Aufgaben zur Wiederholung

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1 Fachhochschule Jena University of Applied Sciences Jena Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof. Dr. Viola Weiÿ / Prof. Dr. H. Dathe Statistik für Business Administration SS 2012 Deskriptive Statistik Aufgaben zur Wiederholung 1. Bei einer Befragung wurden folgende jährliche Ausgaben für Reisen (in ) pro Person ermittelt: Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Standardabweichung und die Spannweite. Wieviel Prozent der Befragten haben mehr als 1600 ausgegeben? 2. Ein Fahrgast der Bahn AG legt 4 Teilstrecken einer Gesamtstrecke in folgenden Geschwindigkeiten zurück: Teilstrecke Länge in km Geschwindigkeit in km/h Mit welcher (auf der Gesamtstrecke konstant gehaltenen) Durchschnittsgeschwindigkeit würde er die Gesamtstrecke in der gleichen Zeit zurücklegen? 3. Während eines halben Jahres mit 120 Arbeitstagen wird täglich im Rahmen einer Untersuchung über den Publikumsverkehr beim Sozialamt einer Groÿstadt die Anzahl der persönlich vorsprechenden Antragsteller festgehalten. Folgende Häugkeitsverteilung hat sich ergeben: Anzahl Antragsteller Anzahl der Tage Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Zentralwert für die Anzahl der Antragsteller, die pro Tag vorsprechen. Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion für die Zahl der Antragsteller. 4. Von einem Merkmal X werden 6 verschiedene Ausprägungen a i, i = 1,..., 6 mit folgenden relativen Häugkeiten registriert: Ausprägung a i 3,2 2,8 2,7 3,0 3,1 3,4 relative Häugkeit h(a i ) 10% 15% 20% 17% 25% 13% Berechnen Sie den Modalwert, den Zentralwert, das arithmetische Mittel, die Spannweite und die mittlere absolute Abweichung vom Zentralwert für dieses Merkmal! 5. Für die Kaufkraft einer Währung wurden für 7 aufeinanderfolgende Jahre folgende Werte ermittelt: 100; 95; 85; 80; 83; 78; 70. Bestimmen Sie den durchschnittlichen prozentualen jährlichen Kaufkraftschwund. 6. Bei Fernsehgeräten eines bestimmten Herstellers wurden bei 1000 Geräten folgende Lebensdauern (in Jahren) der Bildröhren ermittelt: Lebensdauer 0 bis 2 über 2 bis 4 über 4 bis 6 über 6 bis 8 über 8 bis 10 Anzahl Geräte Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer für diese Geräte. Wie groÿ ist der Anteil der Bildröhren mit einer Lebensdauer über 6 Jahren? 1

2 7. Für ein Waschpulver eines bestimmten Herstellers wurden in 10 Geschäften in einer Stadt folgende Preise für ein 1-kg-Paket ermittelt (in ): 1,40 1,60 1,70 1,50 1,40 1,80 1,70 1,60 1,50 1,80. Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung des Preises. Bestimmen Sie das α-quantil für α = 0, 45. Wie läÿt sich dieser Wert interpretieren? 8. Folgende Tabelle enthält alle Ausprägungen und die unvollständige Verteilung zweier Merkmale: Y 1 2,1 3,2 4 X 2 0,02 0,15 0,1 0,03 4 0,08 0,07 α 0,05 5 0,1 0,08 0,1 0,02 (a) Berechnen Sie die Konstante α und die Randverteilungen beider Merkmale. (b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel vom Merkmal Y. (c) Sind die beiden Merkmale unabhängig? (Begründung!) 9. In der folgenden Tabelle sind einige absoluten Häugkeiten der unabhängigen Merkmale X und Y gegeben. Bestimme Sie die restlichen Werte: Y X Bestimmen Sie die bedingten Häugkeiten h(x = 0 Y = 2) und h(y = 1 X = 1). 10. Ein Bauunternehmer bezieht Fertigfenster von den drei Firmen F1, F2 und F3. Innerhalb eines Jahres nach dem Einbau der Fenster erhält er 100 Reklamationen. Es werden folgende Fehler bemängelt: Fehler A: Die Fenster werden blind. Fehler B: Die Fenster bekommen Risse. Fehler C: Die Fenster lassen sich nicht mehr schlieÿen. Es ergibt sich die folgende Kontingenztabelle: F1 F2 F3 A B C Berechnen Sie für diese Daten den Kontingenzkoezienten nach Pearson und interpretieren Sie den Wert. 11. Aus 80 Wertepaaren der Merkmale X und Y wurde ein Korrelationskoezient r XY = 0, 95 berechnet. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Die Beobachtungswerte streuen eng um eine Gerade mit fallendem Anstieg. (b) Ein Zusammenhang zwischen X und Y ist nicht erwiesen, da r XY < 0 gilt. (c) Die Werte von X und Y sind annähernd umgekehrt proportional zueinander. (d) Berechnet man für die Wertepaare eine Regressionsgerade Y = ax + b, dann erhält man für a einen negativen Wert. 2

3 12. In der folgenden Tabelle sind die verfügbaren Monatseinkommen von 8 ktiven deutschen Haushalten sowie deren Ausgaben für öentliche Verkehrsmittel angegeben (jeweils in ): Verfügbares Einkommen Ausgaben für Verkehrsmittel (a) Berechnen Sie für diese beiden Merkmale den Korrelationskoezienten nach Pearson. Wie läÿt sich der Wert interpretieren? (b) Ermitteln Sie eine lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate für diese beiden Merkmale. (c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Regressionsfunktion die monatlichen Ausgaben für öentliche Verkehrsmittel bei einem verfügbaren Einkommen von Ein Unternehmen hat bei folgenden Preisen p die Absatzmengen m eines Produktes pro Zeiteinheit beobachtet: Preis p Menge m Berechnen Sie mit Regression eine Preis-Absatz-Funktion der Form m = a p b. 14. Die Entwicklung der Bruttoerzeugung von Elektroenergie einer bestimmten Region ist folgender Tabelle zu entnehmen: Jahr Energie (in Mrd. kwh) 368,8 449,5 462,4 453,2 452,0 455,9 Prognostizieren Sie die erzeugte Energiemenge für 2008 und 2009 mit Hilfe linearer Regression. 15. Bestimmen Sie eine Regressionsfunktion vom Typ Exponentialfunktion y = ab x für folgende Daten: i x y i In einem Unternehmen wurden die Energiekosten über die Quartale von 4 Jahren erfaÿt (in 1000 ): Quartal/Jahr I 38,2 40,3 43,1 44,6 II 36,1 38,6 40,9 44,1 III 39,4 42,1 46,1 49,2 IV 42,1 45,3 49,0 52,4 Glätten Sie die Werte mit Hilfe gleitender Durchschnitte mit einer geeignet gewählten Ordnung. Den Daten wurde folgende lineare Trendfunktion angepaÿt : ˆx = 36, , 81 t, t = 1, 2,..., 16. Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, daÿ saisonale Schwankungen dem Trend additiv überlagert sind, für das 4.Quartal die additive Saisonkomponente. Errechnen Sie daraus eine Prognose für das 4.Quartal Wie lautet diese Prognose für das 4.Quartal 2007 im Fall des multiplikativen Modells? 17. Die folgende Tabelle enthält Preise (in /kg) und Produktionsmengen (in kg) von 4 wichtigen Gütern der Lebensmittelbranche für die Jahre 2002, 2003 und 2004 : Gut A Gut B Gut C Gut D Jahr Preis Menge Preis Menge Preis Menge Preis Menge

4 Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres und den Mengenindex nach Lowe jeweils für 2004 zur Basis Wahrscheinlichkeitsrechnung 18. Wir betrachten das Lottospiel 6 aus 49 und vernachlässigen der Einfachheit halber die Zusatzzahl. Es bezeichne A k das Ereignis Genau k Richtige, k = 0, 1,..., 6. (a) Begründen Sie, daÿ die Ereignisse A 0, A 1,..., A 6 paarweise (je zwei Ereignisse) unvereinbar sind. (b) Man gewinnt ab 3 Richtigen. Stellen Sie das Ereignis G: Erreichen einer Gewinnstufe mit Hilfe der Ereignisse A k dar. (c) Berechnen Sie P (G) mit Hilfe folgender Wahrscheinlichkeiten: P (A 3 ) = 0, , P (A 4 ) = 0, , P (A 5 ) = 0, und P (A 6 ) = 0, In einer Tombola benden sich 200 Lose, davon sind 90% Nieten. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von 5 Losen (a) genau einen Gewinn, (b) genau zwei Gewinne, (c) mindestens zwei Gewinne zu erhalten? 20. Es seien A und B Ereignisse mit p = P (B) und q = P (A B), 0 p, q 1. Berechnen Sie daraus P (A B) und P (Ā B). 21. Beim zweimaligen Würfeln werden folgende Ereignisse betrachtet: A - Die Augenzahl beim ersten Wurf ist mindestens 5. B - Die Augenzahl beim zweiten Wurf ist gerade. Begründen Sie, daÿ die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. 22. Es wird ein roter und ein grüner Würfel geworfen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daÿ die Augensumme gröÿer als 8 ist wenn der grüne Würfel eine 4 zeigt? 23. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 3 schwarze und 7 weiÿe Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröÿe, die die Gesamtzahl gezogener schwarzer Kugeln angibt. (a) Geben Sie für jede Realisierung x i von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit p i = P (X = x i ) an. (b) Berechnen Sie P (X 1). (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X. 24. Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 4 schwarze und 6 weiÿe Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröÿe, die die Gesamtzahl gezogener schwarzer Kugeln angibt. (a) Geben Sie für jede Realisierung x i von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit p i = P (X = x i ) an. (b) Berechnen Sie P (X 1). (c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröÿe X. 25. Eine diskrete Zufallsgröÿe X sei durch folgende Realisierungen x i und Wahrscheinlichkeiten P (X = x i ) gegeben: x i P (X = x i )

5 (a) Berechnen Sie P (X < 1) und P (X > 0). (b) Bestimmen Sie auÿerdem den Erwartungswert und die Varianz von X. (c) Wie lautet die Verteilungsfunktion F X der Zufallsgröÿe X? Skizzieren Sie F X. 26. Es sei bekannt, daÿ ein bestimmter Automat beim Herstellen von Schrauben 1,5% Ausschuÿ produziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benden sich unter 100 zufällig (bei laufender Produktion) herausgegrienen Schrauben weniger als zwei defekte? 27. Beim einmaligen Werfen einer nicht homogenen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses Zahl oben 55%. Wie oft muÿ die Münze geworfen werden, daÿ mit einer Wahrscheinlichkeit gröÿer als 95% wenigstens einmal das Ereignis Zahl oben eintritt? 28. In einer Autowerkstatt sei die zufällige Reparaturzeit X exponentialverteilt. Die mittlere Reparaturzeit beträgt 4 Stunden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daÿ die Reparaturzeit höchstens 6 Stunden beträgt! 29. Die Lebensdauer X einer Softeismaschine (in Jahren) sei eine exponentialverteilte Zufallsgröÿe mit a = 1 6. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt die Maschine länger als 10 Jahre? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Lebensdauer kleiner als der Erwartungswert? 30. Sei X eine normalverteilte Zufallsgröÿe mit Erwartungswert µ = 6, 5 und der Standardabweichung σ = 1, 5. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daÿ X im Intervall I = [6; 8] liegt! (b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ X kleiner als 4, 5 ist? (c) Welche reelle Zahl x 0 besitzt die Eigenschaft, daÿ 85% aller Realisierungen von X gröÿer als x 0 sind? 31. Es sei X die poissonverteilte Anzahl der Störungen pro Woche in einer Fertigungsanlage. Im Durchschnitt werden 5 Störungen pro Woche registriert. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche weniger als 3 Störungen auf? (b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche mehr als 6 Störungen auf? (c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten für die Dauer einer Woche keine Störungen auf? 32. Die Länge X von Werkstücken, die auf einer Maschine gefertigt werden, sei eine normalverteilte Zufallsgröÿe mit Erwartungswert µ = 30mm und Standardabweichung σ = 0, 02mm. (a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Länge mehr als 0, 03mm von µ ab? (b) Welche Mindestlänge besitzen 85% aller gefertigten Werkstücke? 33. In einer Fuÿballmannschaft stammen statistisch gesehen 50% aller Torschüsse vom Stürmer A, 40% vom Stürmer B und 10% entfallen auf den Rest der Mannschaft. Die Treerwahrscheinlichkeit von Stürmer A liegt bei 0,7, die von Stürmer B bei 0,8, die restlichen Spieler treen mit Wahrscheinlichkeit 0,3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit führt ein Torschuÿ dieser Mannschaft zu einem Tor? 5

6 34. Ein Posten von 100 Teilen enthält 60 Teile von Werk I und 40 Teile von Werk II. Es ist bekannt, daÿ die Ausschuÿwahrscheinlichkeit in Werk I bei 3% liegt und in Werk II bei 2%. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daÿ ein zufällig ausgewähltes Teil dieses Postens (a) von Werk I stammt, (b) Ausschuÿ ist, (c) von Werk II stammt und kein Ausschuÿ ist, (d) kein Ausschuÿ ist, wenn es von Werk II stammt, (e) von Werk II stammt, wenn es kein Ausschuÿ ist? 35. Es sei X eine stetige Zufallsgröÿe mit der Verteilungsfunktion F X : 0 falls x < 0 F X (x) = x 3 (4 3x) falls 0 x < 1. 1 falls x 1 Ermitteln Sie die Dichte f X der Zufallsgröÿe X. Zeigen Sie, daÿ für die Dichte gilt f X (x)d(x) = 1. Berechnen Sie den Erwartungswert EX der Zufallsgröÿe. Induktive Statistik 36. Die Zufallsgröÿe X beschreibe das Abfüllgewicht (in Gramm) von Maiskörnern in Dosen. Dabei sei X näherungsweise normalverteilt. 100 Dosen wurden zufällig ausgewählt und der Inhalt gewogen. Ihr Gesamtgewicht beträgt g. (a) Bestimmen Sie einen Schätzwert für den Erwartungswert µ von X. (b) Berechnen Sie ein Kondenzintervall für µ zum Kondenzniveau 0,95, falls die Standardabweichung σ = 4, 5 g eine bekannte (unveränderliche) Maschinengröÿe ist. (c) Wie groÿ muÿ der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit man bei bekannter Standardabweichung σ = 4, 5 g zum Kondenzniveau 0,99 ein Kondenzintervall für µ erhält, dessen Länge höchstens 1 g ist? 37. Die Wirkung eines Medikaments zur Fiebersenkung wird an 12 Patienten beobachtet. Die folgende Tabelle enthält die Körpertemperatur (in C) vor und eine Stunde nach Verabreichung des Medikaments : vor 38,7 39,2 39,6 38,5 38,8 39,0 39,1 39,4 38,4 38,5 37,9 37,4 nach 38,1 39,0 39,3 37,9 38,5 39,0 39,2 39,2 38,6 38,0 37,4 37,5 Berechnen Sie ein 95%-Kondenzintervall für die mittlere Senkung des Fiebers durch dieses Mittel unter der Voraussetzung, daÿ die Werte normalverteilt sind. 38. Eine Abfüllmaschine für Kaee ist auf ein Füllgewicht von 500 g eingestellt. Das Abfüllgewicht sei eine normalverteilte Zufallsgröÿe mit unbekannter Varianz. Durch folgende Stichprobe vom Umfang n = 8 für das Füllgewicht (in g) soll überprüft werden, ob das mittlere Gewicht von 500 g eingehalten wird. Prüfen Sie die Hypothese H 0 : µ = 500 gegen H 1 : µ 500 zum Niveau α = 0, 05. 6