Algorithmen in Zellularautomaten

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1 Algorithmen in Zellularautomaten 12. Thomas Worsch Fakultät für Informatik Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2018

2 Ziele Diffusion weitere Beispiele: Wellen, BZ-Reaktion, Reaktions-Diffusions-Systeme Einsparung von Zuständen bei stochastischen ZA 2 / 36

3 Taylorentwicklung Überblick Taylorentwicklung Von Taylor zu ZA ZA für Diffusion ZA für Wellenausbreitung Rundungsfehler und probabilistische ZA 3 / 36

4 Taylorentwicklung Satz von Taylor Es sei f eine reelle Funktion einer Veränderlichen, die auf einem Intervall I α =]x 0 α; x 0 + α[ mindestens (n + 1) mal stetig differenzierbar ist. Dann gibt es für jedes x I α ein θ [0; 1], so dass f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x, x 0, θ) k! mit R n (x, x 0, θ) = f (n+1) (x 0 + θ(x x 0 )) (x x 0 ) n+1. (n + 1)! 4 / 36

5 Taylorentwicklung Taylorentwicklung (eine Veränderliche) Ist f auf einem Intervall I α =]x 0 α; x 0 + α[ unendlich oft stetig differenzierbar, und gilt für alle x I α und alle θ [0; 1] dann gilt für alle x = x 0 + x I α : lim R n(x, x 0, θ) = 0, n f (x 0 + x) = f (x 0 ) + x f (x 0 ) + ( x)2 f (x 0 ) + 2 ( x) k = f (k) (x 0 ) k! k=0 ( ( 1 = x d ) ) k f (x 0 ). k! dx k=0 5 / 36

6 Taylorentwicklung Taylorentwicklung (zwei Veränderliche) Ist f (x,y) auf I α = { (x,y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < α } unendlich oft stetig differenzierbar, und ist lim n R n (..., θ) = 0, dann gilt für alle ( x, y) mit ( x) 2 + ( y) 2 < α: f (x 0 + x,y 0 + y) = = r,s 0 k=0 1 k! ( x) r ( y) s r +s f x r y s (x 0,y 0 ) r!s! ( ( x x + y y ) k f ) (x 0,y 0 ). 6 / 36

7 Taylorentwicklung Nablaoperator Nützliche Skalarprodukte: := ( x ) y 2 = = 2 x y 2 x = ( x y) ( x ) = x y x + y y 7 / 36

8 Taylorentwicklung Bemerkung Mit dem lässt sich die Taylorentwicklung schreiben als: f (x + x) = k=0 1 ( ) ( x ) k f (x) k! 8 / 36

9 Taylorentwicklung Abkürzungen Es seien t, x und y festgelegt. (T f )(t, x,y) := f (t + t, x,y) (T f )(t, x,y) := f (t t, x,y) (X f )(t, x,y) := f (t, x + x,y) (X f )(t, x,y) := f (t, x x,y) (Y f )(t, x,y) := f (t, x,y + y) (Y f )(t, x,y) := f (t, x,y y) (I f )(t, x,y) := f (t, x,y) 9 / 36

10 Von Taylor zu ZA Überblick Taylorentwicklung Von Taylor zu ZA ZA für Diffusion ZA für Wellenausbreitung Rundungsfehler und probabilistische ZA 10 / 36

11 Von Taylor zu ZA Bezug zu Zellularautomaten Diskretisierung: Bringe Werte f (t, x,y) mit den Zuständen von Zellen in Verbindung: Fixiere Werte t 0, x 0, y 0, t, x und y und definiere: д : N 0 Z Z R (t, i, j) f (t 0 + t t, x 0 + i x,y 0 + j y) Speichere Näherung von д(t, i, j) in Zelle (i, j). Aufgabe: Finde Überführungsfunktion, so dass nach einmaliger Anwendung in Zelle (i, j) Wert д(t + 1, i, j) gespeichert. Probleme: Warum soll das überhaupt gehen? Fehler durch Näherungen 11 / 36

12 Von Taylor zu ZA Bezug zu Zellularautomaten Diskretisierung: Bringe Werte f (t, x,y) mit den Zuständen von Zellen in Verbindung: Fixiere Werte t 0, x 0, y 0, t, x und y und definiere: д : N 0 Z Z R (t, i, j) f (t 0 + t t, x 0 + i x,y 0 + j y) Speichere Näherung von д(t, i, j) in Zelle (i, j). Aufgabe: Finde Überführungsfunktion, so dass nach einmaliger Anwendung in Zelle (i, j) Wert д(t + 1, i, j) gespeichert. Probleme: Warum soll das überhaupt gehen? Fehler durch Näherungen 11 / 36

13 Von Taylor zu ZA Bezug zu Zellularautomaten Diskretisierung: Bringe Werte f (t, x,y) mit den Zuständen von Zellen in Verbindung: Fixiere Werte t 0, x 0, y 0, t, x und y und definiere: д : N 0 Z Z R (t, i, j) f (t 0 + t t, x 0 + i x,y 0 + j y) Speichere Näherung von д(t, i, j) in Zelle (i, j). Aufgabe: Finde Überführungsfunktion, so dass nach einmaliger Anwendung in Zelle (i, j) Wert д(t + 1, i, j) gespeichert. Probleme: Warum soll das überhaupt gehen? Fehler durch Näherungen 11 / 36

14 Von Taylor zu ZA Rechnung Für q {t, x,y}, q { t, x, y} und Q {T, X, Y } liefert die Taylorentwicklung: Q f = f + q f q + ( q)2 2 f 2 q 2 + ( q)3 3 f 3! q 3 + Q f = f q f q + ( q)2 2 f 2 q 2 ( q)3 3 f 3! q 3 ± 12 / 36

15 Von Taylor zu ZA Näherung für erste Ableitung (1) Also: Q f = f + q f q + ( q)2 2 f 2 q 2 + ( q)3 3 f 3! q 3 + O(( q)4 ) Q f f + q f q f q Q I q f ( Fehler: O( q) ) 13 / 36

16 Von Taylor zu ZA Näherung für erste Ableitung (2) Oder: Q f = f + q f q + ( q)2 2 f 2 q 2 + ( q)3 3 f 3! q 3 + O(( q)4 ) Q f = f q f q + ( q)2 2 f 2 q 2 ( q)3 3 f 3! q 3 + O(( q)4 ) Q f Q f = 2 q f + O(( q) 3 ) f q q Q Q 2 q f ( Fehler: O(( q) 2 ) ) 14 / 36

17 Von Taylor zu ZA Näherung für zweite Ableitung Analog: Q f + Q f = 2f + ( q) 2 2 f q 2 + O(( q)4 ) 2 f q 2 Q 2I + Q ( q) 2 f ( Fehler: O(( q) 2 ) ) Q I q I Q q q f 15 / 36

18 ZA für Diffusion Überblick Taylorentwicklung Von Taylor zu ZA ZA für Diffusion ZA für Wellenausbreitung Rundungsfehler und probabilistische ZA 16 / 36

19 ZA für Diffusion Beispiel (Diffusion) Es sei f eine Funktion mit f = D 2 f, also ( f 2 ) t = D f x f y 2 Einsetzen der Näherungen für die Ableitungen ergibt: T I t Auflösen nach T f... f D X 2I + X ( x) 2 f + D Y 2I + Y ( y) 2 f 17 / 36

20 ZA für Diffusion Beispiel (Diffusion) Es sei f eine Funktion mit f = D 2 f, also ( f 2 ) t = D f x f y 2 Einsetzen der Näherungen für die Ableitungen ergibt: T I t Auflösen nach T f... f D X 2I + X ( x) 2 f + D Y 2I + Y ( y) 2 f 17 / 36

21 ZA für Diffusion Auflösen nach T f liefert die Näherung f (t + t, x,y) f (t, x,y) +D t +D t (f (t, x + x,y) f (t, x,y)) (f (t, x,y) f (t, x x,y)) ( x) 2 (f (t, x,y + y) f (t, x,y)) (f (t, x,y) f (t, x,y y)) ( y) 2 18 / 36

22 ZA für Diffusion Weniger fehlerträchtig: also: f (t + t, x,y) T T 2 t f (t t, x,y) f D X 2I + X ( x) 2 f + D Y 2I + Y ( y) 2 f +2D t +2D t (f (t, x + x,y) f (t, x,y)) (f (t, x,y) f (t, x x,y)) ( x) 2 (f (t, x,y + y) f (t, x,y)) (f (t, x,y) f (t, x,y y)) ( y) 2 19 / 36

23 ZA für Diffusion Diffusion durch Mittelwertbildung Es sei N = M r (2), insbesondere also n N = n N. Es sei x = y. Betrachte f (x) und f (x) := 1 N f (x + xn). n N Taylorentwicklung für die f (x + xn) liefert f (x) = = 1 N k=0 n N k=0 1 1 N k! 1 ( ) ( xn ) k f (x) k! n N ( ) ( xn ) k f (x) Terme für ungerades k fallen weg. 20 / 36

24 ZA für Diffusion Wegen der Symmetrie von N erhält man näherungsweise f (x) f (x) N = f (x) + ( x)2 2 N ( ( xn ) 2 f ) (x) n N ( (n ) 2 f ) (x) n N Nach einiger Rechnung ergibt sich wegen N = M (2) r : (n ) 2 = n N (4r + 2)r(r + 1)(2r + 1) / 36

25 ZA für Diffusion Somit: f (x) f (x) + ( x)2 2(2r + 1) 2 r(r + 1) ( 2 2(2r + 1) 2 f ) (x) 6 = f (x) + ( x) 2r(r + 1) ( 2 f )(x) 6 beziehungsweise ( 2 f )(x) 6 ( x) 2 r(r + 1) ( f (x) f (x)) 22 / 36

26 ZA für Diffusion Folglich: Für T f f + t f t = f + td 2 f ( ) 6D t 6D t 1 ( x) 2 f + r(r + 1) ( x) 2 f r(r + 1) 6D t ( x) 2 = 1 ergibt sich T f f. r(r + 1) Mittelwertbildung approximiert Diffusion mit D = ( x)2 t r(r + 1) / 36

27 ZA für Diffusion Algorithmus (effiziente Berechnung von Mittelwerten) f beliebig; д = N f Im Eindimensionalen: Also: д(x) д(x 1) = = i=r i= r i=r f (x + i) f (x + i) i= r i=r i= r i=r 1 i= r 1 = f (x + r) f (x r 1) f (x 1 + i) f (x + i) д(x) = д(x 1) + f (x + r) f (x r 1) Bei sequenzieller Berechnung im Mittel nur 2 Additionen statt 2r 24 / 36

28 ZA für Diffusion Algorithmus (effiziente Berechnung von Mittelwerten) f beliebig; д = N f Im Eindimensionalen: Also: д(x) д(x 1) = = i=r i= r i=r f (x + i) f (x + i) i= r i=r i= r i=r 1 i= r 1 = f (x + r) f (x r 1) f (x 1 + i) f (x + i) д(x) = д(x 1) + f (x + r) f (x r 1) Bei sequenzieller Berechnung im Mittel nur 2 Additionen statt 2r 24 / 36

29 ZA für Diffusion Effiziente Berechnung von Mittelwerten 2 Im Zweidimensionalen: h(x, y) = д(x, y) = r f (x,y + j) j= r r h(x + i,y) i= r Dann ist д = N f. Im Durchschnitt nur 4 Additionen statt (2r + 1) / 36

30 ZA für Wellenausbreitung Überblick Taylorentwicklung Von Taylor zu ZA ZA für Diffusion ZA für Wellenausbreitung Rundungsfehler und probabilistische ZA 26 / 36

31 ZA für Wellenausbreitung Beispiel (Wellenausbreitung) Es sei f eine Funktion mit f = c 2 2 f, also 2 f t 2 = c2 ( 2 ) f x f y 2 Wie kommt man von 2 f t 2 zu einem Näherungswert für T f? 27 / 36

32 Tд д + t д t = д + t 2 f t 2 28 / 36 ZA für Wellenausbreitung Beispiel (Wellenausbreitung 2) Mögliche Approximierungen: Oder mit д = f t : T f 2f T f + ( t) 2 2 f t 2 T f f + t f t f + tд Tд д + t д t = д + t 2 f t 2 Oder:

33 ZA für Wellenausbreitung Beispiel (Belousov-Zhabotinski-Reaktion) chemische Uhr, räumliche Strukturen (z.b. Spiralen) Oregonator -Beschreibung: du dt dv dt dw dt = k 1 av k 2 uv + k 3 au k 4 u 2 = k 1 av k 2 uv + f k 5 w = 2k 3 au k 5 w siehe auch (ab Minute 18) 29 / 36

34 ZA für Wellenausbreitung Beispiel (Reaktions-Diffusions-Systeme) Allgemeines Schema: f 1 t f 2 t f k t = F 1 (f 1, f 2,..., f k ) + D 1 2 f 1 = F 2 (f 1, f 2,..., f k ) + D 2 2 f 2. = F k (f 1, f 2,..., f k ) + D k 2 f k Beispiel (RDS von Turing) F 1 (f 1, f 2 ) = f 1 f 2 f 1 12 F 2 (f 1, f 2 ) = f 1 f / 36

35 Rundungsfehler und probabilistische ZA Überblick Taylorentwicklung Von Taylor zu ZA ZA für Diffusion ZA für Wellenausbreitung Rundungsfehler und probabilistische ZA 31 / 36

36 Rundungsfehler und probabilistische ZA Rundungsfehler Durchschnittsbildung in H (1) 1 -Nachbarschaft mit Abrunden: / 36

37 Rundungsfehler und probabilistische ZA Rundungsfehler 2 kaufmännisches Runden hilft nicht: Ausweg Manchmal hilft geschicktes zufälliges Runden (Weimar und Boon, 1994) 33 / 36

38 Rundungsfehler und probabilistische ZA Rundungsfehler 2 kaufmännisches Runden hilft nicht: Ausweg Manchmal hilft geschicktes zufälliges Runden (Weimar und Boon, 1994) 33 / 36

39 Rundungsfehler und probabilistische ZA Probabilistisches Runden Es sei k N und ε [0; 1[. Einfache Variante des probabilistischen Rundens von k + ε: mit Wahrscheinlichkeit ε runde auf k + 1 mit Wahrscheinlichkeit 1 ε runde auf k Es ist ε(k + 1) + (1 ε)k = k + ε. Aufwendige Variante: Wähle Zahlen k i und Wahrscheinlichkeiten p i (ε), so dass i p i (ε) = 1 ist und i k i p i (ε) = k + ε. Runde mit Wahrscheinlichkeit p i (ε) auf k i. 34 / 36

40 Rundungsfehler und probabilistische ZA Definition (probabilistischer/stochastischer ZA) lokale Überführungsfunktion von der Form δ : Q N [0; 1] Q δ(l)(q) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zelle mit lokaler Konfiguration l in Zustand q übergeht. Für alle l Q N muss gelten: δ(l)(q) = 1 q Q Verschiedene Zellen mit gleicher lokaler Konfiguration können in einem Schritt in verschiedene Nachfolgezustände übergehen. 35 / 36

41 Zusammenfassung Geeignete Diskretisierung partieller Differentialgleichungen liefert manchmal Zellularautomaten, die gute Näherungen sind. Manchmal reichen abgebrochenen Taylorentwicklungen. Rundungsfehler kann man manchmal durch probabilistisches Runden (in entsprechenden Zellularautomaten) verkleinern. 36 / 36