Elektrische Maschinen Teil: 1 u. 2

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1 Fakultät: Mechatronik und Elektrotechnik Prof. Dr.-ng. E. Nolle Manuskript zur Vorlesung: Teil: u. Esslingen 007

2 Prof. Dr.-ng. E. Nolle nhaltsverzeichnis: Teil : 0- Seite Grundlagen.. Grundgleichungen der Elektrotechnik. Elektrische Netzwerke 3.. Grundelemente der Elektrotechnik 3.. Elektrische Netzwerke 3..3 Die Kirchhoffschen Sätze 4.3 Wechselstromnetzwerke 6.3. Symbolische Methode 6.3. Der komplexe Widerstand Ortskurven Die komplexe Leistung 8.4 Magnetischer Kreis 9.4. Materie im Magnetfeld 9.4. Streu- und Nutzfluss Das Hopkinsonsche Gesetz.5 Leiterwerkstoffe für elektrische Maschinen 3.5. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes 3.6 solierstoffe für elektrische Maschinen 4.6. soliersystem und solierstoffklasse Lacke und Tränkharze Gießharze Flächenisolierstoffe Formisolierteile Montsingersche egel 6 Transformatoren.. Aufbau.. Transformatorkern.. Wicklung 3..3 Kühlung 4..4 Konstruktionsteile 4. Wirkungsweise 5.. dealer Transformator 5.3 Ersatzschaltung 7.3. Leerlauf und Magnetisierung 7.3. Kurzgeschlossener Transformator Ersatzschaltung des realen Transformators 9.4 Betrieb.4. Betriebsverhalten.4. ealer Leerlauf.4.3 Kurzschluss 3.5 Bestimmung der Ersatzschaltung 4.6 Sonderausführungen 5.6. Drehstromtransformatoren 5.6. Spartransformatoren Kleintransformatoren Leistungsübertrager mit rritkernen 9

3 Prof. Dr.-ng. E. Nolle Asynchronmaschinen Aufbau 3.. Stator mit Drehstromwicklung 3.. otor 3..3 Konstruktionsteile 3. Wirkungsweise Magnetische Drehfelder Wirkungsweise Ersatzschaltung Leerlauf Stillstand oder Kurzschluss Ersatzschaltung für allgemeine Belastung Vereinfachte Ersatzschaltung der Asynchronmaschine Betrieb Zeigerdiagramm und Ortskurve Belastungskennlinien und Kloß sche Formel Anlauf am starren Netz Betrieb am realen Netz Betrieb am mrichter Bestimmung der Ersatzschaltung 3.6 Sonderausführungen Asynchrongeneratoren Einphasenmotoren 4 4 Synchronmaschinen Kurzeinführung 4. 5 Stromwendermaschinen Kurzeinführung 5. Teil : 4 Synchronmaschinen Aufbau 4.. Stator mit Drehstromwicklung 4.. Läufer 4..3 Konstruktionsteile Klemmenbezeichnung Hilfseinrichtungen 4 4. Wirkungsweise Ersatzschaltung Leerlauf Kurzschluss Ersatzschaltung der Synchronmaschine Betrieb nselbetrieb der Synchronmaschine Netzbetrieb der Synchronmaschine Einschalten am starren Netz Betrieb am Netz Betrieb am mrichter Bestimmung der Ersatzschaltung nduktiver Volllastpunkt, Potierreaktanz Kenngrößen der Ersatzschaltung Sonderausführungen Schenkelpolmaschinen Bürstenlose Gleichstrommaschine Stromrichtermotor 0

4 Prof. Dr.-ng. E. Nolle Drehstromlinearmotor Wechselstrom-Synchronmotoren Drehstromlichtmaschine eluktanzmotor 6 5 Stromwendermaschinen Aufbau 5.. Stator 5.. otor mit Stromwender 5..3 Konstruktionsteile Klemmenbezeichnung und Erregungsart Hilfseinrichtungen 4 5. Wirkungsweise Grundgesetze Generatorbetrieb Motorbetrieb Ankerquerfeld Ersatzschaltung Betrieb Fremderregte Gleichstrommaschine eihenschlusserregter Gleichstrommotor Stromversorgung von Gleichstrommaschinen Dynamische Vorgänge Bestimmung der Ersatzschaltung 5.5. Widerstände 5.5. Leerlaufversuch 5.6 Sonderausführungen Permanent erregte Gleichstrommotoren niversalmotoren Gleichstrommotoren mit eisenlosem Anker 6 6 Normung, Verluste, Erwärmung Genormte Begriffe und Definitionen 6.. Baugröße (nur rotierende Maschinen) 6.. Bauformen (nur rotierende Maschinen) 6..3 Schutzarten (allg.) 6..4 Kühlungsarten (allg.) Betriebsarten (allg.) Temperaturklassen (allg.) Drehrichtung (nur rotierende Maschinen) 8 6. Verluste Stromunabhängige Verluste Stromabhängige Verluste Erregerverluste Zusatzverluste Wirkungsgrad Verlustbewertung und Wirtschaftlichkeit 6.3 Erwärmung und Kühlung 6.3. Grundelemente der thermischen Analyse 6.3. Entwurf einer thermischen Ersatzschaltung Vereinfachte thermische Ersatzschaltung für elektrische Maschinen S-Betrieb einer Norm-Asynchronmaschine S-Betrieb einer Norm-Asynchronmaschine S-Betrieb mit Sonderwicklung für erhöhte Sättigung Wachstumsgesetze 9

5 Prof. Dr.-ng. E. Nolle Literaturhinweise: Fischer,.:, 3. Aufl. 006, Hanser - Fuest:, K.: und Antriebe, 983, Vieweg - Häberle, G.: Tabellenbuch Elektrotechnik,. Aufl. 005, Europa - Jonas, G.: Grundlagen zur Auslegung und Berechnung elektrischer Maschinen, 00, VDE - Moeller F./Vaske P.: und mformer, 976, Teubner - Müller, G.: Grundlagen elektrischer Maschinen, 994, VHC - Müller, G.: Theorie elektrischer Maschinen, 995, VHC - Seefried, E.: und Antriebstechnik,. Aufl. 00, Vieweg - Spring, E.:, 998, Springer - Stölting, H.-D. und Beisse, A.: Elektrische Kleinmaschinen, 987, Teubner - Vogt, K.: Berechnung elektrischer Maschinen, 996, VHC Leistungselektronik - Braun, W.: Leistungselektronik, Skript HE - Brosch, P.: Leistungselektronik,. Aufl. 000, Vieweg - Heumann, K.: Grundlagen der Leistungselektronik, 6. Aufl. 996, Teubner - Jäger,./Stein, E.: Übungen zur Leistungselektronik, VDE-Verlag - Lappe,.: Handbuch Leistungselektronik, 5. Aufl. 994, Technik - Michel, M.: Leistungselektronik,. Aufl. 996, Springer - Stephan, W.: Leistungselektronik interaktiv, 00, Hanser Elektrische Antriebstechnik - Garbrecht/Schäfer: Das x der Antriebsauslegung,. Aufl. 995, VDE - Grünberger, H.P.: Elektrische Antriebs- und Traktionstechnik, 5. Aufl Kümmel, F.: Elektrische Antriebstechnik Bd. Maschinen Bd. Leistungsstellglieder, 986, VDE - Mayer, M.: Elektrische Antriebstechnik Bd. Asynchronmaschinen im Netzbetrieb und drehzahlgeregelte Schleifringläufermaschinen, 985 Bd. Stromrichtergespeiste Gleichstrommaschinen und umrichtergespeiste Drehstrommaschinen,987, Springer - iefenstahl,.: Elektrische Antriebstechnik, 999, Teubner - Schönfeld,.: Digitale egelung elektrischer Antriebe,. Aufl. 990, Hüthig - Schönfeld,.: Elektrische Antriebe, 995, Springer - Schröder, D.: Elektrische Antriebe Bd. Grundlagen, 994 Bd. egelung von Antrieben, 995 Bd.3 Leistungselektronische Bauelemente, 996 Bd.4 Leistungselektronische Schaltungen, 998, Springer - Vogel, J.: Elektrische Antriebstechnik, 6. Aufl. 998, Hüthig

6 Prof. Dr.-ng. E. Nolle 0-6 Wichtige Normen und Bestimmungen: EC / EN DN / VDE Titel / nhalt Drehende - - Bemessungswerte, Betriebsverhalten - - Verluste, Wirkungsgrad Schutzarten Kühlungsarten, Kühlverfahren Bauformen, Aufstellung Anschlussbezeichnungen, Drehsinn Geräuschgrenzwerte - - Anlauf von Käfigläufermotoren -4-4 Mech. Schwingungen, Messung, Grenzwerte -7 mrichter gespeiste Käfigläufermotoren ff Drehstrommotoren mit Käfigläufer, Anbaumaße Allgemeines 53 Transformatoren, Drosselspulen Allgemeines - -0 Übertemperaturen 4/7/CD -03 solationspegel, Spannungsprüfungen /34A/CDV -05 Kurzschlussfestigkeit - 6 Trockentransformatoren Geräuschpegel, Grenzwerte - Anlasstransformatoren und -drosselspulen - Öl-Transformatoren 536 Belastbarkeit von Öltransformatoren 550 Kleintransformatoren Trenn- und Sicherheitstransformatoren / Halbleiter-Stromrichter, Stromrichter-Transf ff Kleintransformatoren, Drosseln, Übertrager EC-Normspannungen

7 Prof. Dr.-ng. E. Nolle Wichtige Formelzeichen: 0-7 Formelzeichen Einheit Bedeutung A m² Fläche A A/m Strombelag a m/s² Beschleunigung B T Vs/m² magnetische Flussdichte B r T Vs/m² emanenz-flussdichte C F As/V Kapazität c J/(kg K) spezifische Wärme D As/m² elektrische Flussdichte E V/m elektrische ldstärke E d V/m Durchschlagsfeldstärke F N Kraft f Hz Frequenz f Eisenfüllfaktor H A/m magnetische ldstärke H C A/m Koerzitivfeldstärke i A Strom i mechanische Übersetzung J j A/m² Stromdichte J kg m² Trägheitsmoment j imaginäre Einheit K Kosten k /.. spezifische Kosten k Verhältniszahl, Maßstabsfaktor, Baufaktor L H Vs/A nduktivität l m Länge l m m mittlere / repräsentative Länge M Nm Drehmoment m kg Masse m Strangzahl N Windungszahl n /s Drehzahl n d /s Drehfeld-Drehzahl P p W Wirkleistung P N W Bemessungsleistung P S W spezifische Eisenverluste P δ W Luftspaltleistung p Polpaarzahl Q VA Blindleistung Ω elektrischer Widerstand, Wirkwiderstand i Ω nnenwiderstand V Ω Vorwiderstand m /(Ωs) magnetischer Widerstand m N/m² Zugfestigkeit r m adius r m/s³ uck r φ /s³ Winkelruck S VA komplexe Leistung S VA Scheinleistung s Schlupf T s Spieldauer T A s Anlaufzeit, Auslaufzeit T C Temperatur-ndex T / K Halbwertszeit-Temperaturintervall t s Zeit t L s Lebensdauer

8 Prof. Dr.-ng. E. Nolle 0-8 i u i V induzierte Spannung, Quellenspannung P V Polradspannung V m³ Volumen V m A magnetische Spannung v m/s Geschwindigkeit W J Arbeit W e W m J elektrische / magnetische Energie w e w m J/m³ elektrische / magnetische Energiedichte X Ω Blindwiderstand Z Ω komplexer Widerstand Z Ω Scheinwiderstand z Leiterzahl je Ankerzweig z w wirksame Leiterzahl je Ankerzweig ü elektrische Übersetzung α /s² Winkelbeschleunigung α W/(Km) Wärmeübergangszahl α i ideelles Polbedeckungsverhältnis α l /K Längenausdehnungskoeffizient α 0 /K Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes β γ rad; Winkel δ m Luftspalt ε As/(Vm) elektrische Permittivität ε 0 As/(Vm) elektrische ldkonstante ε r relative Permittivität η Wirkungsgrad Θ A Durchflutung ϑ C Temperatur ϑ rad; Polradwinkel κ /(Ωm) elektrische Leitfähigkeit λ W/(Km) Wärmeleitfähigkeit µ Vs/(Am) magnetische Permeabilität µ 0 Vs/(Am) magnetische ldkonstante µ r relative Permeabilität ξ Wickelfaktor ρ kg/m³ Stoffdichte ρ e As/m³ elektrische Ladungsdichte σ Streukoeffizient τ s Zeitkonstante τ Zuschlagsfaktor für Eisendurchflutung Φ Vs magnetischer Fluss φ V elektrisches Potential φ ad; Phasenwinkel, Drehwinkel Ψ m Vs insgesamt verketteter magnetischer Fluss ω /s Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit

9 Prof. Dr.-ng. E. Nolle Wichtige ndizes: 0-9 A B Bü C Cu c d E e eff G g H h i J K k L M m N n P p q r red S s T t th u V v W w Z zul ü Ankerwert, Anfangswert, Wert bei Anlauf Batterie, Akkumulator Bürsten kapazitive Größe Leiteranteil Koerzitivwert Dauerwert, Drehfeld, Werte der d-achse, Gleichrichtwert Erregerwert elektrisch, Endwert für t, Einschaltphase Effektivwert Wert für Eisenanteil des Magnetkreises Generator Gesamtwert, Werte am Ende der Strombegrenzungsphase Heizung Werte des gemeinsamen Hauptkreises induzierter / ideeller / innerer Wert, Wert für Strom durch Massenträgheit bestimmter Wert Wert im Kipppunkt, Konvektion Wert bei Kurzschluss Lampe, Leiter bzw. Leiterschleife, induktive Größe, Lüftungsanteil, Läuferwert Motor, Magnetwert magnetisch, mittlerer bzw. repräsentativer Wert, Maschineneigenschaft Bemessungswert drehzahlabhängiger Wert Polradwert, Potierwert Einschaltpause Werte der q-achse eibungsanteil, ohmsche Größe, eihenschlusserregung elativwert, Verhältniszahl, emanenzwert auf Motorwelle bezogener Wert Statorwert, spezifischer Wert, Strahlung Spitzenwert, Schlupfwert Wert bei Eckfrequenz Tangentialwert thermischer Wert Wert für Spannung, Wert in mlaufrichtung Wert für vorgeschaltetes Element Verlust Warmwert Wirkanteil Zusatzverlust zulässiger Wert Übergangswert, Wert im induktiven Volllastpunkt α Wert beim Anschnittwinkel α δ Luftspaltwert µ Magnetisierungswert σ Streufeldwert 0 Leerlaufwert, Bezugswert Wert für Primärseite bzw. Stator oder Zustand Wert für Sekundärseite bzw. otor oder Zustand 0 Werte bei 0 C Endwert für t

10 Prof. Dr.-ng. E. Nolle 0-0 Wichtige Sonderzeichen: V r p * Vektor arithmetischer Mittelwert komplexer Zeiger konjugiert komplexer Zeiger Scheitelwert bei sinusförmigen Größen auf Primärseite / Stator umgerechnete Sekundär- / otorgröße Hilfs- / Zwischengröße

11 Prof. Dr.-ng. E. Nolle - Grundlagen. Grundgleichungen der Elektrotechnik n den Maxwellschen Gleichungen sind alle wesentlichen Erkenntnisse über die makroskopische Elektrotechnik, d.h. somit auch über die elektrischen Maschinen zusammengefasst. Mit den genormten Formelzeichen: H magnetische ldstärke D elektrische Flussdichte B magnetische Flussdichte J Leitungs-Stromdichte E elektrische ldstärke ρ e aumladungsdichte lauten die Maxwellschen Gleichungen in der üblichen differentiellen Schreibweise D roth J + J t B rote t divb 0 divd ρ 0, e Durchflutungsgesetz nduktionsgesetz wobei im Anwendungsbereich der elektrischen Maschinen die angegebenen Vereinfachungen zulässig sind. Ergänzt werden die Maxwellschen Gleichungen in der egel noch durch die drei Materialgleichungen und den Erhaltungssatz der Ladung, der direkt zum. Kirchhoffschen Satz führt D ε E, J κ E, B μ H, ρ divj e 0 Kontinuitätsgleichung. t Zur Behandlung von elektrischen Maschinen ist jedoch die integrale Schreibweise der Maxwellschen Gleichungen vorteilhafter. So lautet das nduktionsgesetz für ruhende Anordnungen bei zeitlich veränderlichem Magnetfeld allgemein u i dφ dt A B d A t, während sich die induzierte Spannung bei bewegten Leitern im zeitlich konstanten Magnetfeld ergibt zu r r r u i C ( v B) dl. i u i u i Bild. stlegungen zum nduktionsgesetz

12 Prof. Dr.-ng. E. Nolle - Beim üblichen Aufbau von elektrischen Maschinen nach Bild. stehen Leiter-, ld- und Bewegungsrichtung näherungsweise senkrecht aufeinander und oftmals ist auch das ld im aktiven Bereich etwa homogen, so dass sich dann einfache skalare Formeln für diese Grundgesetze ergeben. v B N l E i S Bild. ) Typische Leiteranordnung bei elektrischen Maschinen n diesem Fall gilt für den mit einheitlicher Geschwindigkeit v bewegten, geraden Leiter der Länge l im homogenen Magnetfeld der Flussdichte B u i l ( v B) l v B. n analoger Form vereinfacht sich auch das Durchflutungsgesetz für abschnittsweise homogene Magnetkreise der magnetischen ldstärke H n und Länge l n, die von Strömen m bzw. Spulen der Windungszahl N mit dem Strom erregt werden, zu Θ m N H ds m C n H l n n Weiterhin lässt sich aus der Lorentzkraft direkt die Kraft auf Strom durchflossene Leiter im äußeren Magnetfeld B r ableiten, wobei das Wegelement dl r in Stromrichtung positiv gezählt wird und C allgemein die Leiterkontur angibt. Geht man wieder von der üblichen Maschinengeometrie gemäß Bild.3 aus, vereinfacht sich auch dieser Ausdruck auf die einfache skalare Form r F dl B ( l B) mit F F l B. C. B N S l F b) Bild.3 Kraft auf Strom durchflossene Leiter im Magnetfeld

13 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -3. Elektrische Netzwerke.. Grundelemente der Elektrotechnik Elektrische Netzwerke lassen sich prinzipiell aus 4 Grundelementen aufbauen, von denen jedes eine einzige elementare Wechselwirkung verkörpert und durch ein festgelegtes Symbol dargestellt wird. Man unterscheidet dementsprechend: Symbol u i Bezeichnung, Zusammenhang ideale Spannungsquelle u i f () i Wechselwirkung mwandlung von nichtelektrischer in elektrische Energie, z. B. mechanische u./o. chemische Energie, Wärme, Licht, usw. in elektrische Energie allg. Verbraucher u f () i bzw. Widerstand u i (Ohmsches Gesetz) mwandlung von elektrischer in nichtelektrische Energie, z.b. elektrische Energie in mechanische u./o. chemische Energie, Wärme, Licht, usw. neu alt L nduktivität di u L dt mwandlung zwischen elektrischer und magnetischer Energie > reversibel C Kapazität u i dt C mwandlung zwischen elektrischer ld- und Strömungsenergie. > reversibel Tabelle. Grundelemente der Elektrotechnik Allgemeine Energieumwandlungen lassen sich dann durch Kombinationen dieser Grundelemente beschreiben, wobei u.. bestimmte Kombinationen zu neuen Elementen (z.b. als reale Spannungsbzw. Stromquelle, reale nduktivität, u. s. w.) zusammengefasst werden... Elektrische Netzwerke Sehr häufig besteht die Aufgabe eines Elektroingenieurs darin, das Verhalten einer elektrischen Einrichtung zu beschreiben und gegebenenfalls in gewünschter Weise zu optimieren. n Bild.4 ist vereinfacht der Schaltplan eines PKW unter Verwendung von genormten Schaltzeichen dargestellt. G M + _ Generator..Verbraucher.. Batterie Bild.4 Vereinfachter Schaltplan eines PKW

14 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -4 Der Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass die Geräteart unmittelbar erkennbar ist. Da für das grundsätzliche Verhalten die konkrete Geräteart in der egel aber keine olle spielt, untersucht man Netzwerke jedoch nicht anhand der Schaltpläne, sondern auf der Basis von sog. Ersatzschaltungen. Hier wird jedes konkrete Bauelement durch die oben beschriebenen Grundelemente dargestellt. Diese idealisierten Bauelemente werden entsprechend den realen Gegebenheiten durch widerstandslos gedachte Drähte zum Netzwerk verbunden. Man erhält so aus dem Schaltplan Bild.4 die äquivalente Ersatzschaltung Bild.5. ig + ib G H L im B qg H L M qm qb _ Bild.5 Vereinfachte Ersatzschaltung eines PKW Während man bei einfachen Gleichstromnetzwerken die tatsächliche Stromrichtung noch unmittelbar erkennen kann, ist dies bei komplizierten Netzwerken meistens nicht mehr möglich. Die Stromrichtung ergibt sich dann erst als Ergebnis einer echnung. Dazu legt man willkürlich für jeden Zweig des Netzwerkes eine positive Zählrichtung für den Strom fest. Ergibt die echnung für den einzelnen Zweigstrom einen positiven Wert, so fließt der betreffende Strom in ichtung des Zählpfeils, anderenfalls fließt er entgegen der gewählten Zählrichtung. Prinzipiell kann man die Zählrichtung der Spannung ebenfalls beliebig festlegen. Üblich ist aber, dass man im sog. Verbraucherzählpfeilsystem (VZS) den Strom durch ein Element und die Spannung an dem betreffenden Element gleichsinnig positiv zählt. Dann genügt allein die stlegung der Zählrichtung für den Strom. Daher soll hier im Weiteren stets das Verbraucherzählpfeilsystem VZS vorausgesetzt werden. Abweichungen, die lediglich bei Quellen sinnvoll sind (daher dann als Erzeugerzählpfeilsystem EZS bezeichnet), werden durch zusätzliche Angabe des Spannungszählpfeils gesondert gekennzeichnet. Noch zwingender wird die stlegung von Zählrichtungen in Wechselstromnetzwerken, da hier eine eindeutige physikalische Stromrichtung überhaupt nicht existiert. n diesem Sinne gilt alles bisher für Gleichstromnetzwerke gesagte auch für Wechselstromnetzwerke...3 Die Kirchhoffschen Sätze Nach dem Ladungserhaltungssatz kann elektrische Ladung weder erzeugt noch vernichtet werden. Für jeden beliebigen Knotenpunkt besagt somit der. Kirchhoffsche Satz: Alle Ladung die einem Knotenpunkt zufließt, muss zeitgleich auch von ihm abfließen n n Bild.6 Knotenpunkt mit Strömen n

15 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -5 Weiterhin folgt aus dem Verschwinden des mlaufintegrals der elektrischen ldstärke über jede beliebige geschlossene Kontur der. Kirchhoffsche Satz: Die mlaufspannung in einer beliebigen Masche ist stets 0. ϕ b ϕ a 3 _ i 3 + ϕ c n ab bc ca n ϕa ϕb ϕ ϕ ϕ ϕ 0 b c ab c a + bc ca 3 q i n 3 n 3 n m im Bild.7 Masche mit Strömen n und Quellenspannungen im

16 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -6.3 Wechselstromnetzwerke.3. Symbolische Methode m engeren Sinne spricht man von linearen, sinusförmigen Wechselstromnetzwerken, wenn alle Ströme und Spannungen zeitlich sinusförmig mit der gleichen Frequenz f und konstanter Amplitude und Phase verlaufen. p(t) ϕ ϕ i ωt ϕ u u(t) i(t) Bild.8 Sinusförmiger Verlauf von Strom und Spannung Dabei wird nach DN 400 der Strom als Bezugsgröße gewählt. Für die Zeitabhängigkeit gilt dann z.b. u( t) sin ( ω t + ϕ ) sin( ω t + ϕ ) u u ( ) m j ω t+ ϕu jϕu jω t m m jω t e 3 e e e. Da sich in gleicher Weise alle Ströme und Spannungen in der Form komplexer Scheitelwert Drehfaktor darstellen lassen, kann man solche Wechselstromnetzwerke elegant durch Zusammenhänge komplexer Zeiger beschreiben. Lediglich wenn konkrete Zeitwerte gewünscht werden, sind diese gemäß der oben genannten Vorschrift zu bilden. Alle Aussagen über Zählpfeile können für die komplexen Scheitel- bzw. Effektivwerte übernommen werden. Desgleichen gelten die für Gleichstromnetzwerke bzw. Augenblickswerte formulierten Kirchhoffschen Sätze auch für die komplexen Zeiger, wie sich durch Ausklammern des gemeinsamen Drehfaktors leicht zeigen lässt: 0, n n n n 0. n n n Dieses Verfahren, Wechselstromnetzwerke durch komplexe Zeiger zu behandeln, bezeichnet man als symbolische Methode. n.3. Der komplexe Widerstand Bekanntlich gilt im Zeitbereich zwischen Strom und Spannung an den Grundelementen: di u i, u L L und uc i dt. dt C Diese Zusammenhänge vereinfachen sich für die komplexen Zeiger, gemäß obiger Abbildungsvorschrift,

17 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -7 zu den rein algebraischen Operationen L jωl jx mit X X L ωl C jx mit X X C. jωc ωc Somit bleibt unter Einführung von Blindwiderständen bzw. allgemein komplexen Widerständen das Ohmsche Gesetz auch für Wechselstromnetzwerke in der Form mit gültig. jϕu j( ϕu ϕi ) jϕ X m e e Z + jx e Z Z u { Z} { Z} i + X ϕ ϕ -ϕ arg i e e X jϕ Z ( Z) arc tan Phasenwinkel komplexer Widerstand, mpedanz Wirkwiderstand Blindwiderstand Scheinwiderstand.3.3 Ortskurven Oftmals soll der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung nicht nur für eine Frequenz untersucht werden. Man kann dann z. B. Z ( ω ) ( ω ) + jx ( ω ) als Ortskurve in der komplexen Zahlenebene, hier dann als Widerstandsebene bezeichnet, darstellen. Als Beispiel wird in Bild.9 die eihenschaltung aus und L mit der Frequenz ω als Parameter betrachtet: Z + jx L + jωl. Den geometrischen Ort der Zeigerspitze einer interessierenden Wechselstromgröße ( Z ) in Abhängigkeit von einem skalaren Parameter (ω) bezeichnet man als Ortskurve der betreffenden Größe. Ortskurven sind wichtige Hilfsmittel zur Beschreibung des Betriebsverhaltens von elektrischen Maschinen. _ L { } jm Z_ Z(ω) _ ω 0 0 e { Z_ } Bild.9 Widerstandortskurve der eihenschaltung aus und L mit ω als Parameter ω ω

18 Prof. Dr.-ng. E. Nolle Die komplexe Leistung Obwohl die Augenblicksleistung in elektrischen Wechselstromnetzwerken selbst keine Wechselgröße ist p u i sin lassen sich gemäß ( ω t + ϕ) sinω t [ cosϕ cos( ω t + ϕ) ] [ cosϕ cos( ω t + ϕ) ], S e jϕ S ( cos ϕ + j sinϕ ) P + jq die besonders interessierenden Leistungsmittelwerte P cosϕ e Q sinϕ m S S P {} S {} S + Q Wirkleistung Blindleistung Scheinleistung direkt aus den komplexen Effektivwertzeigern der Spannung und des Stromes bestimmen. Dabei kennzeichnet den konjugiert komplexen Stromzeiger. Oftmals lassen sich nur auf diesem Wege wichtige Eigenschaften bei elektrischen Maschinen auf einfache Weise ermitteln.

19 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -9.4 Magnetischer Kreis.4. Materie im Magnetfeld Nach dem Durchflutungsgesetz ist jeder Strom untrennbar mit einem Magnetfeld verbunden. Ohne besondere Maßnahmen sind diese lder in der egel aber klein und für technische Zwecke ungeeignet. So erzeugt z. B. ein linienförmiger Gleichstrom von 0 A im Abstand r 0 cm die magnetische Flussdichte B 40 μt, was nur etwa dem Wert des Erdmagnetfeldes in Deutschland entspricht. Daher lassen sich bei vielen praktischen Anwendungen erst durch weitgehendes Ausfüllen des Magnetkreises mit sog. ferromagnetischen Stoffen technisch brauchbare lder realisieren. Zu diesen ferromagnetischen Stoffen gehören in erster Linie Eisen, Kobalt und Nickel, wobei aus Preisgründen dem Eisen die größte Bedeutung zukommt. ntersucht man das Verhalten der Stoffe im Magnetfeld, so ergeben sich grob drei Gruppen:. Diamagnetische Stoffe mit μ r < d. h. diese Stoffe schwächen das Magnetfeld gegenüber dem Wert in Vakuum ab. Die Abweichung ist aber minimal und beträgt selbst bei Wismut lediglich 0,7 %.. Paramagnetische Stoffe mit μ r > d. h. diese Stoffe verstärken zwar das Magnetfeld, wobei dieser Verstärkungseffekt mit kleiner % für technische Zwecke aber ebenfalls vernachlässigbar ist. 3. rromagnetische Stoffe mit μ r >> d. h. sie verstärken das Magnetfeld um Größenordnungen (Größtwert: μ r 3,8 0 6 bei einem 3%-Si-Einkristall). Bei technischen Anwendungen rechnet man für Eisenwerkstoffe etwa mit μ r 000. Da ferromagnetische Stoffe in der egel auch gute elektrische Leiter sind, können sie nur bei kleinen Abmessungen bzw. bei zeitlich konstanten ldern als Massivteile eingesetzt werden. Bei Betrieb mit Wechselflüssen müssen die Magnetkerne lamelliert, d.h. aus dünnen, isolierten Einzelblechen geschichtet werden. Entsprechend ihrer großen Bedeutung sind diese sog. Elektrobleche in separaten Normen beschrieben und dabei grob nach der Art der Herstellung eingeteilt in schlussgeglühte bzw. nicht schlussgeglühte Bleche. ntergruppen: nicht kornorientiert kornorientiert legiert unlegiert Norm: EN 0 06 EN 0 07 EN 0 65 EN 0 6 Kennbuchstabe: A N (S,P) E D nnerhalb der einzelnen Gruppen sind die Bleche nach den maximal zulässigen spezifischen Eisenverlusten klassifiziert. So kennzeichnet M A Kennbuchstabe für nicht kornorientiertes Elektroblech im schlussgeglühten Zustand das Hundertfache der Dicke in mm das Hundertfache der maximal zulässigen spezifischen Eisenverluste in W/kg bei sinusförmiger nduktion mit B,5 T (bei Sondergüten S u. P:,7 T) und f 50 Hz Kennbuchstabe für Elektroblech ein typisches Elektroblech zum Einsatz bei Kleinmotoren aller Art. Für genauere Betrachtungen sind jedoch die konkreten Verlust- und Magnetisierungskennlinien erforderlich, die in Bild.0 auszugsweise für die in Europa bevorzugten Gruppen der schlussgeglühten Elektrobleche dargestellt sind.

20 Prof. Dr.-ng. E. Nolle -0 Spez. mmagnetisierunsverluste bei 50 Hz: Ps/(W/kg) Magn. nduktion: B/T,5 0, Magn. ldstärke: H/(A/m) 0 0 0,5,5 nduktions-scheitelwert: B^/T M A M A M -35 N M laserbehandelt M A M A M P Bild.0 Magnetische Eigenschaften von wichtigen schlussgeglühten Elektroblechen Da Elektrobleche in der egel nicht nur bei den der Norm zugrunde gelegten Betriebsbedingungen eingesetzt werden, hat der Elektromaschinenbauer noch weitere Diagramme über den Verlauf der Magnetisierbarkeit, der spezifischen Verluste und des spezifischen Scheinleistungsbedarfes in Abhängigkeit von der Aussteuerung Bˆ und der Frequenz f zur Verfügung. Näherungsweise, insbesondere für Trendanalysen, lassen sich diese Einflüsse für die vorrangig interessierenden spezifischen Eisenverluste formelmäßig aus den Norm-Bezugswerten durch, 6 Bˆ f P S PS 0,,5 T 50Hz mit P S0 Norm-Bezugswert bei,5 T (Sondergüten:,7T) und 50 Hz, abschätzen. Auch für Sonderlegierungen (Ni, Co) und rrite stellen die Lieferanten entsprechende technische Datenblätter zur Verfügung..4. Streu- und Nutzfluss Magnetfelder sind nach Abschnitt. quellenfrei, d.h. die ldlinien sind entweder in sich geschlossen oder sie verlaufen beidseitig ins nendliche. Damit ähneln sie formal in vieler Hinsicht den ebenfalls quellenfreien stationären Strömungsfeldern. Ein wichtiger nterschied besteht allerdings hinsichtlich der jeweiligen Leitfähigkeit. So kennen wir beim Strömungsfeld einerseits - perfekte Leiter (Supraleiter) mit κ bzw. - technische Leiter z.b. Cu mit κ /Ωm und andererseits - solatoren z.b. Quarz mit κ 0-7 /Ωm, d.h. nterschiede in der elektrischen Leitfähigkeit von rd. 5 Größenordnungen. Deshalb kann man Ströme in dünnen Drähten konzentriert führen und gegen die mgebung praktisch perfekt isolieren.

21 Prof. Dr.-ng. E. Nolle - m Gegensatz dazu gibt es für Magnetfelder einerseits keine solatoren und andererseits leiten auch die technischen Magnetwerkstoffe das Magnetfeld nur etwa mal besser als Vakuum. Das bedeutet, dass Magnetfelder auch durch ferromagnetische Stoffe nicht vollständig in vorgegebene Bahnen gezwungen werden können. Ein Teil des ldes wird also stets als unerwünschter Streufluss auftreten. Betrachtet man den Magnetkreis nach Bild. als Elektromagnet, so gehören nur diejenigen ldlinien die nirgends im Joch verlaufen zum Streufluss. Stellt der gleiche Magnetkreis aber eine Einrichtung zur induktiven Erwärmung dar, so sind alle ldlinien außerhalb der Luftspalte dem Streufluss zuzuordnen. Die Abgrenzung Nutz- zu Streufluss kann also letztlich nur anhand der konkreten Aufgabenstellung derart erfolgen, ob ein bestimmter Flussanteil an der beabsichtigten Wirkung beteiligt ist oder nicht. Θ N Φ Bild. Magnetkreis mit Nutz- und Streufluss.4.3 Das Hopkinsonsche Gesetz Betrachtet man in Analogie zum stationären Strömungsfeld den einfachen Magnetkreis in Bild., so gilt zunächst unter Vernachlässigung des Streuflusses Φ A Θ H Φ B l Φ A B + Hδ l B μ ( m + m δ ) Φm A A BA l δ + δ Φ + μ A A A 0 μ μ { 0 43 m mδ Ohmsches Gesetz für magnetische Kreise Hopkinsonsches Gesetz. Dabei wird die Materialeigenschaft B f(h ), z.b. in Form einer Magnetisierungskennlinie, als bekannt vorausgesetzt. Prinzipiell kann auf diese Weise für jeden angenähert homogenen Abschnitt des Magnetfeldes der sog. magnetische Widerstand Vm l m Φ μ A angegeben werden. Zusammen mit den Durchflutungen Θ m als rsache des Magnetfeldes lassen sich so allgemein Magnetkreise analog zu Gleichstromnetzwerken durch magnetische Ersatzschaltungen beschreiben.

22 Prof. Dr.-ng. E. Nolle - H, B, μ, A, l H, B, μ, A, δ 0 Θ N Bild. Einfacher Magnetkreis Dabei können auch die Kirchhoffschen Sätze in analoger Form übernommen werden: Φ 0 für jeden Knotenpunkt und n n H l n n n n mn Φ n m Θ m für jede Masche. Dies gilt grundsätzlich auch für permanent erregte Magnetkreise, wie an nachfolgendem Beispiel gezeigt wird. Durch Auswertung des Ersatzschaltbildes für moderne Hochleistungsmagnete mit linearer Entmagnetisierungskennlinie findet man nach vergleichsweise einfacher echnung die meistens interessierende Luftspaltinduktion zu Br Φ B. A δ A σ + τ μ rm AM lm Dabei erfasst man mit σ die Streuung des Magnetkreises und mit τ den Durchflutungsbedarf des Eisens gemäß Φ Φ Φ + Φ mit M ma σ mδ + ν σ mν τ mδ mit σ τ. Eisen : Luftspalt Magnet : B B M, H, H M, μ, A B, H, μ, A, δ 0, μ, A M M, l, l M mm Θ Φ M mσ Φ σ m Φ mδ Φ Φ Θ V M σ mq H cm M σ Φ Φ + Φ ( σ )Φ l σ Bild.3 Permanenterregter Magnetkreis mit Ersatzschaltbild Für überschlägige Betrachtungen sind oftmals noch folgende Vereinfachungen zulässig - Luftspaltmagnete A A M und σ - moderne Hochleistungsmagnete μ rm, - kurze Eisenwege und/oder begrenzte Aussteuerung τ, so dass dann für die Luftspaltinduktion näherungsweise gilt B Br + δ l. M