Aufgabensammlung. Prüfungsaufgaben Abitur Sachsen-Anhalt Grundkurs Mathematik

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1 Aufgabensammlung Prüfungsaufgaben Abitur Sachsen-Anhalt Grundkurs Mathematik

2 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch (x 1) 2 y = f(x) =, x R, x 0. x Ihr Graph sei mit G bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Null- und Polstellen, auf ihr Verhalten für x ± sowie den Graphen G auf Extrempunkte und bestimmen Sie gegebenenfalls deren Lage und Art. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall -6 x 6. b) Im Punkt P( -4 f(-4) ) wird an den Graphen der Funktion f eine Tangente t 1 gelegt. Zeigen Sie, dass diese Tangente die y-achse im Punkt S (0-2,5) schneidet. Es existiert an den Graphen G genau eine Tangente t 2, die zur Tangente t 1 parallel verläuft. Ihr Berührungspunkt mit dem Graphen G sei der Punkt Q. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Q. [Ergebnis zur Kontrolle: Q (4 2,25)] c) Eine Gerade schneide den Graphen G in den Punkten Q (aus Teilaufgabe b)) und R (0,25 2,25). Diese Gerade und der Graph G schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

3 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch 9x y = f(x) =, x R. x e Der Graph sei mit G bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass der Koordinatenursprung O ein Punkt des Graphen G ist. Ermitteln Sie Art und Lage des lokalen Extrempunktes des Graphen G. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 0,5 x 6. b) Im Punkt P ( 2 f(2) ) soll die Tangente t an den Graphen G gelegt werden. Sie schneidet die x-achse im Punkt Q und die y-achse im Punkt R. Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q. Eine Parallele zur y-achse durch den Punkt P schneidet die x-achse im Punkt T. Weisen Sie nach, dass sich die Maßzahlen der Flächeninhalte der Dreiecke OTP, OPR und OQR wie 1 : 2 : 4 verhalten. c) Die Punkte S (u f(u)), V(u 0), mit u > 0, und O(0 0) bilden jeweils ein Dreieck SOV. Genau eines dieser Dreiecke hat einen maximalen Flächeninhalt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes S für diesen Fall.

4 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie Auf einer Böschung sollen die Geländepunkte A und B sowie B und C durch geradlinige Wege verbunden werden. Die Lage dieser Punkte ist in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben: A(-4 2 1), B(-3 7 2), C(-5 9 3). Die x 1 x 2 -Ebene sei die Horizontalebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht 10 m. h A A C α B β Skizze nicht maßstäblich a) Berechnen Sie die Gesamtlänge der Wege sowie das Gradmaß des Winkels α zwischen den Wegen. b) Die Lage der Böschung kann in dem zu betrachtenden Bereich durch eine Ebene E charakterisiert werden. Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene E. c) Weisen Sie nach, dass der Punkt B (0 10 2) auf der gleichen Höhenlinie h der Böschung liegt wie der Geländepunkt B, und geben Sie eine Gleichung dieser Höhenlinie an. (Anmerkung: Eine Höhenlinie besteht aus Geländepunkten mit gleicher Höhe.) Zeigen Sie, dass der Weg zwischen B und C orthogonal zur Höhenlinie h verläuft. Ermitteln Sie die Höhendifferenz zwischen den Punkten B und C, und berechnen Sie das Gradmaß des Neigungswinkels β der Böschung (bez. der Horizontalebene).

5 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte A(2 1-3), B(0 3 1), C(4-2 0), D(6-4 -4) und P(11 8-2) sowie die Gerade g: x = t 7 5, t R. a) Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene E und bilden das Viereck ABCD. Untersuchen Sie jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr ist: - Das Viereck ABCD ist ein Trapez. - Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm. - Das Viereck ABCD ist ein Rechteck. Geben Sie eine Gleichung der Ebene E an. Die Punkte A und P bestimmen eine Gerade h. Weisen Sie nach, dass die Gerade h senkrecht zur Ebene E verläuft. b) Es gibt Punkte Q, R und S, so dass der Körper ABCDPQRS ein gerades Prisma ist. Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Q, R und S. [Ergebnis zur Kontrolle: S(15 3-3)] Das Prisma ABCDPQRS wird von der Geraden g durchstoßen. Weisen Sie nach, dass die Körperkante SP von der Geraden g geschnitten wird, und berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes.

6 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Ein Firmenmitarbeiter fährt zum Hauptsitz der Firma regelmäßig auf der kürzeren Route A oder auf der längeren Route B. Die Wahl der Route erfolgt spontan. Aufgrund langjähriger Erfahrungen wird in der Regionalpresse die Staugefahr für die Route A mit 80 %, für die Route B mit 45 % angegeben. Bei der Jahresauswertung seines Fahrtenbuches stellt der Mitarbeiter fest, dass er sich bei durchschnittlich zwei Drittel aller Fahrten für die Route B entschieden hat. a) Fertigen Sie für das Zufallsexperiment Fahrten des Mitarbeiters ein Baumdiagramm an und tragen Sie die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden ein. Betrachten Sie dazu die folgenden Ereignisse: A: Es wird die Route A gewählt. B: Es wird die Route B gewählt. S: Der Mitarbeiter gerät in einen Stau. S: Der Mitarbeiter gerät in keinen Stau. Formulieren Sie die Wahrscheinlichkeiten P(S), P S (A) sowie P S ( B) in Worten und berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten. [Hinweis: Für die Wahrscheinlichkeiten P S (A) bzw. P S ( B) ist auch die Schreibweise P(A S) bzw. P(B S) gebräuchlich.] b) Berechnen Sie für die Route A und für die Route B jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Mitarbeiter bei drei aufeinander folgenden Fahrten jedes Mal in einen Stau gerät. Begründen Sie, warum ein BERNOULLI-Experiment vorliegt. c) Bei einem BERNOULLI-Experiment trete ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Geben Sie jeweils einen Ausdruck zur Berechnung an, mit der dieses Ereignis bei n-maliger Durchführung des BERNOULLI-Experimentes genau k-mal mindestens k-mal höchstens k-mal eintritt.

7 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x 3 + 3x 2, x R. Der Graph sei mit G bezeichnet. a) Der Graph G und der Graph der Funktion g(x) = x 3, x R, begrenzen eine Fläche vollständig. Bei Rotation dieser Fläche um die x-achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der beiden Graphen. Ermitteln Sie die Maßzahl des Volumens des Rotationskörpers. b) Gegeben sind die Funktionen f a durch y = f a (x) = x 3 + ax 2, x, a R. Jeder Graph der Funktionen f a besitzt genau einen Wendepunkt. Berechnen Sie die Anstiege der Geraden, die in den Wendepunkten W a senkrecht zu den Graphen der Funktionen f a verlaufen.

8 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.3 Analytische Geometrie Gegeben sei in einem kartesischen Koordinatensystem eine Ellipse durch ihre Gleichung 2 2 x y + = a) Geben Sie die Ordinate des Ellipsenpunktes P(3 y>0) an. In diesem Punkt soll die Tangente an die Ellipse gelegt werden. Beschreiben Sie hierfür ein Verfahren zur Konstruktion der Tangente und stellen Sie eine Gleichung für diese Tangente auf. b) Untersuchen Sie die gegebene Ellipse und die Gerade g mit der Gleichung x = 3 25 auf gemeinsame Punkte. Zeigen Sie, dass für den Ellipsenpunkt P (aus Teilaufgabe a)), einen Haupt- sowie einen Nebenscheitelpunkt der Ellipse folgende Aussage gilt: Das Streckenverhältnis aus dem Abstand des jeweiligen Punktes zu einem Brennpunkt der Ellipse und seinem Abstand zur Geraden g ist konstant.

9 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g durch y = f(x) = 8 1 (x 3 6x ) und y = g(x) = x 2 4, x R. In einem kartesischen Koordinatensystem sei der Graph der Funktion f mit F und der Graph der Funktion g mit G bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass x 0 = 4 eine Nullstelle der Funktion f ist. Berechnen Sie die weiteren Nullstellen der Funktion f. Ermitteln Sie Art und Lage der lokalen Extrempunkte des Graphen F. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 2,5 x 5. b) Die Graphen F und G besitzen zwei gemeinsame Punkte. Zeigen Sie, dass einer dieser Punkte ein Schnittpunkt ist und geben Sie dessen Koordinaten an. Die Graphen F und G und die x-achse begrenzen im IV. Quadranten eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. c) Der Verlauf einer Rennstrecke werde in dem zu betrachtenden Bereich durch den Graphen F beschrieben. Der Standort eines Beobachtungsturmes sei der Punkt K. Der Punkt K soll so gewählt werden, dass er zu den gemeinsamen Punkten des Graphen F mit den Koordinatenachsen jeweils den gleichen Abstand hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes K.

10 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g durch 2 y = f(x) =, x R, x 2, und 2 (x 2) y = g(x) = 4x + 14, x R. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -1 x 5. Untersuchen Sie dazu den Graphen der Funktion f auf waagerechte Asymptoten sowie auf Existenz lokaler Extrempunkte und ermitteln Sie die Koordinaten seines Schnittpunktes mit der y-achse. Geben Sie die Gleichung der Polasymptote an. b) Im Punkt P(1 f(1)) wird an den Graphen der Funktion f eine Tangente t gelegt. Die Tangente t schneidet die Polasymptote im Punkt Q(2 6). Weisen Sie die Richtigkeit dieser Aussage nach. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g auch Tangente an den Graphen der Funktion f ist und berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes. c) Die Graphen der Funktionen f und g und die Gerade mit der Gleichung x = 4 begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. d) Für jeden Wert des Parameters a schneidet die Gerade mit der Gleichung y = a, a > 0, den Graphen der Funktion f in den Punkten A (2+ 2 a a) und B (2 2 a a). Eine Parallele zur y-achse durch den Punkt A schneidet die x-achse im Punkt D und eine Parallele durch den Punkt B schneidet die x-achse im Punkt C. Berechnen Sie den Wert des Parameters a für den Fall, dass das Viereck ABCD einen minimalen Umfang besitzt.

11 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie Auf einem ebenen Berghang sollen in den Geländepunkten A( ), B( ) und C(-5 0 5) zur Horizontalebene senkrechte Masten mit einer Länge von jeweils 10 m errichtet werden. Entsprechend ihrem Standort werden sie mit a, b und c bezeichnet. Die Lage der Geländepunkte ist in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben, in dem eine Einheit einem Meter entspricht und die xy-ebene die Lage der Horizontalebene beschreibt. a) Zeigen Sie, dass der Standort des Mastes b in gleicher Entfernung von den Standorten der Masten a und c gewählt wurde. Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene auf, die die Lage des Berghanges beschreibt. b) Ermitteln Sie jeweils die Koordinaten der Punkte A', B' und C', die die Lage der Spitzen der Masten a, b und c kennzeichnen. [Teilergebnis zur Kontrolle: A'( )] An der Spitze des Mastes b soll ein Befestigungsseil angebracht werden, dessen 1 Richtung durch den Vektor v b = 1 beschrieben wird. 4 Stellen Sie eine Gleichung der Geraden auf, die die Lage des Befestigungsseiles am Mast b beschreibt und berechnen Sie die Koordinaten des Verankerungspunktes des Seiles in der Hangebene. c) Die Befestigungsseile an den Masten a und c sollen senkrecht zum Hang verlaufen. In den Bauunterlagen gibt es zu deren Richtung jedoch unterschiedliche Angaben: 1 1 va = 0, v 2 c = 1. 3 Prüfen Sie, ob diese Vektoren die geforderte Richtung angeben.

12 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(0 0), B(8 4), C(6 8) und D(-2 4) gegeben. a) Weisen Sie nach, dass die Punkte A, B, C und D Eckpunkte eines Rechtecks sind. b) Die Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis k mit dem Mittelpunkt M. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M und eine Gleichung dieses Kreises. [Mögliches Teilergebnis zur Kontrolle: k: x 2 +y 2-6x-8y = 0] Im Punkt C ist an den Kreis k die Tangente t zu legen. Geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an. c) Die Gerade durch die Punkte B und D sowie die Tangente t (aus Aufgabe b)) schneiden einander im Punkt E. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes E. Die Punkte E, C und M (aus Aufgabe b)) seien die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechnen Sie das Gradmaß der Innenwinkel und den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

13 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Während eines praktischen Fahrschulunterrichts sollen Antje, Babette und Christian zur Übung unterschiedlich schwierige Rundkurse befahren. Aus langjährigen Erfahrungen sind für das fehlerfreie Durchfahren der Rundkurse die folgenden Wahrscheinlichkeiten bekannt: Rundkurs I 50 %, Rundkurs II 60 % sowie Rundkurs III 70 %. a) Antje durchfährt den Rundkurs I, Babette den Rundkurs II. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass - keines der beiden Mädchen, - genau eines der beiden Mädchen seinen Rundkurs (bei jeweils genau einer Fahrt) fehlerfrei absolviert. b) Christian durchfährt erstmals den Rundkurs III. Bei jedem weiteren Durchfahren des Rundkurses erhöht sich durch einen Trainingseffekt die Wahrscheinlichkeit für das fehlerfreie Durchfahren um 0,05. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Christian den Rundkurs in den ersten drei Durchfahrten mindestens zweimal ohne Fehler durchfährt. Von einem weiteren, schwierigen Rundkurs (Rundkurs IV) wird behauptet, dass ihn im Durchschnitt jeder vierte Fahrschüler fehlerfrei absolviert. 50 Interessenten wollen diese Behauptung (mit je einer Fahrt) testen. Wenn weniger als 10 von ihnen den Rundkurs IV fehlerfrei absolvieren, dann wollen sie die Behauptung als falsch ablehnen. c) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei diesem Testvorgehen die Behauptung irrtümlich als falsch abgelehnt wird.

14 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Analysis Gegeben sind die Funktionen f a durch 2x 1 y = f a (x) = e + a, a, x R. a) Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters a auf den Verlauf der Graphen der Funktionen f a. Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Werte. x 3 0 f 1 (x) 0 e² 1 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f -1 im Intervall -3 x 1,5. b) Durch Rotation des Graphen der Funktion f -1 im Intervall 1 x 0,5 um die x-achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens dieses Körpers.

15 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2001 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.3 Analytische Geometrie In einem Koordinatensystem seien die in der Abbildung dargestellte Hyperbel mit Halbachsen ganzzahligen Maßes und ihre Asymptoten gegeben. (Skizze nicht maßstäblich) a) Geben Sie eine Gleichung für die Hyperbel und eine Gleichung für jede der Asymptoten an. b) Vom Punkt P(-4 9) aus sei die Tangente t 1 an den linken Hyperbelast gelegt. Diese schneidet jede der beiden Asymptoten und begrenzt mit diesen ein Dreieck D 1. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes dieses Dreiecks. c) Im Punkt T(5-2,25) werde die Tangente t 2 an die Hyperbel gelegt. Ermitteln Sie eine Gleichung für diese Tangente. Diese Tangente t 2 schneidet die Asymptoten in den Punkten S 1 und S 2 und bestimmt mit diesen ein Dreieck D 2. Zeigen Sie, dass die Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks D 2 gleich der Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks D 1 ist.

16 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2002 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form y = f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d, a, b, c, d, x R, schneidet die x-achse im Punkt S x (2 0) sowie die y-achse im Punkt S y (0 1) und berührt die x-achse im Punkt B x (-1 0). a) Ermitteln Sie die Werte der Parameter a, b, c, d und geben Sie eine Gleichung der Funktion f an. [Ergebnis zur Kontrolle: y = f(x) = x x + 1] b) Berechnen Sie die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion f, ermitteln Sie deren Art und berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f symmetrisch zum Punkt S y ist. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall 2,5 x 2,5. c) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen im I. Quadranten eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A. Berechnen Sie diese Maßzahl. Jede Gerade g mit der Gleichung y = mx +1, m R, m < 0, begrenzt mit den Koordinatenachsen eine Fläche vollständig. Der Flächeninhalt habe die Maßzahl A 1. Ermitteln Sie diese Maßzahl in Abhängigkeit von m. Berechnen Sie einen Wert für m, wenn für das Verhältnis der Maßzahlen A : A 1 = 4 : 1 gilt. d) Die Parallele zur y-achse durch den Punkt P(u f(u) ), u R, 0 < u < 2, des Graphen der Funktion f schneidet die x-achse im Punkt Q. Die Punkte O, P, Q sind Eckpunkte eines Dreieckes. Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhaltes dieses Dreieckes in Abhängigkeit vom Parameter u. (Anmerkung: Diese Gleichung kann als eine Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des maximalen Flächeninhaltes des beschriebenen Dreiecks angesehen werden.)

17 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2002 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 20 x, x R, x > 20. x 20 a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, auf Polstellen, auf das Monotonieverhalten und das Verhalten für x. Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion f weder lokale Extrempunke noch Wendepunkte besitzt. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f bei Annäherung an die Stelle x = 20. Die nebenstehende Zeichnung zeigt im Intervall 20 < x 160 die Graphen G 1 und G 2 zweier Funktionen, von denen nachfolgende drei Funktionsgleichungen gegeben sind: 20 x 400 (I) y = f(x) = (II) y = 20 + x 20 x 20 Ordnen Sie den Graphen diese Funktionsgleichungen zu. (III) y = x 20 b) Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes der Fläche, den der Graph der Funktion f, die x-achse und die Geraden mit den Gleichungen x = 40 und x = 100 vollständig begrenzen. Die Graphen G 1 und G 2 und die Geraden mit den Gleichungen x = 40 bzw. x = a, a R, a > 40, begrenzen eine Fläche vollständig. Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. c) Die Funktion f beschreibt in der Strahlenoptik die Bildweite y (in mm) in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite x (in mm) bei der Abbildung durch eine dünne Konvexlinse mit der Brennweite 20 mm. Geben Sie die Gegenstandsweite x für den Fall an, dass bei der Abbildung kein Bild entsteht und geben Sie die Bildweite y für den Fall an, dass der Gegenstand ins Unendliche rückt. Berechnen Sie die Gegenstandsweite x für den Fall, dass sie 4 1 der Bildweite y beträgt.

18 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2002 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind 4 die Vektoren a r r 0 = 2, b 4 = 8 4 sowie der Punkt A( 1 2 3) gegeben. a) Weisen Sie nach, dass die Vektoren a r und b r rechtwinklig zueinander liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte B und D, für die gilt: r r OB = OA + a bzw. OD = OA + b. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C, so dass ein Rechteck ABCD entsteht. b) Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem die Rechteckseite AB (siehe Aufgabe a)) zur xy-ebene verläuft. Prüfen Sie, ob die Strecke AB die xy-ebene durchstößt. c) Durch Rotation des Rechteckes ABCD (siehe Aufgabe a)) um die Symmetrieachse, die senkrecht zur Seite AB verläuft, entsteht ein gerader Kreiszylinder. Berechnen Sie von diesem Zylinder die Maßzahl der Körperhöhe sowie von der Grund- und Deckfläche die Koordinaten der Mittelpunkte und die Maßzahl des Radius. Bei dieser Rotation gibt es eine parallele Lage des Rechteckes zur yz-ebene. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der dann das Rechteck liegt.

19 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2002 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie Zwei geradlinige, einander kreuzende Gleise Gleis 1 sollen zwischen den Punkten A und B durch ein kreisförmig verlaufendes Gleis verbunden A werden (siehe Skizze). Die zu betrachtende Problematik wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene mit dem Ursprungspunkt O beschrieben. Eine Einheit entspricht 10 m. B Gleis 2 Die Lage der Gleise wird durch jeweils Skizze nicht maßstäblich einen Teilbereich der Geraden g 1 und g 2 bzw. einen Bogen des Kreises k charakterisiert. (Die Geraden g 1 und g 2 müssen Tangenten des Kreises k sein.) Gegeben sind g 1 : x r = t 4, g 3 2: x r = s 4, 3 t, s R, A(8 6), B(8-6). a) Berechnen Sie das Gradmaß des kleineren Winkels, unter dem die beiden Gleise einander kreuzen, und zeigen Sie, dass dieser Winkel und der Winkel AOB kongruent sind. b) Ermitteln Sie eine parameterfreie Gleichung der Geraden g 1 in Normalform und eine Gleichung der zu dieser Geraden senkrechten Geraden g 1 durch den Punkt A. Begründen Sie, dass die Mittelpunkte von Kreisen, für die die Geraden g 1 und g 2 Tangenten sind, auf der x-achse liegen. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises k und die Länge des Kurvenradius des Verbindungsgleises. In den Schnittpunkten der Geraden 1 g mit dem Kreis k sollen Signalgeber installiert werden. Geben Sie eine Gleichung des Kreises k an und ermitteln Sie die Koordinaten dieser Schnittpunkte.

20 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2002 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Stochastik Mit dem Namen Einarmiger Bandit bezeichnet man Spielautomaten, bei denen z. B. drei Walzen mit verschiedenen Symbolen drehbar angeordnet sind. Nach einem Geldeinsatz durch den Spieler werden z. B. durch Betätigen eines Hebels ( Einarm ) die Walzen in Rotation gebracht. Nach einem Stopp-Signal kommen die drei Walzen nacheinander zufällig und unabhängig voneinander zur Ruhe. Je nach Anordnung der drei Symbole an einer festen Markierung wird der Gewinn ermittelt. In einem Spielautomaten vom Typ Fruit Machine sind auf jeder der drei Walzen die Symbole Zitrone, Banane, Erdbeere, Orange, Apfel und Traube angeordnet. Der Auszahlungsplan ergibt sich aus folgenden möglichen Anordnungen der drei Symbole: A: Drei Symbole Erdbeere: 5 ; B: Drei gleiche Symbole (außer Erdbeere): 3 ; C: Nur gleiche Symbole links außen und rechts außen: 1 ; D: Genau zwei gleiche Symbole direkt nebeneinander: 0,50. a) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Ereignisse A, B, C und D. b) Die Zufallsgröße X bezeichne den Gewinn bei einem Spiel, bei dem der Einsatz 1 beträgt. Stellen Sie eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung für diese Zufallsgröße auf und berechnen Sie den Erwartungswert für den Gewinn eines Spiels. c) Ein Spieler möchte an dem Spielautomaten zehn Spiele durchführen, die als voneinander unabhängig angenommen werden können. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zu mindestens einem Spiel mit einer Auszahlung kommt.

21 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2002 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Stochastik Ein Unternehmen produziert Fahrradcomputer (FaCo) und liefert diese in sehr großer Stückzahl an eine Handelskette für Fahrradzubehör. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein FaCo defekt ist, beträgt 5 %. Die Zufallsgröße, die die Anzahl der defekten FaCo angibt, wird als binomialverteilt angenommen. a) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit in einer Großpackung von 12 FaCo höchstens zwei defekt sind. Berechnen Sie, welchen Umfang eine Stichprobe mindestens haben muss, wenn diese Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einen defekten FaCo enthalten soll. Die Handelskette vereinbart mit dem Unternehmen folgende Prüfbedingungen: - Aus jeder Lieferung werden zunächst 50 FaCo geprüft. Eine Lieferung wird angenommen, wenn höchstens zwei FaCo defekt sind. - Sind genau drei FaCo defekt, werden zusätzlich weitere 20 FaCo geprüft. b) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Lieferung nach Prüfung von 50 FaCo angenommen wird. Ermitteln Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass weitere 20 FaCo geprüft werden müssen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein FaCo funktioniert, sei nun p, die Wahrscheinlichkeit, dass er defekt ist, 1 p. Betrachtet wird das Ereignis E: Von drei FaCo funktionieren mindestens zwei. c) Weisen Sie nach, dass für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E gilt: P(E) = -2 p p 2.

22 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Ein Unternehmen stellt u. a. Monitore für PCs her. Bei der Herstellung von x Monitoren entstehen Kosten K(x). Die Kosten (in ) in Abhängigkeit von x werden durch die Gleichung K(x) = 0,001x³ 1,29x² + 600x beschrieben. Der Verkauf der Monitore an die Händler erfolgt zum Preis von 300 pro Stück. Die Einnahmen beim Verkauf von x Monitoren werden mit E(x) und der Gewinn, den das Unternehmen dabei erzielt, mit G(x) bezeichnet (jeweils in ). Der Gewinn ist dabei die Differenz aus den Einnahmen und den Kosten. a) Untersuchen Sie die Funktion K mit K(x) und x R, x 0 auf Existenz von lokalen Extremstellen, auf Monotonie sowie auf ihr Verhalten für x. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion K im Intervall 0 x Interpretieren Sie ihn unter dem Aspekt der Kostenentwicklung. K(x) x b) Stellen Sie jeweils eine Gleichung für die Funktionen E mit E(x) und G mit G(x) und x R, x 0 auf. Begründen Sie, dass x 1 = 357,8 und x 2 = 966,9 Näherungswerte für die Nullstellen der Funktion G sind. Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von G. Zeichnen Sie die Graphen von G und E im Intervall 0 x Interpretieren Sie den Graphen von G hinsichtlich Gewinn und Verlust und geben Sie den maximalen Gewinn an. c) Für die Funktion G gilt im Intervall der Nullstellen [x 1 ; x 2 ] (siehe Aufgabe b): x G 2 1 x 2 (x)dx = (x x ) G(x) mit x [ x ; ]. 1 1 x 2 Deuten Sie die Stelle x im Zusammenhang mit dem Gewinn. Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion G an.

23 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis 1 Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = x mit x R und x 0. x Der zugehörige Graph wird mit F bezeichnet. a) Ermitteln Sie die Nullstelle und die Polstelle der Funktion f. Ermitteln Sie die Lage und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen F und weisen Sie nach, dass der Graph F keine Wendepunkte hat. Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y = x + 2 eine Asymptote des Graphen F ist. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 7 x 7. Geben Sie die Monotonieintervalle der Funktion f an. b) Geben Sie den Wertebereich der Funktion f an. Zeigen Sie, dass aus dem Wertebereich der Funktion f die Gültigkeit der Ungleichung 1 x + 2 für alle x mit x 0 gefolgert werden kann. x c) Ermitteln Sie zwei voneinander verschiedene Stammfunktionen der Funktion f und geben Sie an, wodurch sich die Graphen dieser beiden Stammfunktionen unterscheiden. Der Graph F und die Gerade mit der Gleichung y = 4 schließen eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

24 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Kreise k 1 : (x + 5) 2 + (y 7) 2 = 5, k 2 : (x 4) 2 + (y 10) 2 = 20 gegeben. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Kreis k 1 im Punkt B 1 ( 3 6). [Ergebnis zur Kontrolle: y = 2x +12] Zeigen Sie, dass die Tangente t auch Tangente des Kreises k 2 ist und berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes B 2. b) Ermitteln Sie von der Geraden g, die durch die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k 2 geht, eine Parametergleichung und eine Gleichung in der Form y = mx + n. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes und das Gradmaß des Schnittwinkels der Geraden g und t (siehe Aufgabe a). c) Die Abbildung zeigt verschiedene Fälle von Lagebeziehungen zweier Kreise mit gemeinsamer Tangente. Untersuchen Sie, welcher dieser Fälle für die gegebenen Kreise k 1 und k 2 zutrifft. Die Lage des Kreises k 2 soll (bei gleichbleibendem Radius) so verändert werden, dass einer der übrigen Fälle der in der Abbildung gegebenen Lagebeziehungen zutrifft. Wählen Sie dafür eine Lagebeziehung aus und ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises k 2 für diesen Fall. Abbildung (nicht maßstäblich)

25 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs vom Punkt A( ) in Richtung des Punktes B( ). Die Beschreibung des geometrischen Sachverhaltes erfolgt in einem kartesischen Koordinatensystem; eine Einheit entspricht einem Kilometer. Die x-y-ebene charakterisiert die Horizontalebene. a) Ermitteln Sie einen Vektor, der die Flugrichtung beschreibt und berechnen Sie die Länge der Flugstrecke zwischen den Punkten A und B. Der Flug muss aus Sicherheitsgründen oberhalb einer Ebene E mit der Gleichung x y + 20 z + 11 = 0 stattfinden. Zeigen Sie, dass das Flugzeug oberhalb der Ebene E und in einem konstanten Abstand zu dieser Ebene fliegt. 18 Vom Punkt B aus erfolgt ein geradliniger Landeanflug in Richtung des Vektors a = 9. 1 b) Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, der die Kursänderung im Punkt B für den Landeanflug angibt. Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem der Landeanflug zur Horizontalebene erfolgt. Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die den Landeanflug charakterisiert und berechnen Sie die Koordinaten des Punktes L der Horizontalebene, in dem das Flugzeug aufsetzt. Die Landebahn des Flughafens werde als Strecke betrachtet, deren Punkte wie folgt 15 2 beschrieben sind: 15 4 x = + t 1, t R, 0 t c) Zeigen Sie, dass das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

26 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Stochastik Eine TÜV-Station hat die häufigsten Mängel an fünf Jahre alten Pkws erfasst. Es wurden 2000 Pkws untersucht. Mängel relative Häufigkeit in % A: Handbremse (mit zu geringer Bremswirkung) 7,8 B: Ölverlust (an Motor oder Getriebe) 7,5 C: Auspuffanlage (korrodiert) 5,0 D: Scheinwerfereinstellung (Blendwirkung) 4,3 E: Bereifung (schadhaft oder mit zu geringer Profiltiefe) 3,9 F: Katalysator (Lambdasonde defekt) 2,5 G: Rost (mit Auswirkung auf die Fahrsicherheit) 0,5 S: Sonstige 18,7 Es wird davon ausgegangen, dass die Mängel A bis S unabhängig voneinander auftreten. a) Begründen Sie, dass die angegebenen relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der Mängel A bis S angesehen werden dürfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse für fünf Jahre alte Pkws: E1: Ein Pkw hat den Mangel B. E2: Ein Pkw hat die Mängel A und B. E3: Ein Pkw hat den Mangel A oder den Mangel B. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 6 von 100 Pkws einen Mangel an der Auspuffanlage (Mangel C) aufweisen. Die TÜV-Station vermutet aufgrund neuer Prüfberichte, dass nur noch höchstens 5 % aller fünf Jahre alten Pkws den Mangel B aufweisen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Pkws mit dem Mangel B in einer Stichprobe vom Umfang n = 100. Die Zufallsgröße X wird als binomialverteilt angenommen: X B 100; 0,05. c) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X. Prüfen Sie die Nullhypothese H 0 : p 0 0,05 auf dem Signifikanzniveau α = 0,05, indem Sie den Wert k aus P(X k) = 1 B 100; 0,05 ({0; 1;...; k 1}) 0,05 ermitteln und den Ablehnungsbereich A für die Nullhypothese H 0 angeben. In der Stichprobe sind sechs Pkws mit dem Mangel B gezählt worden. Wie muss die TÜV-Station hinsichtlich der Nullhypothese H 0 entscheiden?

27 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2003 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Stochastik Ein Hobbygärtner züchtet Blumen, deren Samen er selbst gewinnt. Für ein Blumenbeet werden 50 Samenkörner einer Blumensorte ausgesät. a) Der Hobbygärtner nimmt an, dass die Wahrscheinlichkeit für die Keimfähigkeit 80 % beträgt. Betrachtet wird die Zufallsgröße X: Anzahl der keimenden Samenkörner. Diese wird als binomialverteilt angenommen. Beschreiben Sie verbal das Ereignis, das durch die Ungleichungen 29 < X 45 dargestellt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass - mehr als 40 Samenkörner keimen; - höchstens fünf Samenkörner nicht keimen. b) Berechnen Sie, welche Wahrscheinlichkeit für die Keimfähigkeit mindestens anzunehmen ist, wenn mit mindestens 50 % Wahrscheinlichkeit alle 50 ausgesäten Samenkörner keimen. Für eine Gartenbauausstellung soll ein großes Beet mit 1250 Pflanzen bepflanzt werden. Der Lieferant der Pflanzen sichert zu, dass eine Pflanze mit 90 % Wahrscheinlichkeit bis zur Eröffnung blüht. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der mehr als 1125 Blumen zur Eröffnung blühen, in dem Sie die Verteilung der Zufallsgröße Y (mit Y: Anzahl der blühenden Pflanzen ) mit der Normalverteilung approximieren.

28 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2004 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f und g durch 1 y = f(x) = 1+, x y = g(x) = lnx, x Df und x R, x > 0. Ihre Graphen werden mit F bzw. G bezeichnet. a) Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D f der Funktion f. Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie und auf die Existenz von lokalen Extrema. Untersuchen Sie den Graphen F auf Symmetrie zur y-achse und auf Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung. Zeichnen Sie den Graphen F im Intervall 6 x 6. b) Weisen Sie nach: Die Graphen F und G schneiden einander in genau einem Punkt P. Ermitteln Sie das Gradmaß des Winkels, unter dem die Graphen F und G einander im Punkt P schneiden. Die Tangenten an die Graphen F und G im Punkt P schließen mit der y-achse eine Dreiecksfläche ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Dreiecksfläche. c) Zeigen Sie, dass die Funktion h mit der Gleichung h(x) = x ln x x eine Stammfunktion der Funktion g ist. Die Graphen F und G und die Gerade mit der Gleichung x = 2 begrenzen vollständig eine Fläche. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche.

29 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2004 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 10 (e x e 2x ), x R. Der Graph der Funktion f wird mit G bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Monotonie und ihr Verhalten für x ±. Ermitteln Sie Art und Lage des lokalen Extrempunktes des Graphen G. Der Graph G hat den Wendepunkt W 15 2 ln2 8. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 5 x 0. b) Der Graph G, die x-achse und die Gerade mit der Gleichung x = 3,5 schließen eine Fläche F 1 vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. c) Die Tangente t an den Graphen G im Koordinatenursprung, die Gerade s durch die Punkte P( 3,5 l 0) und Q(0 l 3) sowie die x-achse begrenzen eine weitere Fläche F 2 vollständig. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Inhalts der Fläche F 2 vom Inhalt der Fläche F 1. d) Es existiert ein Punkt R des Graphen G im Intervall 1 x 0, der vom Koordinatenursprung einen maximalen Abstand hat. Zeigen Sie mithilfe eines Beispiels, dass dieser Punkt R nicht der lokale Extrempunkt des Graphen G ist.

30 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2004 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie Zwei Apparate haben die Form gerader Kreiszylinder. Sie sollen an eine Rohrleitung p, die p = 3 verläuft, angeschlossen werden. 1 vom Punkt P(0 1) in Richtung des Vektors ( ) Die Apparate und die Rohrleitungen sind im Grundriss dargestellt. Der Verlauf der Rohrleitungen kann durch Punkte von Geraden charakterisiert werden, die alle in der Grundrissebene liegen. Ihre analytische Beschreibung erfolgt in einem kartesischen Koordinatensystem, wobei eine Einheit einem Meter entspricht. P M 1 A 1 B 1 Apparat 1 B 2 A 2 Apparat 2 M 2 p (Abbildung nicht maßstäblich) a) Vom Punkt B 1 (6 yb 1 ) der Rohrleitung p wird der Apparat 1 im Punkt A1(5 4) angeschlossen. Der Grundriss dieses Apparates ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M 1 (4 7). Ermitteln Sie eine Gleichung dieses Kreises. Berechnen Sie die Länge der Anschlussleitung A 1 B. 1 Zeigen Sie, dass die Anschlussleitung A 1 B 1 sowohl senkrecht zur Rohrleitung p als auch senkrecht zur Tangente des Grundrisskreises des Apparates 1 im Punkt A 1 verläuft. b) Der Grundriss des Apparates 2 ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M 2 (15 1). Dieser Apparat soll im Punkt A 2 (13 l 0) durch eine Leitung angeschlossen werden, die im Winkel von 45 zur Rohrleitung p verläuft. Begründen Sie, dass dafür als Anschlusspunkt der Punkt B 2 (9 2) auf der Rohrleitung p in Frage kommen kann. Weisen Sie nach, dass die Punkte A 2, B 2 und M 2 auf ein und derselben Geraden liegen. Die Rohrleitung p soll aus Sicherheitsgründen einen Abstand von mindestens 2,50 m zum Apparat 2 haben. Prüfen Sie, ob diese Sicherheitsbestimmung eingehalten wird.

31 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2004 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem seien gegeben die Punkte A(8 4) und P( 6 6) sowie die Gerade g durch 8 6 g : x = + t, t R. 6 1 a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden g mit der Geraden durch die Punkte A und P sowie das Gradmaß des Schnittwinkels beider Geraden. b) Gegeben seien Kreise durch (x [1 + 5n]) 2 + (y [1 + 7n]) 2 = 74(1 + n 2 ), n Z. Zeigen Sie, dass der Punkt A auf jedem dieser Kreise liegt. Geben Sie die Gleichung jenes Kreises k an, für den n = 0 ist. Weisen Sie nach, dass die Strecke AP Durchmesser des Kreises k ist. c) Die Gerade g schneidet den Kreis k aus Aufgabe b in genau zwei Punkten B und C. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte. Diese Punkte bilden mit dem Punkt A das Dreieck ABC. Zeigen Sie: Fällt man vom Punkt P aus die Lote auf jede der Seiten des Dreiecks ABC bzw. deren Verlängerungen, so liegen die sich ergebenden Lotfußpunkte auf genau einer Geraden.

32 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2004 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Stochastik Bei einer Wahl haben 10% der Wähler für die Partei Z gestimmt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse für jeweils 100 zufällig ausgewählte Wähler: A: Genau 10 Wähler haben die Partei Z gewählt. B: Weniger als 10 Wähler haben die Partei Z gewählt. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Wähler der Partei Z in einer Stichprobe von 500 Wählern. b) Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X binomialverteilt ist. Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgröße X. Berechnen Sie, wie groß eine Stichprobe mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie keinen Wähler der Partei Z enthält, höchstens 10 % beträgt. Durch frühere Befragungen in der wahlberechtigten Bevölkerung ist ermittelt worden, dass die politischen Zielstellungen der Partei Z einen Bekanntheitsgrad von 70 % haben. Rechtzeitig vor der nächsten Wahl möchte die Partei Z durch eine Befragung von 1500 zufällig ausgewählten wahlberechtigten Personen überprüfen, ob sich dieser Bekanntheitsgrad verringert hat. Sollten höchstens 1020 befragte Personen mit den Zielstellungen bekannt sein, so will die Partei Z eine Werbekampagne starten. c) Geben Sie dafür eine Nullhypothese H 0, die zugehörige Gegenhypothese H 1 und den Ablehnungsbereich für H 0 an.

33 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2004 MATHEMATIK (GRUNDKURS) Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Stochastik Ein Batterieproduzent hat Batterien einer bestimmten Sorte im Dauerbetrieb geprüft. Es ist festgestellt worden, dass die Wahrscheinlichkeit für den vorzeitigen Ausfall einer Batterie 20 % beträgt. a) Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse. A: Von 100 Batterien fallen weniger als 20 vorzeitig aus. B: Von 200 Batterien fallen mehr als 30 vorzeitig aus. C: Von zehn Batterien fallen genau zwei vorzeitig aus. b) Berechnen Sie, wie groß der Anteil der vorzeitig ausfallenden Batterien mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % unter 50 Batterien mindestens eine vorzeitig ausfällt. c) In Auswertung umfangreicher Batterieprüfungen vermutet man, dass der Anteil vorzeitig ausfallender Batterien weniger als 5 % beträgt. Um diese Vermutung zu beurteilen, wird eine Stichprobe von 100 Batterien geprüft und ein Signifikanztest durchgeführt. Die Zufallsgröße X beschreibe dabei die Anzahl der vorzeitig ausfallenden Batterien. Ermitteln Sie zu der Nullhypothese H 0 : p 0 0,05 den größtmöglichen linksseitigen Ablehnungsbereich A auf dem Signifikanzniveau α = 0,1.

34 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2005 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch 2 2(x 1) y = f(x) =, x R. 2 x + 1 Ihr Graph sei G. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Polstellen sowie auf ihr Verhalten für x ± und geben Sie Gleichungen der Asymptoten an. Ermitteln Sie vom Graphen G die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-achse sowie Art und Lage der lokalen Extrempunkte. Zeichnen Sie den Graphen G im Intervall 5 x 5. Begründen und beschreiben Sie mithilfe einer Skizze, wie sich der Graph der Funktion 2 2(1 x) h mit y = h(x) = (x R) aus dem Graphen G entwickeln lässt. 2 x + 1 b) Die Tangente an den Graphen G im Schnittpunkt mit der y-achse stimmt im Intervall 0,4 x 0,4 mit dem Graphen G näherungsweise überein. Daher kann man in diesem Intervall die Funktion f durch eine die Tangente beschreibende lineare Funktion ersetzen. Berechnen Sie die Abweichungen der Funktionswerte an den Intervallenden, die bei Verwendung der linearen Funktion auftreten. c) Weisen Sie nach, dass die Funktionen F a mit y = F a (x) = a [x ln(x² + 1)] Stammfunktionen der Funktionen f a mit y = f a (x) = 2 (x 1) a 2 x + 1, x, a R und a > 0 sind. Die Graphen der Funktionen f a und die Koordinatenachsen schließen Flächen vollständig ein. Berechnen Sie den Wert für a, so dass der Inhalt einer solchen Fläche die Maßzahl 1 hat.

35 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2005 Pflichtaufgaben Aufgabe 2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Eckpunkte eines Tetraeders *) H 1 (6 0 0), H 2 (0 6 0), H 3 (0 0 6) und H 4 (6 6 6) sowie der Punkt C(3 3 3) gegeben. a) Die Punkte C, H 1 und H 2 bestimmen eine Ebene E. Zeigen Sie, dass der Vektor H 3 H 4 ein Normalenvektor dieser Ebene ist und geben Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene an. Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes der Strecke H 3 H 4 durch die Ebene E und charakterisieren Sie dessen spezielle Lage auf dieser Strecke. Schlussfolgern Sie die Lage der Punkte H 3 und H 4 zur Ebene E. b) Im Modell eines Methanmoleküls befinden sich die Wasserstoffatome in Eckpunkten H i (i = 1; 2; 3; 4) und das Kohlenstoffatom im Mittelpunkt C eines Tetraeders. Der Winkel α heißt Bindungswinkel zwischen dem Kohlenstoffatom und jeweils einem Wasserstoffatom (siehe Abbildung). Berechnen Sie das Gradmaß des Bindungswinkels α. H 2 H 3 C α H 4 Abbildung: Methanmolekül (nicht maßstäblich) H 1 c) Projiziert man die Punkte H i (i = 1; 2; 3; 4) und den Punkt C durch senkrechte Parallelprojektion in die x-y-ebene, so erhält man die Bildpunkte H 1 '(6 0 0), H 2 '(0 6 0), H 3 '(0 0 0), H 4 ' und C'. Zeigen Sie, dass durch diese Projektion folgende Strukturformel des Methanmoleküls aus geometrischer Sicht gerechtfertigt ist. H H C H H * ) Ein Tetraeder ist ein Körper, der von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird.

36 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2005 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Bei einer bundesweiten Umfrage unter berufstätigen Frauen und Männern mit Kindern unter 18 Jahren gaben 60 % der Befragten an, dass ihr Arbeitgeber auf ihre Bedürfnisse als Eltern Rücksicht nehme. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der Befragten in einer Stichprobe, die diese Antwort gaben. a) Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X als binomialverteilt angesehen werden kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 50 Befragten - die Zufallsgröße X den Wert 30 annimmt, - die Zufallsgröße X einen Wert von 27 bis höchstens 33 annimmt. b) Die Leitung eines großen Unternehmens plant in Kenntnis dieser Umfrageergebnisse eine Befragung ihrer Belegschaft. Dazu werden 100 Beschäftigte mit Kindern unter 18 Jahren zufällig ausgewählt und befragt. Es wird vermutet, dass mindestens 60 % der Befragten der Meinung sind, dass ihr Arbeitgeber auf ihre Bedürfnisse als Eltern Rücksicht nimmt. Ermitteln Sie für die Nullhypothese H 0 : p 0 0,6 den größtmöglichen Ablehnungsbereich auf einem Signifikanzniveau von 5 %. c) Eine Analyse der bundesweiten Umfrageergebnisse hat gezeigt, dass 60 % der befragten Personen Männer waren, von denen 75 % angaben, dass ihr Arbeitgeber auf ihre Bedürfnisse als Eltern Rücksicht nimmt. Berechnen Sie den Anteil der Frauen, die ihre Bedürfnisse als Eltern durch ihren Arbeitgeber berücksichtigt sehen.

37 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2005 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.1 Analysis Eine Firma stellt Modeschmuck her. Als Rohlinge für einen Anhänger werden kleine Metallplatten in der Form von gleichschenkligen Dreiecken verwendet. Diese haben eine Basislänge von 5,0 cm und eine Höhe über der Basis von 9,5 cm. Die Rohlinge werden so ausgestanzt, dass die in der Abbildung dargestellte Schmuckform erhalten wird. Der Bogen über AC hat die Form einer Parabel zweiten Grades. Die Begrenzungslinien AB und BC liegen auf den Tangenten an den Parabelbogen in dem Punkt A bzw. in dem Punkt C. Der Anhänger soll einseitig vergoldet werden (Fläche F). Berechnen Sie den Inhalt der pro Anhänger zu vergoldenden Fläche.

38 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2005 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Dreieck ABC durch die Punkte A( 1 5), B(9 19) und C(4 6) gegeben. Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB ist. Begründen Sie, dass der Mittelpunkt des Umkreises k des Dreiecks ABC auch Mittelpunkt der Hypotenuse AB dieses Dreiecks ist und geben Sie eine Gleichung des Umkreises k an. Unter Beibehaltung der Hypotenuse AB gibt es genau zwei Punkte C 1 und C 2, so dass die Dreiecke ABC 1 und ABC 2 rechtwinklig gleichschenklig sind. Ermitteln Sie die Koordinaten dieser Punkte C 1 und C 2.

39 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f a in ihrem größtmöglichen Definitionsbereich durch ln x + a y = fa ( x) = 3, a R. Ihre Graphen seien G a. x a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktionen f a an. Ermitteln Sie den Anstieg der Graphen G a im jeweiligen Schnittpunkt mit der x-achse. 1 a 1 a Zeigen Sie, dass die Punkte Ha ( e fa ( e )) ermitteln Sie eine Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte. Die Abbildung zeigt den Graphen G 1 in einem unvollständigen kartesischen Koordinatensystem. Ergänzen Sie in der Abbildung die Ordinatenachse, ermitteln Sie die Skalierung der Koordinatenachsen und zeichnen Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Graphen G a ein. Hochpunkte der Graphen G a sind und [Ergebnis zur Kontrolle: y = x 3 ] b) Nennen Sie Schritte zum Ermitteln des Wertebereichs der Funktionen f a. c) Weisen Sie nach, dass y = F 1 (x) = 1,5 (ln x) + 3 ln x Gleichung einer Stammfunktion der Funktion f1 ist. 2 Der Graph G 1, die Ortskurve durch die Hochpunkte der Graphen Gleichung x = 6 begrenzen eine Fläche vollständig. Ermitteln Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Fläche. G a und die Gerade mit der Hinweis: Beschriften Sie dieses Aufgabenblatt mit Ihrem Namen und fügen Sie es der Prüfungsarbeit bei. Seite 2 von 5

40 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006 Pflichtaufgaben Aufgabe 2 Analytische Geometrie Ein Werkstück hat die Form eines schiefen Prismas ABCDEFGH, mit Parallelogrammen als Begrenzungsflächen. Dieses Prisma wird durch die Koordinaten der Eckpunkte A(0 0 0), B( 2 8 0), C( ) und E(3 3 15) in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben; eine Einheit entspricht 1 cm. a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D der Fläche ABCD. Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, den die Kanten AB und AD einschließen. Berechnen Sie das Volumen des Werkstücks. Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene auf, in der die Fläche ADHE liegt. b) In das Werkstück soll jeweils eine Bohrung senkrecht zur Fläche ABCD vom Punkt P 1 ( 3 8 0) aus und senkrecht zur Fläche ADHE vom Punkt P 2 ( 5 5 5) aus erfolgen. Diese Bohrungen treffen in einem Punkt S aufeinander. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S. Seite 3 von 5

41 SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Ein Optik-Unternehmen fertigt optische Linsen verschiedener Art in sehr großer Anzahl. Erfahrungsgemäß hat eine Linse mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,98 die geforderte Präzision. a) Für Linsensysteme werden jeweils drei Linsen zufällig ausgewählt. Begründen Sie, warum dies als BERNOULLI-Kette angesehen werden kann. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm für diese BERNOULLI-Kette und tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten an den einzelnen Zweigen ein. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Genau eine der ausgewählten Linsen hat nicht die geforderte Präzision. B: Höchstens eine der ausgewählten Linsen hat nicht die geforderte Präzision. b) Eine Serie umfasst 50 Linsen. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl derjenigen Linsen, die nicht die geforderte Präzision haben. Die Zufallsgröße X werde als binomialverteilt angenommen. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der um mindestens 2 größer ist als ihr Erwartungswert. Das Optik-Unternehmen hat die Qualität der Linsen verbessert. In einer Stichprobe von 50 Linsen haben mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 alle Linsen die geforderte Präzision. Die Zufallsgröße Y beschreibe die Anzahl der Linsen, die die geforderte Präzision haben. Diese Zufallsgröße werde als binomialverteilt angenommen. c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der nunmehr eine Linse die geforderte Präzision hat. Seite 4 von 5