Statistik für Betriebswirte SS Aufgaben zur Wiederholung

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1 Statistik für Betriebswirte SS 2007 Deskriptive Statistik Aufgaben zur Wiederholung 1. Bei einer Befragung wurden folgende jährliche Ausgaben für Reisen (in Euro) pro Person ermittelt: Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Standardabweichung und die Spannweite. Wieviel Prozent der Befragten haben mehr als 1600 Euro ausgegeben? 2. Ein Fahrgast der Bahn AG legt 4 Teilstrecken einer Gesamtstrecke in folgenden Geschwindigkeiten zurück: Teilstrecke Länge in km Geschwindigkeit in km/h Mit welcher (auf der Gesamtstrecke konstant gehaltenen) Durchschnittsgeschwindigkeit würde er die Gesamtstrecke in der gleichen Zeit zurücklegen? 3. Während eines halben Jahres mit 120 Arbeitstagen wird täglich im Rahmen einer Untersuchung über den Publikumsverkehr beim Sozialamt einer Großstadt die Anzahl der persönlich vorsprechenden Antragsteller festgehalten. Folgende Häufigkeitsverteilung hat sich ergeben: Anzahl Antragsteller Anzahl der Tage Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Zentralwert für die Anzahl der Antragsteller, die pro Tag vorsprechen. Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion für die Zahl der Antragsteller. 4. Von einem Merkmal X werden 6 verschiedene Ausprägungen mit folgenden relativen Häufigkeiten registriert: Ausprägung x j 3,2 2,8 2,7 3,0 3,1 3,4 relative Häufigkeit h(x j ) 10% 15% 20% 17% 25% 13% Berechnen Sie den Modalwert, den Zentralwert, das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung vom Zentralwert! 5. Bei Fernsehgeräten eines bestimmten Herstellers wurden bei 1000 Geräten folgende Lebensdauern (in Jahren) der Bildröhren ermittelt: Lebensdauer 0 bis 2 über 2 bis 4 über 4 bis 6 über 6 bis 8 über 8 bis 10 Anzahl Geräte Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer für diese Geräte. Wie groß ist der Anteil der Bildröhren mit einer Lebensdauer über 6 Jahren? 6. Für ein Waschpulver eines bestimmten Herstellers wurden in 10 Geschäften in einer Stadt folgende Preise für ein 1-kg-Paket ermittelt (in Euro): 1,40 1,60 1,70 1,50 1,40 1,80 1,70 1,60 1,50 1,80. Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung des Preises. Bestimmen Sie das α-quantil für α = 0, 45. Wie läßt sich dieser Wert interpretieren? 7. Folgende Tabelle enthält alle Ausprägungen und die unvollständige Verteilung zweier Merkmale:

2 X Y 1 2,1 3, ,02 0,15 0,1 0,03 4 0,08 0,07 α 0,05 5 0,1 0,08 0,1 0,02 (a) Berechnen Sie die Konstante α und die Randverteilungen beider Merkmale. (b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel vom Merkmal Y. (c) Sind die beiden Merkmale unabhängig? (Begründung!) 8. In der folgenden Tabelle sind einige absoluten Häufigkeiten der unabhängigen Merkmale X und Y gegeben. Bestimme Sie die restlichen Werte: X Y Bestimmen Sie die bedingten Häufigkeiten h(x = 0 Y = 2) und h(y = 1 X = 1). 9. Ein Bauunternehmer bezieht Fertigfenster von den drei Firmen F1, F2 und F3. Innerhalb eines Jahres nach dem Einbau der Fenster erhält er 100 Reklamationen. Es werden folgende Fehler bemängelt: Fehler A: Die Fenster werden blind. Fehler B: Die Fenster bekommen Risse. Fehler C: Die Fenster lassen sich nicht mehr schließen. Es ergibt sich die folgende Kontingenztabelle: F1 F2 F3 A B C Berechnen Sie für diese Daten den Kontingenzkoeffizienten nach Pearson und interpretieren Sie den Wert. 10. Ein Handelsunternehmen für Lebensmittel analysiert die Umsätze seiner 10 gleichgroßen Filialen A,B,...,J einer Region. Die Filiale mit dem größten Umsatz erhält die Nummer 1, die mit dem zweitgrößten Umsatz die Nummer 2, usw. In einer Fragebogenaktion wird die Kundenmeinung über die Verkaufskultur (Sauberkeit, Umgang mit Kunden, Kundenservice) eingeholt. Die danach beste Filiale erhält die Nummer 1 usw., die schlechteste die Nummer 10: Filiale A B C D E F G H I J Umsatz Verkaufskultur Besteht ein Zusammenhang zwischen Umsatz und Verkaufskultur in den Filialen dieses Handelsunternehmens? Beantworten Sie die Frage mit Hilfe des Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman. 11. Aus 80 Wertepaaren der Merkmale X und Y wurde ein Korrelationskoeffizient r XY = 0, 95 berechnet. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Die Beobachtungswerte streuen eng um eine Gerade mit fallendem Anstieg. (b) Ein Zusammenhang zwischen X und Y ist nicht erwiesen, da r XY < 0 gilt. (c) Die Werte von X und Y sind annähernd umgekehrt proportional zueinander. (d) Berechnet man für die Wertepaare eine Regressionsgerade Y = ax + b, dann erhält man für a einen negativen Wert.

3 12. In der folgenden Tabelle sind die verfügbaren Monatseinkommen von 8 fiktiven deutschen Haushalten sowie deren Ausgaben für öffentliche Verkehrsmittel angegeben (jeweils in DM): Verfügbares Einkommen Ausgaben für Verkehrsmittel (a) Berechnen Sie für diese beiden Merkmale den Korrelationskoeffizienten nach Pearson. Wie läßt sich der Wert interpretieren? (b) Ermitteln Sie eine lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate für diese beiden Merkmale. (c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Regressionsfunktion die monatlichen Ausgaben für öffentliche Verkehrsmittel bei einem verfügbaren Einkommen von 4000 DM. 13. Für den Zusammenhang der Merkmale Monatliches Einkommen in Euro (X) und Monatliche Mietausgaben in Euro (Y) von Haushalten wurde folgende Regressionsgerade berechnet: ŷ = , 2x. Welche der folgenden Aussagen sind richtig: (a) Die Mietausgaben der Haushalte betragen im Durchschnitt 20 % des Einkommens. (b) Die Regressionsfunktion enthält einen Fehler, da bei Haushalten unter 125 Euro Einkommen die Mietausgaben das Einkommen übersteigen. (c) Durchschnittlich ergibt sich bei einem Einkommensunterschied von 100 Euro zweier Haushalte ein Mietausgabenunterschied von 20 Euro. (d) Je kleiner das Einkommen der untersuchten Haushalte ist, desto geringer sind im Durchschnitt die Mietausgaben. 14. Ein Unternehmen hat bei folgenden Preisen p die Absatzmengen m eines Produktes pro Zeiteinheit beobachtet: Preis p Menge m Berechnen Sie eine Preis-Absatz-Funktion der Form m = a p b. 15. Die Entwicklung der Bruttoerzeugung von Elektroenergie einer bestimmten Region ist folgender Tabelle zu entnehmen: Jahr Energie (in Mrd. kwh) 368,8 449,5 462,4 453,2 452,0 455,9 Prognostizieren Sie die erzeugte Energiemenge für 1999 und 2000 mit Hilfe linearer Regression. 16. Die Materialkosten eines Handwerksbetriebes entwickelten sich wie folgt: Jahr Materialkosten (in TDM) Prognostizieren Sie die Materialkosten für 1996 mittels exponentieller Glättung mit Parameter α = 0, 6 und Startwert In einem Unternehmen wurden die Energiekosten über die Quartale von 4 Jahren erfaßt (in 1000 DM): Quartal/Jahr I 38,2 40,3 43,1 44,6 II 36,1 38,6 40,9 44,1 III 39,4 42,1 46,1 49,2 IV 42,1 45,3 49,0 52,4 Glätten Sie die Werte mit Hilfe gleitender Durchschnitte mit einer geeignet gewählten Ordnung. Den Daten wurde folgende lineare Trendfunktion angepaßt :

4 ˆx = 36, , 81 t, t = 1, 2,..., 16. Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, daß saisonale Schwankungen dem Trend additiv überlagert sind, für das 4.Quartal die additive Saisonkomponente. Errechnen Sie daraus eine Prognose für das 4.Quartal Wie lautet diese Prognose für das 4.Quartal 1997 im Fall des multiplikativen Modells? 18. Die folgende Tabelle enthält Preise (in DM/kg) und Produktionsmengen (in kg) von 4 wichtigen Gütern der Lebensmittelbranche für die Jahre 1992, 1993 und 1994 : Jahr Preis Menge Preis Menge Preis Menge Preis Menge Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres und den Mengenindex nach Lowe jeweils für 1994 zur Basis 1992 (Taschenrechnergenauigkeit)! Wahrscheinlichkeitsrechnung 19. Wir betrachten das Lottospiel 6 aus 49 und vernachlässigen der Einfachheit halber die Zusatzzahl. Es bezeichne A k das Ereignis Genau k Richtige, k = 0, 1,..., 6. (a) Begründen Sie, daß die Ereignisse A 0, A 1,..., A 6 paarweise unvereinbar sind. (b) Man gewinnt ab 3 Richtigen. Stellen Sie das Ereignis G: Erreichen einer Gewinnstufe mit Hilfe der Ereignisse A k dar. (c) Berechnen Sie P (G) mit Hilfe folgender Wahrscheinlichkeiten: P (A 3 ) = 0, , P (A 4 ) = 0, , P (A 5 ) = 0, und P (A 6 ) = 0, In einer Tombola befinden sich 200 Lose, davon sind 90% Nieten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von 5 Losen (a) genau einen Gewinn, (b) genau zwei Gewinne, (c) mindestens zwei Gewinne zu erhalten? 21. Es seien A und B Ereignisse mit p = P (B) und q = P (A B). Berechnen Sie daraus P (A B) und P (Ā B). 22. Beim zweimaligen Würfeln werden folgende Ereignisse betrachtet: A - Die Augenzahl beim ersten Wurf ist mindestens 5. B - Die Augenzahl beim zweiten Wurf ist gerade. Begründen Sie, daß die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. 23. Es wird ein roter und ein grüner Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Augensumme größer als 8 ist wenn der grüne Würfel eine 4 zeigt? 24. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 3 schwarze und 7 weiße Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröße, die die Gesamtzahl gezogener schwarzer Kugeln angibt. (a) Geben Sie für jede Realisierung x i von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit p i = P (X = x i ) an. (b) Berechnen Sie P (X 1). (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X. 25. Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 4 schwarze und 6 weiße Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröße, die die Gesamtzahl gezogener schwarzer Kugeln angibt.

5 (a) Geben Sie für jede Realisierung x i von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit p i = P (X = x i ) an. (b) Berechnen Sie P (X 1). (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X. 26. Eine diskrete Zufallsgröße X sei durch folgende Realisierungen x i und Wahrscheinlichkeiten P (X = x i ) gegeben: x i P (X = x i ) (a) Berechnen Sie P (X < 1) und P (X > 0). (b) Bestimmen Sie außerdem den Erwartungswert und die Varianz von X. (c) Wie lautet die Verteilungsfunktion F X der Zufallsgröße X? Skizzieren Sie F X. 27. Es sei bekannt, daß ein bestimmter Automat beim Herstellen von Schrauben 1,5% Ausschuß produziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 100 zufällig (bei laufender Produktion) herausgegriffenen Schrauben weniger als zwei defekte? 28. Beim einmaligen Werfen einer nicht homogenen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses Zahl oben 55%. Wie oft muß die Münze geworfen werden, daß mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 95% wenigstens einmal das Ereignis Zahl oben eintritt? 29. In einer Autowerkstatt sei die zufällige Reparaturzeit X exponentialverteilt. Die mittlere Reparaturzeit beträgt 4 Stunden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Reparaturzeit höchstens 6 Stunden beträgt! 30. Die Lebensdauer X einer Softeismaschine (in Jahren) sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit a = 1 6. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt die Maschine länger als 10 Jahre? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Lebensdauer kleiner als der Erwartungswert? 31. Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert µ = 6, 5 und der Standardabweichung σ = 1, 5. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X im Intervall I = [6; 8] liegt! (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X kleiner als 4, 5 ist? (c) Welche reelle Zahl x 0 besitzt die Eigenschaft, daß 85% aller Realisierungen von X größer als x 0 sind? 32. Es sei X die poissonverteilte Anzahl der Störungen pro Woche in einer Fertigungsanlage. Im Durchschnitt werden 5 Störungen pro Woche registriert. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche weniger als 3 Störungen auf? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche mehr als 6 Störungen auf? (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten für die Dauer einer Woche keine Störungen auf? 33. Die Länge X von Werkstücken, die auf einer Maschine gefertigt werden, sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert µ = 30mm und Standardabweichung σ = 0, 02mm. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Länge mehr als 0, 03mm von µ ab? (b) Welche Mindestlänge besitzen 85% aller gefertigten Werkstücke? 34. In einer Fußballmannschaft stammen statistisch gesehen 50% aller Torschüsse vom Stürmer A, 40% vom Stürmer B und 10% entfallen auf den Rest der Mannschaft. Die Trefferwahrscheinlichkeit von Stürmer A liegt bei 0,7, die von Stürmer B bei 0,8, die restlichen Spieler treffen mit Wahrscheinlichkeit 0,3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit führt ein Torschuß dieser Mannschaft zu einem Tor?

6 35. Ein Posten von 100 Teilen enthält 60 Teile von Werk I und 40 Teile von Werk II. Es ist bekannt, daß die Ausschußwahrscheinlichkeit in Werk I bei 3% liegt und in Werk II bei 2%. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein zufällig ausgewähltes Teil dieses Postens (a) von Werk I stammt, (b) Ausschuß ist, (c) von Werk II stammt und kein Ausschuß ist, (d) kein Ausschuß ist, wenn es von Werk II stammt, (e) von Werk II stammt, wenn es kein Ausschuß ist? 36. Zwei Personen wollen sich an einem festgelegten Ort treffen, wobei beide garantiert zwischen 14 Uhr und 15 Uhr erscheinen. Die genaue Ankunftszeit der beiden Personen ist unabhängig voneinander und kann jeder Zeitpunkt innerhalb dieser Stunde sein. Sie vereinbaren, daß jeder 25 Minuten auf den anderen warten wird und dann wieder geht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich beide Personen? (Hinweis: Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe geometrischer Wahrscheinlichkeiten.) 37. Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F X : 0 falls x < 0 F X (x) = x 3 (4 3x) falls 0 x < 1. 1 falls x 1 Ermitteln Sie die Dichte f X der Zufallsgröße X. Zeigen Sie, daß für die Dichte gilt f X (x)d(x) = 1. Berechnen Sie den Erwartungswert EX der Zufallsgröße. Induktive Statistik 38. Die Zufallsgröße X beschreibe das Abfüllgewicht (in Gramm) von Maiskörnern in Dosen. Dabei sei X näherungsweise normalverteilt. 100 Dosen wurden zufällig ausgewählt und der Inhalt gewogen. Ihr Gesamtgewicht beträgt g. (a) Bestimmen Sie einen Schätzwert für den Erwartungswert µ von X. (b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 0,95, falls die Standardabweichung σ = 4, 5 g eine bekannte (unveränderliche) Maschinengröße ist. (c) Wie groß muß der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit man bei bekannter Standardabweichung σ = 4, 5 g zum Konfidenzniveau 0,99 ein Konfidenzintervall für µ erhält, dessen Länge höchstens 1 g ist? 39. Die Wirkung eines Medikaments zur Fiebersenkung wird an 12 Patienten beobachtet. Die folgende Tabelle enthält die Körpertemperatur (in C) vor und eine Stunde nach Verabreichung des Medikaments : vor 38,7 39,2 39,6 38,5 38,8 39,0 39,1 39,4 38,4 38,5 37,9 37,4 nach 38,1 39,0 39,3 37,9 38,5 39,0 39,2 39,2 38,6 38,0 37,4 37,5 Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Senkung des Fiebers durch dieses Mittel unter der Voraussetzung, daß die Werte normalverteilt sind. 40. Eine Abfüllmaschine für Kaffee ist auf ein Füllgewicht von 500 g eingestellt. Das Abfüllgewicht sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit unbekannter Varianz. Durch folgende Stichprobe vom Umfang n = 8 für das Füllgewicht (in g) soll überprüft werden, ob das mittlere Gewicht von 500 g eingehalten wird. Prüfen Sie die Hypothese H 0 : µ = 500 gegen H 1 : µ 500 zum Niveau α = 0, 05.