Klausur zu Mathematische Grundlagen BachelorStudiengänge der Informatik

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1 Klausur zu Mathematische Grundlagen BachelorStudiengänge der Informatik SS 2014, Prof. Dr. Hans-Jürgen Steens Name: Vorname: Matrikelnummer: Die Klausur besteht aus 19 Aufgaben. Es sind maximal 136 Punkte zu erreichen. Es sind alle Hilfsmittel zur selbständigen Bearbeitung erlaubt. Aufgabe Punkte

2 1. Teil: Mengen und mehr... Aufgabe 1: (3 Punkte) Gegeben seien folgende Mengen ganzer Zahlen: a = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b = {1, 3, 5, 7, 9, 11} c = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} d = { 1, 3, 5, 7, 9} Berechnen Sie (a b) (c a d b) Aufgabe 2: (3 + 2 Punkte) Sei Ω eine vorgegebene feste Menge und seien a, b, c Teilmengen von Ω. Beweisen oder widerlegen Sie: (a \ b) c = (a c) \ (b c) ii) Seien A, B, C Aussagenvariablen. Beweisen oder widerlegen Sie: (A B) C (A C) (B C) Aufgabe 3 : (5 + 5 Punkte) Zur Erinnerung: Eine induktive Menge x wurde deniert als eine Menge mit folgender Eigenschaft: x y (y x x {x} x) Wir hatten gesehen, dass es (bzgl. der Ordnungsrelation ) eine kleinste induktive Menge gibt, die wir ω genannt haben, und die als Standardmodell der natürlichen Zahlen fungierte. Sie ist (natürlich) unendlich und umfasst der Reihe nach folgende Elemente: 0 { } 1 {, { }} 2 {, { }, {, { }}} 3 i) Skizzieren Sie den Aufbau einer gröÿeren induktiven Menge (die deshalb nicht mehr als Modell der natürlichen Zahlen taugen würde). ii) Können Sie ein anderes mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen (wiederum aufbauend auf ) skizzieren, das nicht auf dem technischen Konzept einer induktiven Menge beruht. 2

3 Aufgabe 4: (3 + 4 Punkte) i) Formulieren Sie folgende Aussage in Prädikatenlogik: x ist Potenzmenge von y ii) Wie würde ein Programm aussehen: boolean ispowerset(set x, Set y) das für zwei Eingaben x,y diese Aussage testen soll. (Sie dürfen dabei die Existenz der beiden Methoden boolean iselement(set u, Set v) und boolean issubset(set u, Set v) voraussetzen und als Programmbausteine in Ihrer Lösung benutzen.) 3

4 2. Teil: Zahlen, damit ng alles an... Aufgabe 5: (max. 5 Punkte) Beantworten Sie mit eigenen Worten (und dennoch) möglichst exakt die Frage: Was verstehen wir unter den natürlichen Zahlen? Aufgabe 6: (3 Punkte) Gegeben sei folgende (Teil-)Grammatik zur Erzeugung arithmetischer Ausdrücke: <arithm. Ausdruck> <arithm. Ausdruck> <atomarer Ausdruck> <atomarer Ausdruck> ::= <atomarer Ausdruck> ::= <zusammenges. Ausdruck> ::= <Zahlvariable> ::= <Zahlliteral> <zusammenges. Ausdruck> ::= (<arithm. Ausdruck> + <arithm. Ausdruck>) <zusammenges. Ausdruck> ::= <arithm. Ausdruck> <arithm. Ausdruck> Welche der folgenden Asudrücke können damit erzeugt werden? (Wenn ja, auf welche Weise, wenn nein, warum nicht.) a) ((a b) + c) b) (a b + c) c) ((a b + c)) Aufgabe 7: (4 Punkte) Beweisen Sie, dass 5 eine irrationale Zahl ist. Aufgabe 8: (4 + 3 Punkte) i) Welche Eigenschaft einer Zahl wird hier getestet (int stehe hier für positive natürliche Zahlen): boolean test(int n){ } forall(int x){ } if((n%x == 0) &!(x == 1) &!(x == p )) return false; return true; ii) Beschreiben Sie die gesuchte Eigenschaft in Prädikatenlogik. 4

5 Aufgabe 9 : (10 Punkte) Betrachten sie den euklidschen Algorithmus, der ausgehend von zwei positiven Zahlen a, b (mit o.b.d.a a b) letztendlich einen letzten Rest r berechnet, der den ggt von a und b liefert. Beweisen Sie, dass das Ergebnis r tatsächlich der ggt von a und b ist. 5

6 3. Teil: Paare, Funktionen und Relationen Aufgabe 10: (10 Punkte) Betrachten sie folgende Tabellen: a) b) c) d) e) Welche dieser Tabellen repräsentiert eine Ordnungsrelation (welche eine partielle und welche eine totale), welche Tabelle stellt eine Äquivalenzrelation dar und welche kann als eine Wertetabelle einer Funktion aufgefasst werden? Sind Mehrfachnennungen möglich? Wenn ja welche? Bei Äquivalenzrelation: welche Äquivalenzklassen haben wir in diesem Fall? Aufgabe 11: (6 Punkte) Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung zweier sujektiver Funktionen wieder surjektiv is und die Hintereinanderausführung injektiver Funktionen wieder injektiv ist, m.a.w. wenn zwei surjektive Funktionen f : a b und g : b c gegeben sind, dann ist auch g f : a c (das Ergebnis von f in g eingesezt) wieder surjektiv (analog für injektive Funktionen). 6

7 4. Teil: Gruppen und was sonst noch so dazugehört Aufgabe 12: (6 + 4 Punkte) Seien (G 1, ) und (G 2, ) zwei (beliebige) Gruppen mit den jeweiligen Trägermengen G 1 und G 2 und den zugehörigen Operationen, die wir mit dem gleichen Symbol notieren wollen. Die jeweiligen neutralen Elemente seien e 1 und e 2. Die jeweiligen Inversen bezeichnen wir jeweils mit der üblichen Potenzschreibweise, also mit g1 1 und g2 1. i) Wir betrachten nun das kartesische Produkt G 1 G 2 = {(g 1, g 2 ) g 1 G 1, g 2 G 2 }. Geben Sie G 1 G 2 eine Gruppenstruktur, d.h. denieren Sie eine Verknüpfung (g 1, g 2 ) (g 1, g 2) = (?,??) so dass die so gebildete Verknüpfung alle Eigenschaften einer Gruppe hat. ii) Wie sieht die entsprechende Gruppentabelle von Z 2 Z 2 aus? Aufgabe 13: (4 + 4 Punkte) i) Wie sieht die Symmetriegruppe einer Raute aus? ii) Finden Sie einen bijektiven Gruppenhomomorphismus zwischen der Symmetriegruppe einer Raute und Z 2 Z 2. Aufgabe 14: (5 + 5 Punkte) Betrachten Sie die Symmetriegruppe G des gleichseitigen Dreiecks. Sei H die Untergruppe bestehend aus der Spiegelung an der senkrechten Symmetrieachse und dem neutralen Element. (Sie hat die Ordnung 2.) Wir hatten die Äquivalenzrelation H gebildet mit g H g g.d.w. g 1 g H. i) Bilden Sie die zu dieser Äquivalenzrelation gehörigen Äquivalenzklassen [g]. Wieviele gibt es? ii) Zeigen Sie, dass die die Operation [g 1 ] [g 2 ] = [g 1 g 2 ] in diesem Falle nicht wohldeniert ist. 7

8 Aufgabe 15: (11 Punkte) Betrachten sie das Verschlüsselungsverfahren RSA. Gegeben seien die Primzahlen p = 11 und q = 13. Damit ist n = p q = 143. Berechnen Sie ϕ(n) und wählen sie eine Zahl d die teilerfremd ist zu ϕ(n). Berechnen Sie nun ein (positives) e mit d e + l ϕ(n) = 1 Wie? durch Rückwärtwärtsrechnung des euklischen Algorithmus. Sei (n, e) der öentliche Schlüssel und (n, d) der private Schlüssel. Verschlüsseln Sie nun die Zahl 9 und entschlüsseln Sie das Ergebnis anschlieÿend wieder (das Ergebnis müsste dann wieder die 9 sein). 8

9 5. Teil: Induktionen Aufgabe 16: (5 Punkte) Beweisen sie mit vollständiger Induktion: Aufgabe 17: (10 Punkte) n k 2 = 1 3 n n n k=1 Beweisen sie mit vollständiger Induktion: (a + b) n = n k=0 ( ) n a n k b k k (Hinweis: Für die Binomialkoezienten gilt allg.: ( ( n 0) = 1 und n ) ( k + n ) ( k 1 = n+1 ) k ) Aufgabe 18: (5 Punkte) Beweisen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dass für alle n 0 und x > 1 (wir lassen x hier reell sein), dass (1 + x) n 1 + n x Für x 0 könnte man auch Aufg.17 benutzen. Wie? 9

10 6. Teil: Komplexe Zahlen Aufgabe 19: (2 + 5 Punkte) i) Berechnen Sie: a) (2 + i) (i 2) b) 1 + i 2 i ii) Finden Sie eine komplexe Zahl z mit z 2 = i. (Hinweis: Diese Aufgabe lässt sich dann am einfachsten lösen, wenn Sie sich die Multiplikation z 2 geometrisch vorstellen.) Anhang: Gruppentabelle Symmetriegruppe gleichseitiges Dreieck e D 120 D 240 S A S B S C e e D 120 D 240 S A S B S C D 120 D 120 D 240 e S B S C S A D 240 D 240 e D 120 S C S A S B S A S A S C S B e D 240 D 120 S B S B S A S C D 120 e D 240 S C S C S B S A D 240 D 120 e 10