Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Mertonund das Cox-Ingersoll-Ross-Modell
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1 Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Mertonund das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Vortrag im Seminar Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen Philipp Aschersleben Fakultät Statistik, Technische Universität Dortmund 7. Januar 2015 Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
2 Einleitung ˆ stochastische Differentialgleichungen mit vielen Anwendungsgebieten Finanzmathematik ˆ Black-Scholes-Merton-Modell: Preisstruktur von Finanzprodukten berühmte Black-Scholes-Differentialgleichung (Deutsch, 2001, S. 93) Es ist nicht übertrieben, die Entdeckung dieser Formel als den Beginn der modernen Finanzmathematik zu bezeichnen. (Behrends, 2013, S. 131) ˆ Cox-Ingersoll-Ross-Modell: kurzfristige Zinsstrukturen Parameterschätzung ˆ Prognose ˆ Hypothesentests ˆ Strukturbrüche Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
3 Inhaltsverzeichnis 1 Modelle & Methoden 2 Black-Scholes-Merton-Modell 3 Cox-Ingersoll-Ross-Modell 4 Zusammenfassung Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
4 1: Modelle & Methoden 1: Modelle & Methoden Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
5 Das Black-Scholes-Merton-Modell Modell 1: Modelle & Methoden ˆ Stochastische Differentialgleichung dx t = rx t dt + σx t dw t, X 0 = x ˆ Lösung: geometrische Brownsche Bewegung (( ) ) S(t) = x exp r σ2 2 t + σw (t), t > 0. ˆ Bedingte Dichte: Log-Normalverteilung Simulation ˆ sde.sim(model = "BS",...) aus dem Paket sde Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
6 Das Black-Scholes-Merton-Modell Dichtefunktion 1: Modelle & Methoden ˆ Bedingte Dichte der geometrischen Brownschen Bewegung: ( ( ( )) ) 2 1 p θ (t, y x) = σy 2πt exp log y log x + t r σ2 2 2tσ 2. ˆ Herleitung (siehe Tafel) ˆ Log-Normalverteilung mit Erwartungswert m(t, x) = xe rt und Varianz v(t, x) = x 2 e 2rt e σ2 t 1. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
7 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Modell 1: Modelle & Methoden ˆ Stochastische Differentialgleichung: ˆ Lösung: dx t = (θ 1 θ 2 X t ) dt + θ 3 Xt dw t, X 0 = x 0 > 0, X t = ( X 0 θ ) 1 e θ2t + θ 3 e θ 2t θ 2 ˆ Stationaritätsbedingung: 2θ 1 > θ 2 3 Simulation t 0 e θ 2u X u dw u ˆ sde.sim(model = "CIR",...) aus dem Paket sde Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
8 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Dichtefunktion 1: Modelle & Methoden ˆ Bedingte Dichte im Stationaritätsfall: Herleitung über Y t = 2cX t ˆ Y t Y 0 = y 0 ist nicht-zentral χ 2 -verteilt 4θ1 /θ3 2 Freiheitsgrade Nichtzentralitätsparameter 2cy0 e θ2t ˆ Bedingte Dichte von X t X 0 = x 0 : ( p θ (t, y x 0 ) = ce u v v ) q/2 Iq (2 uv) u 2θ 2 mit c = θ3 2(1 e θ2t ), q = 2θ 1 θ3 2 1 u = cx 0 e θ2t, v = cy. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
9 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell ˆ I q ( ): modifizierte Bessel-Funktion 1. Ordnung: ( x ) 2k+q 1 I q (x) = 2 k! Γ(k + q + 1) k=0 ˆ exponentielle Umskalierung und Approximation log(i q (x)) = log ( e x I q (x) ) + x 1: Modelle & Methoden expbes <- function(x, q) { mu <- 4 * q^2 A1 <- 1 A2 <- A1 * (mu - 1) / (1 * (8 * x)) A3 <- A2 * (mu - 9) / (2 * (8 * x)) A4 <- A3 * (mu - 25) / (3 * (8 * x)) A5 <- A4 * (mu - 49) / (4 * (8 * x)) A6 <- A5 * (mu - 81) / (5 * (8 * x)) A7 <- A6 * (mu - 121) / (6 * (8 * x)) 1 / sqrt (2 * pi * x) * (A1 - A2 + A3 - A4 + A5 - A6 + A7) } Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
10 Die (Log-)Likelihood-Funktion 1: Modelle & Methoden Übergangsdichte ˆ p θ (t, x): Dichte von X s+t bedingt auf X s = x t 0 (Log-)Likelihood-Funktion ˆ Produkt der Übergangsdichten für jeden Zeitpunkt: L n (θ) = n p θ (, X i X i 1 ) p θ (X 0 ) i=1 l n (θ) = log L n (θ) = n i=1 ˆ X i : X ti mit t i = i i (meistens i = ) log p θ (, X i X i 1 ) + log p θ (X 0 ) }{{} =0 (Annahme) ˆ weitere notwendige Annahmen: lineares Wachstum, globale Lipschitz-Stetigkeit, Positivität der Diffusionsparamter, beschränkte Momente und Glattheit der Koeffizienten Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
11 2: Black-Scholes-Merton-Modell 2: Black-Scholes-Merton-Modell Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
12 Simulationen in R Übergangsdichte 2: Black-Scholes-Merton-Modell dcbs <- function(x, t, x0, r, sigma, log = TRUE) { ml <- log(x0) + (r - sigma^2 /2) * t sl <- sqrt(t) * sigma lik <- dlnorm(x, meanlog = ml, sdlog = sl, log = TRUE) if(!log) lik <- exp(lik) lik } Log-Likelihood BS.lik <- function(r, sigma) { n <- length(x) dt <- deltat(x) -sum(dcbs(x = X[2:n], t = dt, x0 = X[1:(n-1)], r = r, sigma = sigma, log = TRUE)) } Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
13 Simulationen in R 2: Black-Scholes-Merton-Modell Parameterschätzung set.seed(1909) X <- sde.sim(model = "BS", theta = c(r = 0.5, sigma = 0.2), N = 100, T = 1) fit <- mle(bs.lik, start = list(r = 1, sigma = 1), method = "L-BFGS-B", lower = c(0.01,0.01)) coef(fit) ## r sigma ## ˆ bereits nah an wahren Parametern ˆ Simulationsstudie (jeweils 1000 Wiederholungen) zur Überprüfung von Erwartungstreue und Konvergenz ˆ Veränderung der Zeitreihen-Länge N ˆ Veränderung des Zeitabstands Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
14 Simulationen in R 2: Black-Scholes-Merton-Modell Parameter: r = 0.5, σ = Zeit Abbildung : Beispieltrajektorien mit N = 100, = Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
15 Simulationen in R 2: Black-Scholes-Merton-Modell Parameter: r = 0.5, σ = Zeit Abbildung : Beispieltrajektorien mit N = 100, = 0.1. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
16 Simulationen in R 2: Black-Scholes-Merton-Modell Schätzungen des Paramters r bei steigendem N Schätzungen des Paramters σ bei steigendem N Abbildung : Auswirkungen der Veränderung der Zeitreihen-Länge N ( = 0.01). Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
17 Simulationen in R 2: Black-Scholes-Merton-Modell Schätzungen des Paramters r bei steigendem Zeitabstand Schätzungen des Paramters σ bei steigendem Zeitabstand Abbildung : Auswirkungen der Veränderung des Zeitabstands (N = 500). Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
18 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
19 Simulationen in R Übergangsdichte 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell dccir <- function(x, t, x0, theta, log = FALSE) { c <- 2 * theta[2] / ((1 - exp(-theta[2] * t)) * theta[3]^2) u <- c * x0 * exp(-theta[2] * t) v <- c * x q <- 2 * theta[1] / theta[3]^2-1 lik <- log(c) - (u + v) + q / 2 * log(v / u) + log(expbes(2 * sqrt(u * v), q)) + 2 * sqrt(u * v) if (!log) lik <- exp(lik) lik } Log-Likelihood CIR.lik <- function(theta1, theta2, theta3) { n <- length(x) dt <- deltat(x) -sum(dccir(x = X[2:n], t = dt, x0 = X[1:(n-1)], theta = c(theta1, theta2, theta3), log = TRUE)) } Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
20 Simulationen in R 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell Parameterschätzung set.seed(1909) X <- sde.sim(model = "CIR", theta = c(0.2, 0.06, 0.15), N = 100, T = 10) fit <- mle(cir.lik, method = "L-BFGS-B", lower = c(0.01, 0.01, 0.01), start = list(theta1 = 0.1, theta2 = 0.1, theta3 = 0.1)) coef(fit) ## theta1 theta2 theta3 ## ˆ teils weit von wahren Parametern entfernt ˆ Simulationsstudie (jeweils 1000 Wiederholungen) zur Überprüfung von Erwartungstreue und Konvergenz ˆ Veränderung von Zeitreihen-Länge N ˆ Betrachtung einer alternativen Optimierungsfunktion (Einhaltung der Stationaritätsbedingung) Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
21 Simulationen in R 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell Parameter: θ 1 = 0.2, θ 2 = 0.06, θ 3 = Zeit Abbildung : Beispieltrajektorien mit N = 100, = 0.1. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
22 Simulationen in R 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell 1.0 Schätzungen des Paramters θ 1 bei steigendem N Schätzungen des Paramters θ 2 bei steigendem N Schätzungen des Paramters θ 3 bei steigendem N Abbildung : Auswirkungen der Veränderung der Zeitreihen-Länge N. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
23 Simulationen in R 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell Vergleich der Parameter Schätzungen mit optim() und constroptim.nl() Vergleich θ 1 Vergleich θ 2 Vergleich θ optim() constroptim.nl() optim() constroptim.nl() optim() constroptim.nl() Abbildung : Vergleich der Parameterschätzungen mit optim() (jeweils links) und mit constroptim.nl() (jeweils rechts) in Zeitreihen der Länge N = 500. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
24 Alternative Berechnung der χ 2 -Dichte 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell ˆ Dauer bei Verwendung von dchisq() signifikant gesteigert ˆ Summand log(2 * c) folgt aus Dichte-Herleitung über Y t = 2cX t dccir2 <- function(x, Dt, x0, theta, log = FALSE) { c <- 2 * theta[2] / ((1 - exp(-theta[2] * Dt)) * theta[3]^2) ncp <- 2 * c * x0 * exp(-theta[2] * Dt) df <- 4 * theta[1] / theta[3]^2 lik <- dchisq(2 * x * c, df = df, ncp = ncp, log = TRUE) + log(2 * c) if (!log) lik <- exp(lik) lik } CIR.lik2 <- function(theta1, theta2, theta3) { n <- length(x) dt <- deltat(x) -sum(dccir2(x = X[2:n], Dt = dt, x0 = X[1:(n-1)], theta = c(theta1, theta2, theta3), log = TRUE)) } Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
25 Alternative Berechnung der χ 2 -Dichte 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell ˆ Simulationsstudie: 500 Cox-Ingersoll-Ross-Prozesse ˆ Analyse der benötigten Rechenzeiten mit proc.time() ˆ Ergebnisse: ##### Simulation CIR.lik() ## user system elapsed ## ##### Simulation CIR.lik2() ## user system elapsed ## ##### Differenzen der Parameterschätzungen ## [,1] [,2] [,3] ## [1,] e e e-06 ## [2,] e e e-06 Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
26 Verletzung der Stationaritätsannahme 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell Stationaritätsbedingung: 2θ 1 > θ 2 3 set.seed(1909) X <- sde.sim(model = "CIR", theta = c(0.1, 0.06, 0.5), N = 100, T = 10) ## ## the process is not stationary fit <- mle(cir.lik, method = "L-BFGS-B", lower = c(0.01, 0.01, 0.01), start = list(theta1 = 0.1, theta2 = 0.1, theta3 = 0.1)) coef(fit) ## theta1 theta2 theta3 ## ˆ auch hier teilweise weit von wahren Parametern entfernt ˆ Simulationsstudie (jeweils 1000 Wiederholungen) zur Überprüfung von Erwartungstreue und Konvergenz ˆ Veränderung von Zeitreihen-Länge N Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
27 Verletzung der Stationaritätsannahme 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell Parameter: θ 1 = 0.1, θ 2 = 0.06, θ 3 = Zeit Abbildung : Beispieltrajektorien mit N = 100, = 0.1. Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
28 Verletzung der Stationaritätsannahme 3: Cox-Ingersoll-Ross-Modell 1.0 Nicht stationärer CIR Prozess: Schätzungen des Paramters θ 1 bei steigendem N (0) 50 (0.085) 100 (0.204) 250 (0.479) 500 (0.689) 1000 (0.865) 2500 (0.993) 5000 (1) 1.0 Nicht stationärer CIR Prozess: Schätzungen des Paramters θ 2 bei steigendem N (0) 50 (0.085) 100 (0.204) 250 (0.479) 500 (0.689) 1000 (0.865) 2500 (0.993) 5000 (1) 1.0 Nicht stationärer CIR Prozess: Schätzungen des Paramters θ 3 bei steigendem N (0) 50 (0.085) 100 (0.204) 250 (0.479) 500 (0.689) 1000 (0.865) 2500 (0.993) Abbildung : Die Zahlen in Klammern geben den Anteil der Prozesse an, bei denen keine Schätzung durchgeführt werden konnte (1) Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
29 4: Zusammenfassung 4: Zusammenfassung Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
30 Zusammenfassung Black-Scholes-Merton-Modell 4: Zusammenfassung ˆ Herleitung der Übergangsdichte (Log-Normalverteilung) ˆ Simulationsstudien Veränderung von N Veränderung von ˆ Erwartungstreue und Konvergenze Cox-Ingersoll-Ross-Modell ˆ Übergangsdichte (χ 2 -Verteilung) und Approximation ˆ Simulationsstudien Veränderung von N (keine Erwartungstreue) Vergleich der Berechnungsmethoden (Dauer, nur geringe Unterschiede) Verletzung der Stationaritätsbedingung (numerische Fehler) ˆ Konvergenz Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
31 Literatur- und Quellenverzeichnis I 5: Anhang Behrends, Ehrhard. Markovprozesse und stochastische Differentialgleichungen. Vom Zufallsspaziergang zur Black-Scholes-Formel. Springer Fachmedien, Wiesbaden, Bischl, Bernd und Michel Lang. parallelmap: Unified interface to some popular parallelization back-ends for interactive usage and package development. R package version url: Bischl, Bernd, Michel Lang, Jakob Bossek, Daniel Horn und Jakob Richter. BBmisc: Miscellaneous helper functions for B. Bischl. R package version url: Deutsch, Hans-Peter. Derivate und interne Modelle. Schäfer-Poeschel, Stuttgart, Dyrting, Sigurd. Evaluating the Noncentral Chi-Square Distribution for the Cox-Ingersoll-Ross Process. Computational Economics 24 (2004), Fahrmeir, Ludwig, Rita Künstler, Iris Pigeot und Gerhard Tutz. Statistik. Springer, Berlin, Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
32 Literatur- und Quellenverzeichnis II Feller, William. Two Singular Diffusion Problems. Annals of Mathematics 54(1) (1951), : Anhang Iacus, Stefano M. Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations. Springer, New York, Iacus, Stefano M. sde: Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations. R package version url: R Core Team. Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing. Wien, url: Varadhan, Ravi. alabama: Constrained Nonlinear Optimization. R package version url: Xie, Yihui. knitr: A General-Purpose Package for Dynamic Report Generation in R. R package version url: Philipp Aschersleben ML-Schätzung: BSM- und CIR-Modell 7. Januar / 32
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