Finden Sie für diese Daten eine Anpassung der Form. t(d,t 0 ) = a 1 +a 2 d+a 3 T 0 +a 4 dt 0

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1 Übungen zu Numerische Methoden I Siebente Übungseinheit 16., 17. und 18. Mai 2011 Inhalt der siebten Übungseinheit: Lineare Datenmodelle überbestimmte nichtlineare Systeme Basic Fitting Tool 7.1 Lineare Datenmodelle Aufgabe 1 Magnetische Missweisung Die Zentralanstalt für Meteorologie und Geodynamik gibt für die Landeshauptstädte folgende Werte der magnetischen Deklination an: Deklinationswerte der einzelnen Landeshauptstädte (östliche Deklination bezogen auf Jahresmitte 2008) Stadt Länge Breite Deklination x y D Wien (WIK) Eisenstadt St.Pölten Graz Linz Klagenfurt Salzburg Innsbruck Bregenz Finden Sie für diese Daten eine Anpassung der Form z(x,y) = a 1 +a 2 x+a x 2 +a y Geben Sie die Differenz D z(x,y) zwischen den tatsächlichen Deklinationswerten und den angepassten Werten an. Welcher Wert wird am schlechtesten approximiert? Aufgabe 2 Für die Blies (einen Nebenfluss der Saar) sollen die Hochwasserstände am Pegel Neunkirchen aus den Wasserständen des Pegels Ottweiler und des Pegels Hangard vorhergesagt werden. Es liegen die Daten der Scheitelwasserstände von 12 Winterhochwässern aus den Jahren vor: 1

2 Wasserstand in cm Neunkirchen y Ottweiler x Hangard x Quelle: U. Maniak, Hydrologie und Wasserwirtschaft, Springer, 1988 Wir unterstellen den Daten das lineare Modell a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = y. In diesem Ansatz sind a 0,a 1 und a 2 unbekannte Koeffizienten, die aus den zwölf gegebenen Werte-Tripeln möglichst gut bestimmt werden sollen. Berechnen Sie die Koeffizienten des linearen Modells, und geben Sie auch den Differenzenvektor zwischen Modellvorhersage und Messwerten an. (Dieses Beispiel ist im Skriptum Kapitel. ausführlich durchgerechnet) Aufgabe So ein Ei! Der Wiener Physiker Werner Gruber beschäftigt sich mit der Thermodynamik des Eierkochens und gibt folgende Werte für die Kochzeit eines perfekt weichen Frühstücks-Eis an, abhängig von Bauchdurchmesser d (nicht seiner, der des Eis) und Ausgangstempeatur Durchmesser Ausgangstemperatur Kochzeit d (mm) T_0 (C) (min:sek).0 : :10.0 : : : : : :0 Finden Sie für diese Daten eine Anpassung der Form t(d, ) = a 1 +a 2 d+a +a d Zeichnen Sie ein Diagramm ähnlich dem hier gezeigten (x-achse: Eidurchmesser, y-achse: Kochzeit), in dem Sie für Anfangstemperaturen,1,2 Grad die Kochzeiten eintragen Kochzeit (min) 6.. = =1 = Ei Bauchdurchmesser (mm) 2

3 7.2 Überbestimmte nichtlineare Systeme, Gauß-Newton-Verfahren Das Gauß-Newton-Verfahren löst überbestimmte nichtlineare Systeme. Die Grundidee ist, ähnlich wie bei der Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme mit dem Newton-Verfahren, verbesserte Näherungen durch Lösung eines Gleichungssystems mit der Jacobimatrix des nichtlinearen Systems zu finden. Die Aufgabe und die Folien der Vorlesung verwenden dieses Verfahren und zeigen den Rechenweg. Aufgabe Standortbestimmung durch Trilateration Die Abstände von drei festen Punkten A,B,C in der xy-ebene zu einem unbekannten Punkt X sind (etwas ungenau) bekannt. Gesucht ist eine möglichst gute Positionsbestimmung. 9 Punkt x y Entfernung ,6 8, C d c =.2 Die entsprechenden Gleichungen lauten: (x1 1) 2 +(x 2 1) 2 = 6 (x1 8) 2 +(x 2 ) 2 =.6 (x1 ) 2 +(x 2 8) 2 =.2 d a =6 X d b =.6 B 2 1 Den drei Gleichungen entsprechen drei A Kreise im R 2. Sie haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt Die Folien der Vorlesung diskutieren dieses Modell und rechnen die ersten Schritte vor. Schreiben Sie ein MATLAB-Programm, das die kleinste-quadrate-lösung für den Standort findet. Bemerkung: Das GPS-System misst zur Positionsbestimmung die Abstände (genauer: Signallaufzeiten) zu mehreren Satelliten und bestimmt auch durch Ausgleichsrechnung die Position. Aufgabe Gauß-Newton-Verfahren in Wikipedia Das folgende Beispiel stammt aus der englischen bzw. französische Wikipedia (Stichworte Gauss-Newton algorithm bzw. Algorithme de Gauss-Newton). Lösen Sie die Aufgabe mit folgender Anleitung in MATLAB. Biologie-Experimente zur Beziehung zwischen Substanz-Konzentration x und Reaktionsrate y in einer durch Enzyme vermittelten Reaktion haben die Daten in folgender Tabelle

4 ergeben: x y Gesucht ist eine Kurve (Modellfunktion) der Form y = a x b+x die im Sinn der kleinsten Quadrate die Daten 0.1 am besten approximiert. Die Parameter a und b 0.1 sind zu bestimmen. 0.0 Einsetzen der Daten ergibt sieben nichtlineare [S] 0 Gleichungen in den beiden Unbekannten a,b a 0.08 b = 0 a 0.19 b = 0.. a.70 b = 0 reaction rate Das Gleichungssystem in Vektor-Schreibweise: f(x) = 0 mit f : R 2 R 7 Die Jacobi-Matrix D f dieses Systems ist eine 7 2-Matrix. Zeile i enthält die partiellen Ableitungen der i-ten Gleichung nach den Unbekannten a und b. (D f ) i1 = x i b+x i, (D f ) i2 = ax i (b+x i ) 2 Der weitere Lösungsweg verläuft völlig analog zu Aufgabe 27 und der Musterlösung auf Seite 2 im Skriptum: Wählen Sie als Startwert [a;b]=[0.9;0.2], werten Sie f und D f aus. Die Lösung des überbestimmten Glichungssystems D f x = f liefert den Korrekturvektor. Aufgabe 6 Die Gleichung der Modellfunktion von Aufgabe, lässt sich umformen auf y = a x b+x ax by = xy

5 Einsetzen der gegebenen Daten führt auf ein lineares überbestimmtes System. Bestimmen sie damit die Parameter a und b. Warum ergeben sich nicht genau dieselben Parameter? Welche Datenpunkte haben in dieser Rechnung mehr Einfluss als bei der Rechnung in Aufgabe? 7. Anpassen von Funktionen an Daten Machen Sie sich mit dem Basic Fitting Tool vertraut! In der MATLAB-Hilfe finden Sie unter MATLAB Data Analysis Regression Analysis Interactive Fitting Example: Using Basic Fitting GUI ein durchgearbeitetes Beispiel, das die Verwendung des MALTLAB-Werkzeugs für interaktives Anpassen von Kurven an Datenpunkte erklärt. Aufgabe 7 Basic Fitting Tool Arbeiten das Beispiel in der MATLAB-Hilfe durch und stellen Sie die Approximation graphisch dar, etwa so wie in der nebenstehenden Abbildung. Aufgabe 8 Das Basic Fitting Tool kann auch nicht alles... Legen Sie mit MATLABs basic fitting tool eine Ausgleichsgerade, ein quadratisches und dann ein kubisches Ausgleichspolynom durch die Datenpunkte aus Aufgabe und plotten Sie die Ergebnisse. Welche anderen Optionen des basic fitting tool liefern plausible Kurven? Was bedeuten die Fehlermeldungen, die Sie ab Grad 7 bekommen? Es stellt sich heraus: Kein Ausgleichspolynom kann die Datenpunkte befriedigend approximieren. Das liegt teils daran, dass die Datenpunkte aufgrund der Messunsicherheit weit gestreut sind, aber auch daran, dass die Reaktionsrate sich mit zunehmender Substanzkonzentration asymptotisch einem konstanten Wert nähert. Kein Polynom kann so ein asymptotisches Verhalten beschreiben.