EI; Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. Technische Mechanik. computerunterstützt mit 3112"-HD-Diskette

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1 Technische Mechanik computerunterstützt mit 3112"-HD-Diskette Von Prof. Dr.-Ing. Helga Dankert und Prof. Dr.-Ing. habil. Jürgen Dankert Fachhochschule Hamburg 2., überarbeitete und erweiterte Auflage EI; Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

2 Weder die Autoren noch der Verlag übernehmen eine Gewähr dafür, daß die Programme der beiliegenden Diskette frei von Fehlern sind. Eine Haftung für Schäden, die aus der Benutzung der Programme resultieren, wird ausgeschlossen. Di,e Programme sind urheberrechtlich geschützt, eine Weitergabe an Dritte ist untersagt. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Technische Mechanik : computerunterstützt mit 3 1/2" -HD- Diskette 1 von Helga Dankert und Jürgen Dankert. 2., überarb. und erw. Auf!. - Stuttgart : Teubner, 1995 ISBN ISBN (ebook) DOI / NE: Dankert, Helga; Dankert, Jürgen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Springer Fachmedien Wiesbaden 1995 Ursprünglich erschienin bei B.G Teubner, Stutgart 1995 Softcover reprint ofthe hardcover 2nd edition 1995 Gesamtherstellung: Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstraße Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart

3 Vorwort In keinem anderen Fach muß dem Studenten so früh und so umfassend der gesamte schwierige Weg der Lösung von Ingenieur-Aufgaben zugemutet werden wie in der Technischen Mechanik. Er muß Probleme analysieren, das Wesentliche erkennen und ein reales Objekt in ein physikalisches Modell überführen. Das sich daraus ergebende mathematische Problem muß gelöst werden, und die Deutung der Ergebnisse, die wieder den Zusammenhang zum realen Objekt herstellt, schließt den Kreis. Auf einem besonders schwierigen Teilstück dieses Weges ist der Computer zu einem außerordentlich starken Helfer geworden. Die Zeit, die früher dem mühsamen Einüben von Lösungsalgorithmen geopfert werden mußte, steht heute. für die Problemanalyse und das Studium des Grundlagenwissens zur Verfügung, das Trainieren der (so eleganten wie aufwendigen) graphischen Verfahren gehört der Vergangenheit an. Bei der angemessenen Aufbereitung der Ergebnisse (Diagramme, Funktionsverläufe; Verformungsbilder,... ) ist der Computer ohnehin konkurrenzlos. Aber der Computer bleibt für den Ingenieur nur ein Werkzeug. Die eigentlichen Schwierigkeiten, die im Erfassen der Zusammenhänge, dem Beherrschen von Methoden zur Analyse und Lösung von Problemen liegen, kann er ihm nicht abnehmen. Er kann ihn aber von dem Ballast befreien, dessen Bewältigung früher häufig so dominierend war, daß der Lernende nicht mehr zum Kern des Problems vordringen konnte. Der Ingenieur in der Praxis mit den "nicht-akademischen Problemen" stand sogar oft vor unüberwindlichen Schwierigkeiten. Das Konzept, das diesem Buch zugrunde liegt, wurde in Vorlesungen an den Fachhochschulen in Frankfurt/Main und Hamburg über viele Jahre erfolgreich erprobt. Der Leser wird sehr schnell merken, daß nicht etwa das Verstehen der Zusammenhänge durch das Erlernen des Umgangs mit der Benutzeroberfläche eines Rechenprogramms ersetzt werden kann oder soll, im Gegenteil: Die Benutzung des Computers schafft Zeitgewinn gerade für die intensive Auseinandersetzung mit den häufig nicht ganz einfachen Problemen. Die Auswahl der Programme für die beiliegende Diskette wurde deshalb von der Absicht geleitet, genau dort zu helfen, wo nach der Analyse der mechanischen Probleme und der Formulierung des physikalisch-mathematischen Modells der aufwendige, aber formale Teil der mathematischen Lösung abgearbeitet werden muß. Ein angenehmer Nebeneffekt ist, daß der Zwang zur Beschränkung auf die einfachen Probleme, die der Handrechnung zugänglich sind, entfällt. Der Student kann praxisnahe Probleme lösen, dem Ingenieur in der Praxis wird damit unmittelbar geholfen. Schwierig bleibt es allemal, aber die Mühe lohnt sich. Problemanalyse und Modelldefinition, Mathematisierung, Anwendung eines Schnittprinzips sind nur wenige Beispiele für Strategien, die der Ingenieur universell anwendet und nicht intensiv genug trainieren kann. Die Erfahrungen in der Vermittlung des Stoffes sprechen eindeutig für die gewählte induktive Darstellung, die wir auch in den Gebieten (zugunsten des Lernenden) durchgehalten haben, wo die Versuchung groß ist, die Verständlichkeit der häufig eleganter erscheinenden deduktiven Methode zu opfern. Komplett vorgeführte Beispiele sind durchgängig zu finden.

4 IV Vorwort Unsere Erfahrungen zeigen, daß der Anreiz für den Studierenden, die Grundlagen der Technischen Mechanik zu erlernen und sich gleichzeitig mit dem Computer auseinandersetzen zu können, um von dieser Seite Entlastung zu erfahren, den Erfolg seiner Bemühungen nachhaltig fördert. Der Ingenieur in der Praxis wird feststellen, daß sich durch die Einbeziehung des Computers die inhaltlichen Schwerpunkte doch leicht verschoben haben. Den Fachkollegen, die die Technische Mechanik lehren, können wir die Erfahrung weitergeben, daß die Akzeptanz der computerunterstützten Verfahren bei den Studenten außerordentlich groß ist. Der Zeitanteil, der bei diesen Verfahren für formale, nicht das Verständnis fördernde Arbeit anfällt, ist deutlich geringer als bei den klassischen Verfahren, von denen viele wirklich mit gutem Gewissen geopfert werden können. Für die 2. Auflage wurde der Text überarbeitet, natürlich mußten auch einige Fehler beseitigt werden. Den Wunsch vieler Leser nach weiteren komfortablen Prograrnrnen erfüllen wir mit dem Angebot, die CAMMPUS-Version der beiliegenden Diskette ständig durch die jeweils aktuelle Version ergänzen zu können, die über den Internet-Dienst WWW ("World Wide Web") zu beziehen ist. Die bei Drucklegung der 2. Auflage aktuelle Version bietet zusätzlich komfortable Finite-Elemente-Programme zu den im Buch besprochenen Themen (im Anhang C sind einige Beipiele zusammengestellt, die mit diesen Prograrnrnen berechnet wurden), ein Programm zur Lösung großer Matrix-Eigenwertprobleme und einen "Matrix-Rechner". Eine ausführliche Dokumentation ist über den gleichen Weg zu beziehen. Die in einem Vorwort übliche Danksagung kann auch für die 2. Auflage kurz ausfallen. Der entstarnrnt unseren eigenen Vorlesungen, wir haben Text und Zeichnungen eigenhändig in den Computer gebracht und jede Prograrnrnzeile selbst geschrieben. Bleibt eigentlich nur ein herzlicher Dank an die Studenten, die die Prograrnrne getestet haben, an die Fachkollegen, die sich mit zahlreichen Hinweisen zur 1. Auflage geäußert haben, und an Herrn Dr. J. Schlembach vom Teubner-Verlag für seine Geduld und sein Engagement dafür, daß das Buch in dieser Form erscheinen kann. Jesteburg, Sommer 1995 Helga und Jürgen Dankert dankert@rzbt.fh-hamburg.de oder CompuServe ,3712 (aus dem Internet: l @compuserve.com) Die jeweils aktuelle CAMMPUS-Version (einschließlich der Ergänzungen zur Prograrnrn-Dolcumentation) ist über WWW ("World Wide Web") zu beziehen. Die Seite hup:/iwww.fb-hamburg.defrzbudnksofucammpus ist der Einstiegspunkt für das Kopieren der Programme und der Dokumentationen sowie Hinweise auf Kopiermöglichkeiten des Quelleodes für den Finite-Elemente Baukasten FEMSET in den Programmiersprachen C und FORTRAN.

5 1 Grundlagen der Statik Die Kraft Axiome der Statik Das Schnittprinzip 5 2 Das zentrale ebene Kraftsystem Äquivalenz Gleichgewicht 13 3 Das allgemeine ebene Kraftsystem (Äquivalenz) Graphische Ermittlung der Resultierenden Parallele Kräfte Kräftepaar und Moment Das Moment einer Kraft Äquivalenz Versetzungsmoment Analytische Ermittlung der Resultierenden 23 4 Schwerpunkte Schwerpunkte von Körpern Flächenschwerpunkte Linienschwerpunkte Experimentelle Schwerpunktermittlung Flächenschwerpunkte. Computer-Verfahren Eine durch einen Polygonzug begrenzte ebene Fläche Durch zwei Funktionen begrenzte Fläche Flächen- und Linienlasten Aufgaben 40 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Die Gleichgewichtsbedingungen Lager und Lagerreaktionen in der Ebene Statisch bestimmte Lagerung Aufgaben 51 6 Ebene Systeme starrer Körper Statisch bestimmte Systeme Stäbe und Seile als Verbindungselemente 59

6 VI 6.3 Lineare Gleichungssysteme Fachwerke Statisch bestimmte Fachwerke Berechnungsverfahren Komplizierte Fachwerke, Computerrechnung Aufgaben 79 7 Schnittgrößen Definitionen Differentielle Zusammenhänge Ergänzende Bemerkungen zu den Schnittgrößen Aufgaben 94 8 Räumliche Probleme Zentrales Kraftsystem Räumliche Fachwerke Allgemeines Kraftsystem Momente Das Moment einer Kraft Äquivalenz und Gleichgewicht Schnittgrößen Aufgaben Haftung Coulombsches Haftungsgesetz Seilhaftung Aufgaben Elastische Lager Lineare Federn Gleichgewicht bei steifen Federn Gleichgewicht bei weichen Federn Beurteilung der Gleichgewichtslagen Aufgaben Seilstatik, Kettenlinien, Stützlinien Das Seil unter Eigengewicht Das Seil unter konstanter Linienlast Grundlagen der Festigkeitslehre Beanspruchungsarten Spannungen und Verzerrungen Der Zugversuch Hookesches Gesetz, Querkontraktion 158

7 Festigkeitsnachweis, zulässige Spannung 13.1 Belastungsarten 13.2 Dauerfestigkeit 13.3 Gestaltfestigkeit Kerbwirkungen Oberflächenbeschaffenheit und Bauteilgröße 13.4 Zulässige Spannungen Statische Belastung Dynamische Belastung Festigkeitsnachweis Zug und Druck 14.1 Spannung, Dehnung 14.2 Statisch unbestimmte Probleme 14.3 Temperatureinfluß, Fehlmaße 14.4 Aufgaben Der Stab als finites Element 15.1 Die Finite-Elemente-Methode 15.2 Fluchtende Stabelemente 15.3 Ebene Fachwerk-Elemente 15.4 Temperaturdehnung, Anfangsdehnung 15.5 Nutzung von Finite-Elemente-Programmen 15.6 Aufgaben VII Biegung Biegemoment und Biegespannung Flächenträgheitsmomente Definitionen Einige wichtige Formeln Der Satz von Steiner Zusammengesetzte Flächen Hauptträgheitsmomente, Hauptzentralachsen Formalisierung der Berechnung Durch Polygonzüge begrenzte Flächen, Computer-Rechnung Gültigkeit der Biegespannungsformel, Widerstandsmomente, Beispiele Aufgaben Verformungen durch Biegemomente Differentialgleichung der Biegelinie 17.2 Integration der Differentialgleichung 17.3 Rand- und Übergangsbedingungen 17.4 Einige wichtige Formeln 17.5 Statisch unbestimmte Systeme 17.6 Superposition 17.7 Aufgaben

8 VIII 18 Computer-Verfahren für Biegeprobleme Das Differenzenverfahren Differenzenformeln Biegelinie bei konstanter Biegesteifigkeit Biegelinie bei veränderlicher Biegesteifigkeit Der Biegeträger als finites Element Element-Steifigkeitsmatrix für Biegeträger Element-Belastungen (Linienlasten) Biegesteife Rahmentragwerke Aufgaben Spezielle Biegeprobleme Schiefe Biegung Der elastisch gebettete Träger Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie Numerische Lösung Spezielle Rand- und Übergangsbedingungen Der gekrümmte Träger Schnittgrößen Spannungen infolge Biegemoment und Normalkraft Verformungen des Kreisbogenträgers Numerische Berechnung der Verformungen Aufgaben Querkraftschub Ermittlung der Schubspannungen Dünnwandige offene Profile, Schubmittelpunkt Schubspannungen in Verbindungsmitteln Verformungen durch Querkräfte Aufgaben Torsion Torsion von Kreis- und Kreisringquerschnitten Saint-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte Saint-Venantsche Torsion dünnwandiger Querschnitte Dünnwandige geschlossene Querschnitte Dünnwandige offene Querschnitte Formeln für die Saint-Venantsche Torsion Numerische Lösungen Aufgaben Zusammengesetzte Beanspruchung Modelle der Festigkeitsberechnung Zusammengesetzte Normalspannung Der einachsige Spannungszustand Der ebene Spannungszustand 372

9 IX 22.5 Festigkeitshypothesen Ebener Spannungszustand Berechnung von Wellen Aufgaben Knickung Stabilitätsprobleme der Elastostatik Stab-Knickung Differentialgleichung 4. Ordnung Numerische Lösung von Knickproblemen Aufgaben Formänderungsenergie Arbeitssatz Formänderungsenergie für Grundbeanspruchungen Satz von Castigliano Satz von Castigliano (statisch unbestimmte Systeme) Aufgaben Rotationssymmetrische Modelle Rotationssymmetrische Scheiben Spezielle Anwendungsbeispiele Dünnwandige Behälter (Membranspannungen) Aufgaben Kinematik des Punktes Geradlinige Bewegung des Punktes Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kinematische Diagramme Allgemeine Bewegung des Punktes Allgemeine Bewegung in einer Ebene Beschleunigungsvektor, Bahn- und Normalbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Darstellung der Bewegung mit Polarkoordinaten Allgemeine Bewegung im Raum Aufgaben Kinematik starrer Körper Die ebene Bewegung des starren Körpers Translation und Rotation Der Momentanpol Geschwindigkeit und Beschleunigung Ebene Relativbewegung eines Punktes Bewegung des starren Körpers im Raum Rotation Allgemeine Bewegung Re1ativbewegung eines Punktes 475

10 X 27.4 Systeme starrer Körper Aufgaben Kinetik des Massenpunktes Dynamisches Grundgesetz Kräfte am Massenpunkt Geschwindigkeitsabhängige Bewegungswiderstände Massenkraft, das Prinzip von d' Alembert Numerische Integration von Anfangswertproblemen Eine Differentialgleichung 1. Ordnung Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen höherer Ordnung Integration des dynamischen Grundgesetzes Der Impulssatz Arbeit, Energie, Leistung Der Energiesatz Aufgaben Kinetik starrer Körper Reine Translation Rotation um eine feste Achse Massenträgheitsmomente Massenträgheitsmomente einfacher Körper Der Satz von Steiner Deviationsmomente, Hauptachsen Beispiele zur Rotation um eine feste Achse Allgemeine Beispiele Auswuchten von Rotoren Ebene Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Das Prinzip von d' Alembert Energiesatz Beispiele Räumliche Bewegung starrer Körper Schwerpunktsatz, Drallsatz Körperfeste Koordinaten, Eulersche Gleichungen, Kreiselbewegung Das Kreiselmoment Aufgaben Kinetik des Massenpunktsystems Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz Stoß Der gerade zentrische Stoß Der schiefe zentrische Stoß Der exzentrische Stoß Aufgaben 580

11 XI 31 Schwingungen Hannonische Schwingungen Freie ungedämpfte Schwingungen Schwingungen mit kleinen Ausschlägen Elastische Systeme Nichtlineare Schwingungen Freie gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Schwingungen mit hannonischer Erregung der Masse Erregung über Feder und Dämpfer Unwuchterregung Biegekritische Drehzahlen Aufgaben Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Freie ungedämpfte Schwingungen Torsionsschwingungen Eigenschwingungen linear-elastischer Systeme Biegekritische Drehzahlen Zwangsschwingungen, Schwingungstilgung Aufgaben Prinzipien der Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Arbeit für Potentialkräfte, Stabilität des Gleichgewichts Prinzip von d' Alembert in der Fassung von Lagrange Lagrangesche Bewegungsgleichungen Generalisierte Kräfte, Potentialkräfte Virtuelle Arbeit der Massenkräfte Lagrangesche Gleichungen 2. Art Prinzip vom Minimum des elastischen Potentials Das Verfahren von Ritz Randwertproblem und Variationsproblem Verfahren von Ritz und Finite-Elemente-Methode Aufgaben 651 Anhang A (Lösungen zu den Aufgaben) 652 Anhang B (CAMMPUS PROGRAMME) 674 BI "Taschenrechner" MCALCU 675 Bl.l Startmenü 676 B1.2 Rechnen 677 B1.3 Konstanten definieren 677 B1.4 Arithmetische Ausdrücke 678 B1.5 Konstanten sichern 680

12 XII B 1.6 Formeln registrieren Bl.7 Arbeiten mit Formelsätzen B 1.8 Protokoll B 1.9 Arbeiten mit definierten Funktionen B 1.10 Analyse von Funktionen B 1.11 Numerische Integration einer stetigen Funktion B 1.12 Differentialgleichungssystem (Anfangswertproblem) B1.13 Makros, Demos B2 Lineare Gleichungssysteme, Programm MLINEQ 713 B2.1 Der Gaußsche Algorithmus 714 B2.2 Eingabe der Matrizen 715 B2.3 Makro-Technik 716 B2.4 Beispiel: Voll besetzte Matrix A 716 B2.5 Beispiel: Bandförrnige Matrix A 720 B2.6 Determinantenberechnung 725 B3 Der Finite-Elemente-Baukasten FEMSET 726 B3.1 Das FEMSET-Konzept 727 B3.2 Anschluß des Unterprogramms "Elementsteifigkeitsmatrix" 728 B3.3 Arbeiten mit dem Programm FEMSET 729 B3.4 Beispiel: Knotenverschiebungen eines ebenen Fachwerks 731 B3.5 Beispiel: Stabkräfte eines ebenen Fachwerks 735 B3.6 Beispiel: Verformung des biegesteifen Rahmens mit Einzellasten 737 B3.7 Erweiterung des Programms: Linienlasten, Schnittgrößen 738 B3.8 Ausgewählte ergänzende Beispiele 742 Anhang C (Beispiele zu den CAMMPUS-Ergänzungen) 748 Literatur 756 Index 757 Programme auf der beiliegenden Diskette: "Taschenrechner" MCALCU: MLINEQ: FEM-"Baukasten" FEMSET: Auswerten von Formelsätzen, Analyse von Funktionen (Wertetabelle, Nullstellen, Extremwerte, Polstellen, graphische Darstellung, numerisches Differenzieren, Interpolation äquidistanter Wertetabellen), numerische Integration, numerische Lösung von Differentialgleichungssystemen (Anfangswertprobleme). Lösung linearer Gleichungssysteme und Determinantenberechnung für voll besetzte Matrizen und bandförrnige Matrizen. Berechnung ebener Fachwerke und ebener biegesteifer Rahmenkonstruktionen, Quelltext und Bausteine für den Zusammenbau beliebiger Finite-Elemente-Programme.