Quantengravitation: Keine Experimente, aber Mathematik

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1 Informatik/Mathematik/Komplexe Systeme Quantengravitation: Keine Experimente, aber Mathematik Fleischhack, Christian Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig Arbeitsbereich - Methoden der mathematischen Physik Korrespondierender Autor Fleischhack, Christian, Zusammenfassung Allgemeine Relativitätstheorie und Quantentheorie konnten bislang nicht zu einer konsistenten Theorie der Quantengravitation zusammengefasst werden. Leider stehen auch noch keine Experimente zur Verfügung, die Hinweise auf die vereinigte Theorie geben. Dennoch ist die Mathematik bereits in der Lage, fundierte Aussagen über mögliche Gestalten der Quantengravitation zu treffen. Abstract General relativity and quantum theory have not been merged into a consistent theory of quantum gravity yet. Unfortunately, to date, there are no experiments available that may disclose parts of the unified theory. Nevertheless, mathematics is already in a position to provide us with rigorous statements on how quantum gravity may look like. Kaum zwei andere Wissenschaften profitieren seit Jahrhunderten derart stark voneinander wie Mathematik und Physik. Vor allem das Suchen nach einer möglichst genauen Beschreibung der Natur durch möglichst einfache und möglichst wenige Prinzipien trieb die Entwicklung rasant voran. Spätestens seit Beginn des 20. Jahrhunderts sind viele Begriffe der Physik nicht mehr mit unseren Erfahrungen aus der täglichen Wahrnehmung unserer Umwelt vereinbar Raumzeit in der Relativitätstheorie, Welle-Teilchen-Dualismus in der Quantenmechanik und viele andere Dinge entziehen sich zunächst dem gesunden Menschenverstand. Sie wurden nur begreifbar, wenn sie mit Hilfe der Mathematik erklärt werden konnten. Dabei kam es häufig vor, dass die dazu notwendige mathematische Theorie noch nicht ausgereift oder noch gar nicht vorhanden war, so dass Physiker zu Vorreitern bei der Entwicklung neuer Teilgebiete der Mathematik wurden. Andererseits ist die Mathematik dank ihrer unschlagbaren Präzision in der Lage, fundamentale Zusammenhänge in der Natur aufzudecken, zugleich aber auch die genauen Grenzen ihrer Schlussfolgerungen zu bestimmen. Dies ist umso wichtiger in Bereichen, die experimentell bislang völlig unzugänglich sind, wie beispielsweise der Quantengravitation. Deren mathematische Grundlagen bilden einen Forschungsschwerpunkt am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften in Leipzig. Quantengravitation: Warum? Die mächtigsten Stützpfeiler der modernen theoretischen Physik sind die Allgemeine Relativitätstheorie und die Quantentheorie. Sie beschreiben Phänomene im Großen bzw. im Kleinen mit unglaublicher Genauigkeit seien es Gestirne oder Elementarteilchen. Beiden Theorien gemein sind Gültigkeitsgrenzen: Die naive Annahme, sie wären in allen Größenordnungen uneingeschränkt gültig, führte zu äußerst merkwürdigen Effekten, ja Widersprüchen.

2 Tätigkeitsbericht 2006 Christian Fleischhack Quantengravitation: Keine Experimente, aber Mathematik Um dies zu verdeutlichen, führen wir das folgende Gedankenexperiment durch. Nehmen wir an, wir wollen irgendein Objekt untersuchen, welches innerhalb eines kleinen Kästchens lokalisiert ist. Um immer genauer feststellen zu können, wie groß das Objekt ist und wo es sich befindet, verkleinern wir das Kästchen sukzessive. Nach der Heisenbergschen Unschärferelation der Quantentheorie bedeutet dies, dass der Impuls des Teilchens immer ungenauer bestimmt ist, naiv also immer größer wird. Steigt der Impuls, so steigt die Energie, also nach der Speziellen Relativitätstheorie auch die Masse des Objekts an. Hohe Massenkonzentrationen führen schließlich nach der Allgemeinen Relativitätstheorie dazu, dass es für das Licht immer schwieriger wird, dieser Masse zu entfliehen; am Ende bildet sich ein so genannter Ereignishorizont aus, dessen Radius proportional zur umschlossenen Masse ist und aus dessen Innerem keine Information mehr nach außen dringen kann. Kurz: Wird das Kästchen kleiner, das Objekt also lokalisierter, so wird der Radius des Ereignishorizonts des Objekts größer. Das hat die verblüffende Konsequenz, dass irgendwann das Objekt hinter seinem eigenen Ereignishorizont verschwindet. Es wird prinzipiell unbeobachtbar. Sollte sich die Physik damit zufrieden geben? Ein Pragmatiker würde diese Frage zunächst bejahen. Denn Raumbereiche werden erst dann unzugänglich, wenn ihre Abmessungen die Plancklänge unterschreiten. Hierbei ist h das Plancksche Wirkungsquantum, G die Newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit. Die Plancklänge selbst ist unvorstellbar klein. Sie liegt bei etwa m oder in Dezimalschreibweise bei etwa 0, m. Würde man einen Menschen beschreiben wollen, indem man ihn in kleine Würfel dieser Größe aufteilt, so entspricht dies ungefähr der Zerlegung einer Galaxis in atomkerngroße Bereiche. Es ist also im alltäglichen Leben kaum damit zu rechnen, dass Quantengravitationseffekte eine Rolle spielen. Physik beschäftigt sich aber nicht nur mit dem Alltäglichen. Jenseits des obigen Gedankenexperiments gibt es durchaus reale Situationen, in denen Gravitation und Quantentheorie an ihre Grenzen geraten. Einstein erkannte schon 1916, dass Elektronen aufgrund ihrer inneratomaren Bewegung Gravitationsenergie abstrahlen müssten, was letztlich zum Kollaps der Atome führen würde. Dieser wird aber nicht beobachtet. Hawking und Penrose fanden 1970, dass unter sehr allgemeinen Annahmen Singularitäten in der Raumzeit auftreten die Allgemeine Relativitätstheorie sagt ihren eigenen Zusammenbruch voraus. Am bekanntesten ist die Singularität des Universums, der Urknall. Hier ist das ganze Weltall in einem Raum zusammengepfercht, dessen Ausmaße weit kleiner sind als die Plancklänge. Quanteneffekte können dann nicht mehr vernachlässigt werden. Vielleicht sind diese wiederum für die Ausbildung von kosmischen Strukturen verantwortlich. Schließlich könnte die Gravitation auch die ständig auftretenden Unendlichkeiten in der Quantenfeldtheorie beseitigen, die durch die dort notwendige Integration über alle Energieskalen entstehen. Denn die Plancklänge ermöglicht die Einführung einer natürlichen unteren Schranke für die Länge, also auch einer oberen für die Energie. So könnte die Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Quantentheorie nicht nur zu neuen Erkenntnissen über die Natur führen, sondern zugleich auch die konzeptionellen und technischen Probleme der einzelnen Theorien klären Max-Planck-Gesellschaft

3 Gravitation und Quantentheorie Bislang gibt es noch keine experimentell bestätigte Theorie der Quantengravitation es gibt einfach noch keine Experimente. Deshalb können die bisherigen Theorien nur aus konzeptioneller Hinsicht bewertet werden. Die Allgemeine Relativitätstheorie besagt kurz: Gravitation ist Geometrie. Insbesondere gilt das Prinzip der allgemeinen Kovarianz, d. h., es gibt keinen ausgezeichneten Beobachter. Alle Koordinatensysteme, so krummlinig sie auch sein mögen, sind gleichberechtigt. Damit haben die einzelnen Punkte der Raumzeit keinerlei physikalische Relevanz. Es hat nur Sinn, Punkten eine physikalische Bedeutung zuzuordnen, wenn sie intrinsisch definiert sind, z. B. als Schnittpunkte zweier Weltlinien. Mathematisch bedeutet dies, dass die Allgemeine Relativitätstheorie invariant ist unter allen Transformationen, die die Raumzeit in sich selbst überführen, ohne sie zu zerreißen. Solche gummiartigen Abbildungen werden Diffeomorphismen genannt. Die Quantentheorie besagt kurz: Die Natur ist zufällig. Die möglichen Quantenzustände bilden einen Hilbertraum. Dies ist ein linearer Raum, der zugleich Skalarprodukte zwischen den Zuständen erlaubt. Die physikalischen Größen, wie Volumen oder Drehimpuls, werden quantisiert, indem sie durch Operatoren beschrieben werden. Diese bilden Zustände auf Zustände ab und kodieren in ihrem Spektrum die möglichen Messwerte der ihnen zugeordneten Größen. Zentrale dynamische Größe der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Metrik. Sie misst Abstände und bestimmt die Krümmung der Raumzeit. Sie ergibt sich aus dem Materie- und Energieinhalt der Raumzeit. Aus ihr ergeben sich Vorher und Nachher, also die kausalen Beziehungen in der Theorie. Die Quantentheorie dagegen untersucht die Wechselwirkung von Objekten, die wiederum von deren Abstand, also von der Raumzeitmetrik abhängig ist. Letztere wird als klassisch, d. h. nichtquantisiert, und nichtdynamisch angenommen. In einer Theorie der Quantengravitation müsste also eigentlich die quantisierte Raumzeitmetrik von der nichtquantisierten abhängen. Ist es trotz dieses eklatanten konzeptionellen Widerspruchs möglich, eine mathematisch konsistente und diffeomorphismeninvariante Quantentheorie zu konstruieren? Schleifen-Quantengravitation Die in den 1990er Jahren von Ashtekar, Lewandowski, Rovelli und Smolin entwickelte Schleifen- Quantengravitation (loop quantum gravity) ist einer der meistversprechenden Kandidaten für eine solche Theorie. Der Hilbertraum wird von den so genannten Spinnetzwerken gebildet, die bereits vor 40 Jahren von Penrose eingeführt worden waren. Dies sind endliche Graphen im Raum, deren Kanten halbzahlige Spinquantenzahlen zugeordnet sind. Anstelle der Raumzeitmetrik werden aber nun die von ihr abhängigen Größen, wie Flächeninhalt und Volumen, quantisiert. Dabei stellt sich heraus, dass diese nur noch diskrete Werte annehmen können. Zugleich ist diese Diskretisierung bereits auf atomaren Skalen unmessbar klein (die Differenz zwischen benachbarten Flächeninhalten beträgt nur Bruchteile von l 2 Pl), so dass sie in der Regel vernachlässigt werden kann. Dennoch bleibt die fundamentale Frage, ob die obige Wahl des Hilbertraums gerechtfertigt werden kann. Hierfür blicken wir zunächst noch 100 Jahre zurück.

4 Tätigkeitsbericht 2006 Christian Fleischhack Quantengravitation: Keine Experimente, aber Mathematik Quantenmechanik: Welche? Planck hatte 1900 die Existenz von Quanten postuliert, und man versuchte, diese mit der Mechanik in Verbindung zu bringen. Es gab eine Reihe von phänomenologischen Ansätzen, beispielsweise das Bohrsche Atommodell, doch es fehlte das mathematische Fundament. Ein Vierteljahrhundert nach Plancks Quantenhypothese kam es zum entscheidenden Durchbruch entwickelte Heisenberg die Matrizenmechanik, ein Jahr später Schrödinger die Wellenmechanik. Beide stellten die Hamiltonfunktion in den Mittelpunkt, die die Gesamtenergie eines mechanischen Systems in Abhängigkeit von Ort und Impuls beschreibt. In der Matrizenmechanik werden letztere durch Matrizen mit geeigneten Vertauschungsrelationen ersetzt, in der Wellenmechanik durch Differential- bzw. Multiplikationsoperatoren. Damit wird auch die Hamiltonfunktion zu einer Matrix bzw. einem Differentialoperator. Verblüffenderweise lieferten beide die gleichen Spektren, d. h. die gleichen quantisierten Energiewerte. Und in der Tat bewies Schrödinger kurz darauf, dass beide Herangehensweisen mathematisch äquivalent sind. Trotzdem blieb die Frage offen, ob es nicht noch weitere Quantenmechaniken geben könnte. Stone und von Neumann lösten dieses Problem fünf Jahre später. Sie erkannten, dass alle möglichen Hilberträume und Darstellungen von Ort und Impuls äquivalent sind; vorausgesetzt, dass die physikalischen Grundgrößen eine gewisse Stetigkeit und Irreduzibilität aufweisen. Gibt es ein ähnliches Resultat auch für die Schleifen-Quantengravitation? Schleifen-Quantengravitation: Was ist erlaubt? Ein ähnliches Eindeutigkeitsresultat gilt tatsächlich. In dessen Zentrum steht die Darstellungstheorie der so genannten Weylalgebra, in welcher die Relationen zwischen den fundamentalen physikalischen Größen kodiert sind. In der Mechanik wird diese Algebra durch die exponierten Orte und Impulse gebildet, in der Schleifen-Quantengravitation durch die so genannten Paralleltransporte (Phasenverschiebungen mit Werten in einer speziellen Liegruppe) und die entsprechenden Flüsse. Dem Autor dieses Artikels gelang es nun zu zeigen, dass es (bis auf Äquivalenz und unter ähnlichen Zusatzannahmen wie oben im Falle der Quantenmechanik) nur genau einen Hilbertraum gibt, auf dem die Weylalgebra diffeomorphismeninvariant dargestellt werden kann. [1] Und dieser Hilbertraum ist genau der bereits oben beschriebene. Kurz darauf bewiesen Lewandowski, Okołów, Sahlmann und Thiemann (drei von ihnen sind bzw. waren Forscher am MPI für Gravitationsphysik in Potsdam) ein ähnliches Resultat für eine etwas anders definierte Algebra. [2] In beiden Fällen gelang der Nachweis unter Verwendung von Methoden aus der Funktionalanalysis, insbesondere der Darstellungstheorie von Operatoralgebren, und der Differentialgeometrie. Zurzeit untersuchen Paschke und Verch vom MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften, inwieweit diese Resultate und Strukturen im Zusammenspiel von nichtkommutativer Geometrie und axiomatischer Quantenfeldtheorie beschrieben werden können. [3] Für die Schleifen-Quantengravitation sind die Eindeutigkeitsaussagen von enormer konzeptioneller Reichweite. Sie rechtfertigen eine Vielzahl von Ad-hoc-Annahmen, die bei der Entwicklung der Theorie gemacht wurden. Viel zu früh wäre es jedoch, an dieser Stelle bereits zu behaupten, die Theoreme belegen die Eindeutigkeit einer Quantengravitationstheorie. Die Mathematik selbst zeigt uns die Grenzen auf: Ihre Schlussfolgerungen gelten nur unter den jeweiligen, präzis formulierten Voraussetzungen. Erst wenn diese auch physikalisch als gegeben angesehen werden können und dieses Kriterium ist im Falle der Schleifen-Quantengravitation noch nicht erfüllt, erhalten die mathematischen Aussagen physikalische Gültigkeit Max-Planck-Gesellschaft

5 Die Schleifen-Quantengravitation ist also keinesfalls so weit, eine oder gar die Quantengravitationstheorie zu sein. Es bleibt aus naturwissenschaftlicher wie auch aus philosophischer Sicht hochinteressant, ob und wie Quantentheorie und Allgemeine Relativitätstheorie miteinander in Einklang gebracht werden können. Das letzte Wort hat die Natur. Literaturhinweise [1] Ch. Fleischhack: Representations of the Weyl Algebra in Quantum Geometry. e-print: [2] J. Lewandowski, A. Okołów, H. Sahlmann, T. Thiemann: Uniqueness of diffeomorphism invariant states on holonomy-flux algebras. e-print: [3] M. Paschke, R. Verch: Local covariant quantum field theory over spectral geometries. Classical and Quantum Gravity 21, (2004).

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