Singulärer Punkt einer komplexen Differentialgleichung

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Frieder Krause
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1 Singulärer Punkt einer komplexen Differentialgleichung Die Differentialgleichung r(z)u (z) + q(z)u (z) + p(z)u(z) = 0 hat bei z = a einen regulären singulären Punkt, wenn q/r einen Pol höchstens erster und p/r einen Pol höchstens zweiter Ordnung bei z = a haben. In einem regulären singulären Punkt a wird das Verhalten der Lösungen u durch die charakteristische Gleichung ϕ(λ) = λ(λ 1) + q 0 λ + p 0 = 0 bestimmt, wobei q 0 und p 0 die führenden Koeffizienten von q/r bzw. p/r sind, d.h. q(z) r(z) = q 0 + q 1 (z a) +, z a p(z) r(z) = p 0 + p 1 (z a) + (z a) 2. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 1-1

2 Ist die Differenz der Nullstellen α, β von ϕ nicht ganzzahlig, so existieren zwei linear unabhängige Lösungen (z a) α v(z), (z a) β w(z), wobei v und w in einer Umgebung von a analytische Funktionen mit v(a), w(a) 0 sind. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 1-2

3 Ist die Differenz der Nullstellen α, β von ϕ nicht ganzzahlig, so existieren zwei linear unabhängige Lösungen (z a) α v(z), (z a) β w(z), wobei v und w in einer Umgebung von a analytische Funktionen mit v(a), w(a) 0 sind. Sonst existiert im Allgemeinen nur eine Lösung dieses Typs zu dem Exponenten α mit dem größten Realteil. Eine zweite Lösung kann dann durch Variation der Konstanten, d.h. mit dem Ansatz bestimmt werden. u(z) = c(z)(z a) α v(z) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 1-3

4 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.b.d.a. a = 0, r(z) = 1 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-1

5 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.b.d.a. a = 0, r(z) = 1 Ansatz u(z) = z λ (u 0 + u 1 z + ) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-2

6 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.b.d.a. a = 0, r(z) = 1 Ansatz u(z) = z λ (u 0 + u 1 z + ) Einsetzen in die Differentialgleichung u (z) = λ(λ 1)u 0 z λ 2 + (λ + 1)λu 1 z λ ( ) z u (z)q(z) = λu 0 z λ 2 + (λ + 1)u 1 z λ 1 + (q 0 + q 1 z + ) 1 ( ) z 2 u(z)p(z) = u 0 z λ 2 + u 1 z λ 1 + (p 0 + p 1 z + ) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-3

7 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.b.d.a. a = 0, r(z) = 1 Ansatz u(z) = z λ (u 0 + u 1 z + ) Einsetzen in die Differentialgleichung u (z) = λ(λ 1)u 0 z λ 2 + (λ + 1)λu 1 z λ ( ) z u (z)q(z) = λu 0 z λ 2 + (λ + 1)u 1 z λ 1 + (q 0 + q 1 z + ) 1 ( ) z 2 u(z)p(z) = u 0 z λ 2 + u 1 z λ 1 + (p 0 + p 1 z + ) Vergleich der Koeffizienten von z λ 2 charakteristische Gleichung ϕ(λ)u 0 = 0 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-4

8 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u 0 0) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-5

9 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u 0 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ 2+k Rekursion mit ϕ(λ + k)u k = ψ(u 0,..., u k 1 ), k > 0, ψ(u 0,..., u k 1 ) = (λq k u 0 + (λ + 1)q k 1 u (λ + k 1)q 1 u k 1 ) (p k u 0 + p k 1 u p 1 u k 1 ) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-6

10 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u 0 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ 2+k Rekursion mit ϕ(λ + k)u k = ψ(u 0,..., u k 1 ), k > 0, ψ(u 0,..., u k 1 ) = (λq k u 0 + (λ + 1)q k 1 u (λ + k 1)q 1 u k 1 ) (p k u 0 + p k 1 u p 1 u k 1 ) q ν u k ν, p ν u k ν : Summe der Indizes = k = Koeffizient von z ν z k ν+λ 2 = z λ 2+k Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-7

11 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u 0 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ 2+k Rekursion mit ϕ(λ + k)u k = ψ(u 0,..., u k 1 ), k > 0, ψ(u 0,..., u k 1 ) = (λq k u 0 + (λ + 1)q k 1 u (λ + k 1)q 1 u k 1 ) (p k u 0 + p k 1 u p 1 u k 1 ) q ν u k ν, p ν u k ν : Summe der Indizes = k = Koeffizient von z ν z k ν+λ 2 = z λ 2+k Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ + k) 0 k Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-8

12 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u 0 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ 2+k Rekursion mit ϕ(λ + k)u k = ψ(u 0,..., u k 1 ), k > 0, ψ(u 0,..., u k 1 ) = (λq k u 0 + (λ + 1)q k 1 u (λ + k 1)q 1 u k 1 ) (p k u 0 + p k 1 u p 1 u k 1 ) q ν u k ν, p ν u k ν : Summe der Indizes = k = Koeffizient von z ν z k ν+λ 2 = z λ 2+k Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ + k) 0 k Bei ganzzahliger Differenz der Nullstellen α, β von ϕ, α = β + m mit m N ist dies nur für den Exponenten α mit größerem Realteil möglich. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-9

13 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u 0 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ 2+k Rekursion mit ϕ(λ + k)u k = ψ(u 0,..., u k 1 ), k > 0, ψ(u 0,..., u k 1 ) = (λq k u 0 + (λ + 1)q k 1 u (λ + k 1)q 1 u k 1 ) (p k u 0 + p k 1 u p 1 u k 1 ) q ν u k ν, p ν u k ν : Summe der Indizes = k = Koeffizient von z ν z k ν+λ 2 = z λ 2+k Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ + k) 0 k Bei ganzzahliger Differenz der Nullstellen α, β von ϕ, α = β + m mit m N ist dies nur für den Exponenten α mit größerem Realteil möglich. Für den anderen Exponenten β ist die Rekursionsgleichung ϕ(β + m)u m = ψ(u 0,..., u m 1 nur erfüllbar, falls die rechte Seite ebenfalls null ist. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-10

14 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u (z) + qz u (z) + p u(z) = 0 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-1

15 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u (z) + qz u (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-2

16 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u (z) + qz u (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Ansatz u(z) = z λ Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-3

17 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u (z) + qz u (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Ansatz u(z) = z λ Einsetzen charakteristische Gleichung ϕ(λ) = λ(λ 1) + qλ + p = λ 2 + (q 1)λ + p = 0 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-4

18 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u (z) + qz u (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Ansatz u(z) = z λ Einsetzen charakteristische Gleichung ϕ(λ) = λ(λ 1) + qλ + p = λ 2 + (q 1)λ + p = 0 drei qualitativ verschiedene Fälle je nach Typ der Nullstellung von ϕ Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-5

19 (i) Verschiedene Exponenten λ 1 λ 2 : Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-6

20 (i) Verschiedene Exponenten λ 1 λ 2 : z.b. q = 0, p = 6, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ 6 mit den Nullstellen λ 1 = 2, λ 2 = 3 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-7

21 (i) Verschiedene Exponenten λ 1 λ 2 : z.b. q = 0, p = 6, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ 6 mit den Nullstellen Lösung λ 1 = 2, λ 2 = 3 u(z) = c 1 frac1z 2 + c 2 z 3 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-8

22 (i) Verschiedene Exponenten λ 1 λ 2 : z.b. q = 0, p = 6, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ 6 mit den Nullstellen Lösung λ 1 = 2, λ 2 = 3 u(z) = c 1 frac1z 2 + c 2 z 3 Probe: z 2 u 6u = z 2 ( c 1 (6/z 4 ) + c 2 (6z) ) 6 ( c 1 /z 2 + c 2 z 3) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-9

23 (ii) Ein Exponent λ 1 = λ 2 : Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-10

24 (ii) Ein Exponent λ 1 = λ 2 : z.b. q = 1 und p = 1, d.h. ϕ(λ) = λ 2 2λ + 1 mit der Nullstelle λ = 1 und der Lösung u(z) = c z Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-11

25 (ii) Ein Exponent λ 1 = λ 2 : z.b. q = 1 und p = 1, d.h. ϕ(λ) = λ 2 2λ + 1 mit der Nullstelle λ = 1 und der Lösung u(z) = c z zweite Lösung durch Variation der Konstanten: Ansatz u(z) = c(z)z z 2 (c z) z(c z) + c z = 0 und nach Vereinfachung 0 = c z + c = (c z) mit der Lösung c(z) = c 1 + c 2 Ln z d.h. u(z) = (c 1 + c 2 Ln z) z Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-12

26 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-13

27 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.b. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ + 5/4 mit den Nullstellen λ 1,2 = 1 2 ± i Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-14

28 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.b. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ + 5/4 mit den Nullstellen λ 1,2 = 1 2 ± i Lösung u(z) = c 1 z 1/2+i + c 2 z 1/2 i = z ( c 1 z i + c 2 z i) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-15

29 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.b. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ + 5/4 mit den Nullstellen Lösung λ 1,2 = 1 2 ± i u(z) = c 1 z 1/2+i + c 2 z 1/2 i = z ( c 1 z i + c 2 z i) reelle Lösung für reelles z > 0 mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre: z ±i = e ±i Ln z = cos (Ln z) ± i sin (Ln z) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-16

30 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.b. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ 2 λ + 5/4 mit den Nullstellen Lösung λ 1,2 = 1 2 ± i u(z) = c 1 z 1/2+i + c 2 z 1/2 i = z ( c 1 z i + c 2 z i) reelle Lösung für reelles z > 0 mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre: z ±i = e ±i Ln z = cos (Ln z) ± i sin (Ln z) c 1 = c 2 = 1/2 bzw. c 1 = c 2 = 1/(2i) linear unabhängige Lösungen z cos (Ln z), z sin (Ln z) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-17

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