenden Gewichtssatzes kalibriert (Kalibrierkurve für angezeigten Skalenwert an der Feder als Funktion des angehängten Gewichtes G aufnehmen). Anschließend wird der Ring gereinigt (im Ethanolbad schwenken und mit destilliertem Wasser abspülen; anschließend mindestens eine Minute in Bad mit destilliertem Wasser eintauchen und schwenken, trocknen mit Fön), an der Federwaage befestigt und sein Gewicht bestimmt (Kalibrierkurve benutzen!). Der Ringdurchmesser ist den bereitliegenden Versuchsunterlagen zu entnehmen. Bechergläser mit den verschiedenen Flüssigkeiten stehen zur Verfügung. Die Temperatur der Flüssigkeit wird direkt vor der Messung bestimmt; der Temperaturfühler muss vor jeder Messung gereinigt werden (in Ethanolbad schwenken und mit destilliertem Wasser abspülen; anschließend in Bad mit destilliertem Wasser eintauchen und schwenken, trocknen mit Fön). Nach diesen Vorbereitungen wird das Becherglas mit der jeweiligen Flüssigkeit auf die höhenverstellbare Plattform gestellt und soweit angehoben, dass der Ring etwa 4 mm tief in die Flüssigkeit eintaucht. In dieser Position soll der Ring zu Beginn einer Messreihe mit der jeweiligen Flüssigkeit einige Minuten gehalten werden, um eine vollständige Benetzung mit der Flüssigkeit zu gewährleisten.

6 82 Anschließend wird die Plattform langsam und vorsichtig (ruckfrei) nach unten bewegt. Unmittelbar vor dem Abreißen der Lamelle wird der Skalenwert an der Federwaage abgelesen und die maximale Kraft F g mit Hilfe der Kalibrierkurve bestimmt und schließlich mit Hilfe von Gl. (7) und (8) die Oberflächenspannung σ der jeweiligen Flüssigkeit berechnet. Aus jeweils zehn Messungen werden der Mittelwert und seine Standardabweichung berechnet und die Ergebnisse für Wasser und Glykol mit den Literaturwerten verglichen. Dabei muss die Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung berücksichtigt werden, die sich für Wasser gegen Luft empirisch durch folgendes Polynom beschreiben lässt (T in C, σ in N/m; - 8 C < T < 100 C): (13) σ = 0, , T + 1, T - 8, T + 4, T (Polynomfit an Daten aus Weast, R. C. [Ed.]: CRC Handbook of Chemistry and Physics, 56 th Ed., CRC Press, Boca Raton; Fehler in σ vernachlässigbar.) Für Glykol gegen Luft reicht es, den Messwert mit dem Literaturwert bei 20 C zu vergleichen Bestimmung der Oberflächenspannung mit der Gasblasen-Methode Hinweis: Die Kapillare (plan geschliffene Injektionsnadel) wurde vor Versuchsbeginn von der technischen Assistenz gründlich mit Ethanol gereinigt und anschließend mehrfach mit destilliertem Wasser durchgespült, um Ethanoldämpfe vollständig zu entfernen, in einem Bad mit destilliertem Wasser gelagert und anschließend getrocknet. Sie darf im Metallbereich auf keinen Fall mit den bloßen Händen angefasst werden, da sich sonst Fett- und Schweißrückstände bilden, die die Messergebnisse verfälschen. Anfassen der Kapillare deshalb nur an dem oberen PVC-Halter! Die Oberflächenspannung von destilliertem Wasser gegen Luft soll mit Hilfe einer Anordnung gem. Abb. 4 gemessen werden. Im U-Rohr des Manometers befindet sich Wasser, dem zur besseren Benetzung des U-Rohrs einige Tropfen Spülmittel zugesetzt sind. Das Becherglas B wird gereinigt, indem es mehrfach mit destilliertem Wasser ausgespült wird und anschließend bis etwa 1 cm unter der Oberkante mit destilliertem Wasser gefüllt. Die Temperatur des Wassers wird gemessen. Die Kapillare wird in die Halterung eingesetzt, senkrecht ausgerichtet und mit Hilfe der Höhenverstelleinheit h = 30 mm tief in das destillierte Wasser eingetaucht. Die Position der Höhenverstelleinheit, bei der die Kapillare gerade in die Flüssigkeit eintaucht, lässt sich durch gleichzeitige Beobachtung der Kapillarenöffnung und ihres Spiegelbildes im Wasser auf ± 0,05 mm genau bestimmen, so dass auch die Eintauchtiefe h mit der gleichen Genauigkeit eingestellt werden kann. In dieser Position wird die Kapillare einige Minuten gehalten. Der Scherentisch S unter dem Vorratsgefäß V wird anschließend langsam und vorsichtig (ruckfrei) solange nach oben bewegt, bis die Gasblasen aus der Kapillare austreten; jeweils nach dem Abreißen der Gasblasen bricht der Druck im Manometer kurzzeitig zusammen. Zunächst werden zu Reinigungszwecken einige 10 Gasblasen durch die Kapillare getrieben. Nach einigen Sekunden ist durch den Blasenaustritt der Druck soweit gesunken, dass keine weiteren Blasen mehr austreten. Nun wird der Druck durch weiteres Anheben des Scherentisches wieder soweit erhöht, bis die nächsten Blasen gerade austreten. Die zugehörige maximale Manometerhöhe h m wird mit Hilfe von zwei Zeigern markiert, die jeweils auf die Minima der Flüssigkeitsoberfläche in beiden Armen des Manometers eingestellt werden. Das Einstellen der Markierungszeiger geht am besten, indem eine Person auf das Manometer achtet und die andere auf dass Austreten der Gasblasen. Anschließend wird der Abstand der Zeiger (h m ) vorsichtig mit dem Messschieber gemessen. Das Experiment wird insgesamt mindestens fünfmal wiederholt. Aus dem Mittelwert für h m, der Eintauchtiefe h, dem Radius der verwendeten Kapillare (ist den bereitliegenden Unterlagen am Versuchsaufbau zu entnehmen) sowie den Literaturdaten für g und ρ (ρ m = ρ) wird der Überdruck p gem. Gl. (10) bestimmt. Die Temperaturabhängigkeit der Dichte ρ von Wasser lässt sich wiederum empirisch durch ein Polynom beschreiben (T in C, ρ in g/cm 3, -20 C < T < 110 C):

7 83 (14) ρ = 0, , T -8, T + 5, T - 2, T (Polynomfit an Daten aus Weast, R. C. [Ed.]: CRC Handbook of Chemistry and Physics, 56 th Ed., CRC Press, Boca Raton; Fehler in ρ vernachlässigbar.) Für die Erdbeschleunigung benutzen wir den für Bremen (Fallturm) gültigen Wert von g = 9,81341 m/s 2, den wir als fehlerfrei ansehen; den Unterschied zwischen der Erdbeschleunigung in Oldenburg und Bremen vernachlässigen wir. Aus den genannten Größen wird die Oberflächenspannung gem. Gl. (11) berechnet. Der Fehler wird anhand der Näherungslösung aus Gl. (12) bestimmt. Das Ergebnis wird mit dem Literaturwert sowie mit dem Messwert nach der Abreißmethode verglichen. Dabei muss wiederum die Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung (Gl. (13)) berücksichtigt werden Innendruck in Gasblasen Ein Glasrohrgestell gem. Abb. 5 wird mit den beiden Austrittsöffnungen in Seifenlauge getaucht und anschließend herausgezogen. Durch Luftzufuhr an der Eintrittsöffnung und geeignetes Öffnen und Schließen der Hähne können an den beiden Austrittsöffnungen zwei unterschiedlich große Seifenblasen aufgeblasen werden. Anschließend werden die Verbindungshähne zwischen beiden Blasen geöffnet. Frage 1: - Welche Blase wächst zu Lasten der anderen und warum? (Hinweis: beachte Gl. (12).) - Wie groß ist der Innendruck p in einer Gasblase vom Radius r, die von einer Seifenhautlamelle (Oberflächenspannung der Seifenlösung: σ) umgeben ist? Abb. 5: Glasrohrgestell zur Demonstration des Innendruckes in Gasblasen