Pseudo-Likelihood-Methode

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1 Technische Universität Dortmund Pseudo-Likelihood-Methode Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen (überarbeitet) Verfasser: Andrei Durtca Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller

2 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis I 1 Einleitung 1 2 Motivation und Problemstellung Pseudo-Likelihood-Funktion Statistische Methoden Euler-Approximation Elerian-Approximation Anwendungen und Simulationen Parameterschätzung für das Black-Scholes-Merton-Modell Parameterschätzung für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Parameterschätzung für das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Zusammenfassung 19 Literaturverzeichnis 21 A Abbildungen 22 B Programmcode in R 29

3 Abbildungsverzeichnis 4.1 Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode für die Parameter des BS-Modells mit θ = (0.25, 0.1), den verschiedenen Stichprobenumfängen n und zwei verschiedenen Schrittgrößen Boxplots der konsistenten Schätzern aus der Euler-Methode für den Parameter θ 1 des BS-Modells mit θ = (0.25, 0.1), den verschiedenen Stichprobenumfängen n und der Schrittgröße = Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 2 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der Maximum-Likelihood- Methode für den Parameter θ 2 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = und Schrittgröße = Boxplots der Schätzer aus der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML-Methode für den Parameter θ 2 des CIR-Modells mit θ = (0.2, 0.06, 0.15) A.1 Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 1 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen A.2 Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 3 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen A.3 Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für die Parameter θ 1 und θ 3 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = und Schrittgröße = A.4 Boxplots der explizit berechneten Schätzern aus der Euler-Methode und der ML- Methode für die Parameter θ 2 und θ 3 des OU-Modells mit θ = (0, 3, 2), dem Stichprobenumfang n = und Schrittgröße = A.5 Boxplots der exakten Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 2 des OU-Modells mit θ = (0, 3, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen I

4 A.6 Boxplots der exakten Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 3 des OU-Modells mit θ = (0, 3, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen A.7 Boxplots der Schätzern aus der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML-Methode für den Parameter θ 1 des CIR-Modells mit θ = (0.2, 0.06, 0.15) A.8 Boxplots der Schätzern aus der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML-Methode für den Parameter θ 3 des CIR-Modells mit θ = (0.2, 0.06, 0.15) II

5 1 Einleitung Zahlreiche Probleme der Naturwissenschaft, Technik und Wirtschaft haben in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu stochastischen Modellen geführt, die durch stochastische Differentialgleichungen beschrieben werden. Bei der Berechnung von Option eines Wertpapiers werden stochastische Differentialgleichungen als Bewegungsmodell von den Wertpapieren verwendet. In diesem Fall genügen Forschern zuvor verwendete Modelle nicht und es gab einen Übergang zu den Systemen der nichtlinearen stochastischen Differenzialgleichungen. In diesem Zusammenhang besteht das Problem der Schätzung von unbekannten Parametern der nichtlinearen stochastischen Differenzialgleichungen. In der Arbeit werden eindimensionale Diffusionsprozesse betrachtet, die von bestimmten Parametern abhängen. Dabei werden Beobachtungen erhoben, die dann zur Schätzung der Parameter verwendet werden. Da die Übergangsdichte des Diffusionsprozesses häufig nicht explizit aufgeschrieben werden kann, ist die Schätzung der Parameter mit der üblichen Maximum-Likelihood-Methode oft sehr kompliziert. Einen Ausweg bietet die Pseude-Likelihood-Methode. In dem Fall wird die Übergangsdichte aus dem Diffusionsprozess geschätzt, die so nah wie möglich an der wahren Übergangsdichte liegt. Als Grundlage für die Parameterschätzung anhand der Pseude-Likelihood-Methode dienen diskrete Lösungen von den stochastischen Differenzialgleichungen. Während im Kapitel 2 die oben genannten Problemstellungen diskutiert werden, werden im Kapitel 3 die Euler-Methode, die auf dem Euler-Schema basiert, und die Elerian-Methode, für die das Milstein-Schema verwendet wird, als die Ersatzmethoden der Pseude-Likelihood- Methode vorgestellt. Die Anwendung dieser Methoden findet im Kapitel 4 statt. Dabei werden der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, das Black-Scholes-Merton-Modell und das Cox- Ingersoll-Ross-Modell als Basismodelle für die Modellierung ausgewählt. Zuerst werden die Erwartungswerte und die Varianzen der jeweiligen Modellen zusammengefasst. Anhand des Black-Scholes-Merton-Modells wird die Inkonsistenz der Euler-Methode gezeigt und mögliche Verbesserungen für die Schätzer vorgestellt. Dann werden Parameter des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses je nach Zeitschrittgrößen mit der Euler-Methode geschätzt und mit der entsprechenden Schätzer der Maximum-Likelihood-Methode verglichen. Weiter werden Schätzer aus der Pseude-Likelihood-Methode und der Maximum-Likelihood- Methode am Beispiel des Cox-Ingersoll-Ross-Modells analysiert. Die Parameter werden dabei auch anhand der Elerian-Methode geschätzt. 1

6 Außerdem werden die Ergebnisse grafisch und tabellarisch präsentiert und schließlich im Kapitel 5 zusammengefasst. Als Ausgangspunkt für den Bericht wurde die Seminararbeit von Abbas (2012) genommen und ausschließlich als theoretisches Hilfsmittel benutzt. 2 Motivation und Problemstellung Sei (X t ) t N ein eindimensionaler Diffusionsprozess, der die folgende stochastische Differenzialgleichung löst dx t = b(x t, θ)dt + σ(x t, θ)dw t, (1) wobei θ Θ R p unbekannter p-dimensionaler Paramatervektor, b : R Θ R und σ : R Θ (0, ) Drift- und Diffusionskoeffiziente des Prozesses sind, die als bekannt vorausgesetzt sind und sind so, dass die Lösung von (1) existiert. (W t ) t N ist der Wiener- Prozess. Von großer Bedeutung bei der Modellierung des Diffusionsrozesses ist sowohl die Auswahl von Stichprobengröße n N als auch von Zeitintervall bzw. Schrittgröße. Sei t {t 0,..., diskreter Zeitpunkt. Dann ist die Größe = t i t i 1, i = 1,..., n, die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungen. Diese Zeit wird oft als konstant angenommen. Falls die Stichprobengröße n bekannt ist, dann lässt sich der Endzeitpunkt T berechnen als T = n. 2.1 Pseudo-Likelihood-Funktion Eine Möglichkeit einen unbekannten Parametervektor θ zu schätzen, bietet die Maximum- Likelihood-Methode (ML-Methode). Dafür wird die sogenannte Übergangsdichte p θ (x i x i 1 ) benötigt. Falls die Dichte bekannt ist, dann ist die Likelihoodfunktion definiert als (Iacus (2008, S. 111)) L n (θ) = n p θ (x i x i 1 )p θ (x 0 ). i=1 2

7 Aus rechnerischer Gründen wird es auch empfohlen, statt der Likelihoodfunktion die logarithmierte Likelihoodfunktion zu verwenden (Iacus (2008, S. 111)) l n (θ) = log(l n (θ)) = = log(p θ (x i x i 1 )) + log(p θ (x 0 )) l i (θ) + log(p θ (x 0 )). In der Regel ist p θ (x 0 ) nicht bekannt oder schwierig zu bestimmen. Steigt aber die Anzahl der Beobachtungen mit der Zeit, dann wird angenommen, dass der Einfluss von p θ (x 0 ) auf die Likelihoodfunktion gering ist. In dem Fall wird p θ (x 0 ) = 1 gesetzt und somit log(p θ (x 0 )) = 0 wird. Die logarithmierte Likelihoodfunktion reduziert sich dann zu l n (θ) = log(p θ (x i x i 1 )). (2) In der Praxis ist aber die wahre Verteilung oft unbekannt. Die Schätzung von Parametern mit der ML-Methode kann dann zu den inkonsistenten Schätzern führen. Deswegen muss das Problem der Methodenauswahl gelöst werden, das gegen diese Verletzung stabil ist. Einen Ausweg bietet die Pseude-Likelihood-Methode. Iacus (2008, S.122) behauptet, damit der Schätzer in diesem Fall konsistent und asymptotisch normalverteilt bleibt, muss man gewisse Kenntnisse über die Momente der zweiten und höheren Ordnung haben, also die folgende Voraussetzungen erfüllt sein: Voraussetzung 1 (Positivität der Diffusionskoeffizient): inf x R σ2 (x, θ) > 0. Voraussetzung 2 (beschränkte Momente): Für alle k > 0 existieren alle Momente der Ordnung k des Diffusionsprozesses und sind so, dass sup t N E ( X t k) <. Voraussetzung 3 (Polynomielle Wachstumsbedingung): Es existieren von θ Θ unabhängige L > 0 und m > 0, so dass b(x, θ) L (1 + x m ) x R. Yoshida (1992) giboch eine zusätzliche Bedingung für die Konsistenz und asymptotische Verteilung des Maximum-Likelihood-Schätzers: 3

8 Voraussetzung 4: Es muss gelten: n ( ) 3 0, für 0, n. Es muss auch erwähnt werden, dass die ML-Methode die Bedingung n fordert, um die Konsistenz von Schätzern zu erhalten. Um die Übergangsdichte zu erhalten, wird der Diffusionsprozess bei der Pseude-Likelihood- Methode durch eine Diskretisierung angenähert. Die Übergangsdichte dieser Diskretisierung wird dann zur Konstruktion der logarithmierten Likelihoodfunktion (2) verwendet. Die Parameterschätzung erfolgt dann durch die Lösung des Maximierungsproblems ˆθ = argmax θ Θ l n (θ) = argmax θ Θ log(p diskr θ (x i x i 1 )), (3) mit p diskr θ (x i x i 1 ) als Übergangsdichte des diskretisierten Diffusionsprozesses. 3 Statistische Methoden Es gibt zahlreiche Methoden für die Schätzung den unbekannten Parametervektor θ. Die Euler- und die Elerian-Methode sind einige von ihnen. Die Methoden helfen die bedingte Übergangsdichte p(x i x i 1 ) zu bestimmen, mit der das Maximierungsproblem (3) gelöst wird. 3.1 Euler-Approximation Die meist benutzte Methode, die die Lösung von (1) erzeugt, ist die Euler-Methode, die ihrerseits auf dem Euler-Schema basiert. Das Euler-Schema besagt, falls Drift- und Diffusionskoeffizienten in (1) in den kleinen Zeitintervallen [t, t + ] konstant sind, dann liefert das Euler-Schema folgende Diskretisierung (Iacus, 2008, S.122) X t = X t 1 + b(x t 1, θ) + σ(x t 1, θ)(w t W t 1 ), t = t 1,...,. (4) Während die Zuwächse W t W t 1 in (4) normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz sind (Iacus, 2008, S.18), werden b(x t 1, θ), σ(x t 1, θ) und als reelle Zahlen angenommen. Wird X t 1 in (4) auf die linke Seite der Gleichung verschoben, dann sind 4

9 die Zuwächse X t X t 1 als lineare Transformation der normalverteilten Zufallsvariablen darstellbar, so dass diese unabhängig normalverteilt sind (X t X t 1 ) X t 1 = x t 1 N ( b(x t 1, θ), σ 2 (x t 1, θ) ) X t X t 1 = x t 1 N ( x t 1 + b(x t 1, θ), σ 2 (x t 1, θ) ). Nach Iacus (2008, S.122) ist dann die bedingte Übergansdichte der Euler-Methode definiert als p Euler θ (x t x t 1 ) = 1 σ(x t 1, θ) 2π exp { 1 2 (x t x t 1 b(x t, θ) ) 2 σ 2 (x t 1, θ) und die entsprechende logarithmierte Likelihoodfunktion ist { l Euler n (θ) = 1 tn (x i x i 1 b(x i 1, θ) )2 + n log(2π ) + log(σ 2 (x 2 σ 2 i 1, θ)). (x i=t i 1, θ) 1 Wird nun der Diffusionskoeffizient als konstant vorausgesetzt, d.h. σ(x, θ) = σ > 0 für alle x R und sind die Voraussetzungen 2 und 3 auf der Seite 3 erfüllt, dann kann laut Florens-Zmirou (1989) ein konsistenter Schätzer für σ 2 aus Stichprobe direkt geschätzt werden ˆσ 2 = 1 n (x i x i 1 ) 2. Infolgedessen ergibt sich eine einfachere Form der logarithmierten Euler-Likelihoodfunktion. { l Euler n,ˆσ (θ) σ(x,θ)=ˆσ = 1 tn (x i x i 1 b(x i 1, θ) )2 + n log(2π ) + log(ˆσ 2 ) 2 ˆσ i=t { 1 = 1 1 ( (xi ) 2 x i 1 2(xi x i 1 )b(x i 1, θ) + ( b(x i 1, θ) ) ) 2 2 ˆσ + n log(2π ) + log(ˆσ 2 ) i=t { 1 = 1 n 2 ˆσ 1 ( ) 2 xi x i 1 2ˆσ (x i x i 1 )b(x i 1, θ) + ˆσ n i=t 1 i=t {{ 1 =ˆσ + n log(2π ) + log(ˆσ 2 ) b 2 (x i 1, θ) = n 2 + 1ˆσ (x i x i 1 )b(x i 1, θ) b 2 (x i 1, θ) n 2ˆσ 2 log(2π ) 1 log(ˆσ 2 ) 2 5

10 = 1ˆσ = ( tn (x i x i 1 )b(x i 1, θ) b 2 (x i 1, θ) 2 i=t {{ 1 =: l Euler n (θ) ) n 2 ( 1 + log(2π ) + 1 log(ˆσ 2 ) n i=t {{ 1 =:c Euler l n (θ) 1ˆσ n c. (5) 2 Da ˆσ,n und c in (5) Konstante sind, erreicht (5) sein Maximum, wenn ) maximiert wird. l Euler n (θ) = (x i x i 1 )b(x i 1, θ) 2 b 2 (x i 1, θ). (6) 3.2 Elerian-Approximation Elerian (1998) hat vorgeschlagen, die Lösung der stochastischen Differenzialgleichung (1) mit dem Milstein-Schema zu approximieren (Iacus, 1998, S.125). Dabei muss die erste Ableitung x σ(x, θ) =: σ x(x, θ) der Diffussionsfunktion existieren. Falls dies erfüllt ist, dann wird der Prozess durch das folgende Schema approximiert X t =X t 1 + b(x t 1, θ) + σ(x t 1, θ)(w t W t 1 ) σ(x t 1, θ)σ x (X t 1, θ)((w t W t 1 ) 2 ), t = t 1,...,. (7) Die bedingte Übergangsdichte des Milstein-Schemas (7) ist in Elerian (1998, S.7) als Theorem 2.1 angegeben. Behauptung: Sei die Gleichung (1) gegeben und die Bedingungen für die Existenz einer eindeutigen Lösung sind erfüllt. Sei weiter und Af(t, x) = σ(t, x) f(t, x) x b (t, x) = b(t, x) 1 2 σ(t, x)σ x(t, x). Außerdem gelten weitere zusätzliche Bedingungen für alle t, s [0, T ] und alle x R: b (t, x) + Ab(t, x) K(1 + x ), σ(t, x) + Aσ(t, x) K(1 + x ), A 2 σ(t, x) K(1 + x ) und g(t, x) g(s, x) K(1 + x ) s t 1 2, 6

11 mit g(, ) als allgemeine Funktion, um b (, ), σ(, ) und Aσ(, ) zu halten und K als eine von der Diskretisierung unabhängige Konstante. Dann ist die bedignte Elerian-Übergangsdichte gegeben als p Elerian θ 1 (x t x t 1 ) = z 2 t cosh( Cz t ) A 2π ( exp C + z ) t, (8) 2 wobei A = σ(x t 1, θ)σ x (x t 1, θ), 2 B = σ(x t 1, θ) 2σ x (x t 1, θ) + x t 1 + b(x t 1, θ) A, z t = x t B A 1 C = σx(x 2 t 1, θ). Die bedingte Elerian-Übergangsdichte ist für z t > 0 und σ x 0 definiert. Der ausführliche Beweis der Behauptung ist in Elerian (1998, S.7) zu finden. Die zu maximierende logarithmierte Likelihoodfunktion hat die folgende Form l Elerian n (θ) = 1 2 log(z i ) + log ( cosh( Czi ) ) C + z i 2 nlog( A ) n 2 log(2π). Der bedingte Erwartungswert der Dichte (8) lässt sich berechnen als E ( ) ( ) ( X t X t 1 = x t 1 = E xt 1 + E b(xt 1, θ) ) + σ(x t 1, θ) E ( ) W t W t 1 {{ = σ(x t 1, θ)σ x (x t 1, θ) E ( (W t W t 1 ) 2 ) {{ = x t 1 + b(x t 1, θ), die zugehörige bedingte Varianz ist ) =E ((W t W t 1 ) 2 = =0 Var ( ) X t X t 1 = x t 1 = Var (x t 1 + b(x t 1, θ) + σ(x t 1, θ)(w t W t 1 ) + 1 ) 2 σ(x t 1, θ)σ x (x t 1, θ)((w t W t 1 ) 2 ) = σ 2 (x t 1, θ) Var ( ) W t W t ( σ(xt 1, θ)σ x (x t 1, θ) ) 2 ( Var (Wt W t 1 ) 2) {{ 4 {{ = =:I σ2 (x t 1, θ)σ x (x t 1, θ) Cov(W t W t 1, (W t W t 1 ) 2 ) {{ =:I 7

12 mit I = Var ( (W t W t 1 ) 2) = E ( (W t W t 1 ) 4) E ( (W t W t 1 ) 2) 2 2 = κ(w t W t 1 ) Var(W {{ t W t 1 ) 2 {{ =3, da W t W t 1 normalverteilt = 2 = = 2 2, I = Cov ( W t W t 1, (W t W t 1 ) 2) = E ( (W t W t 1 ) 3) E ( ) ( W t W t 1 E (Wt W t 1 ) 2) {{ =0, da W t W t 1 symmetrisch verteilt = = 0. = Var ( X t X t 1 = x t 1 ) = σ 2 (x t 1, θ) + 1 4( σ(xt 1, θ)σ x (x t 1, θ) ) wobei κ( ) die Wölbung ist. = σ 2 (x t 1, θ) + 1 2( σ(xt 1, θ)σ x (x t 1, θ) ) 2. Anders als bei der Euler-Dichte ist die Elerian-Dichte nicht symmetrisch. Sie folgt einer nicht-zentralen χ 2 -verteilten Zufallsvariable (Elerian, 1998, S.8). Außerdem reduziert sich die Elerian-Übergangsdichte zu der Euler-Übergangsdichte, falls σ x (x, θ) nahe bei Null liegt oder σ(x, θ) konstant ist. Dies wird deutlicher, wenn σ x (x, θ) = 0 direkt in das Schema (7) eingesetzt wird. In dem Fall entspricht das Milstein-Schema dem Euler- Schema. Diese Überlegungen werden für σ x (x, θ) 0 im Elerian (1998, S.17) bewiesen. 4 Anwendungen und Simulationen In diesem Kapitel werden verschiedene Diffusionsprozesse betrachtet, für die die im Kapitel 3 vorgestellten Methoden verwendet werden. Neben dem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (OU-Prozess) werden zwei weitere Modelle für die Analyse benutzt, und zwar das Black-Scholes-Merton-Modell (BS-Modell) und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell (CIR-Modell). Die Drift- und Diffusionskoeffizienten sowie die Ableitungen der Diffusionskoefizienten der drei Modellen sind in Tabelle 1 zu sehen. In Tabellen 2 und 3 werden die bedingten Erwartungswerte und die bedingten Varianzen der Prozessen zusammengefasst. Dabei werden die ersten und zweiten Momente der Maximum-Likelihood-Schätzung und die Momente der Euler- bzw. Elerian-Approximation berücksichtigt. 8

13 BS-Modell OU-Prozess CIR-Modell b(x, θ) θ 1 x θ 1 θ 2 x θ 1 θ 2 x σ(x, θ) θ 3 x θ 3 θ 3 x σ x (x, θ) θ 3 0 θ 3 2 x Tabelle 1: Drift-, Diffusionskoeffizienten und Ableitungen der Diffusionskoeffizienten für verschiedene Modelle. BS-Modell OU-Prozess CIR-Modell m(, x) xe θ 1 θ 1 θ 2 + (x θ 1 θ 2 )e θ 2 θ 1 θ 2 + (x θ 1 θ 2 )e θ 2 m Euler (, x) x + θ 1 x x + (θ 1 θ 2 x) x + (θ 1 θ 2 x) m Elerian (, x) x + θ 1 x x + (θ 1 θ 2 x) x + (θ 1 θ 2 x) Tabelle 2: Wahre bedingte und approximierte Erwartungswerte für verschiedene Modelle. v(, x) x 2 e 2θ 1 (e θ2 2 1) BS-Modell OU-Prozess CIR-Modell θ 2 3 (1 e 2θ 2 ) 2θ 2 x θ2 3 θ 2 (e θ2 e 2θ2 ) + θ 1θ3 2 (1 e θ2 ) v Euler (, x) θ 2 3x 2 θ 2 3 θ 2 3x v Elerian (, x) θ 2 3x (θ2 3x ) 2 θ 2 3 θ 2 3x ( 1 2 θ2 3 ) 2 2θ 2 2 Tabelle 3: Wahre bedingte und approximierte Varianzen für verschiedene Modelle. Der Unterschied des OU-Prozesses von dem CIR-Modell findet man im Diffusionskoeffizient, aber nicht im Driftkoeffizient. Aus diesem Grund stimmt der bedingte Erwartungswert des OU-Prozesses mit dem bedingten Erwartungswert des CIR-Modells überein. Da der Diffusionskoeffizient des OU-Prozesses sogar konstant ist, geht die Elerian-Methode der Schätzung der Übergangsdichte des OU-Prozesses in die Euler-Methode über. Außerdem kann am Beispiel vom OU-Prozesses gezeigt werden, dass die bedingten Erwartungswerte der Approximationsmethoden für 0 gleich den entsprechenden wahren Erwartungswerten sind: m Euler OU (, x) = (θ 1 θ 2 x) + x 0 (θ 1 θ 2 x) 0 + x = x m OU (, x) = (x θ 1 θ 2 )e θ 2 + θ 1 θ 2 0 (x θ 1 θ 2 )e θ θ 1 θ 2 = (x θ 1 θ 2 ) 1 + θ 1 θ 2 = x. 9

14 Gleiche Aussage gilt auch für die Varianzen. Dabei wird mit Regel von L Hospital gezeigt, dass der Quotient der beiden Varianzen mit der fallenden Schrittgröße gegen 1 läuft: lim 0 vou Euler (, x) v OU (, x) = lim 0 θ 2 3 θ 2 3 (1 e 2θ 2 ) 2θ 2 L Hospital = lim 0 2θ 2 θ θ 2 θ 2 3 Es scheint also sinnvoll, für die Approximationen möglichst klein zu wählen. Für die großen Schritte muss eventuell mit den verzerrten Schätzern gerechnet werden. Für die ML-Methode ist aber nach Iacus (2008, S.116) vorausgesetzt, dass n gelten muss, damit der Schätzer konsistent bleibt. Deshalb wäre es auch besser, bei der fallenden Schrittgröße gleichzeitig den Stichprobenumfang n zu vergrößern. Für die numerische Schätzung der Parameter wird die Programmiersprache R verwendet. Hier wird der Befehl mle() aus dem bevor installierten R-Paket sde hilfreich. Der Algorithmus, der optimale Werte findet, ist der "L-BFGS-B"-Algortihmus. Dieser ist im Befehl implementiert und kann mit der Option method="l-bfgs-b" aufgerufen werden. Außerdem ermöglicht der Befehl Unter- und Obergrenze für die Schätzung der Parameter vorherzubestimmen. = Parameterschätzung für das Black-Scholes-Merton-Modell Aus Lo (1988) entnommene Parameterschätzung für das BS-Modell zeigt, dass die Euler- Methode nicht immer korrekte Ergebnisse liefert. Iacus (2008, S.46f.) sagt, dass die Übergangsdichte des BS-Modells einer Log-normalverteilung folgt. Die Diskretisierung der Übergangsdichte durch das Euler-Schema (4) mit den danach folgenden Überlegungen ergibt die Übergangsdichte der Normalverteilung und zwar X t = X t 1 + θ 1 X t 1 + θ 3 X t 1 (W t W t 1 ) W t W t 1 N (0, ) = X t X t 1 1 = θ 1 + θ 3 (W t W t 1 ) X t X t 1 1 N (θ 1, θ 2 3 ), t = t 1,...,. Die ML-Methode berechnet Schätzer für den Erwartungswert θ 1 und die Varianz θ 2 3 der normalverteilten Zufallsvariable ( Xt X t 1 1) ˆθ 1 = 1 n ( xi ) 1 x i 1 10 und

15 ˆθ 2 3 = 1 n ( xi 1 x ˆθ ) 2. 1 i 1 Daraus werden dann Schätzer für θ 1 und θ 3 bestimmt ˆθ 1 = 1 n ˆθ 3 = 1 n ( xi ) 1 x i 1 und ( xi 1 x ˆθ ) 2. 1 i 1 Abbildung 4.1: Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode für die Parameter des BS- Modells mit θ = (0.25, 0.1), den verschiedenen Stichprobenumfängen n und zwei verschiedenen Schrittgrößen. 11

16 Die Schätzer sind aber nicht konsistent, falls > 0 fest gegeben ist und n gilt (Iacus, 2008, S.125) ˆθ 1 P 1 (eθ 1 1) θ 1 ˆθ 2 3 P 1 e2θ 1 (e θ2 3 1) θ 2 3 Läuft aber gegen 0, dann kann die Konvergenz von ˆθ 1 und ˆθ 3 gegen die wahren Parameter mit Regel von L Hospital gezeigt werden 1 lim 0 (eθ 1 1) = lim θ 1 e θ1 = θ 1 1 = θ ( lim 0 e2θ 1 (e θ2 3 1) = lim 2θ1 e 2θ1 (e θ2 3 1) + e 2θ1 θ 2 0 3e ) 2θ 1 = 2θ 1 (1 1) + θ3 2 = θ3. 2 Die Abhängigkeit der Schätzungen von zwei festen Schrittgrößen und verschiedenen Stichprobenumfängen n wird in Abbildung 4.1 gezeigt. Dafür werden zuerst 100 Trajektorien des BS-Models mit der Funktion sim.sde() einmal mit = 1 und einmal mit = unabhängig voneinander erzeugt. Die Trajektorien werden mit dem Anfangswert x 0 = 1, θ = (0.25, 0.1) und n = 100, 1000, 2500 Beobachtungen simuliert. Die Parameter des Modells werden dann mit der Euler-Methode geschätzt. Wie erwartet liefert die Euler-Methode die inkonsistenten Parameterschätzer, falls groß gewählt wird. Die Wahl von = dagegen bringt gute Schätzer, die nahe an den wahren Werte liegen. Zugleich wird die Symmetrie der Schätzer um den wahren Wert beobachtet. Die Vergrößerung der Stichprobenumfang hat auch einen Einfluss auf die Varianzgröße. Je größer n ist, desto kleiner wird die geschätzte Varianz. Im Fall, wenn nicht gegen 0 schrumpft und n = T fest gewählt wird, existiert trotzdem ein konsistenter Schätzer θ 1 für θ 1 (Lo, 1988) θ 1, = 1 log(1 + ˆθ 1 ). (9) Abbildung 4.2 zeigt die Boxplots der Schätzern θ 1,1, die aus der inkonsistenten Schätzer ˆθ 1 für = 1 nach (9) berechnen lassen 12

17 Abbildung 4.2: Boxplots der konsistenten Schätzern aus der Euler-Methode für den Parameter θ 1 des BS-Modells mit θ = (0.25, 0.1), den verschiedenen Stichprobenumfängen n und der Schrittgröße = 1. Es wird somit bestätigt, dass die Schätzer θ 1 tatsächlich sehr nahe an dem wahren Wert liegen. 4.2 Parameterschätzung für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Die Parameterschätzung für den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess erfolgt mit der Euler-Methode und wird mit den Schätzergebnissen der ML-Methode verglichen. Die Verwendung der Elerian-Methode liefert in diesem Fall gleiche Ergebnisse. Für die grafische Darstellung der Ergebnissen werden unabhängig voneinander 100 Trajektorien des OU-Prozesses mit dem vorgegebenen Parametervektor θ = (3, 1, 2) und mit dem Startpunkt x 0 = 1 ebenfalls mit dem Befehl sim.sde() erzeugt. Dabei wird die Schätzung der Parameter für n = 1000 Beobachtungen und {0.001, 0.01, 0.1, 1 bestimmt. 13

18 Abbildung 4.3: Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 2 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen. Für die bessere Übersichtlichkeit wurden die Grenzen der y-achse für die Fälle = 0.1, 1 im Vergleich zu den Fällen = 0.001, 0.01 in Abbildung 4.3 verengt. Die Ergebnisse der ML-Methode und der Euler-Methode unterscheiden sich für = und = 0.01 kaum. Bei der Schrittgröße = sind aber sowohl die Schätzer schlechter als auch derer Varianz groß. Mögliche Erklärung dafür könnte sein, dass die Voraussetzung n hier nicht erfüllt ist. Mit der Vergrößerung der Schrittgröße wird aber die Varianz kleiner und die Ergebnisse weichen nun nicht so stark von den wahren Werten ab. Es wird sogar die Symmetrie erreicht. Während die ML-Methode und 14

19 die Euler-Methode für den Fall = 0.1 leicht abweichende Ergebnisse liefern, sind die Schätzer der ML-Methode und der Euler-Methode bei = 1 sehr unterschiedlich. Die Schätzer sind in diesem Fall schlecht, weil nun die Voraussetzung n ( ) 3 0 verletzt ist. Somit wurde gezeigt, dass die kleine Wahl von bei der Pseude-Likelihood-Methode die ähnlichen Ergebnisse wie die ML-Methode liefern kann. Das gleiche Verhalten kann auch bei den Parameterschätzern ˆθ 1 und ˆθ 3 beobachtet werden. Hier reduziert sich ebenfalls die Varianzschätzer und erfolgt die Annäherung der Schätzer mit den wahren Werten, falls immer größer wird. Die entsprechenden Boxplots findet man im Anhang. Abbildung 4.4: Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der Maximum-Likelihood- Methode für den Parameter θ 2 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = und Schrittgröße = Wird aber der Stichprobenumfang bis n = vergrößert, ist deutliche Verbesserung aller drei Schätzer ˆθ 1, ˆθ 2 und ˆθ 3 bei dem Fall = nicht zu vermeiden. In Abbildung 4.4 liegen beispielsweise die erneut berechneten Schätzer für θ 2 aus der ML und Euler- Methode schon näher an den wahren Werten. Die Boxplots der verbesserten Schätzern ˆθ 1 und ˆθ 3 sind ebenfalls im Anhang zu finden. Zusätzlich werden in Tabelle 4 die Parameterschätzer am Beispiel von einer zufällig ausgewählten Trajektorie zusammengefasst. 15

20 ˆθ 1 ˆθ2 ˆθ3 = = 0.01 = 0.1 = 1 ML-Methode (4.1437) (1.3288) (2.0013) Euler-Methode (4.1410) (1.3279) (2.0006) ML-Methode Euler-Methode ML-Methode Euler-Methode ML-Methode Euler-Methode Tabelle 4: Geschätzte Parameterwerte der Euler-Methode und der Euler-Methode am Beispiel von einer ausgewählten OU-Trajektorie mit dem Stichprobenumfang n=1000 (n=10000) und verschiedenen Schrittgrößen. Vom Interesse ist insbesondere der Fall, wenn der Parameter θ 1 = 0 gesetzt wird. Die Differenzialgleichung des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses reduziert sich dann zu dx t = θ 2 X t +θ 3 dw t und somiur die Parameter θ 2 und θ 3 geschätzt werden müssen. In Iacus (2008, S.116ff.) werden die Maximum-Likelihood-Schätzer für θ 2 und θ 3 explizit angegeben ˆθ ML ( 2 = 1 x i x i 1 ) log, falls ˆθ ML 3 = ( x 2 i 1 2ˆθ 2 n(1 e 2 ˆθ 2) x i x i 1 > 0 (x i x i 1 e ˆθ2 ) 2 Die Euler-Methode maximiert die logarithmierte Likelihoodfunktion (6), in der nur der Drifftkoeffizient verwendet wird. Da aber θ 1 = 0 ist, kann die Funktion (6) für den OU- Prozess folgendermaßen aufgeschrieben werden (x i x i 1 )( θ 2 x i 1 ) 2 Dann wird die Funktion Parameter θ 2 geschätzt: θ ˆlOU n 2 ( θ 2 x i 1 ) 2 = θ 2 ) 1 2 (x i x i 1 )x i 1 θ x 2 i 1 =: ˆlOU n (θ 2 ). OU ˆl n (θ 2 ) nach θ 2 abgeleitet, gleich null gesetzt und daraus der (θ 2 ) = (x i x i 1 )x i 1 2θ x 2 i 1! = 0

21 θ 2 ˆθ Euler x 2 i 1 = (x i x i 1 )x i 1 (x i x i 1 )x i 1 i=t 2 = 1 tn x 2 i 1 Da aber der Driftkoeffizient θ 3 bei der Euler-Methode auch explizit berechnet werden kann ˆθ 3 Euler = 1 (x i x i 1 ) n 2, können die beiden Parameter für den Fall θ 1 = 0 auch wie bei der ML-Methode direkt aus der Stichprobe geschätzt werden. Die Simulationsergebnisse für den OU-Prozess mit θ = (0, 3, 2) werden hier genauso wie die Ergebnisse von den simulierten OU-Prozessen mit θ = (3, 1, 2) interpretiert. Die zugehörigen Boxplots befinden sich im Anhang. 4.3 Parameterschätzung für das Cox-Ingersoll-Ross-Modell In diesem Abschnitt wird der Vergleich von Schätzern der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML-Methode durchgeführt. Da die Euler- und die Elerian-Methode die unterschiedlichen Übergangsdichten besitzen, muss auch ein Prozess ausgewählt werden, der dies auch erfüllt. Es wird das CIR-Modell mit dem vorgegebenen Parametervektor θ = (0.2, 0.06, 0.15) genommen, für das 100 Trajektorien mit dem gleichen Startwert x 0 = 1 und jeweils Beobachtungen erzeugt. Die Schrittgröße liegt bei = Daraus werden dann Beobachtungen im Schritt = 0.01 und = 0.1 ausgewählt. Es werden somit weitere zwei Trajektorien mit den Stichprobengrößen n = 1000 und n = 100 erhalten. Für jede Trajektorie und jede Schrittgröße werden dann die Parameter θ 1, θ 2 und θ 3 geschätzt. Genauso wie bei den BS- und OU-Prozessen, erfolgt die Schätzung der Parameter für die CIR-Modelle mit dem Befehl mle(). Die Untergrenze wird auf 0.01 und die Obergrenze auf 1.5 gesetzt. Außerdem wird die Korrektur von Abbas (2012) bei der Implementierung der Elerian- Übergangsdichte aus dem Buch von Iacus (2008, S.126) mitberücksichtigt. Der Wert der Funktion cosh(x) für x > 0 sehr schnell wächst. Für x groß können somit Fehlermeldungen bei der Implementierung auftreten. Abbas (2012) hat vorgeschlagen, die Funktion 17

22 log(cosh(x)) für x > 10 mit der Funktion x log(2) zu ersetzen. Dies ist möglich, da schon für x > 3 die beiden Funktionen gleich sind. Der Programmcode mit der Korrektur ist im Anhang auf der Seite 33 zu sehen. Abbildung 4.5: Boxplots der Schätzer aus der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML- Methode für den Parameter θ 2 des CIR-Modells mit θ = (0.2, 0.06, 0.15). Abbildung 4.5 zeigt die Boxplots der Schätzer für den Parameter θ 2. Die Ergebnisse für alle drei Fälle sind schlecht. Der Großteil der Schätzer liegt oberhalb den wahren Wert. Das kann auch daran liegen, dass für alle Fälle n = 10 ist, also die Bedingung für die Konsistenz ist verletzt. Die Lage der Boxplots sowie ihre Große ist für die Schätzer aus der Elerian-Methode sehr überraschend. Während im Fall = die Streuung der Schätzer aus der Elerian-Methode sehr groß ist, liegen die Schätzer im Fall =

23 schon sehr nahe an dem wahren Wert. Es können kaum Unterschiede nur zwischen der ML- und der Euler-Methode beobachtet werden. Die Boxplots der Schätzer ˆθ 1 und ˆθ 3 sind im Anhang zu finden. Hier zeigt es sich das gleiche Verhalten des Schätzers ˆθ 1, sind aber die Unterschiede der Schätzern aus der Elerian-Methode auffälliger. Deutlich besser sind die Schätzungen für θ 3. Hier wird sowohl die Konsistenz als auch die Symmetrie der Schätzern sowohl aus der ML-Methode als auch aus der Euler-Methode erreicht. Die Elerian-Methode dagegen liefert sehr schlechte Schätzergebnisse für θ 3, die sich an der unteren Grenze des Suchraums befinden. Die Elerian-Methode liefert in diesem Fall keine sinnvolle Ergebnisse mehr. Der Grund der schlechten Ergebnisse der Elerian-Methode liegt möglicherweise darin, dass bei der Schätzung der Parameterwerte mit der Elerian- Methode ständig sowohl die Warnmeldungen In sqrt(diag(object@vcov)): NaNs werden erzeugt erscheinen. Insgesamt konnten keine großen Unterschiede zwischen der Euler- und der Elerian-Methode festgestellt werden. 5 Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wurden zwei Approximationsmethoden zur Schätzung unbekanntes Parametervektors definiert. Es wurden die Euler- und die Elerian-Methoden als Vertreter der Pseude-Likelihood-Methode betrachtet, die ihrerseits als Alternative zur Maximum-Likelihood-Methode gelten. Die Pseude-Likelihood-Methode verwendet die geschätzte Übergangsdichte, die zur Diskretisierung des Diffusionsprozesses führt. Während die Euler-Methode auf dem Euler-Schema basiert, erfolgt die Parameterschätzung bei der Elerian-Methode anhand des Milstein-Schemas. Es wurde festgestellt, dass sich die Dichte der Euler-Methode als Dichte der normalverteilten Zufallsvariablen darstellen lässt. Die Dichte der Elerian-Methode dagegen folgt der nicht-zentralen χ 2 -Verteilung. Zudem reduziert sich die Elerian-Methode zur Euler-Methode, wenn entweder der Diffusionskoeffizient konstant ist oder derer Ableitung nahe bei null liegt. Der nächste Teil der Arbeit orientierte sich auf die Anwendungen der beiden Methoden. Für die Analyse wurden drei Diffusionsprozesse betrachtet, nähmlich der Ornstein- 19

24 Uhlenbeck-Prozess, das Black-Scholes-Merton-Modell und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell. Die Prozesse wurden für verschiedene Zeitintervalle bzw. Schrittgröße simuliert. Dabei wurden Zeitintervalle zwischen zwei aufeinander folgenden Beobachtung als konstant vorausgesetzt. Weiter werden die bedingten Erwartungswerte und die bedingten Varianzen der Prozessen tabellarisch zusammengefasst. Insbesondere wurden der bedingte Erwartungswert und die bedingte Varianz der Elerian-Übergangsdichte hergeleitet. Außerdem wurde festgestellt, dass für die immer klein werdenden Zeitintervalle die bedingten Erwartungswerte der Prozessen den zugehörigen wahren Erwartungswerte entsprechen und die Konsistenz der Schätzer wird dann erreicht, wenn sich der Stichprobenumfang vergrößert. Dies konnte am Beispiel von dem Ornstein-Uhlenbeck-Prozess anhand Simulationen gezeigt werden. Darüber hinaus konnten die Parameterschätzer für den Ornstein- Uhlenbeck-Prozess für den Fall θ 1 = 0 explizit hergeleitet werden. Mit Hilfe des Black- Scholes-Merton-Modells wurde detailliert gezeigt, dass die Schätzer aus der Euler-Methode für die fest vorgegebenen Zeitintervalle und für den steigenden Stichprobenumfang nicht unbedingt konsistente Schätzer liefern. Im nächsten Schritt wurden 100 Trajektorien des Cox-Ingersoll-Ross-Modells mit fester Schrittgröße und festem Stichprobenumfang simuliert. Daraus wurden dann kleinere Stichproben erzeugt, indem Beobachtungen im größeren Abstände ausgewählt wurden. Die Parameter wurden dann sowohl mit der Maximum-Likelihood-Methode als auch mit den Pseude-Likelihood-Methoden geschätzt und miteinander verglichen. Die Ergebnisse könnten wegen ständig erscheinenden Warnmeldungen bei der Schätzung von Parametern mit der Elerian-Methode nicht ganz sinnvoll interpretiert werden, zeigte sich aber die Gleichheit der Schätzungen aus der ML- und Euler-Methode. Insgesamt konnte festgestellt werden, dass die Pseude-Likelihood-Methoden nur dann konsistente Schätzer gewährleisten, wenn gleichzeitig der Zeitabstand zwischen den zwei aufeinanderfolgenden Beobachtungen klein gewählt wird und der Stichprobenumfamg relativ groß ist. Weiterhin kann statt der Pseude-Likelihood-Methode auch andere Approximationsmethoden verwendet werden. In Iacus (2008) zum Beispiel werden weitere Methoden zur Schätzung von Parameter dargestellt. Dazu gehören die approximierte Likelihood-Methode, die Methode der Schätz-Funktionen und die Momenten-Methode. 20

25 Literaturverzeichnis Abbas, S. (2012): Pseudo-Likelihood-Methode, Seminararbeit, Technische Universität Dortmund. Elerian, O. (1998): A note on the existence of a closed form conditional density for the Milstein scheme, Working Paper, Nuffield College, Oxford University. Florens-Zmirou, D. (1989): Approximate discrete time schemes for statistics of diffusion processes, Statistics 20, Iacus, S.M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations - with R Examples, Springer-Verlag, New York. Lo, A. (1988): Maximum likelihood estimation of generalized It?o processes with discretely sampled data, Econometric Theory 4, Perron, P., (1999): Testing consistency with varying sampling frequency, Econometric Theory 7, R Development Core Team (2014) : A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. Yoshida, N. (1992): Estimation for diffusion processes from discrete observation, Journal of multivariate analysis 41,

26 Anhang A Abbildungen Abbildung A.1: Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 1 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen. 22

27 Abbildung A.2: Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 3 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen. 23

28 Abbildung A.3: Boxplots der Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für die Parameter θ 1 und θ 3 des OU-Modells mit θ = (3, 1, 2), dem Stichprobenumfang n = und Schrittgröße = Abbildung A.4: Boxplots der explizit berechneten Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für die Parameter θ 2 und θ 3 des OU-Modells mit θ = (0, 3, 2), dem Stichprobenumfang n = und Schrittgröße =

29 Abbildung A.5: Boxplots der exakten Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 2 des OU-Modells mit θ = (0, 3, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen. 25

30 Abbildung A.6: Boxplots der exakten Schätzern aus der Euler-Methode und der ML-Methode für den Parameter θ 3 des OU-Modells mit θ = (0, 3, 2), dem Stichprobenumfang n = 1000 und verschiedenen Schrittgrößen. 26

31 Abbildung A.7: Boxplots der Schätzern aus der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML- Methode für den Parameter θ 1 des CIR-Modells mit θ = (0.2, 0.06, 0.15). 27

32 Abbildung A.8: Boxplots der Schätzern aus der Pseude-Likelihood-Methoden und der ML- Methode für den Parameter θ 3 des CIR-Modells mit θ = (0.2, 0.06, 0.15). 28

33 B Programmcode in R install.packages("sde") library(sde) set.seed(123) ####################### Black-Scholes-Merton-Modell ############################ # BS_t1 ist Matrix (3x100). Die Zeilen sind exakte Euler-Schaetzer von theta_1 # von 100 Trajektorien des BS-Modells. BS_t1 <- matrix(0,ncol=100,nrow=3) # BS_t1 ist Matrix (3x100). Die Zeilen sind exakte Euler-Schaetzer von theta_3 # von 100 Trajektorien des BS-Modells. BS_t3 <- matrix(0,ncol=100,nrow=3) NN <- c(100,1000,2500) for (j in 1:3){ theta1<-theta3<-null i<-1 # Simulation von 100 Trajektorien while (i<=100){ X <- sde.sim(x0=1,model="bs", theta=c(.25,.1), N=NN[j],delta=dt) n <- length(x) #exakte Euler-Schaetzer theta1[i] <- 1/(n*dt)*sum(X[2:n]/X[1:(n-1)]-1) theta3[i] <- sqrt(1/(n*dt)*sum((x[2:n]/x[1:(n-1)]-1-theta1[i]*dt)^2)) i<-i+1 BS_t1[j,] <- theta1 BS_t3[j,] <- theta3 # konsistenter Schaetzer fuer theta_1 konsis<-matrix(0,ncol=100,nrow=3) for (i in 1:3){ konsis[i,] <- 1/dt*log(1+BS_t1[i,]) 29

34 ####################### Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ############################ ### ML-Methode ### # Dichtefunktion von OU dcou <- function (x, t, x0, theta, log = FALSE ){ Ex <- theta[1]/theta[2] + (x0-theta[1]/theta[2])*exp(-theta[2]*t) Vx <- theta[3]^2*(1-exp(-2*theta[2]*t))/(2*theta[2]) dnorm (x, mean=ex, sd=sqrt(vx), log=log ) # Log-Likelihood-Funktion von OU OU.lik <- function(theta1,theta2,theta3){ n <- length(x) -sum(dcou(x[2:n], dt, X[1:(n-1)], c(theta1, theta2, theta3), log=true)) ### Euler-Methode ### # Driftfunktion von OU OUdrift_OU <- function(xt,theta){ b_ou <- theta[1] - theta[2]*xt return(b_ou) # Log-Likelihood-Funktion von Euler-Uebrgangsdichte dceuler_ou <- function(x, t, Xt, theta, drift){ b <- drift(xt, theta) (X-Xt)*dd - 0.5*t*b^2 Euler_OU.lik <- function(theta1,theta2){ n <- length(x) -sum(dceuler_ou(x[2:n], dt, X[1:(n-1)], c(theta1,theta2), OUdrift_OU)) # Maxiemierung # ML_OU ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer Trajektorie # des OU-Prozesses ML_OU <- matrix(0,nrow=100,ncol=3) # Eu_OU ist Matrix 100x3. Die Zeile sind Euler-Schaetzer von einer Trajektorie # des OU-Prozesses Eu_OU <- matrix(0,nrow=100,ncol=3) # Simulation und Schaetzer von 100 Trajektorien 30

35 for (i in 1:100){ X <- sde.sim(x0=1,model="ou", theta=c(3,1,2), N=10000,delta=dt) n<-length(x) # ML-Schaetzer ML_OU[i,] <- coef(summary(mle(ou.lik,start=list(theta1=1,theta2=1.5, theta3=1),method ="L-BFGS-B", lower=c(0.01,0.01,0.01))))[c(1,2,3)] # Euler-Schaetzer Eu_OU[i,c(1,2)] <- coef(summary(mle(euler_ou.lik,start=list(theta1=1.5, theta2=1),method="l-bfgs-b",lower=c(0.01,0.01))))[c(1,2)] # Euler-Schaetzwert fuer theta_3 theta3 <- sqrt(1/(n*dt)*sum((x[2:n]-x[1:(n-1)])^2)) theta3 Eu_OU.delta[i,] <- c(eu_ou.delta[i,c(1,2)],theta3) ########################## Cox-Ingersoll-Ross-Prozess ########################## ### ML-Methode ### expbes <- function(x,nu){ mu <- 4*nu^2 A1 <- 1 A2 <- A1*(mu-1)/(1*(8*x)) A3 <- A2*(mu-9)/(2*(8*x)) A4 <- A3*(mu-25)/(3*(8*x)) A5 <- A4*(mu-49)/(4*(8*x)) A6 <- A5*(mu-81)/(5*(8*x)) A7 <- A6*(mu-121)/(6*(8*x)) 1/sqrt(2*pi*x)*(A1-A2+A3-A4+A5-A6+A7) dccir <- function(x, t, x0, theta, log=false){ c <- 2*theta[2]/((1-exp(-theta[2]*t))*theta[3]^2) u <- c*x0*exp(-theta[2]*t) v <- c*x q <- 2*theta[1]/theta[3]^2-1 lik <- log(c)-(u+v)+q/2*log(v/u)+log(expbes(2*sqrt(u*v),q))+2*sqrt(u*v) if (!log) lik <- exp(lik) lik[is.infinite(lik)] <- NA return(lik) 31

36 CIR.lik <- function(theta1, theta2, theta3){ n <- length(x) -sum(dccir(x=x[2:n],t=dt,x0=x[1:(n-1)],theta=c(theta1,theta2,theta3),log=true),na.rm=t) ### Euler-Methode ### drift_cir <- function(xt,theta){ b <- theta[1]-theta[2]*xt return(b) diffus_cir <- function(xt,theta){ s_cir <- theta[3]*sqrt(xt) return(s_cir) dceuler_cir <- function(x, t, Xt, theta, drift,diffusion,log=false){ dd <- drift(xt, theta) s_cir <- diffusion(xt,theta) lik <- log(1/sqrt(2*pi*t*s_cir^2)*exp(-1/2*(x-xt-dd*t)^2/(t*s_cir^2))) if (!log) lik <- exp (lik) lik[is.infinite(lik)] <- NA return(lik) Euler_CIR.lik <- function(theta1,theta2,theta3){ n <- length(x) -sum(dceuler_cir(x[2:n], dt, X[1:(n-1)], c(theta1,theta2,theta3), drift_cir, diffus_cir),na.rm=t) ### Elerian-Methode ### # Diffusionsfunktion von CIR ss <- function(xt,theta){ theta[3]*sqrt(xt) # erste Ableitung des Diffusionsfunktions von CIR sx <- function(xt,theta){ 1/2*theta[3]/sqrt(Xt) 32

37 # Driftfunktion b <- function(xt,theta){ theta[1] - theta[2]*xt # Log-Likelihood-Funktion dcelerian <- function (xp, dt, xm, theta,log=false){ A <- ss(xm,theta) * sx(xm,theta) * dt/2 B <- -ss(xm,theta)/(2*sx(xm,theta)) + xm + b(xm,theta)*dt - A z <- (xp-b)/a z[z < 0] <- NA C <- 1/((sx(xm,theta)^2)*dt) tmp <- sqrt(c*z) tmp2 <- numeric(length(tmp)) idx <- which(abs(tmp)>10) tmp2[idx] <- tmp[idx] - log(2) tmp2[-idx ] <- log(cosh(tmp[-idx])) lik <- -log(abs(a)) - 0.5*log(2*pi) - 0.5*log(z)-(C + z)/2 + tmp2 if (!log) lik <- exp(lik) lik[is.infinite(lik)] <- NA return(lik) Elerian_CIR.lik <- function(theta1,theta2,theta3){ n <- length(x) -sum(dcelerian(x[2:n],dt,x[1:(n-1)],c(theta1,theta2,theta3)),na.rm=t) # Maximierung Euler <- Euler.0.01 <- Euler.0.1 <- matrix(0,nrow=100,ncol=3) Elerian <- Elerian.0.01 <- Elerian.0.1 <- matrix(0,nrow=100,ncol=3) ML <- ML.0.01 <- ML.0.1 <- matrix(0,nrow=100,ncol=3) for (i in 1:100){ # X0.001 ist erste erzeugte Stichprobe mit Schrittgroesse X0.001 <- sde.sim(model="cir", theta=c(0.2,0.06,0.15), N=10000,T=10) # X0.01 ist Sticprobe aus X0.001 mi=1000 und delta=0.01 X0.01 <- X0.001[seq(1,n,10)] # X0.1 ist Sticprobe aus X0.001 mi=100 und delta=0.1 X0.1 <- X0.001[seq(1,n,100)] n0.01 <- length(x0.01) # Stichprobenumfang von X

38 n0.1 <- length(x0.1) # Stichprobenumfang von X0.1 # ML Schaetzer X <- X0.001 dt < n <- length(x0.001) ML0.001 <- coef(summary(mle(cir.lik,start=list(theta1=.4,theta2=.1,theta3=.3), method ="L-BFGS-B",lower=c(.001,.001,.001), upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] X<-X0.01 dt < n <- n0.01 ML0.01 <- coef(summary(mle(cir.lik,start=list(theta1=.4,theta2=.1,theta3=.3), method ="L-BFGS-B",lower=c(.001,.001,.001), upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] X<-X0.1 dt <- 0.1 n <- n0.1 ML0.1 <- coef(summary(mle(cir.lik,start=list(theta1=.4,theta2=.1,theta3=.3), method ="L-BFGS-B",lower=c(.001,.001,.001), upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] # ML ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=10000 und delta=0.001 des CIR-Prozesses ML.0.001[i,]<-ML0.001 # ML.0.01 ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=1000 und delta=0.01 des CIR-Prozesses # ML.0.1 ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=100 und delta=0.1 des CIR-Prozesses ML.0.01[i,]<-ML0.01 ML.0.1[i,]<-ML0.1 # Euler Schaetzer X<-X0.001 dt < n<-length(x0.001) Euler0.001 <- coef(summary(mle(euler_cir.lik,start=list(theta1=.1,theta2=.1, theta3=.1),method ="L-BFGS-B",lower=c(0.01,0.01,0.01), upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] X<-X

39 dt < n <- n0.01 Euler0.01 <- coef(summary(mle(euler_cir.lik,start=list(theta1=.1,theta2=.1, theta3=.1),method ="L-BFGS-B",lower=c(0.01,0.01,0.01), upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] X<-X0.1 dt <- 0.1 n <- n0.1 Euler0.1 <- coef(summary( mle(euler_cir.lik,start=list(theta1=.1,theta2=.1, theta3=.1),method ="L-BFGS-B",lower=c(0.01,0.01,0.01), upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] # Euler ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=10000 und delta=0.001 des CIR-Prozesses Euler.0.001[i,]<-Euler0.001 # Euler.0.01 ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=1000 und delta=0.01 des CIR-Prozesse Euler.0.01[i,]<-Euler0.01 # Euler.0.1 ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=100 und delta=0.1 des CIR-Prozesse Euler.0.1[i,]<-Euler0.1 # Elerian Schaetzer X<-X0.001 dt < n<-length(x0.001) Elerian0.001 <- coef(summary(mle(elerian_cir.lik,start=list(theta1=.1, theta2=.1,theta3=.1),method ="L-BFGS-B", lower=c(.01,.01,.01),upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] X<-X0.01 dt < n <- n0.01 Elerian0.01 <- coef(summary(mle(elerian_cir.lik,start=list(theta1=.1, theta2=.1,theta3=.1),method ="L-BFGS-B", lower=c(.01,.01,.01),upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] X<-X0.1 dt <- 0.1 n <- n0.1 Elerian0.1 <- coef(summary(mle(elerian_cir.lik,start=list(theta1=.1, theta2=.1,theta3=.1),method ="L-BFGS-B", 35

40 lower=c(.01,.01,.01),upper=c(1.5,1.5,1.5))))[c(1,2,3)] # Elerian ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=10000 und delta=0.001 des CIR-Prozesse Elerian.0.001[i,]<-Elerian0.001 # Elerian.0.01 ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=1000 und delta=0.01 des CIR-Prozesse Elerian.0.01[i,]<-Elerian0.01 # Elerian.0.1 ist Matrix (100x3). Die Zeile sind ML-Schaetzer von einer # Trajektorie mi=100 und delta=0.1 des CIR-Prozesse Elerian.0.1[i,]<-Elerian0.1 36