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1 Versuch 26 (Kennlinien von Glühlampen, Z-Diode und Transistor) Gruppe D14 Grundpraktikum Physik Autor: Kay Jahnke Mail: Unterschrift:... Autor: Simon Laibacher Mail: Unterschrift:... Betreuer: Johannes Nehrkorn Versuchsdatum: Abgabedatum:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Maxwellsche Gleichungen Kirchhosche Gesetze Knotenregel Kontinuitätsgesetz Maschenregel Ohmsches Gesetz Modelle zur Leitung im Festkörper Das Elektronengasmodell Das Bändermodell Die Dotierung von Halbleitern Halbleiterbauteile Der pn-übergang Die Diode Die Zener-Diode Der Transistor Versuchsbeschreibung und Auswertung Kohlenstoampe und Glühlampe Z-Diode Transistor Fehlerbetrachtung 18 2

3 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Maxwellsche Gleichungen Die Elektrostatik wie die Elektrodynamik werden im nichtrelativistischen Fall durch 7 Gleichungen vollständig beschrieben. Vier dieser Gleichungen sind die Maxwellschen Gleichungen, die das Zusammenwirken von magnetischen und elektrischen Feldern beschreiben. Sie lauten folgendermaÿen: div B = 0 (1) div E = ρ ɛ 0 (2) rot B = j + t E (3) rot E = t B (4) Gleichung(1) besagt, dass alle Magnetfeldlinien geschlossen sein müssen. Auÿerdem sieht man, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Aufgrund von Gleichung(2) kann man schlieÿen, dass Ladungsänderungen nur durch einen Storm- uss zustande kommen können. Mit Gleichung(3) lassen sich die Entstehung von magnetischen Feldern durch ieÿende Ströme und in einem Kondensator erklären. Gleichung(4) ist nur eine andere Schreibweise für das Faradaysche Induktionsgesetz. Zwei der drei weiteren benötigten Zusammenhänge lauten: D = ɛ 0 ɛ re (5) B = µ 0 µ rh (6) Der letzte Zusammenhang ist die Gleichung für die Lorenzkraft, die die wirkende Kraft in einem EM-Feld beschreibt: F = q( v B + E) (7) 1.2 Kirchhosche Gesetze Knotenregel Die Knotenregel besagt folgendes: Die Summe aller durch einen Knoten ieÿender Ströme ist unter Berücksichtigung der Richtung gleich Null. Als Formel sieht dies folgendermaÿen aus: I j = 0 (8) Begründen kann man dies mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen: Mit dem Gauÿschen Integralsatz folgt: div j = da = V A j j j 0 = div E t + div j = ρ + div j (9) t ɛ 0 I j = 0 (10) 3

4 1.2.2 Kontinuitätsgesetz Nebenbei haben wir in Gleichung(9) noch das Kontinuitätsgesetz bewiesen. Es lautet: ρ = div j (11) t ɛ 0 Es besagt, dass Stromuss nur durch die Verschiebung von Ladungsträgern stattnden kann Maschenregel Die Maschenregel besagt, dass in einer Leiterschleife die Potentialdierenz zu jedem Ort Null ist. Auch dies begründet man mit den Maxwellschen Gleichungen: Ed r = d B da = 0 (12) dt 1.3 Ohmsches Gesetz j Masche U j = m U ind,m (13) U j = 0 (14) Experimentell wurde festgestellt, dass sich die Stromstärke I in einem Drahtstück bei konstanter Temperatur proportional zur anliegenden Spannung U verhält. Die Proportionalitätskonstante R ist der Widerstand. R = U (15) I In allgemeinerer vektorieller Form wird die Stromdichte mit dem elektrischen Feld verknüpft. Aufgrund der vektorwertigkeit aller Gröÿen gilt mit einem Tensor σ als Materialkonstante. j = σ E (16) 1.4 Modelle zur Leitung im Festkörper Das Elektronengasmodell Dieses Modell wurde von Drude und Lorentz entwickelt, um die elektrische Leitfähigkeit eines Festkörpers zu erklären. Hierbei wird angenommen, dass sich die Elektronen im Leiter vollkommen frei im Kristallgitter der Atomkerne bewegen können. Liegt kein äuÿeres Feld an, so verhalten sich die Elektronen wie Teilchen eines idealen Gases und führen elastische Stöÿe mit den Gitterionen aus, wobei Energie und Impuls zwischen den Teilchen übertragen wird. Wird nun eine Spannung an den Leiter angelegt, so werden die Elektronen im Leiter beschleunigt, stoÿen aber nach einer gewissen Strecke wieder mit einem Atomrumpf und werden dabei abgebremst. Die zwischen zwei Stöÿen im Mittel zurückgelegte Länge bezeichnet man als mittlere, freie Weglänge. Durch diese Stöÿe stellt sich eine mittlere Driftgeschwindigkeit der Elektronen ein, welche proportional zum angelegten äuÿeren Feld ist. Durch sie kommt also der Widerstand des Leiters zustande. Dieses Modell erklärt gut das ohmsche Gesetz, sagt jedoch einen zu groÿen Widerstand voraus. Ähnlich verhält es sich bei der Vorhersage der Temperaturabhängigkeit eines Leiters: Auch hier ist die qualitative Aussage richtig, quantitativ scheitert sie jedoch. Zu beachten ist auÿerdem, dass sich dieses Modell nur auf Metalle anwenden lässt. 4

5 Abbildung 1: Verdeutlichung des Bändermodells Das Bändermodell Nach den Aussagen der Quantenmechanik kann ein Elektron in einem Atom nur bestimmte, diskrete Energieniveaus besetzen. Laut dem Pauli-Prinzip können sich zwei Elektronen nicht im gleichen Zustand benden, weshalb sich höchstens zwei, dann mit unterschiedlichem Spin, auf dem gleichen Energieniveau im Atom benden können. Da ein physikalisches System immer den Zustand geringster Energie anstrebt, werden die Energieniveaus von unter her besetzt. Betrachtet man nun ein System von mehreren Atomen, so teilen sich diese Niveaus durch die Überlagerungen der Felder der einzelnen Atome auf. Sieht man die Atome als Einheit an, so existieren also nicht mehr nur die gleichen Energieniveaus wie bei einem einzelnen Atom, sondern mit zunehmender Anzahl der Atome spalten sich die Niveaus immer mehr auf und die Abstände zwischen den einzelnen Teilniveaus werden immer kleiner. Lässt man die Zahl der Atome gegen unendlich gehen, so entsteht für jedes Energieniveau des einzelnen Atoms ein kontinuierliches Band. Diese Bänder können durch sog. Bandlücken getrennt sein oder sich überlappen. Das oberste voll besetzte Band nennt man Valenzband, das nächsthöhere nach dem Valenzband Leitungsband. Das oberste besetzte Energieniveau bezeichnet man als Fermienergie E F. Diese ist von der Temperatur abhängig und steigt mit dieser an. Leiter: Bei Leitern liegt diese Energie im Inneren des Leitungsbandes, d.h. dieses ist teilweise besetzt. Dadurch kann ein Elektron mit minimalem Energieaufwand ein freies Niveau erreichen und somit durch den Leiter wandern. Erhöht sich die Temperatur des Leiters, so steigt der Widerstand, da die Ionen im Gitter stärker schwingen und somit die Elektronen bei Stöÿen mehr Energie verlieren. Halbleiter: Liegt die Fermienergie bei Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt am oberen Rand des Valenzbandes, d.h. das Leitungsband ist leer, und ist das Valenzband durch eine Bandlücke vom Leitungsband getrennt, so können sich die Elektronen bei niedrigen Temperaturen nicht mehr bewegen, da im Valenzband keine freien Energieniveaus mehr vorhanden sind. Regt man aber die Elektronen an, z.b. indem man den Leiter erwärmt oder indem man ein elektrisches Feld anlegt, können Elektronen bei ausreichender Energie die Bandlücke überspringen und ins Leitungsband wechseln. Somit erhält der Festkörper die Fähigkeit zu leiten, zum einen auf Grund der Elektronen, die sich im Leitungsband frei bewegen können, zum anderen wegen der Löcher, die im Valenzband entstehen. Diese sind frei beweglich und treten quasi als freie positive Ladungsträger auf. Ist die Energie E der Bandlücke kleiner als 3 ev, so spricht man von ei- 5

6 Abbildung 2: Vergleich der Temperaturabhängigkeit des Widerstandes bei Metallen und Halbleitern 1 nem Halbleiter. Diese Modellvorstellung erklärt auch, wieso bei einem Halbleiter der Widerstand mit zunehmender Temperatur sinkt. Dies liegt daran, dass mit zunehmender Temperatur immer mehr Elektronen die nötige Energie erreichen, um ins Leitungsband zu wechseln. Somit stehen immer mehr freie Leitungsträger zu Verfügung und die Leitfähigkeit wird erhöht (vgl. Abb. 2). Die Anzahl der Elektronen, die ins Leitungsband wechseln kann näherungsweise ( ) durch eine Boltzmann-Verteilung beschrieben werden, d.h. sie ist proportional zu exp E k B T. Bei Halbleitern liegt die Fermi-Energie bei Temperaturen T 0K meistens in der Bandlücke zwischen Valenz- und Leitungsband, da sie auf Grund der ständigen Fluktuationen der Besetzungszustände nur als ein Mittelwert angegeben werden kann. Isolator: Die Modellvorstellung für den Isolator ist sehr ähnlich zu der des Halbleiters. Der Unterschied besteht in der Gröÿe der Bandlücke. Diese liegt bei einem Isolator jenseits von 3 ev, so dass im Allgemeinen die thermische Energie nicht mehr ausreicht, um die Bandlücke zu überwinden Die Dotierung von Halbleitern Fügt man in einen Halbleiter kontrolliert Störstellen, d.h. Fremdatome, ein, so nennt man dies Dotierung. Es gibt zwei Arten dies zu tun: die n-dotierung und die p-dotierung. Hierzu werden bei der n-dotierung Atome aus einer höheren Hauptgruppe als der des Halbleiters verwendet. Bei einem typischen Halbleiter aus der 4.Hauptgruppe ist dies normalerweise ein Element der 5.Hauptgruppe. Mit vier ihrer Valenzelektronen gehen die Fremdatome eine Viererbindung mit dem Ionengitter ein. Das fünfte Valenzelektron wird für die Bindung nicht benötigt und bendet sich daher auf einem anderen Energieniveau als die restlichen Elektronen, die sich im Valenzband benden. Diese Niveau nennt man Donatorniveau. Es liegt knapp unterhalb des Leitungsbandes, wodurch die Elektronen aus dem Donatorniveau wesentlich leichter in das Leitungsband übertreten können. Man hat also zusätzliche Elektronen als Ladungsträger verfügbar. Durch diesen Trick kann die Leitfähigkeit eines Halbleiters um einige Zehnerpotenzen vergröÿert werden. 6

7 Abbildung 3: Krümmung der Energiebänder am p-n-übergang 2 Die p-dotierung ist prinzipiell ähnlich, nur fügt man hier Atome eines Elements einer niedrigeren Hauptgruppe ein, typischerweise der Dritten. Gehen diese eine Bindung im Ionengitter ein, fehlt ein Valenzelektron, um die Viererbindung zu vervollständigen. Das Energieniveau des so entstandenen Lochs liegt knapp über dem Valenzband und kann somit leicht von einem Elektron daraus besetzt werden. Dadurch entsteht ein Loch im Valenzband, welches als zusätzlicher positiver Ladungsträger beim Stromuÿ fungiert. 1.5 Halbleiterbauteile Der pn-übergang Fügt man einen p- und einen n-dotierten Halbleiter zusammen, so entsteht aufgrund des Elektronenüberschusses im n-dotierten und des Elektronenmangels im p-dotierten Halbleiter ein Ladungsgefälle, welches einen Diusionsstrom von Elektronen von n nach p bewirkt. Da sich die Ladungsträger ohne ausreichende Anregung nicht vollkommen frei in den Halbleitern bewegen können, verbleiben sie nach wie vor in der Grenzschicht. Es entstehen zwei Ladungsschichten um die Grenzschicht, die eine Spannung erzeugen, welche der Diusion der Elektronen entgegenwirkt. Diese steigt so lange an, bis sich Spannung und Diusion gegenseitig neutralisieren. Die Schicht, in der sich diese Spannung aufbaut, nennt man Sperrschicht, das resultierende E-Feld zeigt von nach p. Da die Fermienergie die Energie des höchsten im Mittel besetzten Zustandes angibt, muss diese im gesamten p-n-halbleiter gleich sein, sobald die beiden Hälften zusammengebracht werden, da das System den energetisch günstigsten Zustand anstrebt. Durch diesen Angleich der Fermienergien in den p- und n-dotierten Hälften kommt es zu einer Verbiegung des Valenz- und des Leitungsbandes (vgl. Abb. 3). 1 vgl. Seite

8 Abbildung 4: Diode in Sperrrichtung geschaltet 3 Abbildung 5: Diode in Durchlassrichtungrichtung geschaltet Die Diode Bei einer Halbleiterdiode nutzt man dieses Eekt aus. Schlieÿt man an den pn-übergang eine äuÿere Spannungsquelle an, so ergeben sich je nach Polung unterschiedliche Eekte. Schlieÿt man den Pluspol an den n-halbleiter und den Minuspol an den p-halbleiter an, so verstärkt das äuÿere E-Feld jenes der Sperrschicht und verhindert, dass Ladungsträger durch die Diode ieÿen können, abgesehen von einem kleinen Strom, genannt Sperrstrom, der durch die Eigenleitfähigkeit des Gitters bedingt ist. Man sagt, die Diode ist in Sperrrichtung geschaltet (vgl. Abb. 4). Steigert man die äuÿere Spannung, so beobachtet man, dass ab einem gewissen Wert der Strom sprunghaft ansteigt. Dies lässt sich dadurch erklären, dass bei dieser Spannung die Elektronen stark genug beschleunigt werden, um die Sperrschicht zu durchdringen. Aufgrund ihrer hohen Energien lösen sie dabei noch andere Elektronen aus dem Gitter. Es kommt zu einem Lawineneekt, der jedoch die Diode im allgemeinen unwiderruich zerstört. Polt man die äuÿere Spannungsquelle jedoch entgegengesetzt, so wirkt das äuÿere E-Feld dem der Sperrschicht entgegen und baut diese somit (teilweise) ab. Ist die äuÿere Spannung gleich der Sperrspannung wird ein Stromuss möglich. Die Abhängigkeit des Stroms I D durch die Diode wird im idealen Fall durch die Schockley-Gleichung beschrieben: I D = I S (exp ( eud k B T ) 1 U D bezeichnet die angelegte Spannung und T die Temperatur der Diode. I S bezeichnet den Sättigungssperrstrom. ) (17)

9 Abbildung 6: Strom-Spannungs-Kennlinie einer Diode Die Zener-Diode Bei der Zener-Diode nutzt man den nach Clarence Melvin Zener benannten Eekt aus, dass bei starker Dotierung der p- und n-schicht Valenz- und Leitungsband am Übergang so stark verbogen werden, dass bei geringer äuÿerer Spannung die Energie des Leitungsbandes im n-leiter gleich oder sogar niedriger als die des Valenzbandes im p-leiter ist. Dadurch ist es den Elektronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit möglich, aus den p-dotierten in den n-dotierten Bereich zu tunneln. Dadurch ist die Durchbruchsspannung in einen Bereich unterhalb der Sperrspannung verlegt. Man betreibt nun die Z-Diode im Sperrmodus und nutzt aus, dass für Vorspannungen unter ca. 5Vder Zenereekt bestimmend ist. Steigt die Spannung über einen gewissen Wert, tritt der Zener-Eekt auf und die Diode wird in Sperrrichtung leitfähig. Auf diese Weise kann man zum Beispiel empndliche Bauteile vor zu hohen Spannungen schützen. Betreibt man die Z-Diode bei zu hohen Spannungen, tritt wieder der oben erwähnte Lawineneekt ein und die Diode wird zerstört Der Transistor Ein Transistor ist aus zwei hintereinandergeschalteten pn-übergängen aufgebaut. Er kann also sowohl als npn-transistor als auch als pnp-transistor realisiert werden. Im Folgenden soll nur die Funktionsweise eines npn-transistors beschrieben werden, die Überlegungen für pnp-transistoren sind analog. Die n-dotierte Schicht wird als Basis bezeichnet, die eine p-schicht als Kollektor, die andere als Emitter. Baut man den Transistor symmetrisch, so sind Kollektor und Emitter vollkommen äquivalent. In der Praxis unterscheiden sich die beiden jedoch bezüglich Dicke und Dotierungsgrad. Die Emitterdiode, die von Emitter und Basis gebildet wird, wird im normalen Betrieb in Durchlassrichtung mit der Spannung U B betrieben, während man eine zweite Spannung U so mit Kollektor und Emitter verbunden, dass die Kollektordiode in Sperrrichtung geschaltet ist. Liegt keine Spannung an der Emitterdiode an, so wird die Sperrschicht in der Emitterdiode zwar verringert, diejenige in der Kollektordiode jedoch vergröÿert. Es ieÿt nur ein Strom, der dem 5 9

10 Abbildung 7: Stromsteuerkennlinie eines Transistors Sperrstrom durch die Kollektordiode entspricht. Durch die Spannung U B wird die Emitterdiode leitfähig und es gelangen Elektronen in die Basis, welche aufgrund der geringen Dicke der Basis in die Sperrschicht der Kollektordiode gelangen können und von der dortigen Spannung beschleunigt zum Kollektor diundieren. Von dort werden sie durch den anliegenden positiven Pol der Quelle U abgesaugt. Es ieÿt ein Strom im Emitter-Kollektor-Stromkreis. An diesem Stromuss ist der gröÿte Teil der Elektronen beteiligt, die in die Basis gelangen. Deshalb ieÿt im Basis-Emitter-Kreis nur ein sehr geringer Strom, d.h. der Basisstrom steuert den Kollektor- Emitter-Strom, wird quasi verstärkt (vgl. Abb. 7). 2 Versuchsbeschreibung und Auswertung 2.1 Kohlenstoampe und Glühlampe Im ersten Versuchsteil wurde die durch die Lampen ieÿende Stromstärke über der anliegenden Spannung gemessen. Zu diesem Zweck wurde folgende Schaltung aufgebaut und verwendet: Abbildung 8: Schaltungsaufbau der Lampen 6 Trägt man nun die Stromstärke über der Spannung auf, so erhält man die Kennlinie des Bauteil. 6 aus der Aufgabenstellung: Grundpraktikum der Physik für Physiker, Universität Ulm 10

11 Abbildung 9: Kennlinie der Glühlampe Abbildung 10: Kennlinie der Kohlenstoampe Wie zu erwarten war ist die Kennlinie der Glühlampe leicht konvex und die der Kohlenstoampe leicht konkav. Die Fehlerbalken sind nicht zu erkennen, da die Fehler der Messung im Vergleich zu den Messwerten zu klein waren. 11

12 Trägt man die Widerstandsänderung R = U I über die Temperatur, die nach dem Stefan- Boltzmann-Gesetz proportional zu 4 U I ist, auf, so erhält man die folgenden Kurven. Abbildung 11: Widerstand der Glühlampe Abbildung 12: Widerstandsänderung der Kohlenstoampe Bei der Glühlampe wurde der absolute Widerstand und nicht die Widerstandsänderung aufgetragen, weil nur so ein sinnvoller Zusammenhang erkennbar war. Man kann sehen, dass der Widerstand bei der Glühlampe mit steigender Temperatur immer weiter ansteigt. Bei der Kohlenstoampe dagegen ist ein entgegengesetzter Zusammenhang zu erkennen. 12

13 Um zu untersuchen, ob die Leitfähigkeit exponentiell mit der Temperatur zu- bzw. abnimmt, trägt man log ( I U ) gegen die Temperatur-Proportionalität 4 U I auf. Abbildung 13: Leitfähigkeit der Glühlampe Abbildung 14: Leitfähigkeit der Kohlenstoampe Bei der Kohlenstoampe sind die Messwerte gut mit einer Gerade anzunähern, so dass von Zusammenhang ausgegangen werden kann: ( ) 1 log 4 U I T R e T R Bei der Glühlampe kann man zwar, wie bei der Kohlenstoampe, auch eine Regressionsgerade bestimmen, doch diese ist aufgrund der groÿen Schwankung der Messwerte wenig aussagekräftig. 13

14 2.2 Z-Diode Auch bei Dioden lassen sich Kennlinien, sowohl in Durchlass- als auch in Sperrrichtung, bestimmen. Zu diesem Zwecken wird eine Schaltung nach folgendem Schaltbild aufgebaut. Abbildung 15: Schaltungsaufbau der Diodenkennlinie 7 Die Kennlinie der Z-Diode sieht folgendermaÿen aus: Abbildung 16: Kennlinie der Z-Diode Wie man sieht, gibt es einen groÿen Bereich zwischen 6, 3V und 0, 7V in dem fast kein Strom ieÿen kann. Auÿerhalb dieses Bereiches, jenseits der Durchschlagspannung, nimmt die Leitfähigkeit dann schlagartig zu und der Strom kann nahezu ungehindert ieÿen. 7 aus der Aufgabenstellung: Grundpraktikum der Physik für Physiker, Universität Ulm 14

15 In den folgenden Schaubildern wird log ( I 1mV ) gegen die Spannung U aufgetragen. Abbildung 17: Sperrrichtung der Z-Diode Abbildung 18: Durchlassrichtung der Z-Diode Bei der Durchlassrichtung lässt sich gut ein Proportionalität erkennen, so dass man folgenden Zusammenhang ableiten kann: ( ) I log U I U 0 e U U 0 15

16 Für eine Spannungsstabilisierung benutzt man eine Schaltung nach dem folgenden Aufbau: Abbildung 19: Schaltungsaufbau Spannungsstabilisierung mit der Z-Diode 8 Der Stabilisierungsfaktor berechnet sich mit S = U 0 U z. Im folgenden Schaubild ist der Stabilisierungsfaktor über der anliegenden Spannung U 0 aufgetragen: Abbildung 20: Spannungsstabilisierung Bis zu der Durchschlagsspannung von U 0 = 6, 3V ist der Stabilisierungsfaktor konstant mit S = 1. Oberhalb dieses Grenzwertes steigt der Stabilisierungsfaktor dann linear mit der Spannung U 0 an. Aus der Regressionsgeraden geht hevor, dass U 0 immer das 6,67-fache von U Z ist. U 0 in V 1,99 4,17 5,11 6,02 1,05 2,96 7,09 8,02 9,06 10,05 11,13 11,96 13,06 14,1 S ,12 1,26 1,42 1,57 1,74 1,87 2,03 2,19 8 aus der Aufgabenstellung: Grundpraktikum der Physik für Physiker, Universität Ulm 16

17 2.3 Transistor Um die Kennlinie eines Transistors aufzunehmen baut man die folgende Schaltung auf. Abbildung 21: Schaltungsaufbau Transistorkennlinien 9 Die Kleinstromverstärkung β berechnet sich wie folgt: β = I CE I BE I BE [µa] β R 0 [Ω] Tabelle 1: Kleinstromverstärkungen und Ausgangswiderstand bei 10 V 9 aus der Aufgabenstellung: Grundpraktikum der Physik für Physiker, Universität Ulm 17

18 Eine Kennlinie des Transistors erhält man, wenn man die Stromstärke I BE konstant hält und dann den Strom I CE über der Spannung U CE aufnimmt. Wählt man mehrere verschiedene Werte für I BE, so erhält man die folgende Kurvenschar: Abbildung 22: Kennlinien des Transformators 3 Fehlerbetrachtung Bei den Versuchen müssen die folgenden Fehlerquellen beachtet werden: ˆ ˆ Zusätzlicher Leitfähigkeitsverlust durch die Leitungen oxidierte Kontaktstellen Auch der Fehlwiderstand kann Temperaturabhägig sein ˆ Es konnte nur entweder Strom- oder Spannungsrichtig gemessen werden, aber nicht beides zu gleich ˆ ˆ Eine Temperatur wird nicht sofort angenommen, sondern stellt sich erst mit der Zeit ein Das Stromversorgungsgerät konnte keine absolut konstante Spannung liefern ˆ Bei niedrigen Spannungen sind stärkere Auswirkungen der elektrischen Felder und Geräte in der Umgebung festzustellen 18

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