Der Durchschnitt zweier Zahlen, wovon die eine das Doppelte der anderen ist, beträgt 33. Wie heissen die Zahlen?

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1 Textaufgaben mit zwei gesuchten Zahlen Bei Textaufgaben, in denen zwei Zahlen gesucht sind, werden zuerst beide aufgelistet. Dann wird eine als x bestimmt und dann festgehalten, wie sich die andere dazu verhält. Danach wird die Gleichung aufgestellt und gelöst. Weil zwei Zahlen gesucht sind, besteht auch die Schlusslösung aus zwei Resultaten. Wie immer soll am Schluss die Lösung anhand des Textes überprüft werden! Beispiel: Der Durchschnitt zweier Zahlen, wovon die eine das Doppelte der anderen ist, beträgt 33. Wie heissen die Zahlen? 1. Zahl: x 2. Zahl: 2x x 2x 2 33 / G x 2x /. 2 x + 2x = 66 / V 3x = 66 / : 3 x = Zahl: Zahl: 44 Hinweis: Wenn zwei Zahlen zusammen 11 ergeben, so ist eine Zahl x und die andere Zahl 11 x. 1. Die Summe zweier Zahlen, die sich um 17 unterscheiden, ist 41. Wie heissen die Zahlen? 2. Die Differenz zweier Zahlen beträgt 13, ihre Summe ist aber 51. Wie heissen die Zahlen? 3. Zwei Zahlen geben zusammen 24. Teilt man die grössere durch die kleinere, so erhalte ich als Ergebnis 3. Wie heissen die Zahlen? 4. Die Summe zweier Zahlen ist 36. Teilt man beide Zahlen durch 3, so ist der Unterschied dieser beiden Drittel 2. Wie heissen die Zahlen? Textaufgaben mit zwei aufeinanderfolgenden Zahlen Sind zwei oder mehr aufeinanderfolgende Zahlen gesucht, so ist die erste Zahl x, die folgende ist um 1 grösser und heisst also x + 1. Die weiter nachfolgende Zahl hiesse dann: x oder x + 2 usw. (Wenn die Zahlen aus der 4-er Reihe stammen, so ist die folgende natürlich um 4 grösser und hiesse x + 4.) Beispiel: Multipliziert man zwei aufeinanderfolgende Zahlen, so erhält man 8 mehr als das Quadrat der kleineren Zahl. 1. Zahl: x 2. Zahl: x + 1 x. (x +1) = x / V x 2 + x = x / x 2 x = 8 1. Zahl: 8 2. Zahl: 9 1 / 8

2 5. Drei aufeinanderfolgende Zahlen ergeben addiert genau 99. Wie heissen sie? 6. Du addierst vier aufeinanderfolgende Zahlen der Siebnerreihe und erhältst 126. Wie heissen die vier Zahlen? 7. Man hat zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen addiert und von der Summe 7 subtrahiert. Das Ergebnis wurde dann noch mit 4,5 multipliziert. Das ergab 81. Wie heissen die beiden Zahlen? 8. Die Summe der Tagesdaten einer Woche (Montag bis Sonntag), die ganz innerhalb des gleichen Monats liegt, ist 98. Welches Datum trägt also der Montag dieser Woche? Textaufgaben aus der Geometrie Einige Aufgaben entstammen der Geometrie. Sie sind genau gleich zu lösen wie bis anhin. Zeichne aber zu jeder dieser Aufgaben eine Planfigur, in welche du alles, was du weisst, einträgst. Beispiel: In einem Dreieck ist der mittelgrosse Winkel um 20 grösser als der kleinste und zugleich dreimal kleiner als der grösste Winkel. Ermittle die Grösse aller drei Winkel. Möglicher Vorschlag für x: mittlerer Winkel 1. Winkel x Winkel x 3. Winkel 3x Winkelsumme im Dreieck: 180 3x x-20 x x 20 + x + 3x = 180 / V 5x 20 = 180 / x = 200 / : 5 x = Winkel Winkel Winkel In einem Dreieck ist der zweite Winkel doppelt so gross wie der erste, aber um 20 kleiner als der dritte Winkel. Wie gross ist jeder der drei Winkel? 10. In einem Dreieck ist der mittlere Winkel dreimal so gross wie der kleinste, aber nur halb so gross wie der grösste Winkel. Wie gross ist jeder Winkel? 11. In einem Dreieck ist der mittlere Winkel dreimal so gross wie der kleinste. Der dritte Winkel ist um 30 kleiner als die beiden übrigen Winkel zusammen. Wie gross ist jeder Winkel? 12. In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze genau halb so gross wie einer der gleich grossen Basiswinkel. Wie gross ist jeder der drei Winkel? 13. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks ist 28 cm. Die Grundseite ist 1 cm länger als ein Schenkel. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? 2 / 8

3 Eine geometrische Figur wird verändert Bei anderen Aufgabentypen werden an einer gegebenen Figur Änderungen vorgenommen. Daraus entsteht eine zweite, neue Figur. Zeichne zunächst beide Figuren. Setze dann ein Gleichheitszeichen dazwischen und überlege, bei welcher du etwas addieren oder subtrahieren musst, damit beide Figuren gleich sind. Trage anschliessend die bekannten Grössen in die Figuren ein. Beispiel: Verkleinert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrates um 2 cm und vergrössert die anderen um 4 cm, so ist das entstehende Rechteck um 4 cm 2 grösser als das Quadrat. Wie lang war eine Quadratseite? x x + 4 x A = x 2 x + 4 cm 2 = x 2 A = l b x 2 x x + 4 Die Grundgleichung lautet also: A = A 2 x = (x + 4) (x 2) / V x = x 2 2x + 4x - 8 / V / x 2 4 = 2x - 8 / = 2x /:2 6 = x Quadratseite: 6 cm 14. Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um 5 cm und verkürzt die anderen um 3 cm, so erhält man ein Rechteck, das den gleichen Flächeninhalt hat wie das Quadrat. Wie lang sind die Quadratseiten? 15. Verlängert man zwei gegenüberliegende Seiten eines Quadrats um 3 cm, so ist der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks um 57 cm 2 grösser als der des Quadrats. Berechne die Länge der Quadratseite. 16. In einem Rechteck beträgt die Breite 2 /3 der Länge. Vergrössert man die Breite um 3 cm und verkleinert die Länge um 3 cm, so ändert sich der Flächeninhalt nicht. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks? 17. In einem Rechteck misst die Breite 37m. Die Länge übertrifft die Breite um 12 m. Nun soll die Länge so verändert werden, dass der Flächeninhalt des Rechtecks um 222 m 2 zunimmt. Um wie viele m muss die Länge vergrössert werden? Vermischte Aufgaben Die nachfolgenden Aufgaben haben zwar einen anderen Text, sind aber genau gleich zu lösen wie reine Zahlenaufgaben. Beachte auch hier: Zuerst die einzelnen Teile auflisten! 18. Zwei Geschwister, von welchen das ältere 2 ½ mal so alt ist wie das jüngere, sind zusammen 21 Jahre alt. 19. Die Summe von Fr ist so unter A, B und C zu verteilen, dass A Fr mehr erhält als B und B Fr mehr erhält als C. Wie viel erhält jeder? 20. Ein Acker misst 4410 m 2. Er muss unter A und B so aufgeteilt werden, dass das Stück von A um ein Drittel grösser ist als das von B. Wie gross sind die beiden Flächen? Zeichenblätter sind unter 4 Schülern verteilt worden. Bettina hat die Hälfte, Christian ein Drittel und Damian ein Viertel von den Blättern erhalten, die Anita erhielt. Wie viele Zeichenblätter verbrauchte jeder? 3 / 8

4 Anzahl und Wert unterscheiden sich Bei einigen Aufgaben geht es darum, zuerst herauszufinden, welche Anzahl es hat, um dann daraus deren Wert zu errechnen. Weil dann im Wert auch die Stückzahl eingerechnet ist, kann daraus die Gleichung ermittelt werden. Das folgende Rechnungsschema kann dir dabei gute Dienste erweisen. Beispiel: Auf einem Parkplatz stehen Autos und Töfflis, zusammen 31 Stück. Alle Fahrzeuge zusammen haben 100 Räder. Wie viele Autos und Töfflis stehen auf dem Parkplatz? Stückzahl Räder Auto x 4 x Töffli 31 - x 2. (31 x) Total x + 2(31 x) = 100 / V 4x x = 100 / V 2x + 62 = 100 / x = 38 / : 2 Autos: 19 x = 19 Töfflis: Susi zählt ihre Ersparnisse, die nur aus lauter Zweifränklern und Fünflibern bestehen und kommt auf 54 Franken. Zufällig sind es gerade doppelt so viele Zweifränkler wie Fünfliber. 23. In einem Käfig sind Kaninchen und Fasane beisammen. Die Tiere haben 35 Köpfe und 94 Beine Wie viele sind es von jeder Art? 24. In einem Weinkeller liegen 60 Flaschen Wein. Die Rotweine kosten Fr.12.- pro Flasche, die Weissweine Fr. 10.-, alle Flaschen zusammen Fr Wie viele Flaschen von jeder Sorte sind im Keller? Zahlen und Ziffern Ganz ähnlich wie die vorherigen Aufgaben sind die Aufgaben mit Ziffern und Zahlen anzupacken. Je nach dem, wo die Ziffer im Dezimalsystem steht muss sie mit 1, 10 oder 100 multipliziert werden, um ihren eigentlichen Wert zu erhalten. Die einzelnen Werte addiert, ergeben dann die Zahl. Beispiel: Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist 4-mal so gross wie die Einerziffer. Vertauscht man die Ziffern, so erhält man eine Zahl, die nun um 54 kleiner ist als die ursprüngliche Zahl. Wie heisst die Zahl? Wert: Einerziffer: x => x Zehnerziffer: 4x => 10. 4x Daraus ergibt sich die Zahl mit dem Wert 10. 4x + x Werden die Ziffern vertauscht ergibt sich die Zahl: 10. x + 4x Weil die neue Zahl um 54 kleiner ist, muss man zu ihr noch 54 addieren, damit sie gleich gross ist wie die erste Zahl und das Gleichheitszeichen gesetzt werden darf. Grundgleichung: 1. Zahl = 2. Zahl x + x = 10. x + 4x + 54 / V 40x + x = 10x + 4x + 54 / V 41x = 14x + 54 / 14x 27x = 54 / : 27 x = 2 Die Zahl hiess / 8

5 25. Man hat eine zweistellige Zahl, bei der die Zehnerziffer das Doppelte der Einerziffer ist. Man vertauscht die beiden Ziffern und erhält so eine neue Zahl. Die Differenz zwischen diesen beiden Zahlen ist 27. Wie heissen die beiden Zahlen? 26. Die Einerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 4 grösser als die Zehnerziffer. Vertauscht man die beiden Ziffern, so erhält man eine Zahl, die um 1 kleiner ist als das Doppelte der ursprünglichen Zahl. 27. Die Zehnerziffer einer dreistelligen Zahl ist um 1 kleiner, die Einerziffer um 2 grösser als die Hunderterziffer. Lässt man die Einerziffer weg, so entsteht eine zweistellige Zahl, die um 193 kleiner ist als die ursprüngliche Zahl. Wie heissen die beiden Zahlen Die Sache mit dem Alter Grosses Kopfzerbrechen bereiten oft die Aufgaben in den gefragt wird, in wie vielen Jahren jemand doppelt oder dreimal so alt ist wie das Kind. Dabei darf man nicht vergessen, dass in dieser Zeit alle Menschen um genau die gleiche Anzahl Jahre älter werden. Hier ist es besonders wichtig, dass du zuerst die Grundgleichung aufschreibst um dir darüber Klarheit zu verschaffen, welche Seite du multiplizieren musst, damit du überhaupt ein Gleichheitszeichen schreiben darfst (damit auf beiden Seiten gleich viel ist). Beispiel: Ein 39-jähriger Vater hat einen Sohn von 7 Jahren. Nach wie vielen Jahren wird der Vater genau dreimal so alt sein wie sein Sohn? Schema: heute Alter in x Jahren Vater x Sohn x Vater = 3 Sohn 39 + x = 3. (7 + x) / V 39 + x = x / - x / = 2x / : 2 9 = x In 9 Jahren wird der Vater dreimal so alt sein wie sein Sohn. 28. Herr Werner ist jetzt 46 Jahre alt, sein Sohn ist 14 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn? 29. Der Vater zählt 35 Jahre, sein Sohn 13 Jahre. Nach wie vielen Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn? 30. Der Vater zählt 35 Jahre, sein Sohn 13 Jahre. Vor wie vielen Jahren war der Vater dreimal so alt wie sein Sohn? 31. Eine Mutter von 31 Jahren hat zwei Kinder im Alter von 5 und 9 Jahren. Nach wie vielen Jahren wird die Mutter doppelt so alt sein wie ihre beiden Kinder zusammen? 32. Priska wird nach ihrem Alter gefragt. Sie antwortet: Heute bin ich dreimal so alt wie vor 14 Jahren. Wie alt ist Priska? 33. Nach seinem Alter gefragt, antwortete Urs: In 30 Jahren werde ich dreimal so alt sein wie jetzt. Wie alt ist Urs? 34. Jetzt, sagte eine Mutter, bin ich dreimal so alt wie meine Tochter. Vor vier Jahren war ich viermal so alt. Wie alt sind Mutter und Tochter? 35. Eine 42-jährige Mutter dreier Kinder ist jetzt doppelt so alt wie ihre Kinder zusammen. Ihr Söhnchen ist um 3 Jahre älter als sein jüngstes Schwesterchen, aber um 6 Jahre jünger als seine ältere Schwester. Welches Alter haben die drei Geschwister? 5 / 8

6 Aufgaben mit ist und wäre Achte bei diesem Aufgabentyp darauf, wie viele es jetzt sind und wie viele es wären wenn. Ähnlich wie bei den geometrischen Figuren, die verändert werden, ergibt die Veränderung eine völlig neue Situation, die in einem bestimmten Verhältnis zur vorherigen steht. Verwende die nachstehende Darstellungsart und vergiss die Grundgleichung nicht! Beispiel: Max bewahrt seine Glas- und Tonmurmeln in einem Säckchen auf. Zusammen sind es 27 Stück. Würde er zwei Glasmurmeln aus dem Säckchen nehmen, so blieben noch viermal so viele Murmeln aus Ton wie solche aus Glas zurück. Wie viele Kugeln jeder Sorte besitzt Max? ist wäre Glasmarmeln x x 2 Tonmurmeln 27 x 27 x Total 27 Grundgleichung: T = 4. G 27 x = 4. (x 2) / V 27 x = 4x 8 / + x / = 5x / : 5 7 = x Max besitzt 7 Glasmurmeln 36. In einer Schulklasse sitzen 21 Buben und Mädchen. Würden einmal drei Buben fehlen, so sässen doppelt so viele Mädchen in der Klasse wie Buben. Wie viele Buben und Mädchen zählt die Klasse? 37. In einem Bus befinden sich 18 Passagiere, Männer und Frauen. Würden an der nächsten Haltestelle drei Männer aus- und eine Frau einsteigen, dann hätte es dreimal so viele weibliche Passagiere wie männliche im Bus. Wie viele Männer und Frauen sind im Bus? 38. Sandra ist 7 Jahre älter als ihr Bruder Michael. Wäre Michael drei Jahre jünger, so wäre Sandra genau dreimal so alt wie Michael. Wie alt sind die beiden Geschwister? Mischungsaufgaben Bei Aufgaben, in denen etwas gemischt wird um ein neues Produkt zu erhalten, erleichtert eine Tabelle die Übersicht. In der hintersten Spalte entsteht ein Produkt welches ein Mengenpreis sein kann, oft aber eine reine Rechengrösse ist. Die Teilprodukte ergeben addiert gleich viel, wie das Produkt der Mischung. Beispiel: In einer Wanne befinden sich 50 Wasser mit einer Temperatur von 60 C. Wie viel Wasser von 12 C muss man nachlaufen lassen, damit man eine Badetemperatur von 28 C erhält? Menge Temperatur Produkt 1. Sorte = Sorte x 12 x. 12 = 12x Mischung 50 + x (50 + x) Aus dem Produkt erhält man die Gleichung: x = 28. (50 + x) / V x = x / - 12x / = 16x / : = x Es müssen 100 Wasser von 12 dazu gegossen werden. 6 / 8

7 39. Man verwendet 90 g einer Goldsorte von 22 Karat mit 120 g einer zweiten Goldsorte von 15 Karat gemischt. Wie viel Karat enthält die Mischung? C warmes Wasser und solches von 80 C will man so zusammengiessen, dass das Ergebnis 100 Wasser mit einer Temperatur von 40 C ist. Welche Mengen sind zu mischen? 41. Für Geschenktüten sollen zwei Sorten Bonbons gemischt werden. Die erste Sorte kostet Fr. 12.-/kg und die zweite Fr. 15.-/kg. Man will 25 kg einer Mischung erhalten, deren Preis Fr /kg betragen soll. Wie viel muss man von jeder Sorte nehmen? 42. Um die Vorteile zweier Grassorten auszunützen, sollen sie gemischt werden. Der Preis für ein kg der ersten Sorte ist Fr. 7.50, der Kilopreis der zweiten Fr Es sollen 300 kg der Mischung mit einem Preis von Fr pro kg hergestellt werden. Wie sind die Sorten zu mischen? 43. Aus 20-karätigem Gold und 15-karätigem Gold sollen 240 g 18-karätiges Gold hergestellt werden. Wie viel muss man von jeder Sorte verwenden? l Wasser mit einer Temperatur von 18 C sollen so gemischt werden, dass eine Wassertemperatur von 42,5 C erreicht wird. Auf welche Temperatur müssen die bereitstehenden 35 Wasser gebracht werden, bevor sie zur ersten Menge beigemischt werden? Geschwindigkeits-Aufgaben Die Geschwindigkeit gibt an, wie weit sich ein Gegenstand in 1 h bewegen würde, wenn er sich mit gleich bleibender Geschwindigkeit weiterbewegen würde (Anzahl km pro 1 Stunde). Mit der Geschwindigkeitsangabe kann ermittelt werden, welcher Weg in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Aufgabe: Welche Strecke legt ein Roller zurück, der mit 45 km/h während 18 Minuten fährt? Lösung: Es handelt sich um direkte Proportionalität: 60 Minuten = 45 km 18 Minuten =? In 18 min legt er 0,75 18 = 13,5 km zurück Aufgabe: Ein Sportflugzeug legt die 600 km Entfernung in 2 h 30 min zurück. Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit. Lösung: Es handel sich um direkte Proportionalität 150 Minuten = 600 km 60 Minuten =? Die Geschwindigkeit beträgt 240 km/h 45. Ein Velofahrer legt die ersten 10 min seiner Fahrt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h zurück. Danach geht es bergab und er fährt während 15 min mit einer Geschwindigkeit von 45 km/h. a) Welchen Weg hat er während seiner Fahrt zurückgelegt? b) Welches war die durchschnittliche Geschwindigkeit für die ganze Strecke? 46. Ein Zug fährt 45 Minuten lang mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 120 km/h, danach mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 90 km/h. Welchen Weg legt der Zug in 1 h zurück? 47. Ein Schnellzug benötigt für die 40 km lange Strecke Olten - Luzern normalerweise 25 Minuten. Leider hat der Zug bei der Abfahrt 5 Minuten Verspätung. Mit welcher Geschwindigkeit muss der Zug fahren, damit er pünktlich in Luzern ankommt? 48. Ein Schnellzug benötigt mit der Bahn2000 für die 126 km lange Strecke Zürich - Bern 58 Minuten (ohne Halt). Wegen einer Baustelle kann während 3 Minuten nur mit 50 km/h gefahren werden. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit muss auf der übrigen Strecke gefahren werden, damit der Fahrplan eingehalten werden kann 7 / 8

8 Löse nun die vermischten Textaufgaben: 49. Eine Mutter ist jetzt dreimal so alt wie ihre 12-jährige Tochter. Nach wie vielen Jahren wird sie nur noch doppelt so alt sein wie ihre Tochter? 50. Zerlege 580 in zwei natürliche Zahlen, so dass die eine Zahl 45 % der andern Zahl beträgt kg Schwefelsäure, die 80 %-ig ist, soll mit Wasser so verdünnt werden, dass die Säure noch 42 %-ig ist. Wie viel Wasser muss man beimischen? 52. In einem Dreieck ist die Höhe um 4 cm grösser als die zugehörige Seite. Vergrössert man die Seite um 3 cm und verkleinert die Höhe um 1 cm, so ist der Flächeninhalt des neuen Dreiecks um 15 cm 2 grösser. Bestimme die Höhe und die Seite des ursprünglichen Dreiecks l Wasser, das 80 C warm ist, wird mit 25 l Wasser gemischt, das 8 C warm ist. Wie hoch ist die Mischtemperatur? 54. Ein Eisenbahnzug hat eine Länge von 350 m. Er fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 km/h durch einen Tunnel, der eine Länge von 3800 m hat. Wie lange dauert die Durchfahrt, gerechnet von der Einfahrt der Lok bis zur Ausfahrt des letzten Wagens? 55. Welche Anfangstemperatur hatten 3 Wasser, wenn sie mit 0,5 von 72 C gemischt wurden und die Mischtemperatur nun 36 C ist? kg Rasensamen zu 24.- Fr./kg sollen mit Samen zu 18.- Fr./kg so gemischt werden, dass die Mischung Fr./kg kostet. 57. Ein Quadrat hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Rechteck. Die Länge des Rechtecks ist 4 cm grösser als die Quadratseite, die Breite 3 cm kleiner. Wie lange sind die Seiten des Rechtecks? 58. Zwei Flugzeuge starten gleichzeitig in Hamburg und München (Entfernung ca. 660 km Luftlinie). Das aus Hamburg kommende Flugzeug bewältigt 380 km in einer Stunde, das andere 340 km. Nach welcher Zeit treffen sie sich? Wie viele km haben sie jeweils zurückgelegt? 59. Die Cowboys Sam und Joe treffen sich jeden Abend um Punkt halb acht Uhr in Milly s Saloon. Die Blockhäuser, von denen aus Sam und Joe jeweils gleichzeitig losreiten, liegen 30 Meilen voneinander entfernt. Sam hat zwar den kürzeren Weg, kommt aber wegen des unwegsamen Geländes nur 7 Meilen in der Stunde voran, Joe dagegen schafft 11 Meilen in der Stunde. Sie reiten gleichzeitig los. Wie lange benötigt jeder für den Weg und wie weit ist Milly s Saloon von den beiden Blockhäusern entfernt? 60. Familie Anderegg und Familie Bürgi wollen gemeinsam in den Urlaub fahren. Eigentlich wollten sie gleichzeitig starten, dann bekam Herr Anderegg jedoch noch einen Anruf und konnte erst 20 Minuten später losfahren als Herr Bürgi. Nach welcher Zeit und nach welcher Strecke haben Andereggs die Familie Bürgi eingeholt, wenn sie mit 120 km pro Stunde fahren, Bürgis jedoch mit 100 km pro Stunde? 61. Franz und Heinz veranstalten ein Velorennen. Da Heinz kein Rennvelo besitzt, darf er 10 Minuten früher starten als Franz. Nach welcher Zeit wird Heinz von Franz eingeholt, wenn Heinz mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 25 km pro Stunde, Franz dagegen mit 30 km pro Stunde fährt? Wie viele km sind die beiden dann gefahren? 8 / 8